计数原理全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练）解析版-2025-2026学年高二数学下学期（人教A版选择性必修第三册）

计数原理（12大重点题型必考60题）

1.（25-26高二下•全国•课堂例题）现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条

长裤配成一套，则不同的搭配法种数为（）

A.7B.12C.64D.81

【答案】B

【解题思路】根据分步乘法计数原理将问题分为两步，再将每一步的方法数相乘即可求得结果.

【解答过程】完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法：

第二步，选长裤有3种不同的选法.

所以根据分步乘法计数原理共有4x3=12（种）不同的搭配方法.

故选：B.

2.（25-26高二下•全国•课堂例题）用0,1,…，9这1（）个数字，可以组成有重夏数字的三位数的个数为

（）

A.243B.252C.261D.648

【答案】B

【解题思路】利用分步乘法计数原理即可求解.

【解答过程】0,1,2,…，9共能组成9x10x10=900个三位数,其中无重复数字的三位数有9x9x8=648

个，所以有重复数字的三位数有900—648=252个.

故选：B.

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3.（24-25高二下•青海西宁・期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科

学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近口透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在

•年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座

1（）张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（）

A.14B.19C.90D.200

【答案】B

【解题思路】由分类加法计数原理运算即可.

【解答过程】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为4+10+5=19.

故选:B.

4.（25-26高二下•全国•课后作业）如图，一条电路从A处到8处接通时，可构成线路的条数为.

【答案】6

【解题思路】利用分步乘法计数原理可求解.

【解答过程】从4处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；

第二步，后一个并联电路接通有3条线路.

由分步乘法计数原理知电路从/处到B处接通时，可构成线路的条数为2x3=6（条）.

故答案为：6.

5.（25-26高二下•全国•课后作业）将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数.

（1）可以排出多少个不同的三位数？

（2）各位数字互不相同的三位数有多少个？

（3）恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？

【答案】（1）216

（2）120

⑶90

【解题思路】（1）可先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解；

（2）根据题意，先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解；

（3）根据题意，可分为百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，且每种都有30个，进而得到

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答案.

【解答过程】（1）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位，

根据分步乘法计数原理知，可以排出6X6X6=216（个）不同的三位数.

（2）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位，

百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种，

根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有6x5x4=120（个）.

（3）解：两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同,

且每种都有6x5=30（个），故满足条件的三位数共有3x30=90（个）.

题型2

6.（24-25高二下•黑龙江大庆•期中）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花

坛，花坛分为5个区域.中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有4种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能

布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（）

A.84种B.72种C.64种D.56种

【答案】A

【解题思路】对五个区域进行编号，依次分析8、。、0、E的布置方案种数，结合分步乘法与分类加法计数

原理可得结果.

【解答过程】如下图所示：

8区域有4种选择，C区域有3种选择,

若区域8、。种同一种花，则D区域有1种选择，E区域有3种选择;

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若区域B、。种所种的花不同，则D区域有2种选择，E区域有2种选择.

由分步乘法和分类加法计数原理可知，不同的布置方案种数为4x3x（1x3+2x2）=84.

故选：A.

7.（24-25高二下•海南海口・期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有

公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（）

秀

英

龙

区

华

区

A.24B.48C.72D.120

【答案】C

【解题思路】先选择秀英区与龙华区，然后分别对琼山区，美兰区与秀英区是否同色进行讨论，然后计算

可得结果.

【解答过程】秀英区有4种选择，龙华区有3种选择，

当琼山区与秀英区同色，则美兰区有2种选择；

当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区同色，琼山区有2种选择；

当琼山区与秀英区不同色，美兰区与秀英区不同色，琼山区有2种选择，美兰区有1种选择；

所以不同的着色方法的种数为4X3x（2+2+2x1）=72.

故选:C.

8.（24-25高二下•天津•月考）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色,

相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（）

B.120种C.108种D.96种

【答案】A

【解题思路】利用分步计数原理，按照顺序去考虑涂色，注意区域1和区域3同色和不同色的问题即可.

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【解答过程】先涂区域1和区域2,有-4x3=12种涂色方法，

再涂区域3,这时有两类：

若区域1和区域3同色，则涂区域4和区域5有2X3=6种涂色方法，

若区域1和区域3不同色，则涂区域3,区域4和区域5有2x1x3=6种涂色方法,

所以不同的涂色种数有12x（6+6）=144种涂色方法.

故选:A.

9.（2026高二下•福建房门•专题练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验

证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则

不同的涂色方法共有种.

【解题思路】根据题意，分4步依次分析区域力、B、C、。、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案.

【解答过程】分4步进行分析:

①，对于区域R,有4种颜色可选:

②，对于区域C,与B区域相邻，有3种颜色可选；

③，对于区域4与C、B区域相邻，有2种颜色可选；

@，对于区域。、E,若。与B颜色相同，E区域有2种颜色可选,

若。与8颜色不相同，。区域有1种颜色可选，E区域有1种颜色可选,

则区域。、£有2+1x1=3种选择，

则不同的涂色方案有4x3x2x3=72种.

故答案为：72.

10.（24-25高二下•安徽•月考）给如图所示的五个区域涂色，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所

涂颜色不同.

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D

（1）最少需要几种颜色才可以完成涂色任务？

（2）现有四种颜色可供选择，求有多少种不同的涂色方法.

【答案】（1）3种

⑵72

【解题思路】根据排列组合涂色问题解题方法，先分类再分步完成涂色即可.

【解答过程】（1）由题意得力,B,E三个区域的颜色互不相同，则需要三种颜色，。可以与8的颜色相同,

C可以与A的颜色相同，所以最少需要3种颜色才可以完成涂色任务.

（2）分两种情况:

情况一：A,C不同色，先涂4有4种，C有3种，£有2种，B,。各有1种，有4x3x2=24种涂法；

情况二：A,C同色，先涂4C有4种，E有3种，B,。各有2种，有4x3x2x2=48种涂法.

所以共有24+48=72种不同的涂色方法.

题型3\排列数、组合数的计算

11.（24-25高二下•广东江门・期末）计算a+2Ag的值是（）

A.41B.61C.62D.82

【答案】B

【解题思路】利用排列数和组合数公式计算即可.

【解答过程】会=合=21,

22

=5!--4X5-2O=2X=

55

3!2A2040

因此总+2Ag=21+40=61.

故选:B.

12.（24-25高二下•江苏淮安・期末）下列选项正确的是（）

A.AS=5AiB.A1+A；=A2

C5D332

CI31388C7

【答案】D

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【解题思路】根据排列数计算公式判断AB,根据组合数计算公式判断CD.

【解答过程】对于A,因为A§=9x8x7x6x5=15120,5A^=5x8x7x6x5=8400,所以H5

At错误;

对于B,因为A，+A2=24+24=48屋=120,所以Aj+A：于A〉错误；

13x12x11x10x9x8x713xl2xllxlDx9

因为C；3=

对干C,7x6x5x4x3x2xl=1716,Cj3=5x4x3x2xl=1287,

所以C：34。3,错误;

对于D,因为3C§=3x娥168,8C”8x岩二168,所以3腐=8%正确.

故选:D.

13.（24-25高二下•河南郑州•期末）若C耦+6=C得-2,则A：+髭+2=（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【解题思路】根据组合数的性质列方程，解方程即可得九，再根据排列数与组合数的公式直接可得解.

【解答过程】由组合数的性质可得左能，解得nW4,

又C得+6=C揶2,所以3n+6=4n—2或3n+6+4n-2=18.

解得九=8（舍去）或九=2,

故麓+鬣+2=Al+C1=2+6=8.

故选:C.

14.（25-26高二下•全国•课后作业）a+C器°C；=.

【答案】5006

【解题思路】直接根据组合数公式及组合数的性质计算可得.

【解答过程】因为C?+C器oG=喘+Cfoox1=卷+嗤%=56+4950=5006.

故答案为：5006.

15.（24-25高二下•江苏无锡・月考）（1）求值：怒寮；

（2）解方程：C含,=6打5；

（3）解不等式：3A?<2A?+1+6A?.

【答案】（1）五；（2）%=1或工=3；（3）xe[3,4,5）

【解题思路】（1）直接利用排列数公式计算即可；

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（2）根据组合数的性质可得出关于4的方程，解出工的值，再结合题意检验即可；

（3）根据排列数公式可得出关于x的不等式，结合题意得出乃之3且％EN*,即可得出工的取值.

5Ag+A；_6A3_6x9x8x7x6_3

【解答过程】（1）原式=5A%-A；b-4A；o-4x10x9x8x7x6-20；

(2)由=C差一s可得%2—x=5%—5或d—x+5x-5=16,

解方程/—x=5x—5,即6犬+5=0,解得X=1或T=5,

解方程%+5x—5=16,即X?+4x—21=0,解得％=3或%=—7,

又因为5》-5均为整数,且｛曙葭二建工

所以x=1或％=3符合要求，％=5和%=—7均不符合要求.

故x=1或％=3：

(3)由3A?&2AAi+6A叁可得3%(%-1)(%-2)<2x(%+1)+6x(%-1),

由题意可知工工3且x€N)整理可得3(%—1)(%—2)W8%—4,BP3x2-17%+10<0,

解得彳4%W5,又因为xN3且％6N*,所以xw{3,4,5}.

题型4元素（位置）有限制的排列问题

16.（24-25高二下•内蒙古•期末）已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁

之间，则不同站法有（）

A.20B.30C.36D.48

【答案】A

【解题思路】由题意甲、乙站在丙、丁之间，先排丙、丁，再将甲、乙排在丙、丁之间，再排戊以及分步

乘法计算原理即可得出.

【解答过程】由题意先将丙、丁排列有A^=2种站法，

再将甲、乙排在丙、丁之间有A?=2种站法，

最后在排好的4人所形成的5个空挡中选一个站戊，

有5种站法,

根据分步乘法计数原理，

得共有A孤纹5=20种不同的站法.

故选:A.

17.（25-26高二下•全国•课后作叱）用1,2,3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个

数为（）

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A.324B.224C.360D.648

【答案】B

【解题思路】根据分步计数原理，先排个位，有种，然后排十位和百位，有A白种，即可得解.

【解答过程】先排个位，有A；种，然后排十位和百位，有Ag种，

故共有A；A%=224（个）没有重复数字的三位偶数.

故选：B.

18.（24-25高二下•海南三亚♦月考）某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去人B、C三所

不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家.已知甲、乙到同一所学校，为不到A学校,

则不同的安排方式有多少种（）

A.12种B.24种C.36种D.30种

【答案】B

【解题思路】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解.

【解答过程】因为甲、乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素，

因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素，

若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有Gx《xA；=18种分配方法；

若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素，

则有第xA^=6种分配方法；

所以不同的安排方式有18+6=24种；

故选:B.

19.（2026高二下•全国•专题练习）从5名女老师和3名男老师中选出一位主考和两位监考参加2025年高

考某考场的监考工作.要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考

场后方监考，则不同的安排方案种数为.

【答案】210

【解题思路】根据题意，分为选三个女教师，选两个女教师，一个男教师和选一个女教师，两个男教师，

三类情况讨论，结合排列数和组合数公式，以及分类计数原理，进行计算，即可求解

【解答过程】根据题意，可分为三类：

①选三个女教师，全排列即可，不同的安排方案有Ag=60（种）：

②近两个女教师，一个男教师，其中男教师只能担任主考或后方监考，两名女教师安排在剩余的两个位置,

不同的安排方案有CbG,Ag=120（种）

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③选一个女教师，两个男教师，其中女教师必须担任流动监考，两名男教师安排在主考和后方监考两个位

置,不同的安排方案有案•A专=30（种）.

由分类计数原理得，不同的安排方案种数为60+120+30=210.

故答案为:210.

20.（25・26高二下•山西忻州•月考）用0,1,2,3,4,5这六个数字：

（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

（3）能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？

【答案】（1）156

（2）216

⑶270

【解题思路】（1）由题意符合要求的四位偶数可分为二类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别

计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数：

（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它

们的和；

（3）由题意，符合要求的比1325大的四位数可分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1,第

二位比三大的数，第三类是前两位是13,第三位比2大的数，分类计数再求和.

【解答过程】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：

第一类：0在个位时有Ag个；

第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定I个（有A；种），十位和百位从余下的数字中选（有A：

种），于是有个；

第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A卜A?个.

由分类加法计数原理知，共有四位偶数：Ag+AbA/+APAZ=156个；

（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有Ag个；

个位数上的数字是5的五位数有A}A；个，

故满足条件的五位数的个数共有星+A9A1=216个；

（3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：

第一类：形如2口口口，3口口口，4口□口，5口□口，共个；

第二类：形如14口口，15口口，共有A：个；

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第三类：形如134口，135口，共有个；

由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：A>Ag+AbA/+AbA」=27（H、.

题型5相邻、不相邻排列问题O

21.（24・25高二下•江苏连云港•月考）灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员4、B、C、0、E、

产和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和川司学站在两端，8、C相邻，B、D不相邻的排

法种数为（）

A.56B.72C.36D.48

【答案】B

【解题思路】根据题意，分2步进行分析：①指导老师和力站在两端，全排列即可；②中间5人分2种情

况讨论：8C相邻且与0相邻、8C相邻且不与D相邻，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空，最后再由分步

乘法计数原理计算可得答案.

【解答过程】根据题意，分2步进行分析：

①指导老师和力站在两端，有A名=2种情况，

②中间5人分2种情况讨论：

若BC相邻且与。相邻，有=12种安排方法，

若BC相邻且不与。相邻，有A必必专=24种安排方法，

则中间5人有12+24=36安排方法，则有2x36=72种不同的安排方法.

故选:B.

22.（24-25高二下•贵州遵义・月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春、雨水”“惊蛰皿春

分，、，清明，“，谷雨，，六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”

和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（）

A.24B.48C.144D.240

【答案】C

【解题思路】利用捆绑法和插空法，结合排列知识进行求解.

【解答过程】将“立春”和“春分”两块展板捆绑成一个整体，有A：种放置方法,

捆绑后的“立春”和“春分”整体与“雨水”，“谷雨”进行全排列，共有A烹种方法，

再将“清明”和“惊蛰”进行插空，4个空选择2个，共有储种方法，

综上，共有A必弘：=144种放置方式.

故选：C.

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23.（24-25高二下•重庆长寿期末）甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻,

则不同的安排方法有（）

A.24种B.16种C.12种D.4种

【答案】D

【解题思路】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解.

【解答过程】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有A；种排列方法，

丙、丁共有心排列有种方法，

所以总的不同的安排方法有AZXA1=4种.

故选:D.

24.（24-25高二下•云南曲靖•期末）某次志愿者活动需分配4名大学生（/、B、C、D）和2名老师（甲、乙）

排成一列合影.要求大学生4与8必须相邻，两名老师不能相邻，则满足条件的排列方式共有种.

【答案】144

【解题思路】先对人B进行捆绑，再与。、。全排，最后用插空法求解即可.

【解答过程】由题知,先把学生4与8进去捆绑有A2种,再与C、。进行全排,有Ag种,

最后把2名老师插入4个空中，有A：种，所以共有A必弘:=144.

故答案为：144.

25.（24-25高二下•陕西榆林・月考）某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出

一个演讲次序.（结果用数字作答）

（1）若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？

（2）若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？

（3）若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？

【答案】（1）576种

（2）1440#

⑶3720种

【解题思路】（1）利用“元素相知捆绑法”求排法种数.

（2）利用“元素不相邻插空法”求排法种数.

（3）方法一：利用“特殊元素（位置）优先法”求排法种数：方法二：利用“间接法”求排法种数.

【解答过程】（1）若4名男生相邻，有Af=24种情况，

将4名男生看为一个整体，和3名女生进行排列，有A2=24种情况.

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所以共有24x24=576种不同的排法.

（2）若3名女生不相邻，先安排4名男生，有Af=24种情况，

再将3名女生插入到4名男生形成的5个空中，有Ag=60种，

所以共有24x60=1440种情况.

（3）方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有负=720种排法；

男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的5个位置任选1个，有鹏=5种，

而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的5个中任选1个，有Ag=5种，

其他人全排列，只有猫=120种不同排法，

共有5x5x120=3000种排法.

综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有720+3000=3720种不同的排法.

方法二：7名学生全排列，有A；=5040种排法，

其中男生甲排中间，有Ag=720种排法,

女生乙排第一名，有A?=720种排法，

其中都包含了男生甲排中间且女生乙排第一名的情形，有Ag=120ft,

所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有5040—2x720+120=3720种不同的排法.

题型6

26.（24-25高二下•江苏南京•期中）由0,1,2,3,4,5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为

（）

A.144B.168C.156D.192

【答案】C

【解题思路】分个位上的数字为0和个位上的数字为2或4两种情况求解，然后利用分类加法原理可求得

结果.

【解答过程】若个位上的数字为0,可以组成Ag=60个无重复数字的4位数的偶数，

若个位上的数字为2或4,可以组成G以A,=96个无重复数字的4位数的偶数，

故可以组成60+96=156个符合条件的数.

故选：C.

27.（25-26高二卜.•全国•单元测试）圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝

角三角形的个数是（）

A.16B.24C.32D.48

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【答案】C

【解题思路】分析圆周上8个等分点可构成4条直径，由此得到所对应的直角三角形个数，用可以构成的

总三角形个数减去直角三角形个数，可得锐角三角形或钝角三角形的个数.

【解答过程】圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角.

又每条直径对应着6个直角三角形，所以共有戏屐=24（个）直角三角形，

因为这8个等分点为顶点的二角形共有总=强照=56（个），

所以锐角三角形或钝角三角形的个数为56—24=32（个）.

故选：C.

28.（25-26高二上・甘肃白银・期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名

教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有

（）

A.110种B.100种C.90种D.80种

【答案】B

【解题思路】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即匕求解.

【解答过程】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣I或2或3人，派遣方案有C*以+第+第）=70种；

若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有熊鬣=30种；

所以满足条件的不同的派遣方案有70+30=100种.

故选：B.

29.（24-25高二下•广东深圳•期末）将分别写有2,0,2,6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四

位数（首位不为0）,则组成的不同四位数的个数有.（用数字作答）

【答案】9

【解题思路】根据给定条件，利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理列式计算.

【解答过程】依题意，排数字0有最种方法；排数字2有髭种方法；排数字6有1种方法，

所以组成的不同四位数的个数是0四二9.

故答案为：9.

3（）.（24-25高二下•山西•期末）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学

竞赛，每名学生限报一科竞赛.

（1）若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？

（2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？

第14页共30页

（3）若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？

【答案】（1）90

⑵30

（3）540

【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算.

（2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算.

（3）将学生人数按1:2:3,1:1:4,2:2:2分组，财利用排列组合综合问题列式计算.

【解答过程】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有鬣鬣第二90种.

（2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有《A名=30种.

（3）由题可得报名人数的分配方案可以是1,2,3或1,1,4或2,2,2.

若三科竞赛的报名人数为1,2,3,则报名方法有程髭哆好=360种；

若三科竞赛的报名人数为1,1，4,则报名方法有《A号=90种；

若三科竞赛的报名人数为2,2,2,则报名方法有服鬣&=90种.

所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有360+90+90=540种.

31.（25-26高三上•四川眉山・期末）苏轼，字子瞻，号东坡居二，启州眉山（今四川省眉山市）人，北宋

文学家、书法家、画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集合部奖励给3名同学，每人至少分得一本，

则共有（）种分配方案

A.90B.120C.360D.540

【答案】D

【解题思路】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算.

【解答过程】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况：

情况一；按1,1,4分组;则有噌=15种;

情况二：按1,2,3分组：则有二熊=60种;

情况三：按2,2,2分组：则有笔券=15种；

所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有（15+60+15）Ai=90x6=540种分配方案，

故选：D.

32.（24-25高二下•福建福州•期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家

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至少评审I篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（）

A.60种B.90种C.120种D.150种

【答案】D

【解题思路】先将论文分成3组，再分配给专家.

【解答过程】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：3,1,1和2,2,1

若5篇论文分成3,1,1三份.总共有髭=10种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计理xA?=60

种方法；

若5篇论文分成2,2,1三份.总共有学=15种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计15xA1=90

种方法.

因此总计150种分配方式.

故选：D.

33.（24-25高二下,江苏南通•月考）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对

本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕

业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训I，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名

师范生，则不同的跟岗分配方案共有（）

A.90种B.150种C.300种D.360种

【答案】B

【解题思路】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解.

【解答过程】若3所学校分配1名师范生的人数为3:1:1时，先取3人看成一个整体，再进行排列，

所以不同的跟岗分配方案有CgA1=60种；

若3所学校分配1名师范生的人数为2:2:1时，注意到有2个学校均分配2名师范生，

所以不同的跟岗分配方案有堡浮=90种；

综上所述：不同的跟岗分配方案共有60+90=150种.

故选：B.

34.（24-25高二下•河北秦皇岛•期中）某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育

基地进行“学党史，颂党恩，跟党走的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名

成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有种.

【答案】114

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【解题思路】正难则反，采用间接法，先求每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往的方法

种数，再求在此条件下，甲，乙两名成员前往同一基地的方法种数，两数相减即可得解.

【解答过程】若每名成员只去i个基地，每个基地至少有一名成员前往，

则分组方式为1,1,3；1,2,2；

此时不同的分配方案共有Qc；《+廓洛)•蛋=50x3150种；

若甲，乙两名成员前往同一基地，考虑到甲乙特殊，

若三组人数为3,1,1,则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有=18；

若三组人数为2,2,1,则甲乙为一组，不同的分配方案有髭A§=18,所以共计36种，

故所求为150-36=114种.

故答案为：114.

35.(25・26高二下•全国•单元测试)把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售

票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况.

(1)有几种不同的分配方法？

(2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？

(3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？

【答案】(1)2520

(2)576

(3)216

【解题思路】(1)按照分步乘法计数原理，依次给每辆车分配售票员即可；

(2)按照分步乘法计数原理，分两步完成分配.先分配男售票员，共有A2种不同方法；再分配女售票员，也

有属种方法，相乘可得答案；

(3)第一步将男售票员和女售票员分别平均分组，各有:=3种不同分法，所以共有9种分组方法，第二步

分配到车，每一种分法都有A?种上车方法，相乘可得答案.

【解答过程】(1)男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成，

先安排2人上第一辆车，共有髭种，

再安排第二辆车共有熊种，

再安排第三辆车共有第种，

最后安排第四辆车共有鬣种，

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这样不同的分配方法有鬣•鬣•鬣•最=2520（种）.

（2）要求男女各I人，因此先把男售票员安排上车，共有A：种不同方法；

再把女售票员安排上车，也有Af种方法.

由分步乘法计数原理，男女各1大的不同分配方法为A}A才=576（种）.

（3）男女分别分组，4位男售票员平均分成两组，共有§=3种不同分法，

4位女生票员平均分成两组，也有亨=3种不同分法，

这样分组方法就有3x3=9（种）.

对于其中每一种分法又有A；种上车方法，因而不同的分配方法有9逆彳=216（种）.

排列与组合的综合应用

36.（24-25高二下•四川成都•月考）2024年世界园艺博览会在成都举行，展会期间需要志愿者开展服务活

动，其中有5名志愿者全部被安排到3家参展商开展服务活动，每家参展商至少有1名志愿者，则5名志

愿者不同的安排方法有（）

A.150种B.250种C.300种D.540种

【答案】A

【解题思路】先将5名志愿者分成3组，一是1,1,3,二是1,2,2,再分配到3家参展商即可.

【解答过程】先将5名志愿者分成3组，再分配到3家参展商，

故不同的安排方式共有3M+笔1♦Ag=150种.

A2

故选：A.

37.（24-25高二下•山东临沂•月考）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2

人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）

A.CgA专B.C^AtC.CgA|D.C%A看

【答案】D

【解题思路】第一步可先从后排8人中选2人共有髭种，第二步可认为前排放6个座位，选出2个座位让后排

的2人坐，由于其他人的顺序不变，求出共有A看种坐法，最后利用分步乘法原理即可.

【解答过程】解：第一步可先从后排8人中选2人共有篇种；

第二步可认为前排放6个座位，选出2个座位让后排的2人坐，

由「•其他人的顺序不变，所以有隹种坐法；

综上知不同调整方法的种数为CgA^

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故选:D.

38.(24-25高二上•辽宁•期末)某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游.

已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中

男生甲与女生4不去同一处景点游玩，女生8与女生。去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为

()

A.564B.484C.386D.640

【答案】A

【解题思路】先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即可得解.

【解答过程】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.

第一种情况分成2人，2人，4人：女生8,C去同一处景点，当86成2人组时，

其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生A不同组，有C；A9=8种方法；

当B,C在4人组时，有五浮+=36种方法.

第二种情况分成2人，3人，3人：当民。成2人组时，有鬣=6种方法；

当B,C在3人组时，有©髭+=44种方法.

故这8名同学游玩行程的方法数为(8+36+6+44)xA；564.

故选：A.

39.(24-25高二下•江苏徐州•期中)在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成力，B,C,。四个区

域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不

同，则不同的种植方法有种.

【答案】260

【解题思路】根据题意可分若力和C相同，〃和D相同时，若种三种花，若种四种花，三种情况讨论即可.

【解答过程】解：现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域,只种一种花且相

邻区域的花不同，

则四个区域最少两种花，最多4种花.所以分三类：

若,4和。相同，〃和。相同时，有Ag=20种方法；

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若种三种花，分力和。相同与不同两种情况，此时有C式禺Ag+A9=120种:

若种四种花，则有Ag=120种,

则不同的种植方法有20+120+120=260种.

故答案为：260.

40.（24-25高二下•安徽芜湖•期中）从A、B、C等8人中选出5人排成一排.

（1/必须在内，有多少种排法？

（2）4.8、C都在内，且A在B前，C在B后,有多少种排法？

（3）4不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法?

【答案】（1）4200

（2）200

（3）4440

【解题思路】（1）先在剩余7人中选出4,再将这4人与“进行全排列:

（2）先在剩余5人中选出2,再根据部分定序问题排列方式进行排列:

（3）根据特殊元素与特殊位置分情况讨论.

【解答过程】（1）先从余下的7人中选4人共有笛=35种不同结果，

再将这4人与力进行全排列有Ag=120种不同的排法，

故由乘法原理可知共有G・A1=4200种不同排法：

（2）因4B,C都在内，所以只需从余下5人中选2人有髭=10种不同结果,

A,B,C相对顺序确定，共有赞=200种不同排法；

（3）分四类：第一类：所选的5人无人B,共有A宠=720种排法；

第二类：所选的5人有人无B,共有篇=1080种排法;

第三类：所选的5人无4、有B,共有第=1440种排法；

第四类：所选的5人有力、B,若力排中间时，有YAA=480种排法，

若＜不排中间时，有cVGGAg=720种排法，

共有4804-720=1200种排法;

综上，共有720+1080+1440+1200=4440种不同排法.

题型9求二项展开式的特定项（系数）

41.（24-25高二下♦安徽•月考）在能一堂）5的展开式中，常数项为（）

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A.-40B.40C.—80D.8()

【答案】B

【解题思路】由通项公式即可求解.

【解答过程】通项公式7「+1=禺（正）5T（——r=CK—2）W（5f）T

令g（5-r）-%=0,得r=2,

所以在佛——5的展开式中，常数项为釐x（-2）2=40.

故选:B.

42.（24-25高二下•天津西青•期中）在（2%—2）”的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式

中的常数项为（）

A.-60B.-20C.20D.60

【答案】D

【解题思路】利用二项式系数的最大性求出”进而求出展开式常数项.

【解答过程】在（2无一专）”的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，贝%=6,

因此（2%一套」展开式中的常数项为或2%）2（「=22第=60.

故选：D.

43.（2026高二下•全国•专题练习）已知二项式（x+4）”的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含

/项的系数是（）

A.1B.|C.D.1

【答案】C

【解题思路】根据题意，利用二项式系数的性质，求得九=5,得到展开式的通项，结合展开式的通项，确

定r的值，代入即可求解.

【解答过程】由二项式（%+击））勺展开式的二项式系数之和为32,可得2n=32,解得九二5,

又由二项展开式的通项为Tr+l=禺-%5-r.GJr=看eg•%5-3r,

令5—3r=2,可得r=l,所以含/项的系数为:.以二*

故选:C.

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44.（24-25高二下•云南曲靖•期末）二项式（2+。6展开式中的第3项为.

【答案】■

【解题思路】由二项式展开式通项可得答案.

【解答过程】二项式G+J展开式的第〃+1项为：77+1=虱9"7

则©十J展开式中的第3项为：虱专）＞2二*

故答案为：,

45.（25-26高二下•湖南邵阳•月考）已知二项式（卷一2%）”的展开式中各项的二项式系数之和为128.

（1）求展开式中含%项的系数；

（2）求展开式的第六项.

【答案】（1）-280

⑵-672/

【解题思路】（1）由二项式性质得二项式系数之和是2,即可得答案.