江苏苏州市2025-2026学年高一下学期数学期中模拟卷1

江苏省苏州市高一数学2025-2026学年第2学期期中模拟卷1

一、选择题

1.若复数z满足z=4-3i,则加勺虚部是（）

A.3B.-3C.3iD.-3i

2.已知单位向量的夹角为年，则|&一族卜（）

A.1B.72C.73D.3

3.定义：\axb\=\a\\b\sin0,其中6为向量五与3的夹角,若同=2,同=5,a-b=-6r

则|dx同等于（）

A.8B.-8C.8或一8D.6

4.已知448C的内角A,B,C所对的边分别是4上c,若4=1,4=135。，则一^■^的

sin4+sinC

值为（）

A.坐B.当C.V2D.2及

42

5.在448C中，若sinC+sin（3—A）=sin2A,则“IBC的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

6.下列命题正确的是（）

A.AB-AC=BC

B.若向量1=（2023,2024）,把2向右平移2个单位，得到的向量的坐标为（2025,2024）

C.在乙48。中，丽•前＞0是"8C为锐角三角形的充要条件

D.在AABC中，若;I为任意实数，且回二必同•国+|可•同，则P点的轨迹经过

△A6C的内心

7.在“WC中，内角4B,C,。〈人?.若对于任意实数x,不等式

（x+2+sin28『++21恒成立，则实数t的取值范围为（）

A.B.（F，-l）U（l,+co）

C.（-V2,-l]u[l,V2）D.[-V2-l]kj[l,>/2]

8.在平行四边形ABC。中，E为CD的中点，~BF=-BC,AF与BE交于点、G,若

3

丽二五，BC=h»则而二（）

21尸1-221一12

A.—d+―/?B.-uH—hrC.-5+-Z?D.-a+-br

77775555

二、多选题

9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A.已知Z,万均为非零向量，若G〃丸则存在唯一的实数之，使得2二防

B,已知非零向量2=（1,2）5=（1,1）,且［与Z+4的夹角为锐角，则实数4的取值范围是

（-泗

C.若々•c=/j・c且（:工0,则a=〃

D.若点G为AABC的重心，则瓦+丽+觉=0

10.z,,z?是复数，下列说法正确的是（）

A.若z；〈0,则4是纯虚数

B.若㈤=卜|,则z；=Z；

C.若Z1,Z2互为共相虚数，则Z］,Z2在复平面内对应的点关于实轴对称

D.若z；—z；>0,则z：>z；

11.将函数/（x）=sin（2x-［）的图象向左平移力个单位长度得到y=g（x）的图象，则（）

A.y=在上是减函数

B.由/（玉）=/（占）=3可得X一々是兀的整数倍

c.y=g（x）是奇函数

D.函数“力在区间（0,阮）上有8个零点

三、填空题

12.已知空间向量小小满足同=2,忖=3,且日，石的夹角为?，若（2lB）_L（/l3+2.5）,

则实数4等于.

13.AABC中，若sin（A+f）=-。，则sin（A-3]=________.

I4J5I12；

14.已知小BC的外接圆半径为1,则福.斯的最大值为.

四、解答题

15.（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，同=2,且z+W=-2,求z；

*72

（2）已知兔数2=言-（1+方）〃[-3（2+i）为纯虚数，求实数m的值.

16.已知向量函，0月不共线，点夕满足0尸=104+），08,工，y^R.证明:

（1）若X=y=;，则点P是线段AB的中点；

（2）X+y=l是A、B、P三点共线的充要条件.

17.已知函数/。）=瓜出产+5+2cos2卷+总-1,（@>0）图象相邻两对称轴间的距离

吟

（1）求了（X）的解析式：

（2）将函数/（X）的图象向左平移?个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原

来的g（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间.

18.如图，在平面四边形A3CO中，己知人。=1,。。=2心48。为等边三角形，记

(1)若。='，求△4?。的面积;

3

(2)若兀卜求△A3。的面积的取值范围.

19.对于函数y=/（x）,X€（0,+oo）,任意a,b,CER且aNO,h>0,c>0,都有

/(a),f(b),〃c)是一个三角形的三边长，则称函数y=/(x)为(0,+8)上的“完美

三角形函数

(1)设2=(瓜瓜丫，Acosx),万=(2Zcosx,2cosx),若函数g(x)=M・B-Z+l是。号上的

“完美三角形函数〃，求实数攵的取值范围；

(2)在满足(1)且&〉0的条件下，令函数〃(“=sin2x-»?sin用）369

X+-+-----若对任意

4J100

的X£0,y，总存在三£吟,使得g(X2)N〃(A)成立，求实数女的取值范围.

乙乙

高一数学2025-2026学年第2学期期中模拟卷1

一、选择题

1.若复数Z满足z=4-3i,则N的虚部是（）

A.3B.-3C.3iD.-3i

【答案】A

【解析】

【分析】根据共规复数及复数的概念判断即可.

【详解】因为z=4—3i,所以］=4+3i，所以）的虚部是3.

故选：A

2TT

2.己知单位向量点〃的夹角为丁，则怔一词=（）

A.IB.&C.73D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解.

【详解】由已知有。」=1,db=|a||z?'|cos—=--.

32

故d_B-b）=\!a2+b2—2ab=-714-1+1=垂＞•

故选：C.

3.定义：|dx同=闷间sin。,其中6为向量d与方的夹角,若闷=2,同=5,a-5=-6,

则|dx3等于（）

A.8B.-8C.8或一8D.6

【答案】A

【解析】

【分析】由向量数量积定义可求得cos。，根据同角三角函数关系可得sin。，代入定义式

即可求得结果.

【详解】•・•//=/?|cos0=1Ocos=-6,.,.cos*-',

又6£［0,兀］,sin3=Vl-cos2^=1

4

?.axb=\a\bsin<9=2x5x—=8.

5

故选：A.

h+c

4.己知“48C的内角A,8,C所对的边分别是a,b,c,若。=1,A=135。，则-------：—

sinB+sinC

的值为（）

A.乎B.与C.V2D.2a

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理计算可得.

上=，=q=J-=&

【详解】由正弦定理sin8sinCsinAV|,

所以/?=Vising，c—\/2sinC>

则"+c_\/2sinB+V2sinC_

sinB+sinCsin8+sinC

故选：C

5.在AABC中，若sinC+sin（B-A）=sin2A,则“IBC的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【笞案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角

的范围即可求解.

【详解】因为sinC=sin［兀一（A+8）］=sin（A+8）,

由sinC+sin（3—A）=sin2A可得：sin（A+B）4-sin（B-A）=sin2A,

即sin/Acos^4-cosAsinA+sinBoosA-cosAsinA=2sinAcosA，

所以sinBcosA=sinAcosA,

所以cosA(sinA-sinB)=0,

所以cosA=0或sinA=sin8,

因为0cA<兀，0<B<7t,

yr

所以3=二或A=3，

2

所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形,

故选：D.

6.下列命题正确的是()

A.AB-AC=BC

B.若向量不=(2023,2024),把)向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(2025,2024)

C.在△48C中，丽.后>0是&43c为锐角三角形的充要条件

D.在AABC中，若4为任意实数，且声=义(归耳・丽十|刀|•丽卜则P点的轨迹经过

△ABC的内心

【答案】D

【解析】

【分析】根据向最减法法则判断A,根据向最的定义判断B,根据数显积的定义判断C,根

据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断D.

【详解】对于A：A^-XC=CB»故A错误；

对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量，

故把M=(2023,2024)向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(2023,2024),故B错误；

对于C：由血恁>0，即AC=|祠同cosNCAB>0,即cosNC4B>0,

又0<NC43〈兀，所以/CAB为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立，

故C错误；

对于：由方=川词・］珂・丽卜可得方=同|函卜CACB

DS5+同卡同

又圣表示ca方向上的单位向量，熹表示无方向上的单位向量，

\CA\\Cb\

根据向量加法的几何意义如，以品和篙为邻边的平行四边形为菱形，

点P在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对用，

故2点在/y4cB的平分线上，所以〃点的轨迹经过“BC的内心，故D正确.

故选：D

7.在々ABC中，内角4B,C,若对于任意实数X,不等式

(x+2+sin28『+>/2r-sin^+^21恒成立，则实数t的取值范围为()

A.(YO,-1]U[1，”)B.(-co,-l)u(l,+oo)

C.(-V2,-l]u[l,V2)D.[-V2-1]U[1,V2]

【答案】A

【解析】

【分析】

设机=V5sin(B+?｝则sin23="J—],并确定加的取值范围，再由关于x的一元二次

不等式恒成立，△<(),求出加」间的不等量关系，利用〃7的取值范围，即可求出结果.

【详解】在△A3C中，0<B<^,

记=J^sin(8+a)，则sin28=—1.因为0<BW(,所以+从

而1<〃?4>/2，

所以（x+2+sin28y+6•sin（8+?、21可化为（x+l+/y+（〃/）之］,

即，/+20+机2）工+2W2+/〃22+m420恒成立，所以依题有

4（l+m2）2—4（2〃/+/??4）<0,

化简得J//>1，即得t~之一~恒成立，又由1<1<2=>—<—~<1,得『之］=’2］或

/??-2nf

t<-\.

故选:A.

8.在平行四边形ABC。中，E为8的中点，~BF=-BC,AF与BE交于点、G,若

3

丽二五，BC=h»则而二()

21一12

A.—dH—bB.-5H—bC.-a+-bD.-a+-br

77775555

']B

【解析】

【分析】由平面向晟的线性运算将"用加、交用分别含几，〃的两种形式表示出来,

再由平面向量基本定理建立方程，求出％,〃即可求得.

【详解】因为G在座上，E为C。的中点，

设8C=28卢=2(8。+CE)=48。+2在=78。+人C/5=%8仁+484(0<4<1),

22

因为A,G,F三点共线,所以〃而+(1-〃)B尸=〃R4.+・Kt,

因为丽、玩不共线，

2

所以《।，解得

所以前」而+2而.

7777

故选：B.

二、多选题

9.下列关于平面向量的说法中正确的是()

A.已知二石均为非零向量，若益〃a则存在唯一的实数之，使得7=防

B.已知非零向量G=(l,2)④=(1,1),且％与Z+ZB的夹角为锐角，则实数4的取值范围是

5

——,4-00

3

C.若\"=应2且"="则£=石

D.若点G为。的重心，则乱+痂+%=0

【答案】AD

【解析】

【分析】由向量共线定理可判断选项A；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B；由数量积

的运算性质可判断选项C；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D.

【详解】对于选项A：由向量共线定理知选项A正确；

对于选项B：a+^=（1,2）+/1（1,1）=（1+2,2+2）,若［与3+4的夹角为锐角，则

7（£+/1囚）=1+/1+2（2+义）=5+3/1＞0解得/1＞一：，当［与Z+4共线时，

2+2=2（1+/1）,解得：2=0,此时3=（1,2）,Z+4\=（l,2）,此时£=石夹角为0,不

（5、

符合题意，所以实数2的取值范围是一4，。U（0,+co）,故选项B不正确；

对于选项C：若a.c=B・c，则。*（。一”）=0,因为cwO，则a=Z?或c,与£一方垂直，

故选项C不正确；

对于选项D：若点G为44BC的重心，延长AG与8c交于则M为BC的中点，所以

AG=2GM=2x-x^GB+GC^=GB+GC,所以歹+痂+交=0,故选项D正确.

3

BMC

故选：AD

10z「Z?是复数，下列说法正确的是（）

A.若z；＜0,则4是纯虚数

B.若㈤=%|,则Z：=z；

C.若Z1,Z?互为共在虚数，则4，Z2在复平面内对应的点关于实轴对称

D.若z；—z；＞0,则z；〉z；

【答案】AC

【解析】

【分析1对于A：根据复数的乘方结合复数的相关概念分析判断；对于C：根据共枕复数的

概念结合复数的几何意义分析判断：对于BD：举反例说明即可.

【详解】设Z[=。+为，马=c'+5(a,Z?,c,dcR),

对于选项A：若z；＜0,则"一〃*+2々历＜0,可得4=0或〃=0,

当。=0时，2：=-从＜0,则〃工0；

当〃=0时，z^=a2＞0,不符合题意；

综上所述：«=0,

所以4是纯虚数，故A正确：

对于选项B：例如Z]=l,Z2=i，则=符合题意，

但Z：=l,z；=-1,故B错误；

对于选项C：若Z]=Q,则a+Z?i=c-M,可得。=c',b=-d,

可知Z]在复平面内对应的点的坐标为(。力)，即(.一〃)，

且Z2在复平面内对应的点的坐标为(c,〃)，

所以4，z?在复平面内对应的点关于实釉对称，故C正确；

对于选项D：若4=2+i,z2=l+2i,

则z；=3+4i,z；=-3+4i,满足z；-z；＞0,

但z：、z；的大小无法比较，故D错误.

故选：AC.

11.将函数/(x)=sin(2喂)的图象向左平移方个单位长度得到y=g(x)的图象，则()

A.y=/(x)在「用上是减函数

B.由.f(xj=/(w)=g可得是九的整数倍

c.y=g(x)是奇函数

D.函数八同在区间（0,8兀）上有8个零点

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,确定的取值范围，根据正弦函数的单调性即可■判断：对于B，举反

例即可判断；对于c,根据三角函数的图象的平移变换确定y=g（x）的解析式，再判断奇

偶性即可；对于D,求出函数在一个周期内的零点个数，即可判断.

【详解】由题意知/3=0“2不一看），

fn71"|,人兀「兀5兀

对于A.当xw不力时，2x--&,

[32」6]26」

因为y=sinx在三,些上单调递减，

126」

/\r

所以/（尤）=sin2%-^-在上是减函数，A正确；

\6）L32.

对于B.当％=*,々=3时，/（百）=/（%）=J，但内一电=一^不是兀的整数倍，B

错误；

对于C.由题意，得g（x）=sin[2（x+]）=sin2x,故丁=8（力奇函数，c正确；

对于D.由/（x）=sin（2x-^）,可得丁=笄=兀.

/八\3兀，兀1E、

当X£（0,7l）时，2x——G-,

6\66J

令2x—巴=（）或九，则x=三或X,

61212

因此/（力在（0,兀）上有两个零点，而（0,8兀）含有8个周期，

因此在区间（0,8%）上有16个零点,D错误.

故选：AC.

三、填空题

12.己知空间向量Z,b满足忖=2,忖=3,且£,石的夹角为?，若(23叫_£胸+25卜

则实数4等于.

【答案】|

【解析】

【分析】运用平面向量数量积乘法分配律计算.

【详解】依题意有(21砒二+2方)=0,即2V+4•一腐石-2片=0,

由条件知。=4万=9,。石=a访cos—=3,

13

6

84+(4—4)x3—2x9=0,

5

故答案为：!.

13.AASC中，若sin八+：)=-|,贝ijsin(人一「卜

【答案]巫士

兀、兀兀1

【分析】根据sinA--=sin4+7一、结合两角差的正弦公式与同角三角函数关系

\12/I437

求解即可.

【详解】中，若sin(A+升V则*A+&兀

则

4

cosA,+—加

[45

.itn..TC兀14771t.冗71

故sin|A--=sinA4+----sinA+—cos——cosA+—sin—

I12I43；4J34J3

(3)1(4、g4x/3-3

=XX——=---------------.

[5)2{5)210

故答案为：生票

14.已知&4BC的外接圆半径为I,则丽.沅的最大值为

【答案】

【解析】

【分析】取A及8C中点E,/，设入4BC的外接圆圆心为0,化简可得

AB-BC-gBC-\p^•W4cos0A,BC,进而可得当Q.BC.反向共线且|反卜1时取

最大值即可.

【详解】取ABIC中点Ej,设入43。的外接圆圆心为。，则|。1|=|。叫=|0[=1,

ABBC=（0B-0AyBC=0BBC-0ABC

又丽=无+丽=赤-；肥，故丽.配一沅=（前—g而）肥一两M.

2

=OFBC--BCBC-OABC=--BC-OABC=-^BC-|OA|-|BC|COS0/4,BC

22

2

<-||5C|+|BC|,当且仅当“iiC反向共线时取等号.

又一;忸豆c卜一;Q网当且仅当忸1=1时取等号.

乙乙乙乙

即福•元的最大值为]

故答案为：\

四、解答题

15.（1）已知复数z在复立面内对应的点在第二象限，目=2,且z+W=-2,求z；

（2）已知复数z=^-（l+2i）,〃-3（2+i）为纯虚数，求实数m的值.

【答案】（1）z=-1+后；（2）-2

【解析】

【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z；

（2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m的值.

a'+b2=4,

【详解】解：（1）设z=〃+沅（。/eR）,由题意每・

2a=-2,

解得a=-1,b=±>/3»

•••复数z在复平面内对应的点在第二象限，・・・b=G，・・・z=-l+6i.

2/?r/、/、2〃/(l+i)/、/、

(2)^=--(>+2I)/M-3(2+I)=(---!--(1+?.I)/W-3(2+I)

=(62(62—2〃z-3)i,

m2-/??-6=0

由题意得《,,解得〃?二一2

加一-2加-3x()

16.已知向量。0后不共线，点夕满足。尸=xOA+yOB,工，ywR.证明:

（1）若x=y=g,则点尸是线段48的中点;

（2）x+），=l是A、B、P三点共线的充要条件.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

分析［（1）结合已知，由平面向量线性运算可得汴=港，即可证明；

（2）根据平面向量的线性运算可证充分性，由共线向量定理和向量的线性运算计算可证必

要性，即可证明.

【小问I详解】

因为x=），=：的，所以。户+即2无=方+砺，

222

所以厉一3一诙一丽，所以游=泓，所以尸是线段回的中点.

【小问2详解】

充分性：

若x+y=l,则y=l—x,所以OP=xOA+（l—x）O5,

所以加_加=1函_穴方,所以胪=x（C?_08）=x函，

所以A、B、。三点共线:

必要性:

因为A、B、P三点共线，所以存在实数％满足：丽二工丽,

所以加一痂二x(厉一丽)，即O户一。月=尢以一人0力，

所以赤=xO4+(l—x)0瓦所以x+y=l

综上所述，丫+)，=1是4R、2三点曲线的充要条件.

17.已知函数，(力=瓜池(5+弓+2cos2(等+展)-1,(3>0)图象相邻两对称轴间的距离

为于

(1)求/(X)的解析式；

(2)将函数/(6的图象向左平移E个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原

6

来的g(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

【答案】(1)/(x)=2sin2x+-(2)—，keZ

\J«I乙I4

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简即可求解•；

(2)根据函数图象的平移和变换公式得到g(x)=2sin[4x+?-J,再利用正弦函数的图

象及性质求解即可.

【小问1详解】

由/(x)=gsin"+F)+2cos2(亨+总-1,(0>()),

整理得：/(x)=>/3sin+J+cos①x+^J=2sin公丫+己+己=2sin

由于相邻两对称轴间的距离为N,

2

故函数的最小正周期为n,故。=2.

c兀

所以/(x)=2sin2x+一

3J

【小问2详解】

由题意，将函数/（工）的图象向左平移今个单位长度，

可得y=2sin[2，x+^）+]=2sin2x+y的图象，

再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的g（纵坐标不变）,

得至|J函数g(x)=2sin

令工+2EW4x+」W、+2E,ZeZ,

232

所以g（x）的单调递减区间为-刍+勺寻+?，keZ.

18.如图，在平面四边形ABC。中，已知4。=1,。。=2A48。为等边三角形，记

ZADC=a.

TT

（1）若。二一，求的面积；

3

（2）若。£（],兀），求△48。的面积的取值范围.

【答案】（1）立

4

【解析】

7T

【分析】（1）根据余弦定理与勾股定理可得ND4C=一，再根据三角形面积公式求解即可;

(2)设NOAC=6，由余弦定理可得cos/?=———,再根据正弦定理可得

21C

2

sin〃二部二，进而可得SAW,.n71

=sina——-F,再结合aw[5,求解即可.

I34

【小问1详解】

在SBC中由余弦定理AC2=AD2+CD2-2ADCDcosa=1+4-2x2cos-=3,

3

故4C=6,则。。2=,4。2+4。2,所以NOAC=g.

4

571

又SBC等边三角形，故48=AC=6,且N84D=N84C+ND4C

~6

.5几百

故SVABD=-ABADsh\ZBAD=-x国1xsm—=——•

2264

【小问2详解】

不妨设/QAC=/L在“48中，由余弦定理

AC2=AD2+CD2—2AD-CD-cosa=l+4-2x2xcosa=5-4cosa，

AC2+AD2-DC25-4cos6r+1-41-2cosa

2ACAD2ACAC

ACCDAC2.2sin«

在△ACD中，由正弦定理，BP--=-——,所以sin〃=--------

sinZADCsinNOACsinasin/3AC

—1ACsinf/?+—H>1=—1AC-—sincos/?

故S,=—AB-AD-sinZ.BAD=

Kn2I3J222

1..n

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