平面直角坐标系中点的坐标规律探究【八大题型】（人教版）解析版

专题9.3平面直角坐标系中点的坐标规律探究【八大题型】

【人教版2024]

＞题型梳理

【题型1沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究】...............................................1

【题型2沿斜线运动的点的规律探究】............................................................4

【题型3沿曲线运动的点的规律探究】............................................................7

【题型4沿坐标系翻折运动的点的规律探究】.....................................................10

【题型5绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究】.................................................13

【题型6平面直角坐标系中图形的变换规律探究】.................................................16

【题型7平面直角坐标系中坐标的变换规律探究】.................................................20

【题型8新定义问题中点的规律探究】...........................................................22

“举一反三

【题型1沿铅亍于坐标轴方向运动的点的规律探究】

【例1】(24-25七年级•江西新余・期末)如图，在平面直角坐标系中，•巡查机器人接到指令，从原点。出

发，沿着路线。-*AlTy42TA3T4TA5TA6TA7T48移动，每次移动1个单位长度，依次得到

4(0,1),&(Ll)，/(IQ，…根据这个规律，点＜2024的坐标为()

A.(1011,-1)B.(1011,0)C.(1012,-1)D.(1012,0)

【答案】D

【分析】本题考查了点的坐标规律，找到规律是解题的关键.

先根据图中点的排列，找出规律，再计算求解.

【详解】解：根据图形发现，点的运动呈规律排列，8个点为一个周期，一周期横坐标增加4,

A20244-8=253,

・••所以点力2024的横坐标为253X4=1012,

则点人2024的纵坐标与的纵坐标是相同的，

由图易知，点4的纵坐标为0,即点^2024的纵坐标为0，

点42024的坐标为(1012,0),

故选：D.

【变式1-1](24-25七年级•全国・专题练习)如图，在平面直角坐标系中，24(1,1),5(-14),C(-l,-2),D(L-

2).把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点八处，并按4-B-

。一。一力一…的规律紧绕在四边形力的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是()

【答案】B

【分析】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形48。。的周长，然后求出另一端

是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案.

【详解】解：・.,4(1,1)凤一1,1)£(-1,-2),。(1,-2),

：,AB=1-(-1)=2,BC=1-(-2)=3,CD=1-(-1)=2,DA=1-(-2)=3,

，绕四边形力BCD一周的细线长度为2+3+2+3=10,

20124-10=201……2,

・•・细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，

即点B的位置，点的坐标为(一1,1).

故选：B.

【变式1-2](24-25七年级.全国•专题练习)如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，

它从原点(0,0)运动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向运动,即(0,0)-(0,1)-(1,1)一(1,0),且每秒移

动一个单位长度，那么第99秒时质点所在位置的坐标是()

A.(9,U)B.(U,9)C.(8,0)D.(。,8)

【答案】A

【分析】本题考查了点的规律探究，根据已知点的坐标，以及点的移动速度，得到点移动到(几?I)时，用的时

间为九(九+1)秒，且当点移动到(0,九)时，九为奇数时，先向右移动九秒，得到(九九)，再向下移动九秒,得到(凡0),

"为偶数时，向上移动一个单位，得到(0,九+1),进行求解即可，根据题意找到点的坐标变化规律是解题的

关键.

【详解】解：由图和题意可知：

当点移动到(L1)时，用时2秒,

当点移动到(2,2)时，用时6秒，

当点移动到(3,3)时，用时移秒,

…，

・••点移动到(几〃)时，用的时间为n(7t+1)秒，

当点移动到(0,1)时,先向右移动1秒,得到(1,1),再向下移动1秒得到(1,0)，

当点移动到(0,2)时，向上移动1秒，得到(0,3),

当点移动到(0,3)时，先向右移动3秒，得到(3,3),再向下移动3秒得到(3,0),

・•・当点移动到(0,n)时，n为奇数时，先向右移动n秒,得到(几九)，再向下移动n秒，得到(几0),n为偶数时，

向上移动1秒，得到(0,71+1),

・•・当点移动到(9,9)时，用时9X10=90秒，再向下移动9秒，得到(9,0),

即第99秒时质点所在位置的坐标是为(9,0),

故选:A.

【变式1-31(24-25七年级•内蒙古呼和浩特•期中)如图,在平面直角坐标系中，点P(l,0).点P第1次向

上跳动1个单位长度至点Pi(l,l),紧接着第2次向左跳动2个单位长度至点「2(-1,1)，第3次向上跳动1个单位

长度至点鼻，第4次向右跳动3个单位长度至点。4,第5次又向上跳动1个单位长度至点生，第6次向左跳动4个

单位长度至点P6……照此规律，点P第2024次跳动至点「2024,则点P2024的坐标是()

A.(-506,1010)B.(-505,1010)

C.(507,1012)D.(506,1011)

【答案】C

【分析】本题考杳了点坐标的规律探索，解题的关键是准确找出点的坐标变化规律.设第九次跳动至点分，

根据部分点匕坐标的变化确定变化的规律，结合2024=506x4,即可求解.

【详解】解：设第n次跳动至点匕，

观察发现:，，(，，七(外(

P(L0)PiCM)P2(-U)»23-12)8(2,2),2,3),P6(-2f3),P7(-2,4),P8(3,4),3,5),...

•••伍〃)，("为自然数),

n(n+l,2P4n+1(n+l,2n+l),P4n+2(-n-lf2n+1),P4n+3(-n-lt2n+2),

72024=506x4,

・“2024(506+1,2x506)，

即「2024(507,1。12),

故选：C.

【题型2沿斜线运动的点的规律探究】

【例2】(24-25七年级•河南周口•阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中一方向排

列，即(0,0)t(0,1)->(1,1)-(2,2)t(2,3)t(3,3)t(4,4),…,则按此规律排列下去笫2024个点的坐

A.(1347,1348)B.(1348,1348)C.(1348,1349)D.(1349,1349)

【答案】C

【分析】本题考查的是坐标规律的探究，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探究方

法.

先由题意写出前几个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可

得答案.

【详解】7(0,0)->(0,1)t(1,1)-(2,2)-(2,3)t(3,3)「(4,4)

T(4,5)T(5,5)T(6,6)T(6,7)->(7,7)->(8,8)...,

・•・观察发现：每三个点为一组，每组第一个点坐标为(2n-2,2n-2),2024+3=674……2,

・••第2024个点在第675组的第二个，

•・•第675组的第一个点坐标为(1348,1348),

・•・第2024个点的坐标为(1348,1349),

故选：C.

【变式2-1](24-25七年级・重庆铜梁・期末)如图，在平面直角坐标系中，动点尸从原点出发，第1次运动

到点匕(1,1),第2次运动到点。2(2,0),第3次运动到点23(2,-1),第4次运动到点PM3,-1),第5次运动

到点Ps(3,0)........按这样的运动规律.点P28的坐标是()

A.(16,1)B.(17,0)C.(17,-1)D.(18,-1)

【答案】C

【分析】本题考查了点坐标的规律探究.根据题意推导一般性规律是解题的关键.

由题意知，每5个点循环一次，由28=5x5+3,可知产28与23具有相同的特征，由23(2,-1)，降(5,-1)，

P13(8,-1),可推导一般性规律为p5n-2(3几一1,一1)，由571—2=28,可求n=6,则228(3x6-1,一1),求

解作答即可.

【详解】解：由题意知，每5个点循环一次，

728=5x5+3,

・・・P28与具有相同的特征，

•・摩3（2,-1）,P8（5,-l）,33（8,-1）,

・•・可推导一般性规律为Psn-2（3八一L-1），

V5n-2=28,

An=6»

AP28（3X6-1,-1）,即P28（37,-l），

故选：C.

【变式2-2](24-25七年级•江西南昌・期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，动点P按图中箭头所示方向依

次运动,第1次从点(一1,0)运动到点(0,1),第2次运动到点(1,0),第3次运动到点(2,-2),…按这样的运

D.（2024,0）

【答案】B

【分析】本题考查了点的坐标规律，由题意出规律每四次运动，力.P的纵坐标相同，横坐标每运动一次就加1,

结合2024-4=506.即可得出动点P第2024次运动到点的横坐标为-1+2024=2023,纵坐标与第4次运

动后的点的纵坐标相同，为0,从而得解.

【详解】解：•・•第1次从点(-1,0)运动到点(0,1),

第2次运动到点(1,0),

第3次运动到点(2,-2),

・•・由此可以得到规律，每四次运动，点P的纵坐标相同，横坐标每运动一次就加I,

•••2024+4=506,

・••动点P第2024次运动到点的横坐标为-1+2024=2023,纵坐标与第4次运动后的点的纵坐标相同，为0,

:.动点P第2024次运动到点(2023,0),

故选：B.

【变式2-3](24-25七年级•广东汕尾•期末)如图，在平面直角坐标系上，点4(1,0)第1次跳动至点4式-1,1),

第2次向右跳动3个单位长度至点人2（2,1）,第3次跳动至点43（-2,2）,第4次向右跳动5个单位长度至点

024的坐标是.

【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意，找到前几个坐标变化规律，然后求解即可.

【详解】解：由题意,.42（2,1）,公（一2,2）,力式3,2）,人（一3,3）,4（4,3）,

依次类推，发现力271-式一九，/），42n（九+1，九）

•。2024(1013,1012)，

故答案为：（1013,1012）.

【题型3沿曲线运动的点的规律探究】

【例3】（24-25七年级•山东德州期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆。】，

02,。3,…组成一条平滑的曲线.若点P从原点。出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒；个单位长度，则

【答案】D

【分析】此题考查了点的规律变化，求出移动4次纵坐标完成一个循环，从而可得出点P的坐标.

【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的弧长为3X271X1=7T,

•••点P从原点0出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒三个单位长度,

•••点P每秒走3个半圆，

当点尸从原点。出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为1秒时,点P的坐标为(1,1),

当点尸从原点。出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为2秒时,点P的坐标为(2,0),

当点P从原点0出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为3秒时,点户的坐标为(3,—1),

当点P从原点。出发,沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时,点P的坐标为(4,0),

当点P从原点。出发,沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时,点P的坐标为(5,1),

当点P从原点。出发,沿这条曲线向右运动，运动时间为6杪时,点P的坐标为(6,0),

二点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、-1、0为一个周期依次循环,

•••20244-4=506,

P的坐标是(2024,0),

故选:D.

【变式3-1](24-25七年级•广东惠州•期中)如图，在直角坐标系中，四边形A8C0是正方形，

5(-1,-1),C(一1,1)，0(1,1).曲线441、4力2、443…叫做”正方形的渐开线"，其中弧"1、弧人遇2、弧

伙、弧444、…的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点4024的坐标是

【答案】(4049,-1)

【分析】本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解.先分别求出力1的坐标是

(-1,-3),力2的坐标是(一5,1),4的坐标是(1，7)，4的坐标是(％-1)，从中找出规律，依规律计算即可.

【详解】解•：从图中可以看出4的坐标是(一1,一3),公的坐标是(一5,1),小的坐标是(1,7)，4的坐标是(9，T)：

由题意可知，•••202444=506,

・••点42024的坐标是44的坐标循环后的点.

依次循环则4024的纵坐标是一1，44,4……，横坐标是可以用y=2n+1（71为自然数）表示.

当n=2024时,

•••%=2x2024+1=4049.

••・々024的坐标是（4049,-1）；

故答案为：（4049,-1）.

【变式3-2］（24-25七年级•山东临沂・期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一个半径为I的圆，与两坐

标轴相切，若该圆沿x轴正方向滚动2020圈后（滚动时在入轴上不滑动），则该圆的圆心坐标为（）

A.（4040TT+1,0）B.（4040r+1,1）C.（4040〃-1,0）D.（4040兀-1,1）

【答案】B

【分析】先求出圆的周长，在根据滚动的圈数求出求出滚动总距离即可.

【详解】解：••・圆的半径为I,

二圆的周长为27rx1=27r.

••,题图中圆的圆心坐标为（1,1），

•••该圆向x轴正方向滚动2020圈后（滚动时在x轴上不滑动），此时该圆的圆心横坐标为2020x2^+1=

4040万+1,纵坐标为1,即（404。立+1,1）,

故选：B.

【点睛】本题考查平面直角坐标系，熟记圆的周长公式及并掌握平面直角坐标系点坐标的规律是解题的关键.

【变式3-3］（24-25•湖北恩施•七年级期末）我们把I,I,2,3,5,8,13,21,…组数称为斐波那契数歹人

为了进一步研究，依次以这列数为半径作90。圆弧，弧P/P2,弧匕P3,弧人丹，…得到斐波那契螺旋线，

然后依次连接修产2,p2P3,夕3巴得到螺旋折线（如图），已知点B（0,1）,P2（-1，0），P3（0,-I）,

则该折线上的点的坐标为.

【答案】(-40,-9).

【分析】我们把1,1,2,3,5,8,13,21,34,…组数称为斐波那契数列，观察图象，推出Pg的位置,

即可解决问题.

【详解】由题意，凸在匕的正上方，推出网在外的正上方，F/o在P7的正左方，

且P/。的横坐标为：-34-6=-40,Bo的纵坐标与尸7的纵坐标相等是-9,

所以P/o的坐标为(-40,-9),

故答案为(-40,-9).

【点睛】此题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，确定Pio的位置.

【题型4沿坐标系翻折运动的点的规律探究】

【例4】(24-25七年级•湖南永州・期中)如图,在平面直角坐标系%Oy中,A,B,3。是边长为1个单位长

度的小正方形的顶点，开始时，顶点力，B依次放在点(1,0),(2,0)的位置，然后向右滚动，第I次滚动使点

C落在点(3,0)的位置，第2次滚动使点。落在点(4,0)的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后,

顶点力的坐标是()

A.(2024,1)B.(2026,1)C.(2025,0)D.(2026,0)

【答案】B

【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点A随滚动次数的变化规律.列举几次滚动后

的人点坐标，找到滚动次数与点A坐标之间的规律，进而求出第2023次滚动后顶点A的坐标.

【详解】解：第1次滚动点4的坐标为(2,1),

第2次滚动点42的坐标为(4,1)，

第3次滚动点①的坐标为(5,0)，

第4次滚动点儿的坐标为(5,0)，

第5次滚动点4的坐标为(5,1),

每滚动4次一个循环，

•••Atn+1(4"+2,1),4471+2(4九+4,1),4m+3(4/+5,0),44兀+4(4几+5,0)，

•••2025+4=506…1,

:.42025(4x506+2,1),

即{2025(2026,1),

故选：B.

【变式4-1](24-25•广东梅州•七年级期末)如图，在平面直角坐标系中，将AABO沿x轴向右无滑动的滚

动到△AB£i的位置，再到△A1B1C2的位置…依次进行下去，若已知点A(3,0),B(0,4),AB=5,则点A199的

【详解】解：。力+力庆+8^2=3+5+4=12,

所以点为(12,4),41(12,3)；

继续旋转得，

F4(2X12,4),力424,3)；

F6(3x12,4),力5(36,3)...

发现规律：

fi20O(100X12,4),4199(1200,3).

所以点499的坐标为(1200,3).

故答案为：(1200,3).

【变式4-2](24-25湖南长沙七年级期末)如图，正方形ABCD的顶点A(1,1),B(3,1),规定把正方形ABCD先

沿X轴翻折，再向左平移1个单位为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标

为()

A.(-2023,3)B.(-2023,-3)C.(-2021,3)D.(-2021,-3)

【答案】C

【分析】此题考查了对称与平移的性质，属于规律性题目，首先由正方形"CD的顶点力(1,1),8(3,1),C(3,3),

然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点。的对应点的坐标，即可得规律，进而求解

【详解】：正方形48CD的顶点力(1,1),8(3,1),

・・.C(3,3)

根据题意得：笫1次变换后的点。的对应点的坐标为(2,-3)

第2次变换后的点。的对应点的坐标为(1,3)

第3次变换后的点。的对应点的坐标为(0,-3)

第八次变换后的点C的对应点的坐标为，当n为奇数时为(3-n,-3)；当n为偶数时为(3-n,3)

・••连续经过2024次变换后，正方形A8CD的顶点C的坐标为(-2021,3)

故选：C.

【变式4-3](24-25・河北•七年级期末)平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和

大于0的点称为“和点将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当

余数为。时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时・，向左平移)，每次平移1个单位长度.

例：“和点”P(2,l)按上述规则连续平移3次后，到达点为(2,2)，其平移过程如下：

右上左

P(2.1)►匕(X1)—►a(3.2)—►P、(2.2)

余0余1余2

若"和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点心6(-1，9)，则点Q的坐标为()

A.(6,1)或(7,1)B.(15,-7)或(8,0)C.(6,0)或(8,0)D.(5,1)或(7,1)

【答案】D

【分析】本题考杳了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键.

先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，

向上、向左不断重复的规律平移，按照a6的反向运动理解去分类讨论：①Q16先向右1个单位，不符合题

意；②Q16先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，

此时坐标为(6,1),那么最后一次若向右平移则为(7,1),若向左平移则为(5,1).

【详解】解：由点P3(2,2)可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,继而向上平移1个单位得到&(2,3),

此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2,继而向左平移1个单位得到入(1，3),此时横、纵坐标之和除以

3所得的余数为I,又要向上平移I个单位……，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余

数为0时，先向右平移【个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，

若"和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Qi6(T，9)，则按照“和点％i6反向运动16次求点。坐标理

解・，可以分为两种情况：

①Q16先向右1个单位得到%5(0,9)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0,应该是Qis向右平移1个

单位得到Q16,故矛盾，不成立；

②Qus先向下1个单位得到Qis(-1,8),此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1,则应该向上平移1个单

位得到Q16,故符合题意，那么点g6先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次,

向右平移了7次，此时坐标为(一1+7,9-8),即(6,1),那么最后一次若向右平移则为(7,1),若向左平移则

为(5,1),

故选：D.

【题型5绕原点呈“回”字形运动的点的规律探究】

【例5】(24-25七年级•全国•专题练习)如图，在平面直角坐标系中,从点B(-1,0),P2(-l,-l),P3。-1)，

&(1,1),Ps(-2,1),P6(-2,-2),...»依次进行下去,则P2023的坐标为()

A.(506,-506)B.(506,506)C.(-506,505)D.(-506,-506)

【答案】A

【分析】本题考查了带周期的点的坐标规律.这些点分布在四个象限，可以分为四类，2023+4=5053,

户2023在第四象限，考虑「3（1，-1），尸7（2,-2），尸u（3,-3）...这些点的坐标规律.

【详解】解：根据点的运动特征，把这些点分为四类，每•象限•类，周期为4,

•••2023+4=505……3,

・•.P2O23在第四象限，考虑「3（1，-1），「7（2,-2）,Pii（3,-3）…

这些点的横坐标都是下标与1的和除以4得到的，纵坐标与横坐标互为相反数,

•••（2023+1）+4=506,

02023的坐标为（506,-506）.

故答案为：A.

【变式5-1]（24-25•宁夏银川•七年级期末）如图,在平面直角坐标系中，各坐标分别为4（0,0）,&（1，1），

4(2,0)，4式0,-2),A5(-2,0),A6(lf3),4(4,0)，A8(0,-4),AX-4,0),410(1,5),i4n(6,0),则依图中

所示规律，力2。23的坐标为（）

C.(0,-2020)D.(1010,0)

【答案】A

【分析】本题考查r点坐标规律探索问题,旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得力4〃一1521）在横轴

的正方向，且坐标为（2珥0）,Ln+iEN1）在横轴的正方向，且坐标为（-2n,0）,结合2023=506x4-1即

可.

【详解】解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形，

4（0,0）,43（2,0）,力5（-2,0）,%（4,0），/19（-4,0）MII（6,0）...

・・"4n-idN1）在横轴的正方向，且坐标为（2九,0）,4n+15N1）在横轴的正方向,且坐标为（一2九,0）,

72023=506x4-1,

，点%023的坐标为（1012,0）.

故选：A.

【变式5-2]（24-25七年级•河南驻马店•阶段练习）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与X轴或

y轴平行，从内到外，各正方形的边长依次为2,4,6,8,10,…，顶点41，42，/，44，阳46i的坐标分别为

4（1,1）,42（-1，1）43（-1，-1），4（1，-1），4（2,2）,46（-2,2）,…,则顶点4024的坐标是.

y

【答案】（506,-506）

【分析】本题考查了坐标与图形的规律探索，能根据已知找出规律是解题的关键.

根据题意发现规律：从开始，每4个点在同一个正方形的顶点上，按“一、二、三、四”象限的顺序排序，且

点的坐标绝对值都等于所在正方形的序数，故计算2024+4=506,知道是第506个正方形的顶点，且在第

四象限，据此得出的坐标即可.

【详解】解：根据题意发现规律：从开始，每4个点在同一个正方形的顶点上，按“一、二、三、四”象限的

顺序排序，且点的坐标绝对值都等于所在正方形的序数，

V20244-4=506,

工顶点4024是第506个止方形的顶点，且在第四象限，

工顶点4024的坐标：横坐标是506,纵坐标是-506,

.*.i42Q24（506,—506）.

故答案为：（506,-506）.

【变式5-3]（24-25七年级♦辽宁大连•期中）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单

位长度，以点P为顶点作正方形PA遇2小，正方形P/U4。，…此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点

上，其中正方形的顶点坐标分别为P（-3,0）,4式一2,1）,々（TO），4（一1,一1），4（一1，2）,45（1，。）…则顶

【答案】(31,34)

【分析】本题考查了点坐标的规律探究.根据题意推导•般性规律是解题的关键.

由图象可知,每三个点一组，根据100+3=33…1,得出是第34个正方形中的第一个点，根据为(一2,1),

4(T,2)，①(0,3)，4式1,4)……得出第。个正方形中点4n-25—3,n),最后把n=34代入求出结果即可.

【详解】解：由图象可知，每三个点一组，

V100^3=33-1,

是第34个正方形中的第一个点，

•・4(-2,1),4(-1,2),4(0,3),公式1,4)……

，第n个正方形中点437t-2(n一3,九)，

当九=34时，34-3=31,

："IOO(31,34).

故答案为:(31,34).

【题型6平面直角坐标系中图形的变换规律探究】

【例6】(24-25七年级•全国・专题练习)如图，在直角坐标系中，第一次将△408变换成△。4当，第二次

将△。必%变换成△。力2々，第三次将△。a多变换成△。力3%，已知4(1,4),4(2,4),42(4,4)，4(8,4);

8(2,0),Bi(4,0),々(SO),/(IGO).

(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△O&B3变换成△O4B4,则4的坐

标是_，当的坐标是

⑵若按(1)找到的规律将△O/IB进行了几次变换，得到△。4出口，比较每次变换中三角形顶点有何变化，

找出规律，推测4的坐标是_，当的坐标是

【答案】(1)(164),(32,0)

(2)(2n,4),(2n+1,0)

【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次新是解题

的关键.

(1)根据规律直接写出结论：

(2)由题可得，4点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2兀，纵坐标都是4：B点坐标规律

为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是纵坐标都是0,再写出力H取的坐标即可.

【详解】(1)解：・・N(1,4),4(2,4),%(4,4),4(8,4),

工人的横坐标为：24=16,纵坐标为：4,

，点4的坐标为:(16,4).

又・；8(2,0),Bi(4,0),8式8,0),53(16,0),

二为的横坐标为：25=32,纵坐标为：0,

，点%的坐标为：(32,0).

故答案为：(16,4),(32,0)；

(2)解：由力(1,4),&(2,4),(4,4),4(8,4),可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2%纵坐标都是

4.

故4的坐标为:Qn,4).

由8(2,0),比(4,0),%(8,0),鼻(16,0),可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是可+】,纵坐标都是0.

故当的坐标为：(2/1,0).

故答案为：(2几,4),(2/1,0).

【变式6-1](24-25广东珠海•七年级期末)如图，在平面直角坐标系％Oy内，动点M第1次从点％(-3,-2)

运动到M】(一2,0),第2次运动到M?(-1,1)，第3次运动到M3(0,3),第4次运动到(1,2),第5次运动到

也[2,-1),第6次运动到%(3,-2),第7次运动到M7(4,0)……依此规律，第2024次运动到“2024的坐标

是.

y

I

-r

I

-J

Xs

I

【答案】(2021,1)

【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解

题是解答本题的关键.根据图象可得出：本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力.根

据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3,纵出标依次为；2,0,1,32-1,每6次一个循环，据此即可求

解.

【详解】解：由题意得：动点M°(-3,-2)在平面直角坐标系中的运动为：

0),M2(-lfl),M3(0,3),M4(l,2),M5(2,-l),M6(3,-2),M7(4,0).................

・•・横坐标为对应的运动次数减3,

则第2024次运动到点“2024的横坐标为：2024-3=2021；

纵坐标依次为：—201,32—1,每6次一个循环，

7(2024+1)4-6=337...3,

・••第2024次运动到点“2024的纵坐标为：1・

故答案为：(2021,1).

【变式6-2](24-25七年级•全国・专题练习)如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称

变换，若点。坐标是(6,2),则经过第2022次变换后，点。的对应点的坐标为()

第1次,第2次》第3次》第4次，

关于y轴对称关于谢对称关于y轴对称关于谢对称

A.(-6,-2)B.(6,-2)C.(-6,2)D.(6,2)

【答案】A

【分析】观察图形可知每四次对称为•个循环组依次循环，用2022除以4,然后根据商和余数的情况确定出

变换后的点C所在的象限，然后解答即可.

【详解】解：♦.♦点C第一次关于y轴对称后在第二象限，坐标为(-6,2),

点C第二次关于％轴对称后在第三象限，坐标为(-6,-2),

点C第三次关于y轴对称后在第四象限，坐标为(6,-2),

点C第四次关于X轴对称后在.第一家限，坐标为(6,2),即点C回到原始位置，

•••每四次对称为一个循环组依次循环，

v2022+4=505...2,

二经过第2022次变换后所得的。点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为(-6,-2),

故选：A.

【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察图形得出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键.

【变式6-3](24-25七年级•全国・专题练习)如图，在直角坐标系中第一次将△。48变换成△0451，第二次

将404与变换△。必为，第三次将△。必劣变换成△。/名，已知：

4(1,3),4(一2,-3),力2(4,3),4(-8,-3),8(2,0)出(-4,0),82(8,0),83(-16,0)；

(1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将^。小/变换成△O/U/则点心

的坐标为，点区的坐标为.

(2)若按第(1)题中找到的规律将△04。进行了〃次变换，得到的△0/见推测点八坐标为，

点%坐标为.

【答案】(1)(16,3),(32,0)

(2)((-l)n•2、(―1尸.3),((—•2»1,0)

【分析】本题考杳了规律型中的坐标问题，解题的关键是根据给定点的坐标结合图形找出变化规律.

(1)根据图形变化规律写出图形变换后点的坐标即可：

(2)根据点A的坐标每变化•次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标

的长度变为上一次的2倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点8的坐标的长度每变化一次横坐标

就变为上一次的2倍，奇数次变亿为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是0,然后写出即可.

【详解】(1)解：根据图形变换的规律：

・・・4(1,3),&(-2,-3),&(4,3),43(-8,-3)；

・••点4的坐标为(16,3)；

•••8(2,0),当(一4,0),F2(8,0),%(一16,0)：

・••点%的坐标为(32,0)；

(2)解：由图形变换的规律可得:

点4坐标为：((-l)n-2n,(-l)n-3)；

点”的坐标为:((-1)«.2n+1,0).

【题型7平面直角坐标系中坐标的变换规律探究】

【例7】(24-25七年级.黑龙江绥化.期中)在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(％,y),若规定以下

两种变换：

①/(%,y)=(%+2,y).②g(%,y)=(-x,-y),

例如按照以上变换有：/(l,1)=(3,1)；g(f(Ll))=g(3,1)=(-3,-1).

如果有数a、b，使得/b))=(b,-a),则g(f(a+b,a-b))=.

【答案】(-4,0)

【分析】先根据/(g(a,匕))=(4Q),推出(—Q+2,-8)=(力，—a),进而求出，据此求解即可.

【详解】解：・・・/(g(a，h)=(4a)，

/./(—a,-b)=(b,a),

，(-Q+2,-b)=(b,-a),

.(—a+2=b

**t-b=­a

解得

・•・g(f(a+b，a-b))

=g(/(l+l,1-1))

=g(f(2,0))

=g(2+2,o)

=(-4,0),

故答案为：(—4,0)

【点睛】本题主要考查了新定义，解决的关键是理解相关定义，难点是确定运算顺序.

【变式7-1](24-25七年级•北京西城•期中)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(小//),若规定以

卜,三种变换：

Q(a,/})=(-b,・a),如f(1，3)=(-3,-1)；

②g(a,b)=(b,a),如g(L3)=(3,1)；

@h(«,〃)=(-♦,b),如/?(1,3)=(-1,3).

且规定了运算顺序是“由内到外”，例如按照以上规定有：f(g(2,-3))=/(-3,2)=(-2,3),

那么/(g(h(5,-3)))=.

【答案】(5,3)

【分析】根据题意找到运算法则/、g、h,然后运用相应的运算法则解答.

【详解】解：由题意知，/(g(h(5,-3)))=fCg(-5,-3))=/(-3,-5)=(5,3).

故答案是：(5,3).

【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标，关于x轴、y轴对称的点的坐标.解题的关键是弄清楚/、外h

所对应的运算法则.

【变式7-2](24-25七年级.安徽六安・期末)对一组数(％y)的一次操作变换记为&(9,%),定义其变换法则

n

如下：P101，%)=(x+ytx-y'),P2(X2，y2')=(必+%，%-、1)…&Qi，%)=Un-1+7n-V^n-l-7n-l)<

为大于1的整数)，如这组数为(1,2),则Pl=(3,-1),P2=(2,4),P3=(6,-2)...-l)Bt,P2024=

()

A.(210i2,_21°i2)B.(0,—2i°i2)C.(0,21°】】)D.(21011,-21011)

【答案】A

【分析】本题考查了新定义点的坐标，根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答，读懂

题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键.

【详解】解：当这组数为(1,一1)时，

Pi(l,-l)=(0,2),

P2(l,-l)=(2,-2),

2

P3(l,-l)=(0,4)=(0,2),

6(1,-1)=(4,-4)=(22,-22),

3

P5(l,-l)=(0,8)=(0,2),

•，•/)2024(1»-1)=(21012,-21012),

故选：A.

【变式7-3](24-25七年级•河北沧州•期末)在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(％y),若规定以下

两种变换：

①/(%,y)=(/,%)•如f(2,3)=(3,2)；

②g(x,y)=如g(2,3)=(-2,-3).

按照以上变换有：/"(g(2,3))=/•(-2,-3)=(-3,-2),那么g(f(-6,7))=.

【答案】（-7,6）

【分析】先根据题意求出了（一6,7）=（7,-6）,即可求出“/（一6,7））=（-7,6）.

【详解】解：由题意得/'（一6,7）=（7,-6）,

，0（/（-6,7））=g（7,-6）=（-7,6）,

故答案为：（-7,6）.

【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意是解题的关键.

【题型8新定义问题中点的规律探究】

【例8】（24-25七年级•湖南邵阳•阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P（x,y）,把点％（y,士）叫做点P的

友好点.已知点A的友好点为点力2，点82的友好点为点&…这样依次得到点A）2,&4…%,若点久的

坐标为0,2）,则根据友好点的定义，点42023的坐标为（）

A.&2）B.（2,-1）C.（-1,-1）D.（-1,0

【答案】A

【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先分别算出4（2,2）

4（2,-1）,4（一1,一1）4（一1，）“6&》找到规律后，得点从2023的坐标与4的坐标相同，即可作答.

【详解】解：•・•对于点P（x,y）,把点匕（y,士）叫做点P的友好点.且久的坐标为G，2）,

则上7=2

力2（2,2）,

・马3（2,-1）,

同理得4（—1,—1）,4$（―14），4（：,：）'47&2）

观察发现，每6个点为一个循环组依次循环.

v2023+6=337

工点力2。23的坐标与&的坐标相同，为C，2）,

故选:A

【变式8-1］（24-25七年级•全国•课后作业）定义：平面内的直线匕与，2相交于点。，对于该平面内任意一点

M，点例到直线%,，2的距离分别为〃，儿