2026年中考数学二轮复习：相似三角形与解直角三角形热点（A字模型、8字模型、母子相似模型、相似+解直角三角形）有关的6类核心题型

专题05相似三角形与解直角三角形热点

（A字模型、8字模型、母子相似模型、相似+解直角三角形等）有关的6类核心题型

目录

i

I第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向

I

i

I第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具

i

【结论背记清单】

I

方法一A字模型求解及技巧

I

!方法二8字模型求解及技巧

I

I方法三母子相似模型求解及技巧

I方法四仰角俯角问题（解直角三角形的应用）解题技巧

i方法五坡度坡比问题（解直角三角形的应用）解题技巧

i

方法六相似+解直角三角形综合解题技巧

I

I

:第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率0

I【题型01】A字模型

|【题型02】8字模型

I【题型03】母子相似模型

I

【题型04】仰角俯角问题（解直角三角形的应用）

i

【题型05】坡度坡比问题（解直角三角形的应用）

i

【题型06］相似+解直角三角形综合

I

i

I第四部分答题实战检验学习成效，锤炼应用能力

命题解码.

1.考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值）

核心考向1:相似三角形（中档核心，必考点）一一侧重判定（两角对应相等为主，边角边、

边边边为辅）和性质（对应边成比例、对应角相等、面积比等于相似比的平方），载体多为三

角形、矩形、梯形，常考线段计算、面积求解，也会结合几何变换、圆考查，是中档题核心得

分点。

核心考向2：解直角三角形（基础+中档，必考点）一一聚焦锐角三角函数（sin、cos、tan）

的定义及应用，载体多为直角三角形、坡度、仰俯角、方向角等实际情境，考查边长、角度计

算，侧重“化斜为直”（非直角三角形作高转化），雉度适中，是基础得分关键。

核心考向3：两者综合（压轴过渡，高频）一一结合相似与解直角三角形，求解复杂图形（如

叠合三角形、不规则图形）的边长、角度、最值，常与动点、几何最值模型（将军饮马、隐圆）

结合，是衔接中档与压轴题的核心题型，侧重逻辑推理与运算能力。

共性考向：均侧重“转化思想”，相似侧重“比例转化”，解直角三角形侧重“直角转化”，

贴合中考“几何直观、运算能力”核心素养，设问分层，兼顾基础与区分度。

2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板）

瓶颈1：相似三角形判定与应用薄弱，不会快速找相等的角（对顶角、同位角、余角等），混淆

判定条件，不会构造相似辅助线（如作平行线、延长线），无法建立比例关系。

瓶颈2：解直角三角形易错点突出，记错锐角三角函数定义（混淆对边、邻边），忽略“直角三

角形”前提，不会将非直角三角形转化为直角三角形（不会作高），情境题不会提炼几何模型。

瓶颈3：综合题衔接不畅，无法快速拆分复杂图形，不会结合相似与解直角三角形的性质建立关

联，比例计算、三角函数计算失误频发，导致解题断层。

瓶颈4；细节把控不足，相似三角形中忽略“对应关系”（找错对应边.对应角），解直角三角

形中忽略单位换算（如坡度、角度单位），导致错解。

02方法建模.

&结论背记

一、核心基础公式（解题地基，必背）

（一）通用基础公式（两大模块均需用到）

1.勾股定理：在Rt4ABC中，ZC=90°,则a2+b2=c2（、a、b为直角边，c为斜边）,用于求边长、

验证直角三角形。

2.两点距离公式：AB=J（X2-x"2+（y2-yi）2（适配坐标型相似、解直角三角形，求线段长度）。

3.比例基本性质：若|=5，则ad=be（交叉相乘）；若*=：=亍=k,则：：；：；=k（合比性质，适

配相似比例计算）。

4.三角形内角和：々A+匕B+乙C=180°（用于求未知角，辅助相似判定、解直角三角形）。

（二）相似二角形基础公式

1.相似三角形判定公式（中考必考，3种核心判定）

2.AA判定（两角分别相等）：若NA=NA,乙B=LB',则△ABC〜△A'B'C'（中考最常用，适配所

有几何综合题）。

3.SAS判定（两边成比例且夹角相等）：若怒=怒，且"1二4“，则4ABCs△A'B'C'（易错点:

夹角必须是成比例两边的夹角）。

4.SSS判定（三边成比例）：若怒=痣=怒，则4ABC〜△A'B'C'（中考较少单独考，多结合网

格、坐标考查）。

5.相似三角形性质公式（核心应用，求边长、面积）

6.对应边成比例：=（k为相似比）。

CDALISL

7.对应角相等：zA=zA\乙8二匕夕，LC=LC（用于角度转化、证明平行）。

8.周长比：^2=k（等于相似比）。

^△ArBrCz

9.面积比：含*=k2（等于相似比的平方，中考高频考点）。

io.对应高、对应中线、对应角平分线比：2=E=：=k:等于相似比，拓展考点）。

hm'tz

（三）解直角三角形基础公式

1.三角函数定义（核心，必背）

在RtZ\ABC中，ZC=90°,NA、/B为锐角，对边分别为、、a、b、c（a为NA对边，b为NB对边，c为斜

边）：

2.正弦：的对边斜边sinA="的对边=1

斜边c

3.余弦：的邻边斜边cosA=包警=匕

斜边c

4.正切：的对边的邻边tanA=嘤要

△A的邻边b

5.互余角三角函数关系：sinA=cos（90°—A）,tanA-tan（90°—A）=1（简化计算，避免查表）。

6.特殊角三角函数值（中考必考，精准记忆）

7.解直角三角形核心边角关系（直接套用）

8.边边关系：a2+b2=c2（勾股定理）。

9.边角关系：sin/l=-^>a=c-sin/1,c=同理COS/1==C•COS/1，C=­7；tan/l===a=

csin/iccos/ib

6tan46=焉

10.角角关系：zA+4B=90°（用于求未知角）。

二、万能建模公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用）

模块1：相似三角形万能建模公式（中考高频，分4类核心模型）

模型1：A字型相似（基础高频，必考）

1.模型识别：有一条公共角（如NA）,另外两边被一条平行于第三边的直线所载（如DE〃BC）,构

成“A”型结构。

2.万能步骤：识别公共角一证明两直线平行（或两角相等）一判定相似一套用相似性质公式求边长/

面积。

3.核心公式：△ADE〜△ABC（AA判定），笔=空=誓=k,^APfc=k2o

AHACBC、ZiABC

4.拓展：若DE不平行于BC,但/ADEnNABC,仍为A字型相似（AA判定），公式不变。

模型2：8字型（X字型）相似（基础高频,必考）

5.模型识别：两条线段相交（如AC与BD交于点0）,对顶角相等，另外一组角相等（或两直线平

行），构成“8”型结构。

6.万能步骤：识别对顶角一证明另一组角相等（或两直线平行）一判定相似一套用比例公式。

：2

7.核心公式：ZkAOB〜/XCOD（AA判定），m=第=票=k,SAAOBSACOD=ko

8.拓展：若AB〃CD,可直接判定相似，无需额外证明角相等。

模型3：相似与动点/面积综合（中考压轴，拉分点）

9.模型识别：动点P在图形上运动，构成的三角形与固定三角形相似，或求动点运动过程中三角形面

积比。

10.万能步骤：设参数表示动点坐标/边长一分类讨论相似对应顶点一套用相似比例公式一列方程求解/

计算面积比。

11.核心公式：

PAPRPAPR

相似分类：若△PAB〜△CDE,分两种对应情况，Yn=DE^DE=CD;

面积比：冲=k2a为相似比），结合铅垂高法可快速求面积。

'△CDE

模块2：解直角三角形万能建模公式（中考高频，分4类核心场景）

模型1：仰俯角问题（实际应用，必考）

12.模型识别；涉及“仰角”（从低处看高处，视线与水平线夹角）、“俯角”（从高处看低处，视线

与水平线夹角），需构造直角三角形。

13.万能步骤：构造RtA（作水平线/垂直线，转化为直角三角形）一标注已知角（仰俯角）和已知边

一套用三角函数公式计算。

14.核心公式：

仰角a：垂直高度水平距离tana=蕊黑h=d-tana,d=

俯角a：与仰角相等（内错角），公式同上，注意区分“垂直高度”和“观测点高度”。

模型2：坡度（坡比）问题（实际应用，高频）

15.模型识别：涉及“坡度i”“坡角a"，坡面为斜边，坡度是垂直高度与水平宽度的比c

16.万能步骤：明确坡度定义一构造Rt△（坡面为斜边，垂直高度为对边，水平宽度为邻边）一套用三角函

数公式。

17.核心公式：

坡度定义：垂直高度水平宽度i=器翳=tana（a为坡角）：

水平宽度1

坡面长度：AB=：=L［勾股定理+三角函数结合）。

易错点：坡度是“垂直高度:水平宽度”，不是坡面与水平宽度的比，避免混淆。

G技法归纳

方法一A字模型求解及技巧

由平行线证三角形相似，找准对应边，利用比例关系求解线段长度。

例题1（2025•四川绵阳•二模）如图，已知△44。和△CQ•是等腰直角三角形，其中

14BC-/CEF-90°,且月是中线4。的中点，连接“尸，若力A=4,则线段“少的长为（)

C.72

例题2（2025九年级•全国•专题练习）（1）如图，在△X8C中，点。、E、。分别在月6、AC.BC

Dppp

上，且DEWBC,4Q交DE于点P,求证：—=—.

BQ(JC

C

（2）如图，△月8c中，/切。=90。，正方形。EFG的四个顶点在△力灰？的边上，连结月G,"分别交OE

于M,N两点.

①如图，若＜«=力。=1,直接写出MN的长;

②如图，求证：MN2=QM.EN.

A

例题3（2024•山东青岛）矩形月8切中，gCD=3cm,AD=BC=A^〃'是对角线，动点〃从点力出

发沿力。方向向点C匀速运动，速度为Icm/s：动点。从点。出发沿Q9方向向点〃匀速运动，速度为

2ciri/s.过点”作旗的垂线段加，运动过程中始终保持力与欧互相垂直，连接偌交力。于点。.若点、P

和点。同时出发，设运动的时间为£（s）（0<?<1.5）,解答下列问题：

（1）求当［为何值时，四边形必T0为矩形;

（2）是否存在一个时刻，使//O与力。互相垂直？如果存在请求出Z值；如果不存在请说明理由；

75

（3）是否存在一个时刻，使矩形力及刀的面枳是四边形/W面积的；；，如果存在请求出［值：如果不存

44

在请说明理由.

方法二8字模型求解及技巧

依托对顶角与相等内角判定相似，借助线段比例、角度关系进行计算。

例题1（25-26九年级上-安徽安庆・期中）如图，在△48。中，点〃是边8。的中点，点〃为边4C上任

1RF

意一点，BF交力D于点、E,且。£二彳/七，则h的值为（）

3EF

A

45

C.D.

33

例题2(25-26九年级上•四川宜宾•期中)在用“8。中，/A4c=90。，AB=\,BC=A，点、。是BC

边上的动点.连接40,作Rt4DE,如图所示，ND/E=90。,NEDC=NBAD,连接则力。+；8石

的最小值是.

例题3(2025•辽宁铁岭•三模)如图，在△力4c中，AB=AC,P为4C边上一点，连接尸8,将△尸8c

沿PB翻折，得到△PB。，PD交AB于点、E.

(1)如图1,当。。〃8。时，猜想四边形8CP。的形状，并说明理由.

(2)如图2,当PD1AB,/。=；力。时，请判断线段力瓦。旦3£之间的数量关系，并证明你的结论.

(3)若tan/=K，BC=3,在"BP和ABDP中,当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直

接写出ABDP与△力8C重置部分的面积.

方法三母子相似模型求解及技巧

利用公共角搭配特殊角证相似，借助公共边建立比例式，快速解题。

例题1(2024•浙江•一模)如图，正方形的边长为2,BE平分/DBC交DC于E,/是8C延长

线上一点，且CF=CE,夕E延长线交。尸于G,则8GEG的值是_____.

例题2(2025九年级•全国•专题练习)如图，在菱形45c。中，点区尸分别在边8C,C。上,

BE=FD,力”的延长线交3c的延长线于点〃，力£的延长线交。。的延长线于点G

(1)求证：△AFDs^GAD.

(2)如果。尸=CDC。，求证：BE=CH.

例题3(2024•四川成都)在矩形48CQ中，AB=4,BC=3,E是AB边上一点,EFA.CE交4D于点、

F,过点E作=交射线产。于点〃，交射线C。于点N.

(1)如图“，当点”与点尸重合时，求的长.

图。

(2)如图力,当点〃在线段尸。上时，设BE=x,DN=y,求P与x之间的函数关系式，并写出它的定义

域.

AEB

图b

（3）连接力C,当a/T力与△力EC相似时，求线段Z）N的长.

图c

方法四仰角俯角问题（解直角三角形的应用）解题技巧

构造直角三角形，锁定对应角度，运用三角函数求解高度与水平距离。

例题1（2025•天津・中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑48的高度

（如图①）.

某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点力，E,。依次在同一条水平直线上，CDA.AC,

EFLAC,且CO=稗=1.7m.在。处测得世纪钟建筑顶部4的仰角为22。，在厂处测得世纪钟建筑顶部〃

的仰角为31。，CE=32m.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑48的高度（结果取整数）.

参考数据：tan22°«0.4,tan310*0.6.

例题2（2025•四川成都•中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门/I与东门

8之间的距离.如图，无人机从西门力处垂直上升至C处，在。处测得东门片的俯角为30。，然后沿方

向飞行60米到达〃处，在〃处测得西门力的俯角为63.4。.求校园西门力与东门8之间的距离.（结果精

确到0.1米；参考数据：sin63.40*0,89,cos63.4°*0.45,tan63.4°«2.00,73«1.73）

例题3（2025•山东青岛•中考真题）学校综合实践小组测最博学楼的高度.如图，点力，B,C,D,

E在同一平面内.点8，C,。在同一水平线匕一和成员从19米高的厚德楼顶部力测得博学楼的顶部E

的俯角为22。，另一组成员沿8。方向从厚德楼底部6点向博学楼走15米到达。点，在。点测得博学楼顶部

E的仰角为42。，求博学楼。£的高度.（参考数据：sin22。之93cos22°«1^5,tan22°«2-,sin42°«—27,

方法五坡度坡比问题（解直角三角形的应用）解题技巧

牢记坡比定义，构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数解决坡面计算。

例题1（2026•广西玉林・一模）为落实适老化改造要求，某老年大学对教学楼入II进行升级，将原有三

级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行.已知每级台阶高为20cm,深为30cm,设台阶的起点为力，

斜坡的起始点为C,现设计斜坡的坡度i=l：5,则4C的长度是（）

C.240cmD.300cm

例题2（2026•湖北褰阳•一模）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山.他们从山底力处出发，先步

行200m到达8处，再从8处坐缆车到达山顶C处.已知山坡43的坡角a=16。，缆车的行驶路线8c与水

平面的夹角A=37。，这座山的高度CZ）=296m,4B,C,。在同一平面内.（参考数据：

sinl6°«0.28,cos!6®0.96,tanl6°«0.29：sin370ao.60,cos37c«0.830,tan37°«0.75）

⑴求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；

（2）求缆车的行驶路线8C的长（结果取整数）.

例题3（25-26九年级下•山东烟台•期中）如图是某商场的刍动扶梯，其中44为从一楼到二楼扶梯的

侧面示意图.小明站在扶梯起点/处时，测得天花板上日光灯C的仰角为30。，此时他的眼睛。与地面的距

离,40=1.6m,之后他沿一楼扶梯到达顶端8后又沿BE（BE\\AF）向正前方走了3m,发现日光灯C刚好

在他的正上方，已知自动扶梯44的坡度为1:2.4,的长度是13m.

⑴求图中8到一楼地面的高度:

⑵求口光灯C到一楼地面的高度.（百。1.732,结果精确到0.1m）

方法六相似+解直角三角形综合解题技巧

用相似转化线段关系，结合直角三角形三角函数，拆分步骤综合求解。

例题1（2026•陕西渭南•一模）背景：某数学小组的成员利用所学知识在周末测量了一棵银杏树的高度

AB.

测量过程：该小组的同学甲在地面上的点C处测量了银杏树顶端力的仰角/4C8的度数；该小组的同学乙

在地面上的点〃处放置一面平面镜（大小忽略不计），随后从点〃处沿方向移动至点£处时，恰好从平

面镜中看到银杏树顶端月的像.

数据：CO=16.5米，。£=2米，£〃=1.6米，N4C8=63.4。.

说明：AB上BE,EFA.BE,点、B、。、D、£'在一条直线上，图中所有点均在同一平面内.

任务：求银杏树的高度48.（参考数据：sin63.4。°0.89,cos63.4°«0.45,tan63.4°=2.00）

例题2（2026•陕西西安・模拟预测）在数学综合实践活动中，小思和小欣利用所学的数学知识测量学校

花坛内一棵大树力片的高度，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小思把镜子水平放在点七处，然后

沿着直线仍•后退至点。处，这时恰好在镜子里看到树的顶端力，即=然后小思乂在C处用测

倾器测得树的顶端力处的仰角为26.6度：小欣用皮尺分别测量DE及小思目高（8）的长.已知

于点。，4B工BD于点、B,。£=20米，。=1.5米，请你利用测得的数据求出这棵树（AB）的高度.（结

果保留整数.参考数据:sin26.6°«0.45,cos26.6°®0.89,tan26.6°«0.50）

例题3（2026•陕西咸阳•二模）如图，一棵大树”8由于风力所致，在力处断裂，断裂后大树的顶端〃

落在地面上的G处，大树43段在地面上的影长4。为2.8米，此时站在地面上的彤彤身高。2为1.7米，

同一时刻落在地面上的影长为0.85米，彤彤用测倾仪测得=53.3。，己知48上G产，DEtGF,

G,B,C,E,尸在同一直线上，请根据以上数据估算大树"8的高度.（结果保留一位小数，参考数据：

sin53.3°«0.80,8s53.3020.60,tan53.3°»1.34)

03题型专攻.

【题型01】A字模型（共5题）

1.（2024•山东济南）如图，在中，48c=90。，ZC=30°,以点力为圆心，以48的长为半径作

弧交/C于点。，连接30,再分别以点。，。为圆心，大于gm的长为半径作弧，两弧交于点尸，作射线

4P交BC于息E,连接OE,则下列结论中不走砸的是（）

A.BE=DEB.。£垂直平分线段4C

C.D.BD2=BCBE

34ABC3

2.（2025•吉林）如图，△力加的顶点力在函数尸&（^>0）的图象上，N480=90°,过加边的三等分

X

点从川分别作彳轴的平行线交/区于点只0.若△4V0的面积为1,则在的值为（)

C.15D.18

3.（2026•安徽六安•一模）如图，在△48C中，OE垂直平分边8C,垂足为点。，交AB于点E,点G

为。。的中点，连接4G与CE交于点方.若4G=4C,则下列结论错误的是（).

,、4E3

R----=一c,竺=2I),里，

AF3BE4AE12CF5

4.（25-26九年级上•江苏苏州・月考）如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,四边形是正方形,

AC=\5,8C=10,4F交DE于点、G.

⑴求正方形CQEF的边长;

（2）求EG的长.

5.（23-24九年级上-安徽淮南-期末）如图1点。为半径为R的。。内一点，。为射线上一点，如果

满足OPO?=R2,则称R。两点为互为反演点，已知：如图2,反〃两点及4尸两点分别为OO的互

为反演点.

A

(1)求证：QEFS4OAB：

（2）△。力8中，ZJ=90°,延长正与。O相交于。点，求证：8。是。。的切线.

【题型02】8字模型（共5题）

1.（2025•陕西西安•模拟预测）如图，点4,B,C均在。。上，若4=50。，4=65。，则N4OC-NC

的度数为（）

C

A.95°B.90°C.85。D.80°

2.（24-25九年级上•福建泉州•月考）如图，已知在平面直角坐标系xQy中，点。是坐标原点，点力是

函数P='（x<0）图象上一点，力。的延长线交函数y=C（x>0,4是不等于0的常数）的图象于点C,

xx

点4关于，轴的对称点H，点。关于x轴的对称点为。，连结CC'交x轴于点8,连结AA\HU,

若△力8C的面积等于6,则由线段4。，CC',CW,所围成的图形的面积等于.

3.（2025•四川成都•二模）菱形44。力中，点£为CO边上一动点，射线/E与4C的延长线交于点尸,

连接DF,射线BE与DF交于点G.

⑴如图1,E为CD中点、,ZAEB=ZBCD.

①求证：BE'CEBC;

②若48=6,求线段£G的长：

(2)如图2,点〃在边月〃上，若/EBH=/BCD=60。,BE=4EG=2,线段力”的长为

4.(2026•江苏扬州・一模)综合与探究

学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加

辅功线.所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角

形的有关知识来解决问题的方法.

如图1,在Rt△4AC中,0,连接力。并延长,使得力。=0。，连接8。、CD,四边形力BQC

为平行四边形.

图1图2图3备用图

初步探究：

(1)如图2,数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将RlA/BC保持固

定，R3/OE绕点力按逆时针方向旋转，其中N/C5-N,4EZ)=90。，若N/8C=30。，当点后落在儿?边上

时，连接4月并延长，使得CE=EF,连接力尸、BF,判断四边形4c8尸的形状，并说明理由.

深入探究：

(2)如图3,当绕点力按逆时针方向旋转90°时，连接CO、BE,取8E的中点A连接力P交。。

于点0，试判断力尸和C。的数量关系和位置关系，并说明理由.

拓展延伸：

⑶当Rl4DE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接BE，必是射线AC上的一点，连接DM,过点A作DM

的垂线交8E于点G,若6是8E的三等分点，请直接写出桨■的值.

AC

5.(25-26九年级上•辽宁沈阳•期末)在矩形48co中，AB=2,"4力。的平分线交B力于点O,交射

线8c于点交射线OC于点/，取跖的中点G,连接8G、DG.

（1）利用图①，求证：BA=BE;

（2）若射线5G交射线QC于点〃，当时，请直接写出AG"/的面积:

（）F4

⑶如图②,DG交BC于点M,若而不求C”的长.

【题型03】母子相似模型（共5题）

1.（2024•重庆梁平）如图，在平面直角坐标系中，矩形。力4C的顶点8在第一象限，点C在x轴上，点力

k

在y轴上，。、E分别是48、。彳的中点.过点。的双曲线y=-（x>0/>0）与8c交于点G.连结。C,

x

点F在QC上，且。/："=3:1,连结EF.若DE/7的面积为6,则A的值为.

2.（2024•安徽•模拟预测）如图1,在四边形中，NABC=NBDE,点C在边BD上,且

AC〃DE,4B〃CE,点F在边AC上,且/1E=CE,连接BF,D尸,DF交CE于点G.

EE

E

BDBDRD

图I图2图3

(1)求证：BF=DF；

⑵如图2,若乙4CE=NCDF,求证:CECF=BFDGx

.BC&…

⑶如图3,若延长8厂恰好经过点E,求7万的值•

V--A-X

3.（2025•山东泰安）如图，已知矩形"CO的两条对•角线相交于点0,过点力作4GJ_8O分别交4。、BC

千点G、E.

(1)求证：EB?=EG•EA；

(2)连接CG,若BE=CE.求证：4CGE=/DBC.

4.（2025•全国•专题练习）（1）如图，点。在线段月8上，点。西在直线48的同侧,

ACAD

4=NDCE=NB,求证:

BEBC

（2）如图，点C在线段力3上,点DE在直线力8的同侧,ZJ=ZDCE=ZCBE=90°Z.ADC=ZABD,

4c=3,BC=—t求tan/88的值;

（3）如图，△川5。中，点。在48边上，且=JC=3,BC=大，点E在BD边上,连接CE,

1。I）心

N6C£+NA4O=180。，CE=一,求一的值.

5C-D

5.（2024•陕西西安）如图，小华和同班秋游时，发现在某地小山坡的点/处有一棵小树.他们想利用皮

尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即QE的长度），小华站在点“处，让同班移动平面镜至点

。史，此时小华在平面镜内可以看到点£且测得3C=2米，CD=59米，NCQE=120。.已知小华的身而

"=1.6米,请根据以上数据，求的长度.（结果保留根号）

【题型04】仰角俯角问题（解直角三角形的应用）（共5题）

1.（2024•广东广州•中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“看上组合

体”）成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“看上组合体”的模拟装置，在一次试验中，

如图，该模拟装置在缓速下降阶段从4点垂直下降到8点，再垂直下降到着陆点。，从8点测得地面。点

的俯角为36.87。，/。=17米，BD=10米.

⑵若模拟装置从4点以每秒2米的速度匀速下降到8点，求模拟装置从力点下降到8点的时间.（参考数

据：sin36.87°»0.60,cos36.87°«0.80,tan36.87°«0.75）

2.（2025-山东德州-中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山.他们从山底力处出发，先步

行200m到达9处，再从"处坐缆车到达山顶。处.已知山坡48的坡角a=16。，缆车的行驶路线AC与水

平面的夹角夕=37。，这座山的高度CO=296m,4B,C,〃在同一平面内.

（1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）：

⑵求缆车的行驶路线8C的长（结果取整数）.（参考数据：sinl6°«0.28,cosl6°«0.96,tanl6°^0.29；

sin37°»0.60,cos37°»0.80,tan37°«0.75）

3.（2026•山东临沂-一模）某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最

北端的“北水门”高度进行了实地测量.操作过程如下：

如图，测试小组利用测角仪从点2处观测大门顶端4点的仰角为23.5。.在测角仪和大门之间水平光滑的地

面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面I：来回移动，当平面镜上的标记位

丁点石处时，观测的同学恰好能从点〃处看到大门顶端月在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得

CE=2米.已知测角仪的高度C0=l米，点力，B,C,D,£在同一竖直平面内，且点8E,。在同一条水

平直线上.求北水门的高度.（结果精确到1米,参考数据:sin23.5°«0.40,cos23.5。=0.92,

tan23.5。=0.43)

A

4.（2026•安徽阜阳-二模）某数学实践活动小组测量某电视塔的高度。E,如图，是长为15m的斜坡,

坡角为36.5。，坡底C到塔底。的距离为37m./也是垂直地面的测角仪，从点力测得塔顶K的仰角为

42.7°,已知测角仪力4的高为1.5m,试求电视塔的高度.（已知图上所有的点都在同一平面，参考数据:

sin36.50*0.59,cos36.5°»0.80,tan36.5°«0.74,sin42.7°«0.68,cos42.7°=0.73,tan42.7«0.92）

5.（2026•江苏徐州•一模）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度，在征得家长同意后，他们

带着工具前往测量.测显示意图如图所示，他们在坡面用上的点〃处安装测角仪力E,测得信号杆顶端力

的仰角a为45。，与坡面的夹角尸为72.5。，乂测得点〃与信号杆底端〃之间的距离08为22m.已知

DE=1.7m点A,B,。在同一条直线上，AB,QE均与水平线”垂直.求信号杆的高48.（参考数据:

sin72.5°«0.95,cos72.50*0,30,tan72.5°®3.17)

【题型05】坡度坡比问题（解直角三角形的应用）（共5题）

1.（2026•广东广州-一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所

学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下:

（i）直线主坡道4C的水平距离为20m,坡度为0.12；

（ii）左、右两段缓坡道为48,CD,水平距离均为5m；

（iii）和车库地面均与水平方向平行.

已知坡度二普黑,试根据上述信息解决以下问题:

（1）求主坡道的铅直高度CG；

⑵根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的坡道的最小净高不低于2.2m.（坡道的净

高为车库上方横梁到坡道的垂直距离）

①求车库高度/K；

②若。£二22m,判断该坡道的最小净高“■是否符合设计规范，并说明理由.

参考数据：当tana=0.12时，sina«0.12,cosa«0.99.

2.（2026•山西忻州-一模）综合与实践

如图1,综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐

杖出门的老人存在安全隐患.综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下.

图I

信息采集：

①国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：

轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于L5m（满足轮椅转身、停留需求）；

无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于1.2m.

②某单元门II数据采集：

入户台阶总高度为0.3m：

入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为6m.

③计划修建的轮椅通行坡道的坡度为1：12.

方案设计:

方案二：两段式折返坡

方案方案一：单段直坡道

道

示意图T1

豳

如图3,入户台阶高度

43=0.3m,坡道起点

如图2,入户台阶高度

和中间休息平台的水

48=0.3m,坡道起点

平长度

和终点休息平台的水

数据分析JC=D£=1.5m（终

平长度

点为单元门前人行道，

AC=DE=\.5m,CD

无需另外设计平台），

为单段直坡道：

和。8为两段式折

返坡道.

问题解决:

⑴结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中跖二______m,该方案______（填“可行”或“不

可行”）.

（2）结合题意判断方案二是否可行，并说明理由.

3.（2026•山西运城・二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电

等清洁能源项目建设，助力能源结构转型.图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估

算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解.

测量方案及数据：如图2,线段48表示风电架，小陈在点。（&。在同一直线上）处测得风电架顶部点力

的仰角/力。〃为37。.他从点C沿着小山坡走到点。，此时测得风电架顶部点片的仰角N4QE为32。，山

坡C。的坡度i=l：2,点。到8c的距离为4m.

任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架力B的高度（结果精

确到1m,参考数据:sin37°»0.60,cos37°»0.80,tan37°»0.75,sin32°»0.53,cos32°«0.85,tan32°»0.62）.

图1图2

4.（2026•陕西西安-模拟预测）2026米兰冬奥会，自由式滑雪冠军谷爱凌在赛道上奋勇冲刺.一架无人

机在着陆坡坡道月8上方水平向右飞行跟踪拍摄.当谷爱凌在4点时，无人机在她仰角为45°的斜上方。

处；当谷爱凌到达4点时，无人机恰好飞到她正上方。处.已知坡道的坡度为1:6,坡长48=60米,

无人机水平飞行距离。。=20米，求无人机禽地面的高度8。的长.（百=1.732,结果保留整数.）

5.（2026•江苏无锡・一模）在综合与实践活动课上，某数学兴趣小组要测量水平地面上建筑物48的高

度.如图，在建筑物4B旁有一小山坡CZ）,测得山坡C。的坡度，（即tana）为k百,CQ=32m,在〃

处测得A处的仰角为75。，在。处测得A处的仰角为30。.

（1）求/。4c的度数；

（2）求建筑物的高度.（计算过程和结果中的数据不取近似数）

【题型06］相似+解直角三角形综合（共3题）

1.（2026•广东东莞•一模）东莞运河是20世纪60年代开挖的一条人工河，全长103公里，是广东省最

长的运河.是东莞人民靠双手“锄挖肩挑”建成的奇迹.某项FI学习小组的同学想要测量某段运河的宽度,

他们设计了如下测量方案：如图，在运河的对岸岸边任取一点/1,再在河的这边取两点反C,在点2处测

得川？与河岸的夹角。为20°,在点。处测得力。与河岸的夹角£为45",B、。两点间的距离为100米.

备用图

（1）求该段运河的宽度（即△//C中4C边上的高）：

（结果精确到0.1米;参考数据:sin20°«034,cos20°»0.94,tan20°®036）

（2）学习小组在测量时发现还有其他测量方案，请你另外设计一套测量运河宽度的方案.

要求：在备用图中画出图形、标出字母，并作出简要说明.

2.（2026•陕西汉中•二模）【问题背景】万佛楼，为重檐歇」式三层砖木结构建筑（如图1）.阳光明

媚的一天，林林所在的数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识测量万佛楼的高度AB.

【测量过程】如图2,为了测量方便，在该楼一侧地面上的点K处斜放了一个背景板KA7,它与地面8N的

夹角为NMKN,身高1.5米的林林（CD）在阳光下的影长为。E,同一时刻此楼48的最高点力在阳光下

的影子落在背景板上的点尸处.

【测量数据】2MKN=37。,QE=1米，KF=、米,BK=6米.

［参考数据］sin37°x0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75.

已知481ON,CD1DN,点。、E、B、K、N在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内.请你根据以

上信息求出万佛楼的高度力〃.

3.（2026•河南•一模）阅读下表中的测量方法，回答下列问题.

活动利用•副三角板和平面镜测量校园外居民楼的高度

主题

实物

C

飞F

图和

、、*、、

测量

示意

A()4

图

1.将平面镜做标记后平放在地面点。处.

2.学生（身高1.7m,眼睛高度约为1.6m）移动至点力手持45。三角板，一条直角边平行地面（水

平），另一条竖直向上，调整头部使“眼睛一斜边一平面镜中居民楼顶端C”共线（视线与地面

测量

夹角为45。），且力、0、3（居民楼底部）三点共线.

说明

3.将平面镜向后平移到点Q,人后退到点4此时手持30。三角板，一条直角边平行地面（水

平），另一条竖直向上，斜边朝平面镜，调整头部让“眼睛一斜边一平面镜中居民楼顶端C”共

线（视线与地面夹角为30。）