高一预习人教A版高中数学必修一《三角恒等变换》知识点总结及练习（含解析）

第23讲三角恒等变换

【人教A版2019】

第1页共23页

对于任意角a,£有cos(a/)=cosacos£+sinasiM

两角差的余弦

-公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和

公式

同角6的余弦、正弦

C<M(a♦6)=<****aco«6finasin。

同用a的余弦、正弦

两角和的余弦

「公式两角和与差的余弦公式可以记忆为'•余余正正，符号相反”

同角。的余弦、正弦

sin(a±。卜:sinacos。土

同号同号

将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函

数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为端助角公式

I辅助角公式•

二倍角的正弦、余弦、正切公式

「二倍角公式

二倍角公式1二倍角公式的

⑴倍角公式的逆用；⑵配方变形；⑶因式分解变形；(4)升房公式

变形应用

■一“一

模块一\两角和与差的三角函数公式

知识梳理

1.两角差的余弦公式

对于任意角a,/i有cos(a/):cosacos/?+sinasin/?.

此公式给出了任意角a,。的正弦、氽弦与其差角的余弦之间的关系，称为此角的氽弦公式,简记

作

Ga-fl)•

公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.

2.两角和的余弦公式

(1)公式的结构特征

第2页共23页

同角。的余弦、正弦

cos(a+6)=cosacosft-sinasin。

同角a的余弦、正弦

(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧

两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.

①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②"符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用

两角差时用

3.两角和与差的正弦公式

⑴两角和与差的正弦公式的结构特征

同角6的余弦、正弦

sin(a±0)=sinacosp±cosasin

同角a的正弦；余弦

(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧

两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同

①“正余余正''表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用

两角差时用

4.两角和与差的正切公式

两角和与差的正切公式的结构特征

-tanatan01+tanatan

符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.

5.两角和与差的三角函数公式的逆用及变形

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如

tana+tan//=tan(a+//).(1-tanatan//)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓

展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

6.辅助角公式

通过应用公式asina+〃cosa=y/a2+b2sin(a+e)［或asina+力cosa=y/a2b2cos(a一夕)将形如

asina+〃cosa(4/?都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数+伊)[或

-°)].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个

三角函数，这种恒等变换称为收缩变换,上述公式也称为辅助角公式.

第3页共23页

题型归纳

【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】

【例1】(24-25高一上.河南郑州•期末)已知a/口若sin(a+3=g,cos/?=V，则cos(a+/?)=()

.16B逮C些

A•一君D.

.6565

【解题思路】根据诱导公式、同角三角函数关系及两角和余弦公式求解即可.

【解答过程】由诱导公式得sin(a+g)=cosa=j»因为a/口“,/，cosa=g,cos/?=V，

所以sino=Vl-cos%=1,sin^=7l-cos2/?=,

所以cos(a+尸尸coswcos6一sinasin或=；乂三一,又*=一£

)13、136、

故选:A.

【变式1.1](2025•全国•模拟预测)已知sin(什(—弓0先则sin(>9=()

A3-&n3+V6.V6D.R

A•二-B.丁C.y

【解题思路】通过什沪火：及两角和的正弦公式即可求解.

366

【解答过程】由-等把诃得-仁什、会

又sin(例■3=乎,则cos(8+

故sin(>()=$泊(知£+：)=sin(呜co

S-+COS(铝)限

6

右V3,V6I3+后

=­x-+—x-=------

32326,

故选：B.

【变式1.2](24-25高一上•吉林长春•期末)已知tana=-2,则tan(a+胃=()

A.\B.3C.VD.

[解题思路】利用两角和的正切公式代入计算即可.

【解答过程】由两角和得正切公式得lan(a+"=1等=J^7=V-

471-tana-tan-113

故选:C.

【变式1.3](24-25高三上•辽宁大连•期中)已知cos(a+6)W，tanala叨=2,则cos(a-£)=()

第4页共23页

A-4B-4c.tD.।

【解题思路】根据两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出cosacos夕、sinasi邛，再由两角差的余弦

公式计算可得.

（解答过程】因为cos（a+汽）=cosacos6-sinasin6=：,

旭3/0-2,解得「3的7

:cosacos后—!

4

3

所以cos（a-/Q=cosacos用+sinasin〃=—]

4

故选:A.

【题型2利用和（差）角公式化简、求值】

【例2】（24-25高一上•吉机长春・期末）已知cos（a+3=*cos（^-=则cos（a+/?）=

（）

A竺B匹C些D竺

•65*65*65,65

【解题思路】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出sin（a+f和sin。-力的值，再利用整体思

想，将cos（a+/0转化为8s[（。+3+（夕-3]，用余弦的和角公式展开求值即可•

【解答过程】口的人（-分）,□（吟）口（0号）,（A-j）D（-T，0）,

又□cos（a+y=g>0,cos.-f彳>0,

（叫）（呜），G，。），

□sin（a+三）>0,sin（6-<0,

□sin1+9=J1-cos2(«+^)=^sin伊9="J

1-COS2(*)=常

则8s(a+份=cos[(行三)+(夕、)]

=ccs(a+9cos(/?-J-sin("+9sin(6*卜汩兴卜习瘾,

故选:C.

【变式2.1]（24-25高一下•江苏连云港•期中）已知sina+cos£=|,cosa+si叨=一，则sin（a+6）=1）

.13

A-正BTc-TD.弋

第5页共23页

【解题思路】对给定式子平方，再进行相加得到sinacos0+cosasi印=-9最后利用两角和的正弦公式求解即

1o

可.

［解答过程】若sina+cos/?=・，则（sina+cos02=sin2a+2sinacos/7+co$2/?=g

若cosa+sin4=一；，则(cosa+sin夕)2=cos2Q+2cosasin6+sin/=$

将两式子相加可得2sin«cos/9+2cosasin/?-j-2—-,

化简得sinacos/?+cosasin或=-3,

18

由两角和的正弦公式得sin（a+6）=sinacos或+cosasi叨=-三，故C正确.

IX

故选：C.

【变式2.2］（24-25高一下•江苏•阶段练习）已知a/Usina=言,tan（H一：）=；，则tan（2a+0的值为（）

A.1B.-3C.D.-1

【解题思路】由sina=¥，利用同角三角函数的关系求出tana,倍角公式得lan2a,由tan仇-；）=；,利用两角

差的正切公式求出tan/?,再由两角和正切公式求出tan（2a+0.

【解答过程】«□sina=手，则cos（x=V1-sin2a=y,

有tan（z==2,tan2a=2吗=-:,

cosaItan。3

匕「仇一》=；^=苦=；,得tan/?=3,

V4/l+tan/?tan-1+taiV?2y

tanf2tt+/?）=ian2；”an/：=式=1

'11-tan2«tan/?1一（，）*33

故选：A.

【变式2.3］（2025.江苏徐州.模拟预测）已知角a/满足cosS=g,cosacos（a+夕）=：,则cos（2a+五）=（）

A.|B.；C.!D.：

3468

【解题思路】根据0=&+/y-a,2a+"=&+""a,即可由和差角公式求解.

［解答过程】cos成=cos［（a+』）一a］=cosacos（a+日）+sinasin（a+汽）=；+sinasin（a+0）=；,故sinasin（a+夕尸"，

因此cos(2a+6)=cos[(a+少)+a]=cos«cos(a+6)-sinasin(a+6)=7-77=7,

4126

故选：C.

第6页共23页

【题型3两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】

[.|【例3](24-25高一上•全国•课后作业)；cos75-^sin75=()

A.B.；C.TD.当

2222

【解题思路】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解.

【解答过程】:cos75-Bsin75=cos60cos75-sin60Dsin75=cos(60+75)=cosl35=-cos45=一胃.

故选：C.

【变式3.1](24・25高一上•全国•课后作业)cos77cos32+cosl3Dsin32D=()

A-iB.一；C,当D.一当

【解题思路】根据两角差的余弦公式，即可化简求值.

【解答过程】cos77cos32+cos13sin32=cos77cos32+sin77sin32=cos(77-32)=cos45!=y.

故选：C.

【变式3.2](24-25高一上•吉林长春•期末)sinl1()cos40-cosTOsin40=()

A-7B-Tc-D-

【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式及差角的正弦公式计算得解.

【解答过程】sinl10cos40-cos70sin40=sin70cos40-cos70sin40=sin30=；.

故选：A.

【变式3.3](24-25高一上•全国•课后作业)sin92°cos32°-sinl4SOcos92o=()

A.1B.VC.YD.~

2222

【解题思路】根据诱导公式可得sinl48o=sin32。，结合两角差的正弦公式可得结果.

[解答过程]原式=sin920cos32。-sin(180°-32°)cos92°

=sin920cos320-sin320cos92°.

=sin(92°-32o)=sin60°=^.

故选:C.

【题型4辅助角公式的应用】

LJ【例4】(24-25高一上•全国•课后作业)已知sina-\/5cosa=|,贝Usin(20一J=()

第7页共23页

A--IB-JD-4

【解题思路】由辅助角公式求得cos(a+J的值，再由二倍角公式求得cos(2a+J的值，由诱导公式求得

sin的值.

【解答过程】|+lsin«-V3cos«=|,得cos（a+9=-1,

则8s（2a+g）=2COS2（a+：）一1=一：

故sin（2a-=-sin-（2a+g）］=-cos（2a+f=：.

故选:C.

【变式4.1](24-25高一上•全国•课后作业)V3cosx-sinv=()

A.2cos（k-：）B.2cos（卢：）C.2cos（X-5D.2cos（x+§

【解题思路】利用辅助角公式化简即可.

[解答过程】V3cos.r-sinx=2俘cosx-；sinx）=2（costcos：-siavsin=2cos

2（巴）

故选：B.

【变式4.2](2025・湖北•二模)球数/M=3cosx-4sinx,比〃攵)取得最大值时，sinx=()

B--?C.7D-

【解题思路】由辅助角公式、诱导公式直接运算即可求解.

【解答过程】/trj=3cosx-4sinr=5gcosx-\sin^=5cos&+〃,

其中cos@=1,sin^=-,

而/G7=3cosx-4sinx=5cos6+心上5,

等号成立当且仅当x+0=2E&Z),此时sinx=sin(-3)=-sins=-；.

故选：B.

【变式4.3](24-25高一上•河北保定•阶段练习)已知“1。兀)，且sina-V5cosQ=2,则tana=(

A.-V3B.-yC.yD.V3

【解题思路】利用辅助角公式化简，结合特殊角的三角函数值求出。即可得解.

【解答过程】由sina-V5cosa=2,得:sina-当cosa=l,BPsin(a-j)=l,

第8页共23页

由。口(0,冗)，得a-三口(一；,。，则即0=3

3335Zo

所以tana=tan?=-tan7=-g

663

故选:B.

1.二倍角公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式

函数公式P=a简记符号

正弦sin2a=2sinacosaS2tt

余弦cns?/z=cos2rz-sin2nf=2co*;2rz-1=1-7sin-nrC（a切）Ca«

c2tanaT(+/r>T2a

tan2a=--------—a

1—tan~Q

2.二倍角公式的变形应用

（1）倍角公式的逆用

_.._.sin2asin2«

①Sz"：zsinacosa=sinza,since=------,cosa=-r—：—.

2cosa2sina

②C2a:cos2a-sin%=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a.

2tana

③九:—tan2a.

1—tan2a

(2)配方变形

1±sin2a=sin2a+cos2a士sin2a=(sina±cosa)2.

(3)因式分解变形

cos2a=cos2a—sin2a=(cos«—sin«)(cos«+sin«).

(4)升塞公式

1+cos2a=2cos2a；1—cos2a=2sin2a.

题型归纳

【题型5利用二倍角公式化简】

」【例5】（24-25高一下•山西大同・期末）若tana=2,则.广2〃，的值为（)

Lsinzcd-cos-a

第9页共23页

CI

A.-TD.-

【解题思路】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得.

cos2«cos2alsin，l-tan2«1-223

【解答过程】由tana=2,得

sin2«+cos2«2sin«cos«+cos2a2tana+l2x2+1

故选：B.

化简J—!竺十"—sinl60。的结果是（）

【变式5.1］（24-25高三上•重庆渝中•阶段练习）

A.cos100B.sin10°

C.2sinl0°+cosl00D.2cosl()°-sinl00

【解题思路】

利用正余弦的二倍角公式化简即可.

【解答过程】

原式化简为

J^y^+Vl-sin200=J""”"+Vl-2sinlOOcosl()。=cos10°+cos10°-sin10°=2cos10°-sin100.

故选:D.

【变式5.2】（2。25・全国,模拟预测）需黑-鬻

)

A.tan20B.tan70C.-tan10D.-tan40

【解题思路】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算，即可求解.

।tsinlO

【解答过程】由l+tani902cos70IMan102sin20os】02sin20

l-tan370sin401-tan10sin40^sinlO2sin20cos20

cosiO

(cos10+$inl0l+sin20

——=tan20.

cos210-sin210cos20cos20cos20

故选：A.

【变式5.3］（24-25高•一下•江苏盐城•期中）已知砌6；,丁化简V2-2sin2a-，l+cos2a的结果是（）

A.V2sin«B.—\/2sin«C.V2cos«D.一役cosa

【解题思路】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.

【解答过程】口。口,Ccosa>sina,cosa>0.

V2-2sin2tt-Vl+cos26c=V2vsin2«-2sin«cosrt+cos2a-V1+2cos2«-1

J(sina-cosa)2-y/2cosa=y/2(cosa-sina)—y/2cosa=—y/2sina

第10页共23页

故选：B.

【题型6利用二倍角公式求值】

（高一上•福建厦门•阶段练习）已知（，则（（

LJ【例6】24-25cosa+J=*sin2a-g=)

34

D.

55

【解题思路】由二倍角余弦公式得cos（2a+R的值，再利用诱导公式求sin（2a—?=sinK+（2a^）]的值.

【解答过程】根据题意，cos（2a+g）=cos2（a+y=2cos2（a+5T=2xtT=-g,

故选:D.

【变式6.1]（24-25高一上•云南曲靖•期末）若sin（a+：）=；,则sin（2a+/）=（）

A.；B.7C.：D.7

9393

【解题思路】由诱导公式及余弦二倍角公式即可求解；

【解答过程】由sin（2a+^）=sin（2«+j+=cos（2a+j）=1-2sin2（"+J=1-：=孑

故选：A.

【变式6.2]（24-25高一上•浙江杭州•期末）已知&sin〃-2cosQ。，则tan2/7=（）

A.-2V2B.2V2C.yD.¥

【解题思路】根据条件可得tan%VL利用正切的倍角公式可得结果.

【解答过程】•・•夜sinO—2cosQO,:・tanQ注=VL

COS。

.._2tan<92>/2-/x

..tann2/1/>-——7-=-------7=-2V2.

Ian-6I-（72）2

故选：A.

【变式6.3]（24-25高一上•山东洵泽•阶段练习）已知角a的始边与x釉的非负半轴重合，终边过点M・3,4）,

则cos2a的值为（）

【解题思路】根据三角函数的定义求出sina,再由二倍角公式的余弦公式计算可得.

【解答过程】因为角。的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M63,44

2

所以sina=।4=:所以cos2a=l-2sin2a=1-2x(g)=-三

，(-3)2+42

第11页共23页

故选：A.

【题型7三角恒等式的证明】

【例7】35高一下.甘前天水.期中）求证一心2r高

由右往左证明，运用正切的半角公式tan外上吗即可得证.

【解题思路】

1-tanz-

22tan-j-l()1'丁比

【解答过程】―=5-=tan；一-办证毕.

tanOian-2tan-

【变式7.1]（24-25高一下•江苏徐州•期中）求证下列恒等式:

（1）—---—■—=tan2cz；

1-tanaHtana

（2）sin50（l+V3tanlO）=1

【解题思路】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可;

⑵先将正切化弦，通分得到原式=涧5。七e二优,再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证

明.

II(btan^-Cl-tana)2tana，-

【解答过程】-------------=----------------=------=tan2a

1-tanal+tana(1+tan。)(Iran。)1-tan^a

(2)左边=sin5O(1+V3tanl())=sin5O(1+'：：：；：)

.uc.-cosio+V5siniozlc.刀$皿10

=sin5O□----------=2sin5OE*----------

coslOcos10

cos(60-10)_2$in5Oco$50_sin100

=2sin50=1=右边,

coslOcos10cos10

原式得证.

【变式7.2]（24-25高一上•广东湛江•期末）证明下列等式:

(l)sin^(l+cos28)=sin2，cos。

(2)cosa(cosa-cos^)+sin«(sin«-sin^)=2sin22.

【解题思路】（I）（2）利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证.

【解答过程】(1)左边=5皿。(1+8$2。)=$吊0(1+2(?052卅1)=25皿佻052片5仙2a05%右边，得证;

(2)左边=(?050((：056(-(?006)+5吊〃(§皿0-5m/7)

=cos2a-cosacos^+sin2ot-sinasin/^

=1-(cosacos/?+sinasin^)

=l-cos(a-/?)

第12页共23页

=2sd?

2

=右边，得证.

【变式7.3](24-25高一下•辽宁•期中)已知sinasin毋0,且sin(a-/?)=2sinasin//,证明:

(1)~-7——=2：

twptana

(2)cos(a+^)=V2cosQ+。一汽).

【解题思路】(I)由两角差的正弦公式化简得出sinacos戒-cosasiM=2sinasin”,等式两边同时除以sinasi叫

化简可得出结论成立;

(2)由已知条件得出sin(a-£)=cos(a-/7)-cos(a+/?),即为cos(a+6)=cos(a-£)-sin(a-Q),再结合两角和的余弦

公式可证得结论成立.

【解答过程】(1)因为sin(a-夕)=2sinasin或，所以sinacos/?-cosasi邛=2sinasii必

两边同时除以sinasin/f,~~~~=2»即-——=2.

sinpsinatanptana

(2)因为sin(a-/?)=2sinasin//,所以sin(cr力)=cos(a-少)-cos(a+/0，

所以cos(a+/0=cos(a-6)-sin(a-Q),

所以cos(a+夕)=V5[ycos(«-/?)-ysin(«-/?),

所以cos(a+/0=V5cos(：+。-夕).

【题型8利用三角恒等变换判断三角形的形状】

【例8】(24-25高一•全国•课后作业)在△ABC中，^sia4sin«=cos2f,则△A8。是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【解题思路】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到cosa-8)=1,从而得到4=8,进而即可得

出结论.

【解答过程】在△/WC中，由4+8+CF,得。=兀一〃+即，

则cos27=।=:+:cos[兀一(4+8)]=；cos(J+8)=cosJcos8+；siivlsinB,

所以sinJsinB=!-：cos>lcos8+!sirUsin4,即85/8$8+$10/15仙4=1,则cos(/l-5)=l,

又0〈力〈兀,0<B<n,则所以力一8=0,即4=8,

所以AABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角.

第13页共23页

故选：A.

【变式8.1](24-25高二上•河南安阳•期末)若38。中，sin(4+8)sin(N-8)=sin2c,则此三角形的形状是()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【解题思路】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状.

【解答过程】口口力台。中，sin(4+8)=sinC,

□已知等式变形得sinCsinOf-AAsidC,

L0<C<n,sinC>0»

即sin(力-8)=sinC=sin(4+3),

整理得sin/lcos4-cos/lsin8=sinJcosB+cos/isin4,艮fJ2cos/lsin4=0,

匚cos/f=0或sin8=0(不合题意，舍去).

C0<J<n,□/!=；,

2

则此三角形形状为直角三角形.

故选：A.

【变式8.2](24-25高一下•重庆沙坪坝•期中)在口力8C中，si心加了叱,则口相。的形状为()

COS/f^COSff

A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形

【解题思路】利用三角公式得到cosC=0,求出C=90。，即可判断.

【解答过程】在匚46c中，囚为仙口地售除

COS.4♦cosn

所以sinCcos/l+sinCcos8=sinJ+sin8,

UPsinCcosJ+sinCcos5=sin(5+C)4-sin(^+C),

展开，整理化简得：cosC(sin/l+sin8)=0.

因为48为三角形内角，所以sinJ+sin8#),所以cosC=0.

因为。为三角形内角，所以C=90。，

所以匚48C为直角三角形.

故选:B.

【变式8.3](24-25高一下•江西吉安・期末)在△ABC中，若sin4sin8=；(l+cosC),则△48。是()

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形D.直角三角形

第14页共23页

【解题思路】根据两角和与差的余弦公式可得siMsin8=4[cosa+8)-cos(/F)],再结合诱导公式化简计算

得出结果.

[解答过程】因为cos(4+8)=cos/lcos8-sinJsinB

cos(J-5)=cosJcos5t-sinJsin5

所以sin/lsin8=-![cos(彳+8)—cos(/l-8)],

因为siMsin8=：(1+cosC)

则一:[cos(J+5)-cos(/f-5)]=；(1+cosC)

又/+8=jt-C,

所以cosC=-cos(/l+B),

所以一|[cos(J+5)-cos(J-i?)]=；[I-cos(4+8)]

所以cos(4-8)=l.

又48为△ABC的内角，所以48=0.

所以4=4,故△ABC为等腰三角形.

故选：C.

课后作业(19题)

一、单选题

I.(24-25高一上•陕西西安•期末)sin4O°(tanlO°-V3)=()

A.-2B.-IC.—>/3D.一；

【解题思路】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解.

(解答过程】sin400(tanI()。—6)=sin40。(吟焉吧)=sin400口喘:))=sin400然得

=-2-s-in-50-0-s-in-40-0=--2-c-o-s4-0-°-si-n4-0-0--s-i-n8-0-°=-,1,

coS10°coslO0cos100

故选:B.

2.(24-25高一上•河南洛阳・期末)sin40°cos200+cos400cos70°=()

A.1B.fC.当D.1

【解题思路】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求，直.

第15页共23页

[解答过程】sin400cos2004-cos400cos700=sin400cos200+cos400sin2D0=sin(400+200)=^.

故选:C.

3.（24-25高一上•黑龙江佳木斯•期末）若cosa+sina=-g,则sin2a=（）

A-4B.（C.4D.9

【解题思路】将已知等式平方后可直接构造方程求得结果.

【解答过程】（cosa+sina）2=sin2a+2sinacosa+cos2a=l+sin2a=%sin2a=-j

故选：C.

4.（2025・全国•模拟预测）sin（2a+丑）=m，cosacos（a+少）=丁则tana+lan（a+£）=（）

A-IB.|C.：D.g

【解题思路】由知（2a+〃）的正弦值求得余弦值，利用余弦与正切的和角公式，可得答案.

【解答过程】由sin(2a+/?)=g,贝iJcos(2a+£)=土J1一4『(21+用=土

由cos(2a+/O=cos(a+a+S)=cosacos[a+0)-sinasin(a+4)

=；-sinasin(a+/Q,贝iJsinasin(a+/?)=；-cos(2a+//),

当cos(2a+/?)=-?时，sinasin(a+£)=:+?>l,不合题意;

当cos(2a+/?)=乎时，sin«sin(«+^)=1-

则tanaUm(a+//)=黑部=2singnS0=l-U

sin(2a+^)26

tan(2a+/?)=

cos(2a+/?)丁'

tana+tan(«+/?)=tan(2a+/?)[1-tan«tan(a+^)]=*

故选：D.

5.（24-25高一上•全国•课后作业）以tanB表不近sin（a+：）的结果为（

A1^1B&T

人i+ta吟口•1+ta吃1

2（l+ta吟）2（l+ta「）

J-iWT1

【解题思路】将近sin（a+?转化为sina+cosa,根据万能公式sin所芸和cos所禽计算.

第16页共23页

［解答过程］近sin(a+9=sina+cosa=：丁?=2卜?

\4/l+tan11+tanx-l+tan--1+tanz-

故选:D.

6.（24-25高一上•山东泰安•阶段练习）已知a为钝角，JLsin则cos1-?等于（）

A2V2+V3口2V2-V3c2>/2+V3n-2V2-V3

A.―--B.---C.-------D.--——

6666

【解题思路】先利用平方关系求出cos（a+1）,再根据；-4+以-1利用和角的余弦公式计兜求解,

【解答过程】□洛心则a+专口福，/，

匚cos(a+g〜苧,

cos(a-)=cos［1+卷—1；cos(«+^)+ysin(a+颗

速x1+且xl=2!

32236

故选：D.

7.（24-25高一上•全国•课后作业）若cos（a-/0=gcos2a=^，并且a,少均为锐角，且a<A，则a+0的值为（）

A.；B.；C.vD.

6446

【解题思路】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得sinQM=-竽，sin2a=嚓，再由两角差的余弦公

式计算可得结果.

【解答过程】FtlOvav夕可得

又8s(a-£)=所以sin(a/)=-J1-cos2(a-五)

因为cos2a=詈,0<2a<n,所以sin2a=/1-cos22a=

所以cos(a+/0=cos|2a-(a-/0］=cos2acos(a-/0+sin2asin(a-/0

=®x9*x”乌

1051052

又因为行姓。兀，所以a+/勺手

故选：C.

8.(24-25高一上•山东济南・期末)已知函数/2=cos%x-v5sinQjxcos(yx+!®>0)在区间［0,兀］有且仅有2个零

点，则①的取值范围是（）

第17页共23页

7部）

【解题思路】应用三角恒等变换化简函数式，结合余弦型函数的周期性及已知区间和零点个数有

3正2①兀+；＜5兀，即可求参数范围.

【解答过程】Ma9=cos2Gx-v5sinwxcoswx+:=上丁竺一号sin2cox+；

6•r..

■gcos23?sin2c（zxi1-cos（2（x>*I11,

又g/0,兀],贝ij2①x+g□[；,2①兀+j],

函数弥，在［0㈤上恰有2个零点，即cos(28+3+1=0在爪/0旬上有2个解,

所以3几W2Q）兀+产5冗，解得;

故选:A.

二、多选题

9.（24-25高一下•江苏扬州•期中）下列选项正确的是（）

A.sinlOOcos40n-cosl00]sin40]=-B.，；m22Han3S=y/3

2l-tan22tan38

C.sin22.5cos22.5=gD.cos215-sin215=1

【解题思路】分别由两角差的正弦公式，两角和的正切公式和倍用公式即可依次判断.

【解答过程】对于A,sinlOOcos40-cos100sin40=sin（100-40）=sin60=y,故A正确;

对于B,tan22+tan-^=tan（22+38）=tan60=V5,故B正确；

1-tan22tan38'）

对于C,sin22.5cos22.5-^□2sin22.5cos22.5=1sin45=Jxy=^»故C错误;

对于D,cos215-sin215:=cos（2xJ5）=cos30:=^,故D错误.

故选：AB.

10.（24-25高一上•全国•课后作业）下列各式化简结果为-6的有（）

A.cos730cosl3°+sin73°sinl30B.3cos2750-sin2750-l

tanl3°-tanl070

D.4sin60°cos75°cos15°

l-ianl30tanl070

【解题思路】由两角差的余弦公式可判断A,由余弦的二倍角公式可判断B,由两角和的正切公式可判断C,

由诱导公式及正弦二倍角公式可判断D.

第18页共23页

【解答过程】对A,cos730cosl3o+sin730sinl3o=cos(73o—13o)=；,A错误；

对B,3cos2750-sin2750-l=(cos2750-sin275°)+(2cos2750-l)=2cosl50°=-V3,B正确；

对C,玛得端小。3。+107。)=-技C正确；

对D,4sin60°cos75°cos15°=4sin