2026年高考数学一轮复习讲义复数（知识点+试题+7大考点）

第05讲复数

目录

第一部分：基础知识........................................................................1

第二部分：高考真题回顾....................................................................3

第三部分：高频考点一遍过..................................................................3

高频考点一：复数的概念................................................................3

高频考点二：复数的几何意义............................................................3

高频考点三；复数分类..................................................................4

高频考点四：复数模....................................................................4

高频考点五：待定系数求复数Z=4+5

高频考点六：复数的四则运算............................................................5

高频考点七：共枕复数..................................................................6

第一部分：基础知识

1、复数的概念

我们把形如a+bi,a,beR的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1.全体复数所构成的集合

C={a+bi\a,beR}叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母z表示，即z=。£R,其中的。与人分别叫做复数工的实部与虚

部.

2、复数相等

在复数集C={a+〃la"eR}中任取两个数。+初，c+di,（a,b,c,deR）,我们规定

3、复数的分类

对于复数〃十万（。,力£”），当且仅当〃=0时，它是实数；当且仅当a=〃=0时，它是

实数0；当人。。时，它叫做虚数；当〃=（）且/?¥（）时，它叫做纯虚数.这样，复数

z=a+〃i（a,6eR）可以分类如下：

实数(Z?=O)

复数纯虚数（。=0）

虚数（〃¥0）«

非纯虚数（4=0）

4、复数的几何意义

(1)复数的几何意义——与点对应

复数的几何意义1：复数z=4+意，一-对应,复平面内的点Z(d份

(2)复数的几何意义——与向量对应

复数的几何意义2：复数z=a+bi(a,bwR)，一一对应，平面向量0Z=(〃/)

5、复数的模

向量0Z的模叫做复数z=a+4•〃力£/?)的模，记为|z|或|。+勿|

公式：\z\=\a+bi\=y/a2+b2，其中

复数模的几何意义：复数z=。+历在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离；

特别的，匕=0时，复数z=〃+为是一个实数，它的模就等于I。1(。的绝对值).

6、共扼复数

(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共枕复数；虚部不等于0的两

个共枕复数也叫共枕虚数.

(2)表示方法

表示方法：复数z的共甄复数用？表示，即如果z=〃+初，则；=〃-初.

7、复数代数形式的加法(减法)运算

(1)复数的加法法则

设4=。+方，z2=c+dif(a,4c,c/eR)是任意两个复数，那么它们的和：

z,+z2—(a+bi)+(c+di)—(〃+c)+(c+d)i

显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数

(2)复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：

(。+山)+(x+M)=。+4的复数x+yi叫做复数。+6减去复数c+M的差，记作(a+bi)一(c+di)

实部加减为实部

I1I

(〃+历)-(c+4)=(ci-c)+(b-c/)i

IIf

虚邮杷成为通邮

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

第二部分：高考真题回顾

1.（2024•全国甲卷•高考真题）设z=&i，则z々=（）

A.-2B.&C,-41D.2

2.（2024•新课标口卷高考真题）己知z=-l-i,则|z|=（）

A.0B.1C.72D.2

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：复数的概念

典型例题

例题1.（2025高三•全国•专题练习）设复数z在复平面内对应的点为则3的虚部为（）

z

A.-3B.-IC.1D.3

例2.（2025•河北秦皇岛•三模）下列关于复数的说法，正确的是（）

A.复数i的任何偶数次事都不小于零

B.若实数贝ljz=〃一〃+（a+b）i是纯虚数

C.在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数

D.若复数Z1,Z二满足.>Z2，则Z],Z2均为实数

精练高频考点

1.（2025•陕西・模拟预测）复数2=（1+方）（1+1）的虚部是（）

A.-1B.1C.-3D.3

2.（24-25高一下•贵州六盘水•阶段练习）下列关于复数x+i（xtR）的说法一定正确的是（）

A.存在x使得x+i小于0B.存在x使得（x4i）2o*=l

C.不是实数D.实部和虚部均为1

高频考点二：复数的几何意义

典型例题

例L（2025•湖北•模拟预测）已知复数二满足i23z+2=i-zG是虚数单位），复数z在复平面内对应的

点位于（）

A.第一象限B.笫二象限C.第三象限D.笫四象限

例2.（2025•湖北•模拟预测）在复平面内，J对应的点位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

精练高频考点

;2025

1.（24-25高三下•河北沧州•阶段练习）在复平面内，复数z=」（i为虚数单位）对应的点位于（）

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（2025•山东聊城•二模）复数二满足三二i,其中i为虚数单位，贝也对应的点在复平面的（）

3+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

高频考点三：复数分类

典型例题

例1.（2025•吉林•模拟预测）已知复数？=〃/-l+Q〃+l）i为纯虚数，则实数，”的值为（）

A.-1B.1C.-1或1D.2

例2.（2025•云南曲靖•二模）已知复数z=（a+2）+（/_。-6）i{a€R）,若z>0,则实数。的值为（）

A.1B.2C.3D.6

例3.（2025•陕西西安•模拟预测）已知复数z=3-0+（/—6〃+8）i（aeR）为正实数，贝.

精练高频考点

1.（2025,江西鹰潭•二模）复数z=a+2i（aeR）,若（2+i”为纯虚数，则〃=（）

A.4B.-4C.1D.-1

2.（2025•云南昆明•模拟预测）己知复数z与（z-lY+2i都是纯虚数，贝l」z=.

3.（2025•山西临汾•三模）已知"iwR,复数z="-5〃?+6）+（m2-3〃?）i为纯虚数，贝卜〃=.

高频考点四：复数模

典型例题

例1.（2025•江西新余•模拟预测）已知复数z满足Iz|=l,则|2-3-2”的最小值为（）

A.y/5-lB.6+1C.y/13-lD.Vn+1

例2.（2025•安徽•三模）已知复数Z满足|z7|=|z-2],则上|（）

33

A.有最小值2B.有最大值2C.有最小值持D.有最大值;

例3.（2025•上海浦东新•三模）已知复数z满足z+5+|z|=0,则|z-l-2i|（i是虚数单位）的最小值

为1

精练高频考点

1.（2025•广东•模拟预测）若复数z满足Iz+i|+|z-i|=2,那么|z-l|的最大值是（）

A.1B.72C.2D.6

2.（24-25高三下•广东•阶段练习）已知i为虚数单位，且2，=已拉-i|,贝1卜=（）

A.21og23B.Iog32C.21og,2D.log,3

3.（2025•河南・三模）若复数z满足z・N=l,则|z-2i|的取值范围为（）.

A.B.[1,6]C.[1,2]D.[1,3]

高频考点五：待定系数求复数z=a+bi

典型例题

例1.（多选）（2025•山东青岛•一模）下列计算结果与z。相等的是（）

A.\z2\B.9c.|z|2D.~z

例2.（2025•江西南昌•模拟预测）已知复数z满足/2=2+2/，则z的虚部为.

精练高频考点

1.（2025•山东•二模）已知z+W=4,z-z=2i,则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（2025•广东揭阳•三模）若复数二满足±=二，则z-1=（）

Z+1z-ZL

A.；B.3C.1D.在

232

高频考点六：复数的四则运算

典型例题

例L（2025•重庆•模拟预测）若复数z使得三|为纯虚数，则z|=（）.

z-21

A.y/2B.2C.2V2D.4

例2.（2025•天津红桥•二模）若i为虚数单位，且千二：=则实数。=__________________.

1+1

精练高频考点

1.（2025•河南•模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与二对应的点关于实轴对称，贝”=（）

2+1

31.n31.

A.-+-iB.iC.—+—iD.---------1

55555555

2.（2025•河北•模拟预测）已知复数Z=则|z|=()

V3-i

A.—B.；C.1D.73

32

高频考点七：共朝复数

典型例题

例1.（24-25高三下•山东•阶段练习）已知复数z满足（4-3i）z=i（i为虚数单位），则2的虚部为（）

例2.（2025•上海长宁•二模）复数4=2-3i,马=1一方，则.

精练高频考点

1.（2025•广西南宁•模拟预测）已知i为虚数单位，复数z+|z|=（-8i+4）i,复数z的共枕复数为5,则5的

虚部为（）

A.TB.3C.-4iD.3i

o

2.（2025•河南南阳•模拟预测）已知2=三-产=则彳=（）

A.l+2iB.l-2iC.iD.1

第05讲复数

目录

第一部分：基础知识........................................................................1

第二部分：高考真题回顾....................................................................3

第三部分：高频考点一遍过..................................................................3

高频考点一：复数的概念................................................................3

高频考点二；复数的几何意义............................................................3

高频考点三：复数分类..................................................................4

高频考点四：复数模....................................................................4

高频考点五：待定系数求复数2=。+6....................................................................................................5

高频考点六：复数的四则运算............................................................5

高频考点七：共枕复数..................................................................6

第一部分：基础知识

1、复数的概念

我们把形如a+bi^beR的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足/=一］.全体复数所构成的集合

C={a+bi\a,beR）叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母Z表示，即z=。十"。”wA,其中的。与。分别叫做复数z的实部与虚

部.

2、复数相等

在复数集。={。十万中任取两个数。+初，c+di,（a,b,c,dsR）,我们规定

a-c

a+bi=c+di。＜

b=d

3、复数的分类

对于复数a+瓦（。涉£宠），当且仅当人=0时，它是实数；当且仅当。=〃=0时，它是

实数0；当人工（）时，它叫做虚数；当。=0且bw（）时，它叫做纯虚数.这样，复数

z=〃+历可以分类如下:

实数（8=0）

复数4纯虚数（4=0）

虚数（/?工0）・

非纯虚数（〃工（））

4、复数的几何意义

(1)复数的几何意义一一与点对应

复数的几何意义1：复数z=a+意，一-对应,复平面内的点Z(4打

(2)复数的几何意义——与向量对应

复数的几何意义2：复数z=〃+意/eR),一一对应，平面向量OZ=S，〃)

5、复数的模

向量0Z的模叫做复数z=。+初的模，记为|z|或|〃4■力|

公式：\z\=\a+bi\=yla2+b2，其中

复数模的几何意义：复数z=〃+加•在复平面上对应的点Z(«份到原点的距离；

特别的，人=0时，复数z=〃+方是一个实数，它的模就等于I。1(。的绝对值).

6、共挽复数

(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共枕复数；虚部不等于0的两

个共枕复数也叫共枕虚数.

(2)表示方法

表示方法：复数Z的共匏复数用Z表示，即如果z=〃+/*则==4-历.

7、复数代数形式的加法(减法)运算

(1)复数的加法法则

设71=〃+〃i,z,=c+d\t(a,是任意两个复数，那么它们的和：

Z1+z2=(a+/?i)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i

显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数

(2)复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：

(c+di)+(x+)吗=。+4的复数X+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差,记作3+bi)-(c+di)

实郊加发为实却

I1I

(〃+历)-(c+力)=(ci-c)+(b-c/)i

IIt

虚邮杷成为虚部

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

第二部分：高考真题回顾

1.(2024•全国甲卷•高考真题)设z=&i，则z々=()

A.-2B.&C,-41D.2

【答案】D

【知识点】复数代数形式的乘法运算、共枕复数的概念及计算

【分析】先根据共根复数的定义写出，，然后根据复数的乘法〃算.

【详解】依题意得，z=—V2i»故zz=-2/=2.

故选：D

2.(2024•新课标口卷•高考真题)已知z=-l-i,则|z|=()

A.0B.1C.72D.2

【答案】C

【知识点】求复数的模

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若z=—i—i,则|Z|=J(T)2+(-I)2=VL

故选：C.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：复数的概念

典型例题

例题1.(2025高三•全国•专题练习)设复数Z在复平面内对应的点为(-3,1),则W的虚部为()

z

A.-3B,-1C.1D.3

【答案】B

【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数

【分析】先得到z=-3+i,利用复数除法法则得到W=-3-i,求出虚部.

Z

101010(-3-i)

【详解】由题意可知z=—3+i,所以—==/凌、=_3T,

z-3+i(-3+Ii”)(-J3-i.)

则出的虚部为-1.

z

故选：B.

例2.(2025•河北秦皇岛•三模)下列关于复数的说法，正确的是()

A.复数i的任何偶数次第都不小于零

B.若实数a=〃，贝！lz=〃一〃+(a+8)i是纯虚数

C.在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数

D.若复数Z，Zj满足4>%则2pz2均为实数

【答案】D

【知识点】复数的基本概念、己知复数的类型求参数、复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限

【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.

【详解】对于A中，由虚数单位？=一1，可得A错误；

对于B中，若u=b=(),那么b+(a+0)i=0eR,所以B错误；

对于C中，虚轴上的点(0,0)对应复数z=0eR,所以C错误；

对于D中，若复数々「2满足马>z2,虚数不能比较大小，则马，z2均为实数，D正确.

故选：D.

精练高频考点

1.(2025・陕西模拟预测)复数2=(1+方)(1+。的虚部是()

A.-1B.1C.-3D.3

【答案】D

【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算

【分析】直接利用复数的乘法法则计算可得答案.

【详解】因为2=(1+21)(1+。=1+1+21+2/=一】+31,

所以复数z的虚部为3.

故选：D.

2.(24-25高一下•贵州六盘水•阶段练习)下列关于复数x+i(xwR)的说法一定正确的是()

A.存在x使得x+i小于0B.存在x使得(Ri严s=]

C.不是实数D.实部和虚部均为1

【答案】C

【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、判断特称(存在性)命题的真假、复数的基

本概念

【分析】根据复数的大小比较条件判断选项A；根据复数的塞运算判断选项B；根据实数、虚数、实部和虚

部的概念判断选项C和选项D.

【详解】对于选项A：

因为复数不能直接比较大小，只有两个复数都是实数时才能比较大小，所以A错误.

对干选项B：

因为xeR,所以只有当x=0时，x+i的累次方才有可能为实数.

当工=0时，验证i?025是否为L

i'=ij2=-l,p=-ij4=l,可以看出周期为4,所以i融5=旧1，所以B错误.

对于选项C：

因为xeR,所以x+i为复数，不是实数，所以C正确.

对于选项D：

因为x不一定是1,所以实部不一定为1.所以D错误.

故选：C.

高频考点二：复数的几何意义

典型例题

例L（2025•湖北•模拟预测）已知复数二满足i25z+2=i-z（i是虚数单位），复数z在复平面内对应的

点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】利用复数的乘方运算以及除法运算求解即可.

【详解】•「i2O25z+2=i-z»---iz+2=i-z=＞（i+l）z=i-2,

i-213.

-----=-----1-1

i+122

复数Z在复平面内对应的点（一舅）

,位于第二象限.

故选：B.

例2.（2025•湖北•模拟预测）在复平面内，共对应的点位于（

）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可.

【详解】更==所以言对应的点位于第四象限.

1+|＞（l二+i）（l-i）2221+1122）

故选：D

精练高频考点

・YP5

1.（24-25高三下•河北沧州•阶段练习）在复平面内，复数7=二（i为虚数单位）对应的点位于（）

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方

【分析】根据复数代数形式的乘方、除法运算化简z,再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】因为产=iE"=（『『i=i,

所以Z=>=」一二」一X弃贝Ijz在复平面内对应的点为佶位于第一象限.

2+12+12+12-1555；

故选：A.

2.（2025•山东聊城•二模）复数二满足三甘，其中i为虚数单位，则z对应的点在复平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】根据题意，化简得到复数工，然后结合复数的几何意义即可知道结果.

【详解】因为三川,所以z=i（3+i）=-l+3i.

则其对应点的坐标为位于第二象限.

故选：B.

高频考点三：复数分类

典型例题

例1.（2025•吉林•模拟预测）已知复数7=>-1+（，〃+）为纯虚数，则实数，〃的值为（）

A.-1B.1C.一1或1D.2

【答案】B

【知识点】己知复数的类型求参数

【分析】由纯虚数定义列方程和不等式即可求解.

【详解】由题可得已=1丁=町=1.

故选：B

例2.（2025•云南曲靖•二模）已知复数2=（。+2）+（/—”6川々€1<）,若z>0,则实数。的值为（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【知识点】解含有参数的一元二次不等式、已知复数的类型求参数

【分析】根据给定条件，利用复数的分类列式计算作答.

【详解】因为Z>0,

a+2>0

所以<3,

a2-a-6=0

故选：C

例3.(2025•陕西西安•模拟预测)已知复数z=3-a+(/-6a+8)i(aeR)为正实数，贝!)。二

【答案】2

【知识点】已知复数的类型求参数

【分析】利用复数的概念进行求解即可

3—a>0,

【详解】由题意得,AQ解得a=2.

。--6。+8=0,

故答案为：2.

精练高频考点

1.(2025•江西鹰潭•二模)复数z=a+2i(aeR),若(2+i”为纯虚数，贝!)〃=()

A.4B.-4C.1D.-1

【答案】D

【知识点】已知复数的类型求参数、共朝复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算

【分析】由共规复数的概念和纯虚数的概念结合复数的乘法运算可得.

【详解】由题意可得W=a-2i，

因为(2+i)二为纯虚数，BP(2+i)?z=(2i)(a-2i)=2a+2+(a・4)i为纯虚数,

所以｛AC，解得。=一1.

故选：D

2.(2025•云南昆明•模拟预测)已知复数Z与(z-lf+2i都是纯虚数，则二=.

【答案】T

【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算

【分析】由题意设2=加。工。)，代入(z-lf+2i,整理后由(z-if+2i为纯虚数即可求解.

【详解】由题意设z=〃i("O),

贝！|(z—l『+2i=l—/+2(l-h)i,

叫I2—（一2）=工00,解得-—

则z=T

故答案为：-i.

3.（2025•山西临汾•三模）已知"ZWR,复数z=（4-5〃?+6）+（m2-3〃?）i为纯虚数，贝！J加=

【答案】2

【知识点】已知复数的类型求参数

【分析】由纯虚数的概念列出等式求解即可.

【详解】由题意可得此一产丁。，

m~-3m工0

解得：，〃=2,

故答案为：2

高频考点四；复数模

典型例题

例1.（2025•江西新余•模拟预测）已知复数z满足Iz|=l,则|z-3-2i|的最小值为（）

A.>/5—IB.5/5+1C.>/13—1D.\Z1-3+1

【答案】C

【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题

【分析】先设复数，再根据模长得出/+/=1,再结合两点间距离公式转化为圆心到点的距离减半径计算

求解.

【详解】设2=。+加（a,Z?wR）,故忖=10（『+从=1；

W|z-3-2i|=7（«-3）2+0-2）2，

故|z-3—2i|的最小值为J（o—3）2+（。—2了一1二而一1,

故选:C.

例2.（2025•安徽•三模）已知复数z满足|z-l|=|z-2|,则忖（）

33

A.有最小值2B.有最大值2C.有最小值］D.有最大值］

【答案】C

【知识点】求复数的模、由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题

【分析】设z=a+〃i（a,》eR）,根据复数的模得到〃=再计算回，即可得解.

【详解】设z=n+bi（a,beR）,由|zT|=|z-2],

则,一1+例=,一2+例，所以仅一以+从=（“一2一+从,

解得〃=|,所以以|=|+勿=护?之?当且仅当〃=0时取等号，

所以忖有最小值]无最大值.

故选：C

例3.（2025•上海浦东新•三模）已知复数z满足z+AHzbO,则|z-l-2i|（i是虚数单位）的最小值

为.

【答案】上叵

2

【知识点】求点到直线的距离、与复数模相关的轨迹（图形）问题

【分析】确定复数的轨迹，结合点到线的距离公式即可求解.

【详解】设2=工+3，l=a-h\

贝！J由z+5+|z|=0可得：2x+y]x2^-y2=0,(x<0)>

则y2=3x2,即y=Cx或y=-Gx(x<0)

Iz-l-2i|的几何意义为射线上的点与（1,2）的距离,

结合图像可知：（L2）到），=一向的距离即为最小值,

最小值为：立，

2

故答案为：22巨

2

精练高频考点

1.（2025•广东•模拟预测）若复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z-l|的最大值是（）

A.1B.V?C.2D.75

【答案】B

【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题

【分析】利用复数模的几何意义转化复数Z满足的限制条件，进而求得|z-l|的最大值.

【详解】设复数i、T在复平面内对应的点分别为40,1),倒0，-1),

复数z=a+bi(a,bGR)在复平面应应的点为：Z(a,b),

由|z+i|+|z-i|=2可知：复数z在复平面内对应的点到两点A8的距离之和为2,

而|AM=2,所以点Z(«%)在线段八8上，故a=

则|z-l|=|历一1|=1(-1)2+6="十从4®，

当〃=±1时，Iz-ll的最大值为”.

故选：B.

2.(24-25高三下•广东•阶段练习)已知i为虚数单位，且2，=|2拒』贝1卜=()

A.21og23B.log,2C.21og32D.log,3

【答案】D

【知识点】指数式与对数式的互化、求复数的模

【分析】利用复数的模的运算，再结合指对数转化即可求解.

【详解】由复数的模得：|2&-i卜屈?=3,

所以有2*=3=>%=1%3,

故选：D.

3.(2025・河南•二模)若复数n清足zN=l,则|z2i|的取值范围为().

A.[1,上]B.[1,石]C.[1,2]D.[1,3]

【答案】D

【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、共朝复数的概念及计算

【分析】根据已知有z・7=|z|2=l,确定z对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到|z-2i|的

范围.

【详解】由z2=|z|2.i,即z对应点在以复平面的原点为圆心，T为半径的圆上，

由|"2i|表示上述圆上点到点。2)的距离，结合圆的性质，易知|z-2i|w[L3].

故选：D

高频考点五：待定系数求复数z=

典型例题

例1.（多选）（2025•山东青岛•一模）下列计算结果与z.二相等的是（）

2

A・归|B.zD.z

【答案】ACD

【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共粗复数的概念及计算

【分析】设z=a+加（〃力eR）,则三=4-切，利用复数的乘法以及复数的模长公式逐项判断即可.

【详解】设z=a+加（a/wR）,则W=q一历,zS=（°+设）（干一4）=『+4=|z『,

z2=（6/+/?i）2=a2-b2+2abi,z=（6r-/?i）2=a2-b1-2ab\>

所以归卜加/=3+2/+/=/+h2,同理可得同=/+从，

因此，z-z=|z|2=|z2|=z"wz'

故选：ACD.

例2.（2025•江西南昌•模拟预测）已知复数z满足z2=2+2^i,则z的虚部为.

【答案】±1

【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的相等

a2-b2=2

【分析】设z=〃+阮（a,〃eR）,利用复数相等可得•求解即可.

2ab=26

【详解】设z=a+bi,（a,0£R）,则z?=/？+2。历=2+2后，

4~一及=2。=H——x/3r—r—

所以厂，解得，:或八:，所以z=G+i或Z=-G-i,

12ab=2«p=l[b=-\

所以z的虚部为±1.

故答案为：±1.

精练高频考点

1.（2025•山东•二模）已知z+N=4,z—N=2i,则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算、共朝复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】设复数z=〃+加根据共枕复数的定义求出5,再结合已知条件列出方程组求解4人的值，

从而得到复数z,最后确定其在复平面内的位置.

【详解】设复数z=a+阮则共枕复数5-加，

因为z+5=4,z-5=2i,

列出方程组为：

(a+〃i)+(a-/;i)=2a=4

(a+b\)-(a-bi)=2bi=2i

求解该方程组得：a=2,b=\,

所以复数z=2+i.

在复平面内对应点坐标为（2』），横坐标2>0,纵坐标1>0,

所以该点在第一象限.

故选；A.

2.（2025•广东揭阳•三模）若复数二满足四=二，则z==（）

z+1z-z-

A.1B.BC.1D.正

232

【答案】D

【知识点】共朝复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模

【分析】设2=4+〃i・a,beR,再根据复数除法运算和等量关系即可求出参数.再结合复数的模的计

算公式即可计算求解.

【详解】设z=»i,则合詈啜*即/_g+…历"+历,

fa2+a+h2=0

整理得/+〃+〃

-(2f/ZJ+Z?)i=0,故j(2a+l)力=0注意到〃f0,

则只能。=-2，故力2=-/-4=1,

24

21),，2亚

故a—+b=—.

22)2

故选:D.

高频考点六：复数的四则运算

典型例题

例1.（2025•重庆•模拟预测）若复数z使得T为纯虚数，则W=（）♦

z-21

A.y/2B.2C.2&D.4

【答案】B

【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算

【分析】根据复数的除法运算及复数的概念、复数的模的定义运算即可.

【详解】设2=〃+砥ajbcR）,

,z+2_a+2+b\_a2+b2-44b.

则口=a-2+加=._2『+从+/।，

.a2+b2-44b

所以E万二°巩

，(a-2)2+b2

即/+从=4,所以|z|=J4=2.

故选：B

例2.（2025•天津红桥•二模）若i为虚数单位，且亍q=1-i,则实数4=________________.

1+1

【答案】0

【知识点】复数的除法运算、复数的相等、复数代数形式的乘法运算

2+4,

--------=I

【分析】化简复数，再由复数相等可得\，解方程即可得出答案.

二一

2

2(2+山)(1-i)2—2i+ai—ai?_2+a+(a—2)i

【详解】因为匚-=F

(l