分式【九大题型】-七年级数学下册专项提升练（浙教版）

专题5.1分式【九大题型】

【浙教版2024]

＞题型梳理

【题型1分式的定义】...........................................................................1

【题型2根据分式有意义的条件求取值范围】......................................................3

【题型3分式值为零的条件】....................................................................4

【题型4列代数式（分式）】.....................................................................5

【题型5求分式的值】...........................................................................7

【题型6分式的规律性问题】.....................................................................9

【题型7根据分式的值为整数求未知数的值】.....................................................11

【题型8按要求构造分式】......................................................................13

【题型9根据分式的值的正负求取值范围】........................................................15

“举一反三

知识点1：分式的定义

一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子削U做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。

分式满足的三个条件：①式子一定震的形式；②人与B一定是整式；③B中一定含有字母。

简单理解：分母中含有字母的式子就是分式。

【题型1分式的定义】

【解题方法】观察式子的分母是否有字母，若有则是分式，若没有则不是。

【例1】（24-25七年级•山东淄博•阶段练习）在式子过，巴，三，2号中，分式有（）个

xnx+133

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意兀不是字母，是常数.根据分母中是否

含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案.

【详解】解：式子§，?，京（，子中，分式有共2个，

故选:B.

【变式1・1】（24-25七年级•江苏徐州•阶段练习）下列各式二三、1已不是分式的是

yx+1nx------

【答案】-

【分析】根据分式的定义：形如34中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可.

D

【详解】解・：工、今、3中：4、今、0是分式，共3个，

yx+1nxyx+1x

三分母不含字母，不是分式，是整式；

n

故答案为:

n

【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关健

【变式1-2］（24-25七年级・重庆江北•期中）下列式子是分式的是（）

A22r>X+lC1nu］

A.—x'yB.—C.—D.—Sab

3Jnx

【答案】c

【分折】本题考查分式的识别，涉及分式定义，根据分式的定义对各选项进行分析即可得到答案.熟记分式

定义是解决问题的关键.

【详解】解：A、|%2y是整式，不符合题意；

B、也是整式，不符合题意；

n

C、2是分式，符合题意；

X

D、-5ab是整式，不符合题意.

故选：C.

【变式1-3】（2024七年级•全国・专题练习）在咛，啰，吟，④鬻，⑤■石中，是分式的有_（填

序号）

［答案］®®®

【分析】利用分式的定义，依次判断，其中注意乃是常数.

【详解】解：由分式的定义知

F不是分式；己是分式；出不是分式；M是分式；7一是分式；

2ana+b5（m-n）

故分式有：M三、彳一，共3个，

aa+b5（m-n）

故答案是：②④⑤.

【点睛】本题考查r分式的定义，解题的关键是：理解分式的定义，判断的依据是看分母中是否含有字母.

知识点2：分式有意义的条件

即要求分式的分母不能为0。即9中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式分解，

让每一个因式都不为0。

【题型2根据分式有意义的条件求取值范围】

【解题方法】结合分母不能为0建立不等式求解，若式子中含有偶次根号，考虑被开方数大于等于0。

【例2】（24-25七年级•上海•期中）当x满足条件______时，分式总有意义.

------2x-8

【答案】％二4

【分析】本题考查分式有意义的条件，要使分式有意义，则分式的分母不为0,据此即可解答.

【详解】解：当2%—8,0,即工学4时，分式不有意义.

2x-8

故答案为：XH4

【变式2-1］（24-25七年级•四川绢阳・期末）已知式子工-七有意义，则》的取值范围是________.

Xx-1

（答案】X*0且汇丰1

【分析】本题考杳了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解决此题的关键.利用使分

式有意义的条件求解即可.

【详解】解.：由题意，得且

解得不丰1且%*0.

故答案为:%工1■且4工0.

【变式2-2］（24-25七年级・广东汩头・期末）当％=-1时，下列分式没有意义的是（）

A.—B.—C.—D.—

Xx-1XX+1

【答案】D

【分析】本题考杳了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零

即为分式无意义的条件.

【详解】解:当％=—1时，x+l=0,

・••当》=-1时，分式会没有意义，

X+1

故选：D.

【变式2-3］（24-25七年级•河南郑州•期末）若分式已有意义，请写出一个满足要求的x的值一

【答案】0（答案不唯一）

【分析】本题考查分式有意义的条件.根据分母不为零的条件进行解题即可.

【详解】解：要使分式有意义，

即/一1工0,

则x工±1.

故《=0时分式有意义.

故答案为：0（答案不唯一）.

知识点3：分式值为零的条件

分式的值为0的条件为要求分子必须为0,同时要求分母不为0。即[中，A=o,6加。

D

对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0,让分母里面所有因式的值不等

于0o

【题型3分式值为零的条件】

【解题方法】利用分子的式子等于0,分母的式子不等于0建立方程与不等式进行计算即可。

【例3】（24-25七年级•甘肃定西•期末）己知某个分式，当％=-1时，分式无意义，当％=2时，分式的值为

0,则该分式可能是（）

八x+2八

A..—x-2B.—C.x—+2D-.—x-2

x+lX+lX-lX-1

【答案】A

【分析】本题考查了分式无意义，分式求值，解题的关键掌握分式代值的计算方法.先根据当《=-1时，分

式无意义，排除选项C、D,然后把X=2代入A、B选项计算即可判断.

【详解】解：当=一1时，"1=0,则分式号，詈无意义；一=_2=。，则分式等皆有意义,

故排除选项C、D,

当％=2时，三=0，e=：，故选项A符合题意，选项B不符合题意，

x+lx+l3

故选：A.

【变式3-1]（24-25七年级•广东茂名•期末）若分式，的值为零,则根=

【答案】-2

【分析】根据分式的值为零的条件（分子为零、分母不为零）可以求出m的值.

【详解】解：根据题意，得

TH4-2=0,且m-200、m+3。0；

解得m=-2；

故答案是：-2.

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不

为0.这两个条件缺一不可，熟记分式值为。的条件是解题的关键.

【变式3・2】（24-25七年级・安徽合肥・期末）当％=3时，下列分式中，值为0的是（）

厂】

A，X-3D2X-6cX+3

AHB.77rC,—D,—

【答案】B

【分析】本题考查求分式的值，将I=3分别代入各个选项，进行运算，即可求解.；理解分式无意义，正确计

算是解题的关键.

【详解】解:A.当％=3时，分式无意义，结论错误，不符合题意；

B.当％=3时，笨=岩=0,结论正确，符合题意；

C.当％=3时，分式无意义，结论错误，不符合题意；

D.当工=3时，詈=|^=|工结论正确，符合题意；

故选:B.

【变式3-3］（24-25七年级•湖北襄阳•期末）当x=_时，分式六三的值为零.

--X2-2X+1

【答案】-1

【分析】本题考查了分式的值为零的条件，完全平方公式.熟练掌握分式的分子为零且分母不为零时，分式

的值为零是解题的关键.

由题意知既|一1=0,x2-2x+l=（x-l）2^0,计算求解.，然后作答即可.

［详解］解：由题意知，|x|-1=0,x2-2%4-1=（x-I）20,

解得，X=±1,XH1,

/.X=—1>

故答案为：—1.

【题型4列代数式（分式）】

【例4】（24-25七年级・广西贺州•期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场

上购买了w瓶消毒液，原计划每天用m瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用J'几瓶消毒液，则这些消毒液

提前几天用完？？（)

A.—B.上c.D.---

in+nmmm+nm+nm

【答案】C

【分析】本题考杳列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式.求出原计划用的天

数，再求出实际用的天数，作差即可.

【详解】解：由题意得，原计划用的天数为史天，实际用的天数为上天,

m+n

.•.这些消毒液提前e—荒）天用完•

故选:C.

【变式4-1]（24-25七年级.山西晋城.阶段练习）已知A、8两地相距50km,甲、乙两人分别从A、8两地

同时出发，相向而行，速度分别为xkm/h、ykm/h,当甲、乙两人第二次相距a（aV50）km时，行驶时间为

h.

【答案】筹

【分析】本题主要考查了列分式，解题的关键是理解题意，根据速度、路程和时间的关系，列出分式即可.

【详解】解：根据题意可知，甲、乙两人第二次相距akm时，两人所行驶的路程之和为（50+Q）km,

•••两人的速度之和为（x+y）km/h,

••・行驶的时间为"h.

x4-y

故答案为：器

【变式4-2]（24-25七年级♦河北衡水•期中）在一次数学测验中，甲班有。个人，平均分是切分，乙班有。

个人，平均分是〃分，则这两个班的总平均成绩为（）

、am+bn八

A.巴里分B.尤分C.竺也分D.--------分

a+bm+n

【答案】C

【分析】先求出两班的总分，再运用求平均数公式即可求出平均成绩.

【详解】解：•・•甲班有〃个人，平均分是/〃分，乙班有〃个人，平均分是〃分,

・•・两班在这次测验中的总分为：（血。+/b）分,

・•・两班在这次测验中的总平均分是巴竺也

a+b

故选:c.

【点睛】本题考查的是加权平均数的求法.熟记公式是解决本题的关键.

【变式4-3]（24-25七年级•河南郑州.期末）某班组织了绿博园一日游活动，他们共X人租了一辆大巴车，

租金为1000元.出发时又增加了两人，如果租金不变，那么实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需

分推的车费少元.

【答案】（哼-物

【分析】本题考杳列分式，根据题意列出代数式可求得结果，准确埋解题意是解题的关键.

【详解】解：计划平均每人需分摊的车费是：U竺元，

X

当增加了两人时，实际平均每人需分摊的车费是：当元，

x+2

则实际平均每人需分摊的车费比计划平均每人需分摊的车费少：（与台-翳）元，

故答案为：（干一黑）.

【题型5求分式的值】

【解题方法】根据已知条件变形，或用一个字母来表示所有的字母然后带入求解。

【例5】（24-25七年级・贵州毕节•期末）已知m2-3m-2=0,则2m2-3加+吃值为（）

m2

A.10B.11C.15D.16

【答案】c

【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知变形得到m2一3m=2,进而可得m-N=3,求出巾2+2=

m

13,再将所求代数式变形得到即可答案.

【详解】解：・・・m2—3m—2=0,且根据题意有：mH0,

2即

An-3m=2,m—3=—m,

/.-§=32=9,

An2-4+^=9,

2

Am+m2=13,

.*.2TH2—3m+-^7

m2

?c24

=m"-3m+m”H----r

=2+13

=15.

故选：C.

【变式5-1](24-25七年级•辽宁大连•期末)已知彳=5=：，则£*二.

234yz-------

【答案】；

6

【分析】设;=g=：=k，则有x=2k,产3k,z=4鼠代入即可求解.

【详解】设;=;=：=k,根据题意有，心0,

则有x=2鼠尸3匕z=4k,

Biixy-x2_(2M)(3/c)-3)2_6k2Tk2_1

'yz~(3/c)(4/c)-12k2-6’

故答案为：

6

【点睛】本题考查为了分式的求值，设;=9=;=k是解答本题的关键.

【变式5-2](24-25七年级•福建厦门・期末)已知非零实数K,y满足y=E，则型吆空的值等于

【答案】5

【分析】本题考查分式的求值，根据、二六，得到无+y=2xy,整体代入法求出分式的值即可.

2X—1

【详解】解：・・・y=E，

/2x-l

.*.x+y=2xy,

.2x+xy+2y_2(*+y)+xy_4xy+xy_

••——=5c;

xyxyxy

故答案为：5.

【变式5-3](24-25七年级•山东Fl照•期末)若工+%=3,则-()

Xx4+zz+l

A.8B.1C.8或:D.无法确定

【答案】B

【分析】由工+%=3可得/+吃=7,再把变形为二二一，再整体代入计算即可.

XX2x4+x2+lx2+^+l

【详解】解：・・叱+%=3,

X

.•.(+)2=*

整理得，/+以=7,

故选：B

【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及求代数式值，把：+%=3和47T进行正确变形是解答本题的关

键.

【题型6分式的规律性问题】

【例6】（24-25七年级•贵州铜仁・期末）按一定规律排列的一列分式依次为：一，前一小焉……（Q工0），

按此规律排列下去，第〃个分式是.（〃为正整数）

【答案】（一1尸船

【分析】本题考杳分式的规律性问题，根据前四个分式总结出规律是解题关键.根据题意写出前四个分式的

变形分别为（一1）1、焉匕，（一1）2、部，（—1）3X品，（—1）4X*，即得出规律，从而得出第

n个分式.

【详解】解：第1个数为一；=（一D】x就匕，

第2个数为捺=（—l）2x寻，

第3个数为一%二（-1）“*，

第4个数为M=（—l）4x豁，

工第〃个数为（一1尸京悬•

故答案为：7篇.

【变式6-1］（24-25七年级・天津•期末）观察给定的分式，探索规律：

（I）：，盘,盘,g■,…其中第6个分式是；

（2）一马，•一芍，…其中第6个分式是________；

yyAy>y1

（3）-y,一提，号，…其中第〃个分式是（n为正整数）.

【答案】枭-黄（T）〃詈

【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6,分母是x6

（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第

偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x%分母是y",

（3）分子是以b为底，第一个指数是2,以后依次加3,所以第n个指数是3n-l；分母是以a为底，指数是

连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第〃个分式的符号是（-1）",分子是心一，

分母是an,

【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是二，

X6

（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第

偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是-卑，

y11

<3）分子是以b为底，第一个指数是2,以后依次加3,所以第n个指数是3n-l；分母是以a为底，指数是

连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）%所以，第六个分式

是（T）审

【点睛】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变

化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键

【变式6-2］（24-25七年级•黑龙江哈尔滨•期末）观察下列一组分式：E，T■一黑，•…根据你的

b3。，5D-57b”

发现，第8个分式是,

【答案】8a

15b8

【分析】本题考查代数式规律，对于分式规律，从三个方面：符号、分子和分母分别寻找，最终得到这组分

式的规律是（-1）"】清而，当〃=8时，代入求解即可得到答案，准确找准分式的规律是解决问题的关键.

【详解】解：首先观察符号：奇数项为正、偶数项为负，则符号规律是（-1尸+】

观察分子a,2a,3a,4a,…，则分子规律为TIQ；

观察分母瓦3炉,563,7/,…，则分母规律为（2n-1）〃；

,这组分式的规律是（-1）*】7；/*?

二当九=8时，（一1尸十】瑞^=*1）8+18a

(2X8-1)匕815匕8

故答案为:

1500

丫5y7丫9v*ll

【变式6-3】⑵-25七年级•云南文山・期末）给定一列分式：?点歹，演，即，声，…（其中y工°），

按此规律，那么这列分式中的第〃个分式为（）

/n+iy2n-iy2n-i

A.B_____c-........D.-.........

2nyn-2nyn~1・2n-1yn2H-lyH-1

【答案】C

【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键.分别

判断系数，字母之间的关系，即可找出答案.

【详解】解：第一个分式为：5

32X2-l

第二个分式为：熟v二y匕

第三个分式为：普二胃；

4y322y3

第四个分式为：也*2X4-1

2x5-l

第五个分式为：5v

按此规律，那么这列分式中的第N个分式为景点,

故选：C.

【题型7根据分式的值为整数求未知数的值】

【例7】（24-25七年级•江苏扬州・期末）能使分式竽胃值为整数的整数工有（）个.

2x-3

A.0B.1C.2D.8

【答案】D

【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键.将翳转化为3+悬，进一步求解即可.

6X+216X-9+303(2X-3)+30„.30

【详解】解:--------=-------------=-----------------=3-1--------

2x-32x-32x-32x-3

•••分式的值为整数,

•••昌的值为整数，

次一3

:.2%-3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,+15,+30,

・・・x也是整数，

/.2x3=±1,±3,±5,±15,

解得：x=2,x=l,x=3,x=0,x=4,x=—l,x=9,x=-6：

故选D.

【变式7-1]（24-25七年级•黑龙江牡丹江•期末）若分式々的值是整数，则满足条件的所有正整数〃?的和

m+1

等于（）

A.9B.8C.7D.5

【答案】B

【分析】本题考查了分式的值，根据分式上的值是整数得m+1=1或2或3或6,求得m的值即可求解，

m+1

根据题意得m+1=1或2或3或6是解题的关键.

【详解】解：•・•分式白的值是整数，

m+l

•••m+1是6的约数，即血+1=1或2或3或6,

解得；7n=0（含去）或1或2或5,

则满足条件的所有正整数m的和为1+2+5=8.

故选：B.

【变式7-2]（24-25七年级•浙江宁波・期末）若》及三都是正整数，则所有满足条件的工的值的和是.

2x+l-------

【答案】10

【分析】本题考杳了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求

解是解题关键.根据无为整数，且目的值也为正整数，列出不等式，求出工的取值范围，再枚举求出符合题

2x+l

意的”的值，即可求解.

【详解】解：及^都是正整数,

.•卢工1,

2r+l

B|Jx+8>2x+1,

解得：x<7,

x+8«.7-x

故当x=1时,-----=1H--------1+舒=1+2=3,

2x+l2x+l

x+8t,7-x

当x=2时,-----=1H1+缶=1+1=2,

2x+l------2X+1

x+8_7r_.7-3_4

当％=3时,-----=1+-------=11+----=1+一,

2X+12X+16+17

7x7-4

当x=4时，x+81.-1।1J

2x+l2x+l8+13

x+87-x.7-5-.2

当x=5时，----=1H=1+=1H,

2x+l------2x+l-------10+1-------11

x+81.7-x17-61」1

当x=6时，----=1H--1+=1H,

2X+1-------2X+1-------12+113

X+8,,7-X,7-7

当x=7时，d

2x+l2X+114+1

故所有满足条件的工的值有:1、2、7,

，所有满足条件的工的值的和是14-2+7=10.

故答案为：10.

【变式7-3】（24-25七年级•四川成都•阶段练习）已知、为整数,且分式^的值也为整数'则满足条件的所

有为的值之和为.

【答案】0

【分析】根据x为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出工的值再求和即可.

【详解】解：

_9X+3-10

3X+1

=3--,

3x+l

「X为整数，分式笑三的俏也为整数，

3x+l

•••当X=0时，分式=-7,符合题意；

当《=-1时，分式值=8,符合题意;

当《=-2时，分式值=5,符合题意;

当x=3时，分式值=2,符合题意；

•••满足条件的工的值为0、一1、一2、3,

所有满足条件的数的和为0-1-2+3=0,

故答案为：（）.

【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值.

【题型8按要求构造分式】

【例8】（24-25七年级•上海•期中）请写出一个同时满足下列条件的分式:

（1）分式的值不可能为零;

（2）分式有意义时，”的取值范围是。工-3：

（3）当。=0时,分式的值为-1.

你所写的分式为

【答案】三（答案不唯一）

a+3

【分析】根据所满足的条件解答即可：（1）分式的分母不为零、分子不为零；（2）分式有意义，分母不等

于零；（3）将。二。代入后，分式的分子、分母互为相反数.

【详解】解：根据（I）分式的值不可能为零，可得分式的分子不等于零；

根据（2）分式有意义时，。的取值范围是-3,可知当。=-3时，分式的分母等于零；

根据（3）当a=0时，分式的值为-1,可知把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数.

综上可知，满足条件的分式可以是：三，

a+3

故答案为：言（答案不唯一）.

a+3

【点睛】本题考查了分式的值、分式有意义的条件、分式的值不为零的条件等，掌握分式的分母不能为。是

解题的关键.

【变式8-1］（24-25七年级•江苏南京•期中）请你写出一个值恒为正数的分式.

【答案】47（答案不唯一）

【分析】根据条件写出分式即可.

【详解】解：一个值恒为正数的分式为：丸（答案不唯一）.

故答案为：大（答案不唯一）.

【点睛】本题主要考查了分式，解题的关键是注意两个条件：①宜恒为正数；②是分式.

【变式8-2］（24-25七年级•上海浦东新•期末）从整式7T,2,a+3,Q-3中，任选两个构造一个分式.

【答案】:（答案不唯一）

a+2

【分析】本题考查分式的定义.分式的定义：如果4,8表示两个整式，且8中含有字母，贝哈称为分式，根

据定义选取含有字母的整式作为分母即可构造分式.

【详解】解：2和Q+3可构造分式三，答案不唯一，以Q+3或a-3为分母均可.

a+3

故答案为：j（答案不唯一）.

【变式8-3］（24-25七年级•安徽安庆・期中）有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲；分式的

值不可能为0：乙：分式有意义时的取值范围是洋±1：丙：当x=・2时，分式的值为1.请你写出满足上述

全部特点的•个分式:

3|x