第1章 因式分解 全章提升练习-2026-2027学年湘教版八年级数学下册

第1章因式分解

1.1多项式的因式分解

刷基础

知识点1因式分解的概念

1[2025湖南怀化期中]下列各式从左到右的变形中是因式分解的有(

&2xy^=2xy6/;©^-6^5/=^(.¥-6>0+5v2;(3)(-2x+3y)(1¥+37)=-4.?+9/3x-6y=3(x-2y);

2

⑤3.巡尸斫口(31)愈1+：+止=(1+1).

A.I个B.2个C.3个D.4个

知识点2因式分解与整式乘法的关系

2(3x-y)(3x+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果()

49/tr28.-9.3+/

C.^-y2D.-9x2-y2

3若x^-ax-\可以因式分解为(x-2"x+b),则a-b的值为

A.-lB.lC.-2D.2

4由(尸2)(尸1)=丫2-3%+2,可知把¥-3工+2因式分解的结果是.

5判断下列因式分解是否正确.

(l)Zv2-2x=2x(x-l);

⑵"+。-2=(4-1)(4+2)；

(3)25。2-30砧+9属=(5。+3/7)2.

6仔细阅读下面例题，并解答问题:

例题：已知二次三项式f-4x+〃?有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.

解：设另一个因式是x+n,贝lJx2一4x+"?=a+3)(x+n),所以x2-4x+用=x2+(〃+3)x+3〃,

所以｛"+"4、解得(片一7,

加以,〃尸3〃，1mm%―21,

所以另一个因式是x-7,m的值杲-21.

⑴已知二次三项式有一个因式是2x-3,求另一个因式以及k的值;

⑵若二次三项式。/+3》-7有一个因式是2x+l,求a的值.

2刷易错

易错点忽略了结果中各因式必须是整式

7下列各等式中，从左到右是因式分解的是()

A.(a+b)2=a2+2ah+b2

B.72=2X2X2X3X3

。加一(二(加一3(加十与〃十()

刷提升

1若x2-履T5=(x+a)(x+b),且a,b为整数厕a+b的值不可能是()

A.14B.2C.16D.-14

2分解因式F+GW.甲看错了a的值，分解的结果是(x-3)(x+2),乙看错了b的值,分解的结果是(x-2)(x-3),则a+b=

3将炉-尸分解因式的结果为(『+/)(犬+刃,(x-y),则n的值为.

4如图(1)所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若①②都是边长为a的大正方形，③④都是边长为

⑴观察图(1),发现多项式2。2+5如+2〃可以因式分解为

(2)类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式.如图(2)表示的是一个棱长为x的正方体挖

去一个小长方体后重新拼成一个新的长方体，请你根据图(2)中图形的变化，写出一个代数恒等式(因式分解形式).

刷素养

方法探究：已知二次多项式,r-4x-21,我们把x=-3代入多项式，发现『-4厂21=0、由此可以推断多项式中有因

式x+3.设另一个因式为x+k,多项式可以表示成％2-4%-21=(.什3)(.什《),则有『_4尸21=，+(〃+3).丫+3左因为对应项的

系数是对应相等的，即k+3=-4,解得k=-7,因此多项式分解因式得r-4尸21=。+3)(尸7)我们把以上分解因式的方法

叫'•试根法

问题解决：

(1)对于二次多项式，-4,我们把x=一代入该式，会发现/一4=0成立;

(2)对于三次多项式/一2_3,什3,我们把x=l代入多项式，发现》=2_3/3=0,由此可以推断多项式中有因式x-

1，设另一个因式为F+ax+b,多项式可以表示成3—FTY+BRX-1)(X2+QX+D试求出题目中a,b的值；

(3利用“试根法”分解因式：2?+X2-16X-15.

1.2提公因式法

刷基础

知识点1公因式

1把多项式3“/-9号3因式分解时，应提取的公因式是()

A.3xyB.9xy2C.3xy2D.9x3y2

2［将3ab2。_),)3_94风》_历2因式分解，应提取的公因式是()

A.3ab(x-y)2B.3alr(x-y)

C.9ab(x-y)2D.3ab(x-y)

3指出下列多项式的公因式：

(1)3〃2厂3研6K

⑵弼一

(3')-21crb3+3()a3b2+9a2b.

知识点2直接提公因式法分解因式

4下列各式的变形中，用提取公因式法分解因式正确的是()

A.\2abc-9a2b2ci=3abc(4-3ab')

B.3x2y-3x)H-6)^3^(x2-x+2j0

C.-a2+ab~ac=~a(a-b+c)

D.x2)H-5xy-y=p(x2+5x)

5因式分解：

(1)5记)，2+1Ox)rz~5xyz;

⑵3缶b-12601b+6近Pa;

(3)4x)'(.v+y)2-6x2yCv+>').

知识点3变形后提公因式分解因式

6已知m为有理数，则整式“?2(〃!2_］)_〃?2+］的值()

A.不是负数B.恒为负数

C.恒为正数D.不等于0

7分解因式4b(3a+l)-9a-3的结果为一.

知识点4提公因式法因式分解的应用

8已知ab=2,a-b=-3,贝［J”/一炉属的值为（）

A.-12B.12C.-6D.6

9如图，长方形的长和宽分别为a,b,其周长为20,面积为16,则什融2的值为（）

A.80B.160C.320D.480

10计算:20232-2023x2022=_.

11已知二-31-1=0,则2?-3小-1

刷易错

易错点在利用提公因式法进行因式分解的过程中出现符号错误及漏项

12将多项式-xy（b-a）+y（a-b）提公因式后，另一个因式为（）

A.f-x+lBjr+x+yCAT-X-ID.X2+X+1

刷提升

1下列各组式子中，没有公因式的是（）

A.-a^+ab与a拈一足b

B.mx+y与x+y

C.（a+b）2与-a-b

D.5m（x-y）与y-x

2已知1+x+1=0,则x202l+x2020+x209+...+x+l的值是（）

A.OB.l

C.-lD.2

3杨辉是我国南宋数学家，他著作的《详解九章算法》中有一道计算问题：已知a+b=l,ab=-l,①由

（々+人）2=々2+人2+24力=1,可得展+序=3；②由（4+人）（42+方2）=43+（力2+屋方+护=3,可得43+63=4；…，以此类推可计算出

内「的值是（）

A.29B.30

C.31D.32

4因式分解：

⑴2（工一“）2（＞+27）+3（2厂x）（x+2y）2.

⑵2。（°-3）2-6^2（3-q）-10a（a-3）

均为大于1的正整数).

5我们用再表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即

幅=100式+10尸2

(1)说明海+丽十前一定是111的倍数，

(2)®写出一组a,b,c的取值、使戒+研+前能被7整除，这组数值可以是a=,b=___,c=___;

②若正+师+G能被7整除，则a,b,c三个数必须满足的数量关系是_____.

刷素养

6观察下列因式分解的过程，回答所提出的问题：

l+x+x(x+l)+.r(x+l)2

=(l+x)[l+x+X^+l)]

=(1+X)2(1+X)

=(1+X)3.

⑴上述分解因式的方法是_,共应用了一次；

(2)若分解因式1+.什其什】)+«"+1)2”+4什1)2。23,则需应用上述方法一次，结果是_;

(39解因式l+x+x(x+l)+x(x+l)2i+x(x+l)"(n为正整数).

1.3公式法

课时1运用平方差公式因式分解

刷基础

知识点I直接用平方差公式因式分解

1下列各式：f—FrZ+pdycy+Qyyy—v，其中能用平方差公式分解因式的有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

2因式分解：176以J

知识点2利用提公因式和平方差公式因式分解

3化简（。+什-什c）?的结果为（）

A.4b（a+c）B.4ac

C.2acD.4ab-4bc

4因式分解：a2（A-y）+4（y-x）=—.

5因式分解：-16my2+4〃/=_.

知识点3平方差公式因式分解的应用

6当x>O,y>O,HxRy时,/（厂刃+/。-%）的值（）

A.总是为正B.总是为负

C.可能为正，也可能为负D.不能确定正负

7对十仕何整数m,多项式（4〃什5尸-9都能（）

A.被8整除B.被m整除

C被整除D.被2m.i整除

8已知/=15,x・y=5,贝!]2x+y=—.

9用简便方法计算：

（1）3.14X5.52-3.14X4.52;

（2）20232-2022x2024.

10如图（1）所示的圆形盘子，图⑵是其示意图，外圆半径是Rem,内圆半径是rem,现在要给盘子环形部分

（即图⑵阴影部分）上釉，如果R=10.25j=8.25,请求出阴影部分的面积.（结果保留兀）

图（1）图（2）

刷易错

易错点因式分解时因分解不彻底而出错

II在实数范围内分解因式：81/-16/.

丽华的解题过程如下:

解:原式=(9a2+4b2)(9a2-4b2).

请问丽华因式分解的结果正确吗?如果不正确，请把正确的解题过程写出来.

课时2运用完全平方公式因式分解

刷基础

知识点1用完全平方公式因式分解

1下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是

4』+2冷叶4/B.X2-X+\

4

C^2~2X+\O_d+6x+9

2若4X2-（R1）X+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为)

A.±6B.±12

C」13或11D.13或山

3因式分解:

(l)l+10x+25x2;(2)-X2+4AT-4)^2;

⑶4f+3(4Q3j，2);(4)^/-^2+16.

4对一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法.下面是小影同学用换元

法对多项式（f-以+2）（/-4.什6）+4进行因式分解的过程.

解：设4尸必

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

Y2+8）升16（第二步）

（MR第三步）

=(7-4升4)2.(第四步)

（IM、影同学因式分解的结果是否彻底?____（填',彻底”或“不彻底:'）；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的

最后结果：•

(2请你模仿以上方法尝试对多项式(f+2x)(f+2x+2)+l进行因式分解.

知识点2利用提公因式法和完全平方公式因式分解

5把多项式-2?+12?-18x分解因式，结果正确的是()

/l-2x(.r2+6x-9)B-ZrCv-3)2

C.-2x(x+3)(x-3)O.-2JT(X+3)2

6因式分解：

(\')(a+b')-2a(a+b')+a2(a+力);

(2)2ax3y4+4ax4y2+2ax5;

⑶/一疗力2+t加

知识点3完全平方公式因式分解的应用

7已知a+b=l,ab=-6,贝U护的值为()

A.-150B.-39C.-6D.-36

8如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长、宽分

别为a,b的长方形卡片4张.现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为()

A.2a+bB.4a+bC.a+2bD.a+3b

9不论x,y取什么有理数，代数式占产叨-4八7的值()

A.总不小于2是个讲题鸭

B.总不小于7

C可为任＜可有理数

D.可能为负数

10已知x^y,且满足两个等式，2尸2023?J2—2X=20232,则占的注炉的值为

刷提升

1已知(团+2炉+2加+4n+l=0,则(m+2〃)2024的值为()

A.-lB.-2C.lD.2

2利用因式分解计算：2022+202>：196+982=

微专题1十字相乘法与分组分解法

3某些形如(x+p)(x+q)的二次三项式可利用十字相乘法分解因式.十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十

字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数

和，使其等于一次项系数，如：将式子好+3/2分解因式，如图，f+3x+2=Cr+l)(x+2).

1x2+1x1=3

请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：

(1)炉+7厂18;

(2)2^-7^+3；

(3)X2+(2-W)X-2//L

4常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述一种方法无法分解.如

』-4产-2x+4_y,细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式

分解后又出现新的公因式，再次提取公因式就可以完成整个式子的因式分解.具体过程如下：

x2-4>,2-2x+4y=(x2-^12)-(2x-4jO=(x+2;0-(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).

像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法.

利用分组分解法解决下面的问题：

(1汾解因式：9〃，一4『+4孙-y2;

(2汾解因式：4a2+4a-4(rb2-b2-4ab2+1.

刷素养

5如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式,

再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法能解决一些与非负数有关的问题，或求代数式

最大值、最小值等问题.

例如：X2+2X-3=(X2+2X+1)-4=(x4-1)2-4=(X+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1);

2?+4x-6=2(f+2x+l)-8=2(工+1)2-8厕当x=-l时,2?+4x-6有最小值，最小值是-8.

根据材料用配方法解决下列问题：

(1)因式分解：X2-6X-1=;

(2)当x为何值时，多项式-2/-4.什3有最大值?并求出这个最大值；

(3)已知2a2+362-4々+12/>+14=0,求出a,b的值.

第1章因式分解全章考点训练

考点1因式分解的概念

1下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是()

A.(«+3)2=a2+6a+9

B./-44+4=4(4-4)+4

C.5ax2-5a)>2=5a(^x+y)(x-y)

D.tZ2-26f-8=(67-2)(67+4)

考点2利用提公因式法进行因式分解

2因式分解：m2-3m=

3因式分解：x2+x)^xz-yz=.

考点3利用公式法进行因式分解

4分解因式4a2-1=()

A.(2a-l)(2a+l)B.(a-2)(a+2)

C.(a-4)(a+l)D.(4a-l)(a+l)

5分解因式：/_4孙+4^2=

考点4提公因式方法与公式法的综合应用

6分解因式：a3~9a=()

A.a(a-3)(a+3)B.t/(«2+9)

C.(a-3)(a+3)D.o2(a-9)

7分解因式：3ax2-6axy+34=_.

考点5因式分解的应用

8如果a+b=3,ab=l,那么凉6+2。2"+<力3的值为()

A.OB.lC.4D.9

9若k为任意整数，则（2%+3）2-4k2的值总能（）

A.被2整除B.被3整除

C被5整除D.被7整除

10定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差，且则称这个正整数为“智慧优数”例

如，16=52-316就是一个智慧优数，可以利用〃，一2=（〃?+〃）（〃?_〃）进行研究若将智慧优数从小到大排列，则第3

个智慧优数是一；第23个智慧优数是—.

11已知实数a,b.c,m,n满足3m+n=-,mn=-.

aa

（1斌说明:川-12“c为非负数；

（2）若a,b,c均为奇数，m,n是否可以都为整数.说明你的理由.

第1章因式分解全章练习

一、选择题（本大题共24分，每小题4分）

1下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）

A.a（x-y）=ax-ay

B.a2-b2=（,a+b）（a-b）

C.，-4工+3=464）+3

D.a2+\=a（^a+^

2多项式12az>2-8〃2反的公因式是（）

A.4abB.4a2b2C.2abD.2abc

3下列多项式不能用公式法因式分解的是（）

A.a2-8a+16B.

216

C.-a2-9D.a2-4

4王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x-l,a-b,3/2+1,a,x+l分别对应六个字：

底，爱，我，数,学，娄，现将1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A.我爱数学B.爱娄底

C我爱娄底D.娄底数学

5已知54-1能被20〜30之间的两个整数整除，则这两个整数是（）

A.25,27B.26,28C.24,26D.22,24

6已知m,n均为正整数且满足mn-2m-3n-2（）=0,则m+n的最小值是（）

A.20B.30C.32D.37

二、填空题(本大题共24分，每小题4分)

7已知m2+加一1=0,贝J]m3+2刑2+1=_

8因式分解8的结果为(x+p)(x+q),其中m,p,q都为整数贝」m的最小值是___.

9我们在学习数学公式时，可以用几何图形来推理论证.受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将如图(1)

所示的一张边长为a的正方形纸片剪去2个长为a,宽为b的长方形以及3个边长为b的正方形之后，再剪切拼接

成了如图(2)所示的长方形.观察图(1)和图⑵的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有a,