一元二次不等式的解法【8大考点】2027年高考数学一轮复习专练（解析版）

1.4一元二次不等式的解法

8大考点汇总

考点01解不含参数的一元二次不等式

考点02三个二次的关系求参

考点03利用一元二次不等式的解确定参数

考点04解含有参数的一元二次不等式

考点05根的分布问题

考点()6在实数集上恒成立问题

考点07在某区间上的恒成立问题

考点08在某区间上有解问题

考点09一元二次不等式的实际应用

题型专练

考点()1解不含参数的一元二次不等式

1.使得式子-x+2有意义的x的取值范围是()

「21「2-

A.(-B.--J

【答案】C

【分析】考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义•即-3/一工+2之0,然后求解这个不等式即可

得到x的取值范围.

【详解】-3X2-X+2=(-3X+2](X+1)>0,BP(3x-2)(x+l)<0,解得-IWxJ.

2.已知集合A={0,1,2,3},34x+3«0},则中元素的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先解集合3中的一元二次不等式，再根据集合的交集运算求出ACA,进而即可得到AC8中元素的

个数.

【详解】由£-4工+3=(工一3乂"—1)<0,解得1KXK3,g|JB={x|l<x<3},

所以AcB={l,2,3},所以AcB中元素的个数是3.

3.已知集合巳=卜=附f-2x-8M0},於恒产取花一切，则AQ4=()

A.{x\-2<x<n}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

【答案】D

【评解】•・•/2xS<0,解得一24x44,xeN,

.•.集合4={(),1,2,3,4}；

y=ln(7t-x),贝1］兀一%>0,解得兀，

，集合4={x|xV7t}.

.,.AcA={0,1,2,3}.

4.已知集合八酊A…2,一1,一(0,；,1,2bB={x|2x2-3x-2>()},则Ac@8)=()

【答案】A

【详解】2/一31一220解得"-；或"2,即8={削或壮2卜

包4,3={A|-1VX<2}.

2

又团A=«-2,-l-1在集合A的元素中满足—g<x<2的有吟1,

1

(2Ac@B)=03,1>.

考点02三个二次的关系求参

5.已知关于x的不等式"2+〃x+c<0的解集为(f,T)U(l,W),则不等式加—ci+acO的解集为()

A.S，—l)u(—；,+8B.(f-g)

C.(fg卜(l,+oo)D.《,1,

【答案】A

【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为Q(3/+4X+1)<0,结合。<0进而

3X2+4X+1>0,求解即可.

【详解】由不等式加+〃x+c<0的解集为（—T）U（l,y）可知"0,

H.--=-4+1=-3,-=-4,所以。=3a,c=-4a,

。a

所以不等式加一cx+a<0可化为a（3/+4%+1）V0,

又avO,则3f+4x+l>0,解得工<一1或x>—g.

6.（多选）已知关于％的不等式加+加+c<0的解集为何-1<1<6}.则（）

A.a<0B.不等式O¥+c>0的解集是{x|x>6}

C.a+2b—c<0D.不等式（^-6-八。的解集是一.<不<弓，

、JJX

【答案】BC

【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可.

【详解】由题意知，a>0（A错误），且T,6是方程以2+云+c=0的两根，

bC

所以—=-1+6=5,-=（-1）x6=-6,即〃=—5a,c=-6a.

aa

B：aY+c>0可化为。（工一6）>0,因为〃>0,.r-6>0,

所以不等式以+c>0的解集是卜队>6},B正确.

C：因为。>0,所以。+2/?-c=a+2x（-5a）-（-6a）=-3av。，C正确，

D：ex1-ftr-a<0可化为-—5A+1）V0,

因为〃>0,所以6/-5工+1>0,解得或故D错误.

7.（多选）已知关于x的不等式加+加+c>。的解集为（—「2）53,”），则（）

A.«>0

B.a+b+c>0

C.不等式加+c>0的解集是国x<-6}

D.不等式CX2-/状+。<0的解集为18,-；卜提+8

【答案】ACD

b=­a

【分析［根据一元二次方程与不等式的关系得。>0,（，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的

。=-64

解法,依次讨论各选项即可得答案.

【详解】回关于X的不等式加+法+c>0的解集为（e,-2）53,+8）,

泛。>0,-2和3是关于x的方程or2+hx+c'=0的两根，A选项正确;

由根与系数的关系得｛",则<b=-a

ccCc=-6。

-2x3=—

a

^.a+b+c=-6a<0^B选项错误；

叵不等式bx+c>0可化为一公一6。>0,即一x-6>0,解得x<-6,C选项正确；

不等式ex,_/状+〃<0可化为《八二+ar+a<。，即6/—工一1>0,解得x<—!或

JJ

D选项正确.

8.（多选）已知不等式加+尻+c>0的解集为T-；-<2,，则下列结论正确的是（）

A.。>0B.Z?>0C.。<0D.a+b+c>0

【答案】BD

【分析】根据一元二次方程与一元二次函数的关系，结合韦达定理逐项判断即可.

【详解】由不等式a/+6x+c>0的解集为--：<工<2卜

所以，。<0,故A错误；

方程尔+Z>x+c=0的两个根为-g，2,

「b

-----F2二—

•>:一则c=-a>0,》=一在>0,故B正确，C错误：

12

—xo2=c—

2a

3

:.a+b+c=--a>（）,故D正确.

考点03利用一元二次不等式的解确定参数

Q

9.（多选）已知〃?>"0,若关于王的方程/-（〃?+2〃八+丁"?=0有两个不相等的实数根々，/，且用<%，

则下列说法正确的是（）

m.

A.—>4

n

B.若％+勺=1，则的最小值为4

再x2

C.关于X的不等式.?亦_（机+2〃户+1<0的解集为.[<工<_1.

9

D.X=n是关于x的不等式x2-(m+2n)x+-mn>0的一个解

【答案】ACD

【详解】选项A,因为方程有两不等实根，所以

.乎4>。=加-4卜°,解叫叫4

A=(///+2〃)~-4x—mn>0=>nr-5mn+4/?2>0=>

因为〃?>〃>0,所以上>1,即取%>4,A正确；

nn

选项B,由韦达定理内+工2=m+2〃=1,中2=丁〃〃，则占X2xAx22mn,由A选项可知m>4”，且

4

m=\-2n,所以1-2n>4〃n”v',

6

11_I

〃〃?=(1-2〃)〃=-2〃2+〃，当〃时，相〃单调递增，因此〃，〃<!，则,+三二^一，无法取到最小值4,

o9*~7mu

4

B错误;

C选项，令/=1,代入原方程得1)一(〃7+2〃)1+(〃2〃=0n\〃〃/++1=0,即若工］,工2为原方程

两根,则一，一为一""〃'一(/〃+2〃)x+1=0的两根，又因为百+x2=m+2n>0,xxx2=—mn>0,

所以N>0，~>。，已知N<X2，所以不等式解集为卜»，C正确;

)9(5因为一〃〃一〃=■!■〃>。，因此

D选项，将x=〃代入得J/一(/〃+2〃)〃+—/〃〃=〃—m-n26>2

414444

n2-(/〃+2〃)〃+京〃〃>0

即1=〃是不等式的一个解，D正确.

r2—r—7>0

10-若不等式组2/+(5+2Q/弘〈。的解集中所含整数解只有一2,则"的取值范围是——

【答案】-3<A<2

【分析】解fr—2>(),得解集为(F,T)52,y)；分类讨论-2与-3的大小关系，解不等式

♦+"(x+&)<0,再根据不等式组］:="二2：:八的解集中所含整数解只有-2,列式可求出结果.

I2)2丁+(5+2Z)x+5女<0

【详解】由./一］一2>0,得(x—2)(x+l)>0,得、<一1或x>2,

所以％27—2>()的解集为(YO,-1)52,+oo),

由2丁+(5+2k)x+5k<0,得(上+1•[*+&)<0,

当—k<——,即&>』时，得—k<x<—,

222

所以2f+(5+2幻x+5&<0的解集为卜,-g),此解集中不含-2,不符合题意:

当一女=一2，即々=2时，jx+g](x+k)<°化为(x+3)<0,

22I2)[2)

所以2/+(5+2A)X+5A<0的解集为空集，不符合题意；

S54

当一A>—5，即々V,时，得一二<xv—女，

所以2/+(5+2幻X+54<。的解集为(一|,一女)，

r2-r-2>0

因为不等式组。c八的解集中所含整数解只有-2,

2x-+(5+2k)x+5k<0

:11.11.一

-2.5-2-102-k3

结合数轴分析可知-2V-AW3,得-3及<2.

11.不等式(。-2)/+2(。-2)1-420的解集为0,则实数。的取值范围是()

A.(9,-2)32*)B.(-2,2)

C.(-2,2]D.(YO,2)

【答案】C

【详解】关于x的不等式(a-2)f+2(a—2)x-4"的解集为0,

当〃一2=0时，即。=2时:不等式即TN0,显然不成立，满足条件；

当4一2工0时，应满足〃_2<0且八=4(〃_2)2+16(〃_2)<0,角吊得一2<〃<2.

综上知，实数〃的取值范围是(-2,2].

12.已知/一奴+〃〈0的解集为{N—2VXV3},则山：2+X+〃>0的一个充分不必要条件是()

A.-1<x<3B.-3<x<3

C.x>2»£x<-3D.x>4或不<-3

【答案】D

【详解】由』一如+〃<0的解集为｛M—2vx<3｝,

得-2和3是方程/-办+/?=o的两个实数根，

。=-2+3=1

所以《

Z?=-2x3=-6

所以渥+x+b>0等价于f+l_6>0,即(X+3)(X-2)>0,

其充要条件为工<-3或x>2.

所以—l<x<3和—3vxv3均是or?।x।〃>0的既不充分也不必要条件；

x之2或xv-3是加+x+Z?>0的必要不充分条件：

工>4或x<-3是aP+x+〃:>0的一个充分不必要条件.

考点04解含有参数的一元二次不等式

13.已知关于x的不等式0^一(“+2L+。<0.

⑴若不等式的解集为｛x|l，xY2｝,求m〃的值；

(2)若〃=2,求已知关于x的不等式的解集.

【答案】⑴。=1，b=2

(2)当”0时解集为卜I”；或.*1｝；当。=0时解集为｛xlxZl｝；当0<”2时解集为,知；当

2

4=2时解集为｛1｝；当。>2时解集为FrxVl-

【分析】⑴等价转化为x=l刃x=2是方程/一(。十2)]+/)=0的两个实根，从而求解〃，)的值；

⑵对〃作分类讨论，分。=0,«工0；对于二次不等式，要先判断二次项系数〃的正负，它决定了抛物线的

开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论.

【详解】(1)因为不等式加一(。+2卜+。<0的解集为｛即。42｝,所以owO,

且x=l和x=2是方程加-(。+2)X+力=0的两个实根，

可得4-(〃+2)+。=0,4〃-2(〃+2)+/?=0,

解得a=1,Z?=2；

(2)当b=2,不等式为ax2-(a+2)x+2<0,[ip(a¥-2)(.r-l)<0

①当。=0时，不等式化为-2X+2W0,解得血1,解集为｛x\x>l｝；

7?

②当。>0时，若0<。<2,则->1,不等式解集为xIlSxK-；

7

若a=2,则==1,不等式为2(A-1)2<0,解集为律；

若22,则沁不等式解集为｛乂泊斗

③当a<0时，不等式化为fx-^(x-l)>0解得xv]或xNl,解集为｛.HxK：或xNH.

7

综上，当«<0时，解集为乂”7或卜当«=0时，解集为例121｝；

2

当0<a<2时，解集为《川4x4当"2时，解集为｛1｝；

当〃>2时，解集为>.

a

14.解关于1的不等式0?-(4+。工+120,46*

【答案】当1=0时，不等式的解集为(Y』，

「1、

当0<。<1时，不等式的解集为一，+8,

.a/

当，=1时，不等式的解集为全体实数，

当时，不等式的解集为卜Q：u[l,+8),

当。<0时，不等式的解集为%.

【分析】根据实数〃的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可.

【详解】由已知，^(av-l)(x-l)>0,aeR：

当a=O时，不等式化为解得x«l：

当〃>0时，不等式等价于卜-£|(工-1)之0,

若Ovavl,解得次之十，或x«l；

若。=1,解得xeR,

若a>l,解得xNl,或

a

当avO时，不等式等价于1)40,解得kx"

kaJa

综上所述，当a=0时，不等式的解集为(口川，

「1、

当0<”1时，不等式的解集为(y>,i]u7+%，

当4=1时，不等式的解集为全体实数，

当4>1时，不等式的解集为,孙：U[l,+S),

当a<0时，不等式的解集为.

15.解答下列各题.

⑴若x>3,求％+二三的最小值；

x-3

(2)若正数X)，满足9x+尸孙，求xy的最小值；

⑶解关于x的不等式:2/-5cix-2cr<0.

【答案】⑴7

(2)36

⑶当〃>0时，解集为当〃=0时，无解；当〃<()时，解集为(2呜)

【分析】(1)由基本不等式即可求解：

(2)由孙=9%+y结合基本不等式即可求解;

(3)分情况讨论。的取值即可.

【详解】(1)因为x-3>0,曰题.v+，--1-3+0-+3?2/(“-3).」-+3-7.

X—3X—3VX—3

4

当且仅当x—3=」；，即x=5时取等号；

X-5

4

所以x+T的最小值为7.

x-3

(2)由9x+y=冷结合基本不等式可得：肛=9x+y22下底=6向=向(而-6)20,

又X，)'为正数，则而26n不，236,当且仅当9%=,，，即x=2,y=18时取等号，

所以xy的最小值为36.

(3)由2丁-5or+2«2<0，可得(2x-a)(x-勿)<0,令(2x-a)(x-2«)=0,解得x=1或,

当心。时，有微<2〃,(2…)(工一2小0的解.集为两根之间，即垓<x<2〃：

当〃=0时，原不等式变为2/<。，无解；

当。<()时，有£>2〃,(2..祖工一勿)<0的解集为两根之间：2a<x<^.

综上：当。>0时，解集为《同；当4=0时，无解；当”0时，解集为„

16.已知二次函数/(x)=&+S_2)x+3(a〃eR).

⑴若。>0力>0,且VxeR都有/(工一1)=/(3-力，求焉+5的最小值;

(2)解关于x的不等式：f(x)>bx.

4

【答案】(1)与

J

(2)答案见解析

【分析】(1)由题得到2々+8=2,所以4a+1+2/w5,再利用基本不等式求解即可.

(2)不等式/(">加等价于ad-2x+3>0,对。分。=0">。”<0三种情况讨论即可

【详解】(1)由题，对称轴为x=l，所以一==1=2。+〃=2,变形得4〃+1+乃=5,则

2a

2b4a+1

-------1----+544+1+21+-------1-----+-1-

4a+I2b卜》).；=:(4ci+12b

当且仅当言7=嘤，即”9,［时等号成立，焉+£的最小值为《

(2)不等式/")>区即求解g(工)=ar-2x+3>0

①当a=0时，-2x+3>0,解集为卜

②当。>0时，抛物线开口向上，

若△<(),即4-12"0na>g时，ad-2大+3>0恒成立，解集为R

若△=(),即。=；时，则&(力=卜2-2x+3=g(x—3尸，解集为{x|x/3}

若△>(),即0<〃<:时，不等式解集为1工1%(上正豆或j上土豆，

3\4/a

③当avO时，抛物线开口向卜，此时△>()恒成立,

.XX-uAZJ11+S-3a1—-3a

不等式解集为“I—----<'<———

aa

17.解下列关于x的不等式：r-ar+l<0(«eR).

【答案】答案见解析

【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究△<0n=0，A>0

时不等式的解集.

【详解】对于一元二次方程x2-水+1=0,4=/—七

当々=±2时，A=0,X2±2X+1=(X±1)2>0,x2-奴+l<0(〃eR)的解集为0,

当一2<a<2时，A<0,x2-ar+l<0的解集为0,

当〃<一2或。>2时，△>(),方程f-女+i=o的两根分别为占=巴咚三心="与二，旦玉</，

所以不等式/一分十］<0的解集为r伫岑三<x〈史咚三a，，

综上，当-2«。<2时，不等式的解集为0，

当〃<一2或。>2时，不等式的解集为卜一毛一<A<一\—>.

18.已知。>0,求关于x的不等式or?-3x+2>or-1的解集.

【答案】答案见解析

【分析】按照O<〃<3,a=3和〃>3分类讨论，根据•元二次不等式的解法解不等式即可.

【详解】因为ax?-3x+2>"-1，即or2-(a+3)x+3>0,

当a>0时，令a?_(a+3)X+3=0,解得内=1,%2=4，

若0<"3时，1<1,不等式a『—(a+3)x+3>0解集为(y1)u(：,+8)；

若4=3时，1=,,不等式&-(〃+3).丫+3>0解集为(〜

若a>3时，1>1,不等式ad—(a+3)x+3>0解集为1-8,：)31，+8)；

综上所述：当。<〃<3时，不等式解集为(-8/)u(，+"}

当〃=3时，不等式解集为(yj)5i，+8)；

当a>3时，不等式解集为［8,£|D(1,+8).

考点05根的分布问题

19.设集合A={x|f+2x+a=0},则“A=0〃的一个必要不充分条件是()

A.«<0B.a<\C.a>0D.a>\

【答案】C

【详解】?'iA=0,则二次方程f+2x+a=0无解，B|JA=22-4X|X6/<0»解得。>1,

所以"4=0"的一个必要不充分条件是a>0.

20."〃"2"是“关于x的方程V-g+6+3=0的两根都大于1的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】判另ij式ANO：A=/M2-4（/W+3）=w2-4/77-12>0,解得〃zW-2或〃?26,

对称轴在x=l右侧：对称轴x=解得〃?>2,

再由/(1)>0：/(1)=1-〃?+〃?+3=4>0恒成立，

所以两根都大于1的充要条件是m26,

/〃>2,推不出〃z26,因此充分性不成立，

in>6,可推出〃?>2,因此必要性成立，

因此""?>2"是"方程/-〃?x+〃?+3=0的两根都大于1"的必要不充分条件.

21.已知关于x的不等式，(V-耳+1<9恰有一个整数解，贝]。的取值范围是()

4343443

A.-<a<-B.-<a<-C.-<a<2D.-一或〃<0

3232332

【答案】A

【分析】对二次不等式左边进行因式分解.，先讨论二次项系数分析得到不符合题意；再讨论二次项

系数4-1>0得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得。的取值范围.

【详解】0(«-l)x2-av+1=(x-!)[(«-l)x-l]<0

当a—即a<I,不等式解集为或4>1},

存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；

当。-1=0,即〃=1,不等式解集为卜|»1},

存在无数个整数解，不符合题意，故舍去；

当白一1>0,即4>1,

当a>2时，0<—<1,

a-\

不等式解集为

a-\

区原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去；

当4=2时，=即

a-\

不等式解集为空集，国不符合题意，故舍去；

当1V4V2时，—>1,

a-\

不等式解集为

a-\

便原不等式的I个整数解为：2,

143

E2<------<3,则一4。<一；

a-\32

综上所述：4j3.

22.己知函数=f+(。-1卜+1在区间(0,2)内有两个零点，则。的取值范围为()

A.i-1B.I--1C.i-1D.i-1

【答案】A

A>0

0<4

<2

【分析】函数在区间(0,2)上有两个零点，即函数在(0,2)上与x轴有两个交点，则需要满足，2，根

/(0)>0

/(2)>0

据二次函数图像列出不等式即可求解.

【详解】由函数〃x)=，+(a-l)x+l在区间(0,2)内有两个零点,得到函数在(0,2)上与x轴有两个交点,

A>0

0<—<2((a-I)2-4>0

0<1—a<4

所以2，叫

/(0)>0(1>0

4+2(a-l)+l>0

/(2)>0

2

(a-2a-3>03

整理得一3Va<l，解得—1

2a+3>02

所以则。的取值范围为bT1

故选：A.

23.已知方程4/+(〃?_2)X+6L6)=0有一正根一负根，则实数，"的取值范围是

【答案】(一8,6)

【分析】令/(x)=4f+(〃-2)工+(加一6),根据条件得”0)<0,即可求解.

【详解】令/(x)=4f+(〃?-2)汇+(/〃-6),其图象开口向上,

又方程4/+(〃7-2)工+(m一6)二0有一正根一负根，贝iJ/(())=〃z—6<0,

解得mv6，

故答案为：(-86).

24.若*+2〃田+加+1=0在工«-1,3)上有两个不相等的实数根，则实数，”的取值范围为

'io

【答案】

72

【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解.

【详解】方程9+2尔+〃­1=0在代(-1,3)上有两个不相等的实数根,

△=(2〃?，-4(/??+1)>0

-1<-m<3f_101-⑸

解得一〒2

(-1)--2ni+/zz+1>0X/

32+6m+〃？+1>0

考点06在实数集上恒成立问题

25.已知命题“VxeR,〃，++5>0〃为真命题，则实数〃的取值范围是

【答案】[0,20)

【详解】当/〃=0时，不等式化为5>(),对任意xeR恒成立，符合题意;

节〃?/0时，nix2+nvc+5>0对任意xeR恒成立，需满足：

6>0

解得0<小<20,

A=m2—2()m<()

综上可得〃ze[0,20).

26.若命题"SLYGR,使得〃苏-2侬-3>0"是假命题，则实数/〃的取值范围为()

A.-3</7Z<0}B,{/7/|-3</ZZ<0}C.卜川一3二机40}D.[m\-3<m<0}

【答案】C

【分析】问题化为UXGR,都有g2-2心_3«0为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.

(详解】由*wR,使得nix2-2/7U-3>0为假命题，

则VxeR,都有小42一2,依一350为真命题，

当m=0.则nix2-2mx-3=-3<0，满足，

当hm<=04〃72+12i,则-3金”。，满足，

综上，-3<tn<0.

27.已知命题〃:VXW{AK)WXW4},0?x2a,命题/3xwR,x2-2x+a<0.

⑴若命题p和命题q都是假命题，求实数〃的取值范围；

(2)若命题〃和命题。至少有•个为真命题，求实数。的取值范围.

【答案】⑴[1,2]

(2)(—[)(2,+oc)

【分析】（1）分别求出命题P,命题^为假命题时"的取值范围，进而得到结果即可；

（2）求（1）中的补集即可.

【详解】（1）若命题〃Wxw{xOW4},0?x2a为真命题，则2a>4,即“>2.

所以若"为假命题，则。42.

若命题“闫xeR,丁-2文+”0为真命题，

则△=（-2）2-4xlxa>0,即avl.

若夕为假命题，则421，

综上，命题P和命题，/都是假命题，"的取值范围为口，2]；

（2）由（1）可知命题P和命题9都是假命题，〃的取值范围为[L2],

故命题〃和命题9至少有一个为真命题，a的取值范围为（-8,1）=（2,+8）.

28.若命题"也1€1<,/+办+〃+320”为真命题，则实数。的取值范围是（）

A.[-6,2]B.[-6,-2]C.1-2,6]D.[2-夕,2+>/7]

【答案】C

【分析】由命题“VxeR,V+以+a+3N0"为真命题，利用判别式，即可确定实数。的取值范围.

【详解】由命题"VxwR,八2+奴+々+320”为真命题，

..A=«2-4（«+3）<0>

解得：-2<tz<6,

考点07在某区间上的恒成立问题

29.不等式x?+〃a+15之0对任意工6[3,5]恒成立，则〃，的最小值是（）

A.-y/[5B.-2>/15C.V15D.2厉

【答案】B

【分析】转化问题为加之一1+?）对任意x«3.5]恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解.

（详解】根据题意可得加之-。+对任意x£[3,5/亘成立，

而x+个22旧^二「，当且仅当工=后43,5]时等号成立，

则一%+所以〃则加的最小值为-2、石.

30.若二次函数/*）=/+及+c,满足对称轴为x=；,且/（。）=1.

⑴求f(X)的解析式;

(2)若在区间［-1川上，不等式"x)>2x+m恒成立，求实数，〃的取值范围.

【答案】(1)/(%)=/7+1

(2)(-8,-1)

【分析】(1)根据对称轴和已知函数值求二次函数解析式；(2)不等式恒成立参变分离转化为g*)的最小

值.

【详解】(1)一次困数/(x)=V+云+C,/(0)=1,

则。=1,

对称轴为x=g,则6=-1,

所以/(%)=/一x+1.

(2)不等式f(x)>2x+m恒成立,

即x2-x+l>2x+m恒成立，

即m<x2-3x+l，

令9(%)=x2-3x4-l,xe［-1,1］,

对称轴为x=g，所以g(x)在卜1』上单调递减，

g*)min=g⑴=7，

所以〃?(一1,

实数机的取值范围为(-与-1).

31.若21g(or)>lg(x-l)对任意的恒成立，则实数〃的取值范围是()

【答案】B

【分析】先利用对数函数的单遍性将不等式转化为止>1，再通过换元和均值不等式求出表达式的最小值.

x-\

进而求解。的范围.

【详解】由已知得所以问题转化为让〉1恒成立，

x-1

设x-l=r>0,则x=，+l,代入上式，所以问题转化为，>0时/>1恒成立,则只需［八；D\二>］即

可,

因为―U=/(，+；+2)之分尸，当且仅当，=1时取等号，

所以。2"+1)2的最小值为4a一所以4/>1,解得

t2

32.使命题P：“土«l,2),〃区寸+1〃为假命题的机的取值范围是()

A.{m\m>4}B.{m\m>5}C.{m\m<2}D.w<5}

【答案】B

【详解】若命题〃:“小£(1,2),加三9十1"为假命题，

则命题:"Dx£(1,2),m/为真命题.

由x«l,2),得9«1,4),所以f+l«2,5).

所以〃725.

33.己知不等式-2/+Za+c>0的解集是伊-1。<3},若对于任意不«乂一1"£0},不等式

-2/+At+c+/W8恒成立，则r的取值范围是()

A.{rlr<2}B.{dt<-2\c.{rlr<^}D.{dr<4}

【答案】A

【详解】由题意得-1和3是关亍x的方程-2丁+饭+c=o的两个实数根，

-2-b+c=0f〃=4

所以《，解得

-18+3Z?+c=0c=6

所以-2x2+bx+c=-2/+4x+6，

由一ZW+bx+c+lW8得f«2--4工+2=2*-1)2,

当一IW大士()时，(2/-4x+2)向=2(x-l)；in=2,

所以M2,则f的取值范围是卜ZW2},故A正确.

34.已知二次函数/("=公2-21+〃，若对于任意刀《42句，都有/⑴之。成立，则实数。的取值范围是

【答案】。田)

【分析】根据”的范围分类讨论，结合对于任意工引〃27],都有/(工)之。成立，解不等式即可求解.

【详解】因为[。，2可是一个区间，所以2a>4=>。>0,

二次函数/(X)=仆2-21+”的对称轴为直线X=L

①当品a时,即。之1,函数Jf(x)在［a，2a］上单调递增,

a

33

所以/(x)min=f(a)=a-2a+a=a-a,

要使对于任意x«a,2a］,都有f(x)NO成立,则/(工焉加，

所以a3-aN0na(a-l)(a+l)20,解得

②当时，即立时，

a2

函数/(X)在X=1处取得最小值，/(X)min=f(-)=a,，

aaa

则/(初由2。=＞。一,之0,不等式无解；

a

③当,22〃时，即0＜a«巫，函数人外在［a,2a］上单调递减，

a2

所以.〃x)min=/(2a)=4a3—3a,

则f(%焉NOn4/-3。＞0,不等式无解;

综上所述，4的取值范围是［1,收).

考点()8在某区间上有解问题

35.若关于尤的不等式/一2工+〃-140有解，则实数。的最大值为()

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【详解】由关于x的不等式/一21+〃_140有解，

得—15-1)20,解得心2,

所以实数。的最大值为2.

江若存在工式-2.-1),使得不等式/一区+2＞0成立，则实数上的取值范围为()

A.卜2上,+8)B.(-%-2&)C.(-3,-KO)D.［-3,+8)

【答案】C

x2+2\2

【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得存在不£(-2,-1),使得左＞——成立，令〃x)=x+£,利

；x

用导数讨论函数的单调性，即可求出.

【详解】存在x1—2,T),不等式r-"+2>0成立,

则xw(—2,—l)能成立，

X

即对于xe(—2,—1),攵>成立，

令fM="”=x+—,xe(-2,-1),

xx

则上需要大于函数在(-2,-1)的最小值，

2r2—2r-

则八幻=1一_y=—令r(x)=Onx=土

*vX

所以当不£(-2,-女)，,/")>0,/(X)单调递增，

当xe(—加,—l),广")<0,单调递减，

X/(-2)=/(-D=-3,

xG(-2,-1),x—>—2>j\x)f-3,/..r—>—1,/(x)t—3,

所以/(力>一3,所以%>-3.

故选：C.

37.已知命题“3xw{x|lKxK2},2/一〃40〃为假命题，则实数。的取值范围是___.

【答案】(口,2)

【详解】因为l《xW2,所以2工2/48,

又命题"Bxe{x\\<x<2},2/一。40"为假命题,

印”(2巧脸=2,即〃<2.

38.若关于上的不等式2ad+成•-的解集为空集，则实数〃的取值范围是()

O

A.(-3,0)B.(-3,0]

C.(F-3)5°，+°°)D.(-8,-3卜[0,转)

【答案】B

【分析】根据实数4的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可.

【详解】当。=0时，2加+办-|之0=-整0,显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意;

OO

当。工0时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件:

a<0

•,（3、=>-3<«<0,

△=a~-4x2a・—<0

IsJ

综上所述：实数。的取值范围是（-3,0].

故选:B

39.设aeR,若关于1的不等式f一如一技。在]工.2上有解，则（）

33

A.«<0B.«>0C.a<-D.a>-

【答案】C

【分析】利用分离常数法结合函数的单调性求〃力皿，结合。（可a，计算即可.

【详解】关于”的不等式的在一XK2上有解,

axx2—I，

xe[l,2],

・二aWx—,

x

令/（x）=x-Lxe[l,2],

寸内,天41,2]且为<电，有：

I（]'

f（x】）一/（9）=%-------X2-------

XV+1

=（内一勺）r2

QA-j-x2<0,x,x2>0,

，/（%）</&），

.•./（司二]」，在单调递增，

X

\7

当x=2时，/«_=/（2）=2--=^,

\a<x--,即〃小于等于“XL

故选：c

40.已知函数/(戈)=("7+1)丁-(〃2-1)工+〃2-1.

⑴当祖v0时，解关于X的不等式/(力23x+〃L2；

(2)若存在X£[0,2],使得不等式”X)WX2+2X成立，求实数，〃的取值范围.

【答案】⑴答案见解析

(2)-8,半十1

.

【分析】(1)先把二次不等式化为(〃?+1)/-(/〃+2卜+120,再分类讨论解不等式即可；

(2)参变分离，把能成立问题转化为：二二的最大值问题.换元后利用基本不等式求解即可.

x~-x+\

【详解】(I)/(x)=(/?Z+1)X2-(777-1)x4-/77-1>3^4-ZZZ-2.

化简得(〃?+1)Y-W+2)X+1>。,gp(r-l)[(/H+l)r-l]>0,

若〃z+l=0,即〃?=一1,上式可化为：—(x—l)N0,BPx-l<0,解得xWl；

若〃z+lvO,即〃?<一1,上式可化为：(x—l)%一一二<0,解得一L《xwi；

若〃z+l>0,即一lv/〃v0,上式可化为：(x-1)x一一二>0,

m+\

■,-1<777<O,0<m+1<1,­*----->1»

〃?+1

%41或不之」一，

772+1

综上，当〃?<-1时，原不等式的解集为

当〃?=-1时，原不等式的解集为(-8』；

(IA

当TvmvO时，原不等式的解集为y1]u[—；,+8.