2027高中数学竞赛历年试题汇编：不等式四多元不等式（含解析）

专题19不等式（4）多元不等式

◊全国各地竞赛真题试题汇编

一、填空题

1.(2024•福建预赛)若％1，孙,…Qi。。是1,2,…,100的一个排列，则S=%21+%—必1+…+

1%99—%】00l+1%】00—％11的最大值为.

【答案】5(20

【详解】记％=max｛项,巷+1｝,0=min｛孙苞+J,则出一xi+1\=(if-仇，其中i=1,2,…,100,fixiOi=与•则

显然即仇是两个1,2,…,100的排列,当S取最大值时,

100100

WQi=2(100+99+…+51),Wd=2(50+49+-+1),

i=ii=i

此时S=2x50x50=5000.

等号成立时，可令必"1=1。1—"其中i=12…,50,满足题意.

所以S的最大值为5000.

2.（2023•浙江预赛）设n个正数%,&，…，满足%+。2+,,,+。"=2023,M为

%_________也______________^21__________

2023+Q]'2023+%+做''2023+%+散+…+an

中的最大值，则M的最小可能值为.

【答案】1-壶

【详解】设％=2023,%1=2023+。1，必=2023+Qi+Q2,…，

xn=2023+即+。2+…+an=4096,则以=xk-x-lk=1,2,…，n).

于是M>-------------=3c汩.=1_2=1_"32.

2023+。1+。2+…+Xk入

因此（1—M）n&nk】慧=5=簿=3=1一"&壶="之1一壶,

等号成立时攀=V2=>xk=2023•（V分"=>=2023]（亚f一（班）"一，.

所以M的最小可能值为1一意.

3.（2022•北京预赛）对实数为i，%2,…，49，不超过

111

"%1，不，…，勺9)=WW…W伙I'I+七必

H----Fk19x19-1|

比1=0比2=0〃]9=0

的最小值的最大整数为

【答案】92378

【详解】考虑一般情况.我们把集合A={0,1严划分为:力=&U&U…LU”,

其中4={/?=（的,七,…，k”）EA\k1+k2+—+kn=k］,k=0,1,­,n.

显然4的元素个数为&|=公，记X=（孙％2,…，%n），则

nn

“x）=Wm.x-i|=WW2（"X-I）,

pGAk=QP£Akk=Q（iEAk

由于a=£供人⑹x-1）=2（4+g+…+$）-Gf

=战二*X[+&+•••+如）-G，而以工=G二，="f,于是

Bk-Bn+1-k=CL_CK=G-_G=|&|+I5n+1_k|>«-C『L

记%+l=°，所以

e®Bl

f（x）>^isj>2（跳|+i%+idi）n工（制一G-1）=串.

k=Ok=Ok=O

当n=2m或71=2m-1时，取与=x2=…=xn=£可使上式取等号（此时=0）：

n-m

=W（Bk~Bn+i.k）=Cn~m-

/（X）=%+&+…+%-1-%+1---------Bn

k=O

综上，/Gi,如•••，$）的最小值为cgL本题结果为C得=92378.

二、解答题

（•北京预赛）已知实数由«…，册求证：咒户,其中劭=。〃册「

4.20232,>0,alai丁+al笑+l+:1+i=Q

【详解】引理：若实数瓦，⑦,…,b>0,则£上1争之£上］察?.

UiO»।1

注意到比=1空N£片第1=X%丝产N

设〃）=总/a>o）/G）=2%娥=—邓=】号•

不妨她*“•2=品工金・Y就萨

于是，匕鼻为逆序和，X陶舟为乱序和，由排序不等式有

rw<o=>/co单调递减,所以f（o）>f⑴=引理成立.

依引理有色产工2Ml。/a；则只需证生1>EI：安坦.

1-1%+田4a；+al+1+iJ-a（a；+a,+i

设d=_dj+1_4+i（山+1）

^^一彩一…,

不妨设心坐".2n含2段“2含，

于是£上巧阴辿为顺序和，2?=］色/詈为乱序和，由排序不等式有

山+1+11山+1+1

2匕4=£［］色邛如斗之£之14智，所以原不等式成立.

四+1+ia,+i+i

5.（2023・广西预赛）设函数/•（%）在区间/上有定义.若/•（Q%+（1-a）x2）<a/（xt）4-（1-。）/（必）对任

意的实数4i，X2W/和任意的ae(0,1)恒成立，则称函数/(%)为区间/上的一个凸函数.例如，f(x)=ex是

(-8,+8)上的一个凸函数.

设p>1,q>1,；+；=l,xk>O,yk>0(1<Zc<n),a>0,/?>0.

利用上述相关知识证明：

(1)(Young不等式)〃2ab；

(2)(HNder不等式)££=12%工(Eki戏)/

【详解】(1)先证明函数f(x)=—Inx是凸函数.

设打,无2W(0,+8),4a1，/01)),5(%2，/(七))，且无1<%2，

则a%i+(1-a)x2G(xltx2).

过点(aXi+(1-a)%2，。)作工轴的垂线分别与线段力8和y=/(%)的图象交广点C,D,

设4B:g(x)=kx+b,

干臬=9(%i)=kxi+b,

?U

7(X2)=9(%2)=kx2+b

=>g(a%i+(1-a)x2)=k[axx+(1-a)x2]+b=a(kx1+b)+(1-a')(kx24-b)

=ag(%D+(1-a)g(%2)=。/(巧)+(1-。)/(必).

显然点。在点C的下方,所以/3占+(1-a%)3«/Ui)+(1-a)f(%2)，等号成立时当且仅当/=彻•由

函数外幻=—Inx是凸函数及条件得

fap+--bqy<-/(ap)+-f(bq>)=-In(-.ap+--bqy<--ln(ap)+-111(6^)]

\pq1PqVpq)IpqJ

=>\n(--ap+--bq\>-In(ap)+-infd(7)=Ina+Ind=\n(ab]=>--ap+—■bq>ab.

\pq/pqpq

⑵记A=Z2=1xg,B=次=1嵬，a=(4y==(gy=

于是由Young不等式得，笔工'岑+'当.

APB^PAqB

令k=1,2,…,n求和得翳m丝WL也域+L至城=>•：+'•』=1

.W4qBPAqB

=£2=14%<A遍=(£%%好位%城);所以Holder不等式成立.

6.(2023•四川预赛)给定正整数以几22).已知2n个正实数的,02,…，。2八，满足：

Za2k-l,Wa2k=口a2k-l+口a2k-

k=lk=lk=lk=l

求s=£恐1Q的最小值，其中a2n+l=Q-

ak+i

1

【洋解】s=翳詈=%静+况］普2dm%静y+(n2=1普丁］

等号成立时％=a3=…=a2n-lfa2=a4=…=a2n,当〃=2时，

2%•2a2=a：+谖=居-4%的+谖=0=虫=2±V3»取a1=a=1,

023

%=。4=2+8得5=%+经+以+匕=2(勺+幺)=8；

a2a3a4ai\«2Q］，

2

当九>3时，取a1=a2=…=。2小于是九=2a『=a^~=

I

-23

得S=Efc=ia?=2n-y=n,即此时即=a2=…=a2n=

综上，5=£建1成二的最小值为4.

ak+l

7.(2023•浙江预赛)设整数>2,对于｛1,2,…,九｝的任一排列o=(tr(l),<j(2),…,o(n)),记S=｛aIa(i)中i,

i=l,2，…，叫求min毙J。⑴的值，并计算取到最小值时排列。的数目.

CFES

【详解】由于。(i)Hin|ff(i)-i|>1>故

SHik(0-i|>n.(*)

(1)当n为偶数时，(*)可以取到等号.

此时当且仅当。(1)=2,<r(2)=1,…,<r(2k-1)=2k,a(2k)=2/c—l,k<p即rry,£Jti|<7(i)-i|="，等

号成立时只有一种排列；

(2)当n为奇数时，(*)不可以取到等号.

事实上，若对所有的i=1,2,…，n均有匕⑴-i\=1,则o(l)=2,a(2)=1(否则o(2)=3=tr(3)=4,于是

a(4)=5,---,tr(n)=n4-1,矛盾)，

类似地，有。(3)=4,。(4)=3,…-2)=几一l,o(n—1)=九一2,Wa(n)=nf矛盾.

因此至少有一个i满足|o(i)—i|N2=%加⑴-i|>n+l.

将1,2,…,n分成等组,其中一组为(k,k+l,k+2),其余组均为(k,A+1).

等号成立时对于(k,k+l,k+2)组，

有o(k)=k+l,a(k+1)=k+2«(k4-2)=k或者o(k)=k+2,a(k+1)=k,cy(k+2)=k+1；

对于(k,k+1)组,有o(k)=/c+l,aU+l)=k.

即min£Ti|o(i)-i|=n+1,等号成立时排列的数目为=x2=n-1.

8.(2022•新疆预赛)(1)若实数第,y,z满足/+y2+z?=1,证明：\x-y\+\y-z\+\z-x\<2V2；

⑵若2023个实数%,％2,…，工2023满足*+4+…+域023=匕

求比—X2\+\x2—x3\4---卜1^2022_^20231+忱2023一石|的最大值.

【详解】(1)由对称性,不妨设%>y>z,则忧-y\+\y-z\+\z-x\=x-y+y-z+x-z=2(x—z),

再由柯西不等式得(％-z)2<2(x2+z2)<2(x2+y2+z2)=2,

等号成立时x=y,y=0,z=-Y.所以1%—y|+|y-z|+|z-x|42V2.

(2)由好+xf+•••+X2023=1知勺可以取a，也可以取-a.而%i，%2,X2023中必有两数非异号，不妨设为%2C

x1>0.

则

%-X2\+|%2-X3\+•••+|X2022-%2D23l+1%2023一1

■山-X2\+|x2|+|x3|+-+|x2023I+kll

=/fl+1^11+M+2(|X3|+…+/20231)

=23+\x3\+…+忱2023—

由柯西不等式得

2

(%2+咫1+…+1^20231)W2022(腐+蜉+…+诏023)W2022(*+后+…+xf023)=2022,

等号成立时

可取与=0,X3=…=工2023=-^=>^2=…=孙022=岛发•

所以忱1-&I+1%2-向1+…+民022—％20231+1^2023一匕|的最大值为2,2022.

今全国联赛真题试题汇编「

一、解答题

1.(2023♦全国联赛A卷)设a=1+10-4.在2023x2023的方格表的每个小方格中填入区间［1,a］中的

一个实数.设第i行的总和为修，第i列的总和为力,1WiW2023.求辿迎的最大值(答案用含Q的式子

必*2…*2023

表示).

［详解】记几=2023,设方格表为(aQ,1<i,j<n,A=篝鬻.

第一步：改变某个密•的值仅改变看和“，设第i行中除密•外其余n-1个数的和为4第/列中除与外其余九-1

个数的和为8,则

“二B+%

x(A+atj

当时，关于陶递增，此时可将见了调整到a,/l值不减.当AW8时，关于递减，此时可将叼调整到L/1

值不减.因此，为求义的最大值，只需考虑每个小方格中的数均为1或a的情况.

第二步：设%e{1,0,1<i,j<n..只有有限多种可能，我们选取一组%使得又达到最大值，并且£匕，；=1匍

最小.此时我们有

0，阳>才，,*、

a

U=1,xf<力(

事实上，若勺>万，而勺=1,则将叼改为a后，行和及列和变为M，y/,则

y\yj+a-1yj

-x-[--X-i--+--a--—---1>--Xi-1

与2达到最大矛盾，故=u.

若々工力，而叼=Q,则将％改为1后，2不减，且变小，与他的选取矛盾.从而(*)成迂.

通过交换列，可不妨设yi工丫2工…4为，这样由(*)可知每一行中a排在1的左边，每一行中的数从左至右

单调不增.由此可知％>y2>…>%.因而只能％==…=%，故每一行中的数全都相等(全为1或全

为a).

第三步：由第二步可知求；I的最大值，可以假定每一行中的数全相等.设有々行全为a,有"-A行全为1,04

k<n.此时

_(ka+n-k)'_(ka+n-k)n

knknk

卜(na)n~na

我们只需求；lo"i，…，〃中的最大值.

((k+l)a+n-k-l)n

n

■+i=na"+i-=V-aT

Xk~(ka+--k-~a\k(a-1)4-n

nnak

因此

入k+i/a-1\n

-^■"=(1+r7-TV—>a

Ak\k(a—1)+nJ

xn-1

Q1+~~n.x.-x(①=Va)

k[xn-1)+n''

1+x+x2+…

o------------------->1

k(xn-1)+n

1+x+x2+—+/一1-n

okW---------------------

xn-1

1+(1+%)+…+(1+x+…+xn-2)

1+%+…+/T

n

记上式右边为y,则y=~瞿聋二1

下面证明ye(1010,1011).

首先证明yv1011.

y<1011<=>2022+2021%+…+x2021<1011+1011%+…+lOllx2022

<=>1011+1010%+…+x1010<%1012+2x1013+•••+lOlOx2021+lOllx2022.

由于1<%V%2<…v%2022,故

10101011

W(1011一k)”<j-1011•1O12%1010<j-1011-1012x1012<Wkx1011+k.

k=0k=0

再证明y>1010,等价于证明E期1(2022-征小>再10比鳍/.

由于

20212021

W(2022一外”>W(2022-k)=1011x2023,

k=0k=0

2022

10102k

x<1010x2023/。22v1010x2023a,

fc=0

只需证明1011x2023>1010x2023a,而。=1+10-4<吃，故结论成立.

由上面的推导可知4+i>儿当且仅当k<1010时成立，从而Anni最大.故

(1011a+1O12)2023

^max=^-1011=

20232023c1011

2.（2023•全国联赛B卷）是否存在2023个实数内,外，…，电023七（0,1]，使得

2023

W_一引一£.>1。6?

l£i</S2023k=l

证明你的结论.

【详解】记S=El<i</<20231%_ai\-Sfc=l3]

假设存在％,。2,…，。2。23e（0,1],使得S>106.

不妨设0<W。2工…工。2023W1，则将Eisivj$2023|七一Ojl去掉绝对值后，纵的系数为2A-2024,从而

2023/

5=2

(2/c-2024)a^--

a

k=l\k

当1WkW1011时，由基本不等式知

1

(2k-2024)%--=-[(2024-2k)ak+—j<-272024-2/c.

ak\ak)

当1012Wk42023时，由于加(x)=(2k-2024)%-3在(0,1]上单调增，故

(2k-2024)%-—<fk(X)=2k-2025.

ak

从而

10112023

SW-2・42024-2k+2(2k-2025)

k=lk=1012

1011

=1010x1012-W(V2024-2/C+而).

k=l

注意到42024-2攵+V2k>7(2024-2k)+2k=V2024>44,故

S<1010x1012-1011x44<106,

这意味者不存在知,。2,…，。2。23满足条件.

3.(2022•全国联赛A卷)设%,即，…，的00是非负整数，同时满足以下条件:

(1)存在正整数k工100,使得％Wa24…工以，而当i＞攵时修=。；

(2)。1+。2+。3+…+。100=100；

(3)。1+2a2+3a3+…+100aloo=2022.

求%+22a2+32a3+…+lOO?%。。的最小可能值.

【详解】解法1：当四=a7=…=a1ft=O,a10=19,a2n=40,a?i=41,a2?=a??=…=amo=0，k=21

时，符合题设三个条件，此时

100

2322

Viaf=19+20X40+21x41=40940.

i=l

下面证明这是最小可能值.

首先注意&N21.否则,若kW20,则£用皿•=£皂皿工£匕20田/2000,这与条件⑶矛盾.

根据条件(2)、(3),有

100100100100100

2

=8-20)2Q»+40三ia?-400W3=W(i-20)Q»+40880.

i=li=li=li=li=l

当。20W40时,

100100100

W(i-20)2%=Wa-20)24NWG=100-a20N60,

i=ii=l,i=l,

i*204*20

故

100

^i2at>40940

t=i

当出0241时，由kN21及条件(1)可知N41,故

100100100100

W好4=W(i-19)(i-20)田+39Zi七一380W%

1=11=11=11=1

100

=2(i-19)(i-20)/+40858

i=i

>(21-19)(21-20)以1+40858>40940.

综上，所求最小值为40940.

解法2：对于满足题目条件的非负整数%,。2,，Q100,可对应地取100个正整数石,为2,…，/00e[1,2,…,100},

其中恰有的个1,。2个2,……，％oo人100(条件⑵保证恰好是100个数).条件(1)、(3)分别转化为以下条件(A)、

(B)：

(A)存在正整数100,打,不,…，/。。中不含大于k的数，且1的个数，2的个数,……,k的个数依次(非严格

地)递增；

(B)工潮g=S?=?i=2022,即力,％2,…,％ioo的平均值为〃=20.22.

注意到羽字2Qj=£谓*故题目转化为：100个数孙孙…，卬)0€{1,2,…,100谶足条件(A)和(B),求

E型对的最小值.

当孙》2,…，/00取19个19,4()个20,41个21时，£谓考=40940.

卜而证明£泄时的值至少为40940.

由于

100100100100

=W(巧一〃)2-10°〃2+2〃=10。〃2+W(芍一〃)2,

；=17=1；=1)=1

故转化为考虑£谓(芍一〃)2的最小值.

由4=20.22知存在勺>21,也存在巧•W20.设勺,％2,…Hioo中有。个勺>21,b个专=20及c个芍W19.由

条件(A)可知a>b.

我们放宽条件(A)至条件(A>a>b.在条件(A>(B)下,证明最小值仍是在19个19,40个20,41个21

时取到.

由于满足(A)、(B)的巧，无2,…，/。。的取法只有有限种，选取平方和最小的一组巧,小，…，Xioo-

若CN19,注意到Q+b+c=100及aN匕，有

100

£（勺-〃）2

>0.782a+0.222/）+1.222c

/=1

°[100—ci>[100-ci

>0.782•---+0.222----+1.2272C

4I/1.

>0,782x414-0.222x40+1.222x19.

若CW18,贝lja+b282.此时有c>0,因为若c=0,则有的平均值不小于20.5,与条件(B)不符.

亦有b>0.否则，假如b=0,则由QN82及c>0知，可取一个为<20和一个勺>20,替换为苣+1和芍一1,

平均值不变，但3+1)2+(勺-I?<"+#，平方和变小，。至多减少1/至多增加2,条件(A)、(B)仍

满足，与s,不，…，％。。使得平方和最小矛盾.

又假如存在一个勺418,则由b>0知可取一个芍=20,将孙斗•替换为5+1和勺一1,类似可知平均值不

变，平方和减小,且b减少1,条件(A》(B)仍满足,与修,％2「“#100使得平方和最小矛盾•

所以c个学<19都等于19.但此时

100

2（勺—^）>0.78a—0.22b—1.22c

j=i

100-ci100-ci

>0.78•-0.22--1.22c

22

>0.78x41-0.22x41-1.22x18>0,

与条件(B)矛盾.

所以当且仅当卬均…，5。取19个19,40个20,41个21时,£揶(勺一取得最小值,相应地，万华？修=

当雪考取到最小值40940.

4.(2022•全国联赛A2卷)对于和为1的九个非负实数％,电，…，的，令

S=min{a1,a2)+2min{a2,+…+8min{a8,ag}4-9min{ag,aj,

T=maxSi，。2}+ZmaxSz，%}■*----1-8max{a8,a9}4-9max{ag,

这里，min{x,y}表示％y中的较小者，max{无,y}表示％y中的较大者.

记S的最大可能值为So.当5=$。时，求「的所有可能值.

【详解】注意到

7min(a7,a8}+8min{a8,a9)+9min(ag,dj)

<(6a7+a8)+(5a8+3a9)+(3a9+6%)

=6(%+a7+a8+a。①

且

min®,a2}+2min{a2,a3}+3min{a3,a4)+…+6min{a6,a7]

4Q2+2。2+3。3++6。6

W6(a2+。3+…+%)・②

由①、②相加，得

S<6(%+a?+…