2026年高考数学一轮复习讲义函数的奇偶性、对称性与周期性（知识点+试题+3大考点）

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................................3

第三部分：高频考点一遍过........................................................................3

高频考点一：函数奇偶性.....................................................................3

角度1:判断函数奇偶性.................................................................3

角度2：根据函数奇偶性求解析式.........................................................5

角度3:函数奇偶性的应用................................................................5

角度4:由函数奇偶性求参数.............................................................6

角度5：奇偶性+单调性解不等式..........................................................6

高频考点二：函数周期性及其应用.............................................................7

角度1:由函数周期性求函数值...........................................................7

角度2：由函数周期性求解析式...........................................................8

高频考点三：函数的对称性...................................................................9

角度1:由函数对称性求解析式...........................................................9

角度2：由函数对称性求函数值或参数....................................................11

角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用...............................................11

第一部分：基础知识

1、函数的奇偶性

（1）函数奇偶性定义

奇偶性定义图象特点

如果对于函数（）的定义域内任意一个都有

/XX,图象关于y轴

偶函数

/（-%）=/（%）,那么函数"X）是偶函数对称

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有图象关于原点

奇函数

/（-x）=-/（x）,那么函数/'（X）是奇函数对称

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个必一1也

在定义域内（即定义域关于原点对称）.

（2）常用结论与技巧:

①对数型复合函数判断奇偶性常用/(Ir)-/(x)=O或/(一幻+/(%)=0来判断奇偶性.

②g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：

/(A)

/(X)g(x)jf(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

③若/(©是定义在区间。上奇函数，且0$。，则/(0)=。(注意：反之不成立)

2、函数对称性(异号对称)

(1)轴对称：若函数/(工)关于直线工=。对称，则

②/。)=/(2。一为；

③/(一x)=/(2〃+x)

(2)点对称：若函数/(幻关于直线(小())对称，则

①/(。+幻=-/(。7)

@f(x)=-f(2a-x)

③/(-%)=-/(2。+工)

(2)点对称：若函数/(幻关于直线(。*)对称，则

®f(a+x)=-f(a-x)+2b

②fM=一/(2。-x)+2b

③/(--V)=-fQa+x)+2。

3、函数周期性(同号周期)

(1)周期函数定义

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数7,使得当工取定义域内的任何值时，都有

/任+7)=/(无)，那么就称函数y=/(x)为周期函数，称7为这个函数的周期，贝必7(kwZ)也是

这个函数的周期.

(2)最小正周期

如果在周期函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做/lx)的最小正

周期(若不特别说明，丁一般都是指最小正周期).注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

(3)函数周期性的常用结论与技巧

设函数y=/(x),XGR,a>0.

①若/*+。)=/(工一〃)，则函数的周期7=2〃；

②若/(x+a)=-则函数的周期7=2。；

③若/*+〃)=工，则函数的周期丁=2〃；

④若/*+〃)=-工，则函数的周期丁=2〃；

/(AO

@/(x+a)=/(x+Z>),则函数的周期7=|。一。|

第二部分：高考真题回顾

1.(2024•新课标II卷•高考真题)设函数f(x)=n(x+l)2-l,J?(X)=COSX+2O¥,当xe(—l,l)时，曲线y=/(x)

与了=以外恰有一个交点，贝M=()

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数奇偶性

角度1：判断函数奇偶性

典型例题

例题】.(2。25•江西二模)已知函数八加缶，则下列函数中为奇函数的是(

A.y=/(x)--B.y=f

C.)，=/3+；A1

D.y=f[x~2

例题2.（2026高三•全国•专题练习）判断下列函数的奇偶性.

也(4田

⑴/a)=

|x-2|+|x+4|

(2)/(幻=&-|+Ji2；

-x2+2x+l.x>0,

⑶/")=<

2

x+2x-ltx<0.

精练高频考点

1.（2025•四川雅安•二模）下列函数中为奇函数的是（）

A.y=x+\B.y=co趺C.y=tan2xD.），=病

2.（2025•北京西城•一模）下列函数中，图像关于轴对称的是（）

A.y=（x-l1B.y=2'

C.y=x4+.r2D.y=|lnr|

3.（多选）（2026高三•全国•专题练习）（多选）下列函数中为偶函数的是（）

A.f（x）=x+-B./（幻=±C.>'=Hnx|D.y=2*

xx''

角度2：根据函数奇偶性求解析式

典型例题

例题1.(24-25高三上•辽宁盘锦•阶段练习)已知函数“力是定义域为R的偶函数，且当X20时，

/(x)=x2-x-l,则当x<0时，()

A./(x)=x2+x-lB./(A)=J:2-X-1

C./(x)=x2+x+\D./(x)=x2-x+1

例题2.(2025,云南昆明•模拟预测汜知函数/("是定义在R上的奇函数，且当且仅当x>0时，〃x)=hij

则当x<0时，/(X)的解析式为.

精练高频考点

1.(24-25高三上•辽宁丹东•期中)已知函数/⑴是偶函数，当X20时，/(x)=e'-r,贝IJ当"0时，

/(%)=•

2.(24-25高三上•广东茂名•阶段练习)设/(“是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，并且

/(X)一g(x)=x2-.r,则/(x)的解析式是.

3.(24-25高三上•陕西汉中•期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，"X)=J-©，贝IJ/(“

在［-6,-1］上的最大值为.

角度3:函数奇偶性的应用

典型例题

例题1,(2025•四川•一模)函数7■(x)=x(d_2)+l,若/(。)=一1.则"—〃)=()

A.-3B.-IC.0D.3

例题2.(24-25高三上•河南•开学考试)已知函数/(6=2。-2一“+。42+3,且/(〃?)=6,则/(一m)=()

A.-6B.-3C.0D..3

精练高频考点

1.(24-25高二下•贵州黔南•期中)已知函数〃司=公皿+云+c,a,b,ceR,且/(-1)=0,/。)=3,

则。二()

I3

A.5B.1C.-D.2

2.（25-26高三上•全国•课后作业）已知定义域为［〃-8,。+2］的奇函数/（"=2024/一5工+。+3,则

的值为.

3.（24-25高三上•云南昭通•期中）已知/（x）=加+瓜-1,其中4〃为常数，若/（-3）=7,贝lj

〃3）=.

角度4:由函数奇偶性求参数

典型例题

例题1.（24-25高三上•广东•期中）若〃x）=（x-2）。2帖•为偶函数，贝心=（）

A.—4B.—2C.0D.2

例题2.（2025•湖北•模拟预测）三知函数/"）=（2'+。）1"三］是奇函数，则实数〃的值为（）

A.0B.1C.-1D.2

精练高频考点

1.（25-26高三上•全国•课后作业）若函数=+为偶函数，则实数〃的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

2.（2025•湖南长沙•一模）已知y=始爵日为奇函数，则实数。的值是.

角度5：奇偶性+单调性解不等式

典型例题

例题1.（24・25高二下•湖南•期中）已知函数/（幻=加，则使/（4）＞/（工-4）成立的x的取值范围是（）

A.（-co,2）B.（2,+8）C.（f/）D.（l,+oo）

例题2.（多选）（24-25高二下•重庆•阶段练习）已知函数/（灯=©，一『+小丫，若/⑺+/（1—5。＜0,则

实数/的值不可能是（）

A.：B.1C.2D.0

精练高频考点

1.（24-25高三上•广西•期中）已知“X）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，/（司=172工+尸3,则

不等式疗（刈＞0的解集是（）

A.(y,-2)u(2,+e)B.(-2,0)50,2)

C.(F,-2)U(O,2)D.(-2,0)J(2,R)

2.(2025•江西•二模)已知函数f(x)=-2x-V,则不等式/*_])+八5-3幻<。的解集是.

3.124-25高三上•广东•期中)已知函数/(力=4'-4。+/，则不等式/(63)+/(2X-1)工0的解集是.

4.(24-25高三上•广东潮州•期末)已知函数/(.1)=芸，且满足/(〃)+/(,〃-2)>0,则实数血的取值

范围是.

高频考点二：函数周期性及其应用

角度1：由函数周期性求函数值

典型例题

例题1.(2025•江西新余•模拟预测)已知函数/("的定义域为N,且/(3)=-5,/(17)=3,

/(X+1)=/(X)4-/(A-4-2),贝IJ/(2026)=()

A.5B.-5C.2D.-2

例题2.(24-25高三下•浙江绍兴•期中)已知函数/(x)对任意xeR,都有/(x+3)+〃x)=0,)，=/")的

图象关于原点对称，且/(4)=-2,则/(278)=

精练高频考点

I

1.(24-25高三下•北京•期中)已知/(X)是定义在R上的偶函数，并且/(x+3)=-7R当l<x«3时,

/(x)=cosy,贝|J/(2O25)=.

2.(2025・云南曲靖二模)已知函数/3满足〃"=/(1+4),且当工4(),4)时，/(力=111(1+1),则/(2025)

的值为.

角度2：由函数周期性求解析式

典型例题

例题1.(2024高三•全国•专题练习)已知函数/(“满足/(x)J'(x+2)=13.

⑴求证：“X)是周期函数

⑵若〃1)=2,求"99)的值.

⑶若xe(0,2］时，/(x)=x,试求x«4,8］时,函数的解析式.

例题2.(2024高三•全国•专题练习)己知函数y=/(x)是定义在R上的周期函数，周期7=5,函数y=/(x)

C-l<x<D是奇函数.又已知了=/。)在［05上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x=2时函数取

得最小值-5.

⑴证明：/(1)+/(4)=0；

(2)求y=/(x),xw［l,4］的解析式；

⑶求y=/(x)在［4,9］上的解析式.

精练高频考点

1.（2024高三•全国•专题练习）设/5）是定义在（TO,转）上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在

区间［2,3］上，/（x）=-2（x-3）2+4.求如［1,2］时,/（工）的解析式.

2.（23-24高三上•吉林白山•阶段练习）设/"）是定义在R上的奇函数，且对任意实数工，恒有

/（.r+2）=-/（x）.当xc［0,2］时，f（x）=2x-x2.

⑴求证：是周期函数；

（2）当xw［2,4］时,求的解析式.

高频考点三：函数的对称性

角度T:由函数对称性求解析式

典型例题

例题1.（23-24高三下•河南平顶山•阶段练习）下列函数中，其图象与函数y=log4的图象关于直线x=2

对称的是（）

A.y=log2（2+x）B.y=iog2（2-x）

C.y=log2（4+x）D.y=log2（4-x）

例题2.(24-25高三上•宁夏吴忠•阶段练习)已知函数/(x)=2shu=x.

⑴当时,求实数〃?的取值范围；

(2)若函数尸(x)与/("的图象关于点仁』j对称，求外”的解析式；

精练高频考点

1.(2026高三•全国•专题练习)已知函数)，=/")与g(x)=ln(T-2)-尸2的图象关于点(-1,0)对称，则

/O•

2.(2024高三•全国•专题练习)若函数y=g(x)的图象与y=lnx的图象关于直线x=2对称，则g(x)

•

3.(23・24高一上•浙江宁波•期中)已知函数=

⑴判断/(x)在R上单调性并证明；

⑵当时，g(x)=/(x),且VreR,g(l+x)=g(l-x),求g(x)的解析式.

角度2：由函数对称性求函数值或参数

典型例题

例题1.(24-25高三上•上海•期末)若函数/(力=(172)(/+仆+与的图像关于直线x=_2对称，则油=.

例题2.(24・25高三上,上海•期末)若函数〃k=喘的对称中心是(-2,-1)，则。+人=

精练高频考点

1.(2025•河南郑州•三模)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=(x-3)/(x)的图象关于工=3

对称，若g(—2)=—5,则〃4)=()

A.-3B.-1C.0D.1

V

2.(2025•河南•一模)已知曲线y=ln——-x+a关于点(T0)中心对称，则。=()

2+x

A.2B.1C.-1D.-2

V—/I；

3.(2025高三•全国•专题练习)若函数f(x)=ln—+心(〃?,〃£|<)的图象关于点(1,-1)对称，则〃?〃=.

.1

角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用

典型例题

例题1.(多选)(24-25高二下糊南长沙•期中)已知函数与以大)的定义域均为R,且

/(.r+1)+-2)=3,/(x-1)-g(-x)=1,若g(2x—1)为偶函数，贝IJ()

A.函数g*)的图象关于直线x=对称B.冢。)=1

2027

C.函数的图象关于点(1,2)对称D.£月(幻=2027

4=1

例题2.(多选)(2425高三下•浙江湖州•阶段练习)设函数/(%)满足/(x+)，)-〃x-y)=-2/(x-1)/()，—1),

且“。)¥。，则下列结论正确的是()

A./(-!)=()

B./(x)的图象关于(0,0)中心对称

C.2025是函数/(力的图象的一条对称轴

D./⑴+/(2)+…+/(2025)=0

精练高频考点

1.(多选)(24-25高二下•湖南,阶段练习)已知函数/(刈送")的定义域均为

RJ(x+l)+/(x-l)=/(x),g(x+2)是偶函数，/(x)+g(x+2)=2,^(3)=1,则()

A./(l)=lB./*)是奇函数

C./(x)=/(x+6)D.x=3是/(x)的对称轴

2.(多选)(2025・河北石家庄•三模)已知函数“X)是定义在R上的偶函数，〃x+l)是定义在R上的奇

函数，则()

A.“X)的图象关于点(L0)中心对称

B./(x)是周期为2的函数

C./(2027)=0

19

D.D(0=0

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................................3

第三部分：高频考点一遍过........................................................................3

高频考点一：函数奇偶性.....................................................................3

角度1;判断函数奇偶性.................................................................3

角度2:根据函数奇偶性求解析式.........................................................5

角度3：函数奇偶性的应用................................................................5

角度4：由函数奇偶性求参数.............................................................6

角度5：奇偶性+单调性解不等式..........................................................6

高频考点二：函数周期性及其应用.............................................................7

角度1:由函数周期性求函数值...........................................................7

角度2：由函数周期性求解析式...........................................................8

高频考点三：函数的对称性...................................................................9

角度1:由函数对称性求解析式...........................................................9

角度2：由函数对称性求函数值或参数....................................................11

角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用...............................................11

第一部分：基础知识

1、函数的奇偶性

（1）函数奇偶性定义

奇偶性定义图象特点

如果对于函数（）的定义域内任意一个都有

/XX,图象关于y轴

偶函数

/（-x）=/（x）,那么函数是偶函数对称

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有图象关于原点

奇函数

/（_%）=_/⑺,那么函数/（力是奇函数对称

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个％一1也

在定义域内（即定义域关于原点对称）.

(2)常用结论与技巧：

①对数型复合函数判断奇偶性常用/(T)-“x)=O或〃T)+/(X)=O来判断奇偶性.

②八幻，以外在它们的公共定义域上有下面的结论：

fM

fMg(x)jf(x)+g(x)/(x)-g(x)f(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

③若/W是定义在区间。上奇函数，且OwD,则/(0)=0(注意：反之不成立)

2、函数对称性(异号对称)

(1)轴对称：若函数/(幻关于直线l二。对称，则

①，(a+x)=/3-x)；

②/。)=/(2。一x)；

®f(-x)=f(2a+x)

(2)点对称：若函数关于直线(40)对称，则

®f(a+x)=-f(a-x)

@f(x)=-f(2a-x)

@f(-x)=-f(2a+x)

(2)点对称：若函数/(x)关于直线(。,份对称，则

①/(〃+幻=-f(a-x)+2h

②fM=一/(2"-x)+2b

③/(一幻=-fQa+x)+2〃

3、函数周期性(同号周期)

(1)周期函数定义

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数7,使得当x取定义域内的任何值时，都有

/(x+T)=/(x),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称7为这个函数的周期，贝"T(kwZ)也是

这个函数的周期.

(2)最小正周期

如果在周期函数/("的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做/lx)的最小正

周期(若不特别说明，7'一般都是指最小正周期).注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

(3)函数周期性的常用结论与技巧

设函数y=/(x),XGR,«>0.

①若/(x+a)=/(x-a),则函数的周期7=2。；

②若/。+。)=一/(力，则函数的周期7=2。；

③若/3+。)=工，则函数的周期7=2。；

fM

④若f(x+a)=-7二，则函数的周期7=2。；

⑤、f(xIa)=/(xI〃)，则函数的周期b\

第二部分：高考真题回顾

1.12024•新课标II卷•高考真题)设函数/⑴=〃(x+l)2-1,g(x)=cosx+2aL当.rc(T,l)时，曲线>，=7")

与了=月。)恰有一个交点，则。=()

A.-1B.C.1D.2

【答案】D

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求余弦(型)

函数的奇偶性

【分析】解法一：4-^(-')=^+^-hC(-v)=cosx,分析可知曲线，=尸(幻与y=G(x)恰有一个交点，结合

偶函数的对称性可知该交点只能在)，轴上，即可得。=2,并代入检验即可；解法二：令

/心)=/*)-g(x),.(Tl),可知人(可为偶函数，根据偶函数的对称性可知〃(》)的零点只能为0,即可得

。=2,并代入检验即可.

【详解】解法一：令f(x)=g(x),即〃(x+l)2-1=cosx+2at,可得加+。一1=cosx,

令F[x)=ax1+a-l,G(x)=cosx»

原题意等价于当x£(T，1)时，曲线，=尸⑶与丁=G&)恰有一个交点，

注意到E(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得尸(0)=G(0),即〃一1=1,解得。=2,

若4=2,令E(x)=G(x),可得2x2+I-cosx=0

因为x«—U),贝！］2/之Ql-cosx20,当且仅当x=0时，等号成立，

可得2/+1—cosx之0,当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2x2+1-cosA-=0有且仅有一个实根0,即曲线y=尸(幻与)，=G(x)恰有一个交点,

所以4=2符合题意；

综上所述：。=2.

2

解法二:^/i(x)=f(x)-g(x)=av+a-l-cosxfxe(-lfl),

原题意等价于有且仅有一个零点，

因为〃(一x)=a(-x)4-a—l-cos(-x)=ax2+a-\-cosx=h(x),

则力w为偶函数，

根据偶函数的对称性可知h(.x)的零点只能为0,

即力(0)=〃-2=0,解得〃=2,

若a=2,贝I］力(力=2产+1—cosx,xw(-1,1),

又因为Z/NOJ—COSXNO当且仅当x=0时，等号成立，

可得/?(力20,当且仅当x=0时，等号成立，

即力(x)有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意；

故选；D.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数奇偶性

角度1：判断函数奇偶性

典型例题

例题1.(2025•江西•二模)已知函数/(1)=［一，则下列函数中为奇函数的是()

2*+1

/I、

A.)，=/(%)_：B.y=fx+-

C.)，=/(、)+；A1

D.y=fx--

\，

【答案】A

【知识点】指数塞的运算、函数奇偶性的定义与判断

【分析】根据奇函数性质判断选项

2

____得

【详解】根据/(%)=2，+1。(一》)=2一上一］3

Tx+1i+?x

可得/(X)-!+/(T)-：=O,故y=/(x)-J为奇函数

444

故选：A

例题2.(2026高三•全国•专题练习)判断下列函数的奇偶性.

怆(44)

⑴八幻

|x-2|+|x+4|

(2)/(X)=77-1+71-?；

-x2+2A+1,X>0,

x2+2x-l,x<0.

【答案】(1)偶函数

⑵既是奇函数又是偶函数

⑶奇函数

【知识点】函数奇偶性的定义与判断

【分析】(])求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，化简函数解析式，根据其与f(一刈的关系

判断结论；

(2)求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，结合定义判断结论；

(3)方法一：求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，结合定义判断结论，

方法二：画出函数图象，结合图象判断结论.

4-x2>0,

【详解】⑴由।,Jm，得-2<x<2,

|x-201|+|x+4|*0,

即函数/(x)的定义域是{x\-2<x<2}f关于原点对称.

因此/⑴==jg(4r2),所以/(-x)=/(x),

(2-x)+(x+4)6)

因此函数“X)是偶函数.

(2)/*)的定义域为关于原点对称.

X/(-i)=/(D=o,/(-i)=-/(i)=o,所以/(x)既是奇函数又是偶函数.

22

(3)方法一(定义法)当讨，-x<0,f(-x)=(-.r)+2(-x)-1=,Y-2.r-1=-/(.r)•

当上<0时，—x>0,y(―x)-—(-%)，+2(—x)+1=—x~—2x+1——f(.v)t

所以/")为奇函数.

方法二(图象法)

作出函数/3）的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数/（X）为奇函数.

精练高频考点

1.（2025•四川雅安•二模）下列函数中为奇函数的是（）

A.y=x+iB.y=coiixc.y=tan2xD.y;而

【答案】C

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由正切（型）函数的奇偶性求参数

【分析】根据奇函数的定义，逐一判断即可确定答案.

【详解】对于A,令f（x）=x+l,XGR,而/（r）=-x+l,

贝」“1一力。-/（耳，所以，=x+l是非奇非偶函数，故A错误；

对于B,令晨K）-8SK,XfcR,又）_COS（_JV）_COSK_g（R）,

所以），=COSX是偶函数，故B错误；

对于C,令，7（x）=tan2x,Xh（-x）=tan（-2x）=-tan2x=,

所以），=tan2x是奇函数，故C正确；

对于D,因为），=反的定义域为［0,转），所以＞，=而是非奇非偶函数，故D错误.

故选：C.

2.（2025•北京西城•一模）下列函数中，图像关于），轴对称的是（）

A.j?=（,v-l）2B.y=2A

C.y=x4+x2D.y=|hu|

【答案】C

【知识点】函数奇偶性的定义与判断

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案.

【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为x=l,A选项错误；

B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误；

C选项，因为所以函数为偶函数，图像关于)，轴对称，C选项正确；

D选项，函数定义域为(0,+”),不是偶函数，D选项错误.

故选：C.

3.(多选)(2026高三•全国•专题练习)(多选)下列函数中为偶函数的是()

A.f(x)=x+-B.f(x)=C.>'=|lnx|D.y=21'1

XX

【答案】BD

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数函数的定义域

【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即可.

【详解】对于A,=x+L的定义域为(-00,0)U(0，”)，/(-x)=-x+—=-/U),/3)为奇函数，A

X-X

不是；

对于B,=1的定义域为(Y,0)U(0，y),f(-x)=-^=f(x)fJ(r)为偶函数，B是；

x2(-X)-

对于C,y=的定义域为(0,xo),该函数为非奇非偶函数，C不是；

对于D,丁=23的定义域为R,2T=2%该函数为偶函数，D是.

故选：BD

角度2：根据函数奇偶性求解析式

典型例题

例题1.(24-25高三上•辽宁盘锦•阶段练习)已知函数“X)是定义域为R的偶函数，且当X")时,

/(x)=x2-x-l,则当x<0时，()

A.f(x)=x2+x-\B.f(x)=x2-x-1

C./(x)=x2+x+lD./(x)=x2-x+1

【答案】A

【知识点】由奇偶性求函数解析式

【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得.

【详解】当x<。时，-x>0,则/(-x)=(-x)~+x-l=/+工一1,

・••函数/(X)是定义域为R的偶函数，/(T)=/(X),

f(x)=^+x-[,x<0.

故选：A.

例题2.(2025•云南昆明•模拟预测汜知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当且仅当x>0时，/(汇)=欣，

则当xvO时，/(x)的解析式为.

【答案】/(x)=-ln(-x).

【知识点】由奇偶性求函数解析式、求对数函数的解析式

【分析】利用奇函数的定义，将求x<0时的解析式转化为-x>0时的情况，直接代入已知解析式即可.

【详解】解析：因为/(x)是奇函数，当xvO时，-x>0,/(x)=-/M=-ln(-x),

所以当x<0时，/5)=—In(r).

故答案为：/(x)=-ln(-x).

精练高频考点

1.(24-25高三上•辽宁丹东•期中)已知函数/(力是偶函数，当短0时，/(x)=e'-r,则当"0时，

/W=-

【答案】尸

【知识点】由奇偶性求函数解析式、求指数函数解析式

【分析】首先设x<0,-A>0,根据偶函数的性质，结合xXO的函数的解析式，即可求解.

【详解】当x<0时，可得r>0,

又因为当xNO时，〃x)=ei7,所以〃-%)=*,

因为“另是偶函数，所以/(力=/(-力=。川，

所以当xvO时，〃力=评.

故答案为：

2.(24-25高三上•广东茂名•阶段练习)设/(”是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，并且

2

/(-V)-g(x)=x-xf贝!)/(x)的解析式是.

【答案】f(x)=-x

【知识点】由奇偶性求函数解析式

【分析】依题意可得-/(X)-8。)=/+工，解方程组即可得解.

【详解】因为/(%)-q(x)=Y-x①，

又因为/(X)是奇函数，g(x)是偶函数，所以/(-幻-g(T)=-f(x)-g(x)=x2+x②.

由①、②解得/(X)=T.

故答案为：/(x)=-x

3.(24・25高三上•陕西汉中•期中)已知/⑴是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/⑺-©，贝I」/(x)

在［-6,-1］上的最大值为.

【答案】4

【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式

【分析】根据奇函数的定义求出/<0时函数的解析式，从而判断函数在区间［-6,-1］上的单调性，即可求最

值.

【详解】由题意，设x<0,贝U-x>0,所以71(一力=(一力2-4(-》)=d+4x,

因为/(力是定义在R上的奇函数，所以/(力=-/(-4)=一产-4人

故.rvO时，/(.r)=-x2-4X=-(A+2)2+4,

所以"］)在区间［-6,-2］上单调递增，在区间上单调递减，

所以/(%)的最大值为〃