高中数学必修第2册第七章综合测试A卷（解析版）

第七章复数综合测试卷A卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求。

1,若(a+3i)i=b—2i,其中小OwR,i是虚数单位，则，=()

△3、3.22

A.--B.-C.-D.--

2233

【答案】B

【详解】

(t?+3i)i=-3+(zi=Z?-2i,

所以。=-2,6=-3,得

a2

故选：B

2.若复数z满足iz=l-i(i为虚数单位)，5为z的共枕复数，贝小5|=()

A.—B.1C.x/2D.2

2

【答案】C【详解】

令z=a+b'\,R.R,则iz=ai-b=1—i,

所以〃故5=—1+i,

所以

故选：C

3.若复数z满足(3-4i)z=|3+4i],则复平面内表示z的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A【详解】

可得.巴5(3广)8士

由题意,复数z满足（3-旬z=|3+4i|

3-4i(3-4i)(3+4i)55

34

所以复数z在复平面内对应的点的坐标为g,位于第一象限.

故选：A.

2

4.已知友数2=三，则下列结论正确的是（）

1-I

A.z的虚部为iB.\z\=2

C.z的共枕复数）=-1+iD.z?为纯虚数

【答案】D【详解】

解：z=7^7==l+i,「.z的虚部为1,|2|=拒：2=21为纯虚数，z=l-i.

I—1（/I-H|乂|十|）

正确的结论是D.

故选：D.

5.据记载，欧拉公式*=C0SATisiiuawR）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被

誉为“数学中的天桥”•特别是当X=九时，得到一个令人着迷的优美恒等式屋+1=0,将

数学中五个重要的数（自然对数的底e,圆周率兀，虚数单位i,自然数的单位1和零元（））

联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式〃.根据欧拉公式，复数z=/的

虚部（）

A.B.:C.2D.也

4422

【答案】D

【详解】

山题意，^z=e4'=cos—+isin—=—+—i,

4422

则复数Z的虚部为立.

2

故选：D.

6.在复平面内，满足(z—2)i=l+i的复数z对应的点为Z,则|0Z|二()

A.V2B.x/5C.2V2D.晒

【答案】D【详解】

因为(z—2)i=l+i,故可得z=^+2=3-i,贝IJZ(3,—1),

故|oz卜旧石7=丽.

故选：D.

7.已知zwC,且|zT|=I,/•为虚数单位，则|z-3-5i|的最大值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B【详解】

根据复数的几何意义，兀知|z-Z|二l中z对应点z的轨迹是以C(O.1)为圆心，r=l为半径

的圆.

v|z-3-5i|表示圆C上的点到43,5)的距离，

・"2-3-54的最大值是|8|+厂=5+1=6,

故选B

8.设复数4=2而夕+沁)5夕［?＜。＜1在复平面上对应向量将向量绕原点。

按顺时针方向旋转号后得到向量OZ?,QZ2对应复数Z2=r(cose+isine),则tanp二

()

2tan0+12tan。一11

A.B.C.D.

2tan6^-12(an6>+l2tan<9+12tan<9-1

【答案】A【详解】

因为|zJ=J4sin」夕+COS?8=Jl+3sin2，,

所以马=Jl+3sin2。2sin。icos。

、Jl+3sin2®Vl+3sin2<9>

2sin0._COS0

设cos^=,sin/?=

2加恒

Vl+3sin2^Vl+3sin(9，J,

cos6

则tanp=

2sin0

5乃R.

即厂=4+%访2”，cos=cos+//I,sinw=sin

1+cos。

_l+tan/?_"2siie_2tan〃+l

一匚丽一Icos。ItanO-l•故送'A-

'1------

2sin。

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错得0分。

9.已知复数z=3-4i（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（）

A•|z|=5B.z的虚部是4

C.z-3+4i是纯虚数D.z在复平面上对应点在第四象限

【答案】AD【详解】

复数z=3—4i,则|目=回声尸=5,故A正确;

z=3—4i的虚部是T,故B错误；z-3+4i=3-4i-3+4i=0,是实数，故C错误;

Z在复平面上对应点的坐标为(3,-4),在第四象限，故D正确.

故选：AD

10.若复数z满足z(|—i)=|l+/|,则()

A.z=l+iB.W=2

C.z-z=2D.z2=l-2i

【答案】AC【详解】

因为z(l-i)=|I+©|,

叵=*L=*0=i+i,

l-i(l+i)(l-f)2

则忖=JLz-z=2,z?=2i,

故选：AC

11.己知复数4=—^―+(tr-2)i,z

2=\-ai(aG)»若Z+z?为实数，则()

a+2y,

A.a=\B.马4=75

C.z?6为纯虚数D.三对应的点位于第二象限

【答案】AC【详解】

因为Z]=—^+(“2_2)i42=R),

所以4+z2=6+(‘J-2)i+1+〃i

~a+2v7

=a+8+(〃2+a—2)i,

a+217

_a2+a-2=0

因为4+4为实数，所以〃+2工0，解得。1,

所以A正确，zt=2-i,z2=l-i,

所以z再=(2—i)(2+i)=5,所以B错误，

z/=(l-i/=[(l-i)2J=(-2i/=8i为纯虚数，所以C正确，

2=飞:+?=2+2：1?=93,其在复平面内对应的点在第一象限，所以

z21—1(1-1)(1+1)222

D错误，

故选：AC

12.已知复数4*2/3,%是Z的共枕复数，则下列结论正确的是()

A.若Z|+Z2=0,则|马|=闯B.若Z2=Z，则㈤=%|

C.若4=乎2，则㈤=|马上|D.若卜+1|=忆+1|,则㈤=肉|

【答案】ABC【详解】

对于A：

若z,+z2=(),则z,=-z：,故㈤=|-z2|=同，

所以A正确；

对于B：

若Z2=Z],则KJ=Z|,

所以B正确；

对于C；

设4=z](cosa+isina),z2=z;(cosp+isin/?)

则Z3=44=M(cos(a+/?)+isin(a+用)，故㈤=㈤同，

所以C正确;

对于D：

如下图所示，若为=4+1,OB=z2+1,则%=4，0D=Z2,故|zj0上|,

所以D错误.

故选：ABC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在复平面内，复数注对应的点为Z,则点Z的坐标为________

2-1

【答案】（1,1）【详解】

3+i_（3+i）（2+i）_5+5i

•2-i（2-i）（2+i）5'

故答案为：（1,1）.

14.复数Z[=cosx—isinx,Z2=sinx-icosx,则归・Z2|=.

【答案】1【详解】

22

•z2=（cosx-isinx）（sinA-icosx）=-i（sinx+cosx）=-i,

故区勾=1

故答案为：1

15.i为虚数单位，复数——=_____.

3-41

【答案】-；+事【详解】

l+2i(l+2i)(3+4i)-5+10i12.

3-4i(3-4i)(3+4i)2555

故答案为：一g+i1L

16.(1)设复数2=旨(其中i为虚数单位)，则Z的虚部是.(2)已知复数

Z满足IZ|=I,则Iz-3i|的取值范围为.(其中i为虚数单位)

【答案】1⑵轴【详解】

(1)”詈，则z的虚部是1;

l-i(「1-唾0(1+.1不)

(2)由复数z满足|z|=l,复数z在复平面内的几何意义为以原点为圆心，半径为1的

圆，

则Iz-3i|的几何意义为圆上的点到(0.3)的距离，则其最小值为圆心到(0,3)的距离减去

半径即3-1=2,最大值为圆心到(。、3)的距离加上半径即3+1=4,

则|z-3i|的取值范围为[2,4].

故答案为:1;(2,4)

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余各小题为12分，共70分。

17.已知z为复数，z+2i和白均为实数，其中i是虚数单位.

2-1

⑴求复数忖；

-I7

⑵若复数4=2+9--[i对应的点在第四象限，求〃7的取值范围.

-1tn+2

【答案】⑴忖=2右；(2)-2</〃〈'或1〈/"〈T

⑴设z=a+/，i,则z+2i=a+(〃+2)i,

z_a+bi_(a+b\)(2+i)_a-ba+2b.

2-i2-i(2-i)(2+i)55

俗+2=0「/

。=4

因为z+2i和一—均为实数，所以<a+2b_＞解得入r

2-1---=0[b=-2

所以z=4—2i,则忖=心+臼=26；

(2)

4m-32m-3.

z.=4+2iH----------------------------1----------i

m-1m+2m-1fn+2

因为4对应的点在第四象限，所以,解得-2＜加＜1或1V,”；

2＜042

〃?+2

18.已知复数z=(>_6〃?+8)+(〃/-3〃?+2)i,其中i是虚数单位，/〃为实数.

⑴当复数z为纯虚数时，求，〃的值；

(2)当复数z.i在复平面内对应的点位于第三象限时，求〃?的取值范围.

【答案】(1)4(2)(2,4)

因为z为纯虚数，

.in2-6m+8=0

所以〈,。C八

m~-3m+2。0

解得〃7=2或〃z=4,且〃！。1且用工2

综上可得，当z为纯虚数时〃?=4;

(2)

因为zi=-(>一3/〃+2)+(〃|2一6/〃+8)在复平面内对应的点位于第三象限，

一(阳2-3〃?+2)<0

rn~-6/7?+8<0

解得〃或加>2,且2Vm<4

即2<〃?<4,故m的取值范围为(2,4).

19.已知复数z产i(l—i)3.

⑴求argZ1及㈤；

(2)当复数z满足|z|=l,求|z-zj的最大值.

【答案】⑴曰=/，㈤=2后

(2)2&+1

解：Zj=i(l-i)3=2-2i,将Z]化为三角形式，得4=2&(cos?+isin?,

argZ|=?,匕|=2五.

⑵

解：由于复数z满足闫=1,设2=85。+15由夕，则z-Z]=(cosa-2)+(sina+2)i,

|z-zj2=(cosa-21+(sina+21=9+4>/5sin(a-(),

当sin(a-?)=l时.|z-z『取得最大值9+4a.

所以|z-zj的最大值为2拒+1.

20.已知复数4=〃+(7-a)i,z2=5+(3«+I)i(«GR,i是虚数单位).

（1）若Z2的实部与4的模相等，求实数。的值;

(2)若复数Z1+Z2在复平面上的对应点在第四象限，求实数〃的取值范围.

【答案】(1)a=3或a=4；(2)(-5,-4).

【详解】

(1)依题意，匕|=&2+(7~)2=:%2_]4〃+49,

因为Z2的实部与4的模相等，则j2aJ14a+49=5,整理得/一7〃+12=0,解得〃=3或

4=4,

所以a=3或a=4；

(2)因4+Z2=(a+5)+(2+8)i,而在复平面上对应点在第四象限,

。+5>0,,

于是得2。+8<0'解得一

所以实数”的取值范围是(-5,7).

21.若zwC,4z+2)=3x5+i,69=sin0-icos0(0为实数)，i为虚数单位.

(1)求复数z；

(2)求|z-同的取值范围.

【答案】(1)z邛+$；(2)[0,2].

【详解】

(1)设2=。+〃(a,〃eR),则W=a—〃j,「.4(a+4)+2(a—切)=3x/5+i,

即6a+2〃i=3G+i,所以[6：=3Q解得厂2,.一二3+乙；

2b=1,122

ib=—

2

邛+…-sin6^+(g+cos夕/

\2<।、2______________________

-sin0+一+cos。=&一\/5sine+cos〃=2-2sin夕-巳)，

(2)

'；-1<sin0-^^<I,0<2-2sin^-^<4,

.,.0引z-小2,故|z-4的取值范围是[0,2].

22.已知A(l,l),8(〃?,2),C(-2,3),。(-")是复平面上的四个点，其中m

且向量8C，AQ对应的复数分别为4，z2.

(1)若4—4=l—i,求4,z2；

(2)若忆+22|=及团=2,々对应的点在复平面内的第二象限，求河

zi-

【答案】(1)z1=-l+i,z2=-2+2i;(2)-l+2i.

【详解】

mu

解：(1)由题意可知BC=(-2,3)-(八2)=(-2-九1),所以马=一2—〃?+i.

UUU

i4D=(-l,w)-(lJ)=(-2,Ai-l),所以=-2+(/?-l)i.

乂4-z2=-/w+(2-/2)i=l-i,

-tn=1,"1二T,

所以2一〃…所以

〃=3,

所以4=一1+i,z2=-2+2i.

(2)由已知可得，4+4=(一/〃-4)+加，|z,+zj=2,所以(一/〃一4『+〃2=4,

又及㈤=2,所以(一2-.)2+1=2,

解得加=-3或〃?=-1(舍)，又与对应的点在第二象限，所以〃=行,

可得z2=-2+(G-l)i,z,->/3i=-2-i,z}=\+\t

可得上二'=与=-1+公.

马-11

第七章综合训练

一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.［云南保山期末］在复平面内，复数zi-3=-2i对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.［2023河北承德双滦期中］已知复数z=＞，则5的虚部为（）

3.（2023浙江杭州上城月考］若笈数z满足z+矢R,则|z+i|的最小值为（）

•日

A*BC.V2-1DJ

4.复数i+i2+i3+...+i202M)

A.i-iB.i

C.-lD.O

5.已知(l-i)?z=3+2i,贝Uz=()

33

c.-f+iD.-j-i

6.设复数z满足历-2i|=3,z在复平面内对应的点为。》）,则（）

A.（x-2）2+y2=9

B.（x+2）2+y2=9

C.f+（），-2）2=9

D.f+G，+2）2=9

7.已知z是复数，且p:z=；+季;炉+上R,则〃是q的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.关于登数z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）

A.3+4iB.4+3i

「.40ci/。.

C.—+31D.3+—i

Jo

二、选择题:在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知复数z=（l+2i）（2-i），为z的共枕复数，则下列结论正确的是（）

A.z的虚部为3i

B.|z|=5

C.z-4为纯虚数

D三在复平面上对应的点在第四象限

10.下列表示复数1+i的三角形式中，正确的是（）

B.A/2^cos-+isin-^

44

C.'2（sin；+icosg）

44

方（9n..9TT）

D.V2vcos—+isin—7

44

11.已知复数Z尸二（i为虚数单位），下列说法正确的是（）

-1+1

A.z,在复平面上对应的点在第三象限

Bz的虚部为-1

C.z?=4

D.满足团二匕|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆h

12.设0e）=cose+isin6（i为虚数单位），则f（＜9）=cos29+isin26＞/（6＞）=cos39+isin3仇…，若

/°（。）为实数，则0的值可能等于（）

AA，X10B，—20

c-UD'-4

三、填空题

13.[2023上海虹口校级期末]已知复数z产-V5+i,若复数z满足2iz=z\则复数z的辐角主

值为.

14.已知2i-3是关于x的方程2^+px+26=0的一个根,则实数p=.

15.在复平面内，发数z对应的点的坐标是(-2』),则i-z=.

16.已知复数z满足|z+2-4i|=2,则|z-l|的取值范围是.

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.当实数〃?为何值或何取值范围时，复数2=祗”+(4_2/方为

⑴实数？

(2)虚数?

⑶纯虚数？

18.[2023陕西咸阳武功月考]设复数z产2+小(其中a£R),Z2=4-3i,i为虚数单位.

(1)若Z1+Z2是实数，求。的值,并计算zrz2的值；

(2)若红是纯虚数，求a的值.

19.设i为虚数单位,〃£R,复数zi=2+(〃_l)i,z2=l-2i,且.请从下面三个条件中任

选一个，补充在题目的横线上，并作答.

①Z+Z2WR;②zg=6-2i;③在复平面内复数zi对应的点的横坐标等于纵坐标.

(1)求实数。的值；

(2)若0■+/?(〃匕R)是纯虚数，求实数b的值.

Z2

20.设△48C的两个内向4,8所对的边分别为ah复数zi=a+/?i,Z2=cos4+icosB,若复数

zizz为纯虚数,试判断△ABC的形状，并说明理由.

21.已知复数z\=m+n'uz2=2-2'\和z=x+yi,设z=5ii-Z2,〃w\y£R.若复数zi所对应的点

“(〃?m)在曲线产去工+2)2+|上运动，求复数z所对应的点P(xj)的轨迹C的方程.

22.已知复数zi满足(1+i”i=-1+5i,Z2=“-3+i,a2R.

(1)求力的共规复数通；

(2)若|z「z21Vlzi|,求a的取值范围.

参考答案

第七章综合训练

1.C由题意,z=2=与普=23i,根据复数的几何意义，故复数对应的点(2・3)在第三

1i(-i)

象限.

_3-i_(3-i)(3-i)_8-6i

2.C=5-|i,故5g+1i,故粉虚部为义

,一行—(3+i)(3-i)-To-

3.C设z=a+历(a/为实数且不同时为0),z+2=a+历+4=〃+历1

Za+加a2+bza2+b£

/?-总Pi,由题意可知力悬2=°，得b=0或苏+加=2.当/?=()时,z的轨迹是X轴(除原点外),

此时|z+i|的几何意义是复数z对应的点和点(0,-1)的距离，此时|z+i|>l.当苏+护=2

2

时,|z+i|=|a+(/?+l)i|=JQ2+(6+I)=73+2b,因为42+82=2,所以a?=2-力即2-加汶所

以区&.则j3-2&Wz+i|&/3+2近,解得加-13|z+i区/+l.综上,|z+i|的最小值是

V2-1.

4.BVi4=1,i2021=(i4)505-i=i,/.i+i2+i3+...+i2021=竽=i.故选B.

1-11-1

5.B由题意得2=常=堂=1+|i.

6.D因为z在复平面内对应的点为(xj),所以5=x-yi,故5-2i=x+(-y-2)i.因为区-2i|=3,所以

卜+(y+2)2=3,化简可得9+8+2)2=9.故选D.

7A显然，当z=,争时,z+；4争+1[+孚+甲=1七R,但当z」WR时，若

121z

令z=a+/7i(a力£R),则a+b\+—rr=Q+:2)+'")i,所以有〃=0或〃+〃=],不一定

2

a+bia+bQ,'+ZT

有z=1+吗.故〃是g的充分不必要条件，选A.

22

8.B设z=x+yi(x,y^R),则有"石R+2x+2yi=13+6i、于是y/x+y+2x=13,

2y=6,

“4_竺

解得X=可但为13-2仑0,故烂今,

y=3双ly=3,2

所以工二?不符合要求，故z=4+3i.

9.BCD因为z=(l+2i)(2-i)=4+3i,所以z的虎部为3,故A错误;由团=|z|="T^=5微B

正确;z-4=3i为纯虚数，故C正确3=4-3i在复平面上对应的点(4,-3)在第四象限，故D正确.

故选BCD.

10.BD对于A,V^[cosC^-isin(L1+i,但是不满足复数的三角形式，故A不正确;

对于B,应Q喏+isin?=l+i,故B正确;对于C,a(衬+近端)=1+[不满足复数的三角

cos与+isin苧)=l+i,故D正确.

形式，故C不正确;对于D,V2

11.AB复数z产~^7=,1-i.zi在复平面上对应的点(-1,-1)在第三象限，故

-1+11+1

A正确;Z］的虚部为・1,故B正确;(zi)4=(-l-i),=(2i)2=-4,故C不正确;|zi|二&,满足|z|=|zi|的

复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心，半径为迎的圆上，故D不正确.故选AB.

12.AC严©)=cos10/7+isin10"要使严(。)为实数，则sin10。=010夕=也(止2),故夕二停攵£

Z),当1=1时，。=G，当k=2时,

JLUO

13.^Vzi=-V3+i,2iz=zi,

^(V3i)H)1,>/3.n,..n

2=±T+—i=cos-+isin-,

2\2i(-i)44J

故复数z的辐角主值为*

14.12•・•2i-3是关于x的方程2r+p.r+26=0的一个根,2-3是关于x的方程

2^+川+26=0的另一个根，则(2i-3)+(-2i-3)=乡得〃=12.

15.-l-2i因为复数z对应的点的坐标是(-2.1),

所以z=-2+i,所以iz=(-2+i)i=-l-2i.

16.［3,7］设z=(x,.y)(x,y£R),

•・•复数z满足|z+2-4i|=2,

・•・J(x+2)2+(y-4)2=2,即(X+2)2+(),-4)2=4.

・•・z在复平面内对应的点Z的集合是以(-2,4)为圆心/=2为半径的圆.

|z-l|表示的是点Z与(1,0)