高中数学：向量的数量积（一）

6.2.4向量的数量积（一）

【学习目标】1.理解平面向量夹角的概念，会求两向量的夹角2理解平面向量数量积的概念，会计算平面向

量的数量积.（重点）3.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.（难点）

【导语】

前面我们学习了向量的线性运算，包括加法、减法和数乘运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，

那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！

一、向量的数量积的概念

问题初中物理课中我们学习过功的概念，请大家写出物理中功的计算公式，并用文字语言表述功的计算

公式.

提示如图所示，一物体在力尸的作用下产生位移s,那么力万所做的功W=|mMcos夕文字叙述为功是力

与位移的大小及其夹角余弦的乘积.

上

知识梳理

1.两向量的夹角：已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点，作OB=b,则/

A^=e（0W6W7i）叫做向量a与b的夹角，如图所示.

当（）=0时，a与b同向;

当归兀时，a与b反向.

2.两向量垂直：如果a与》的夹角是》我们说。与力垂直，记作

3.两向量的数量积

已知两个非零向量。与从它们的夹角为仇我们把数量㈤历Icos2叫做向量a与b的数量积（或内积），

，己?（乍ab,即。彷二|a||b|cos夕.

规定：零向量与任一向量的数量积为。

注意点：

（1）按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，这一点在平面图形中

找向量夹角时更需注意.如图所示，N84C不是向量石?与通的夹角.作而二石5,则N84O才是向量石?与而

的夹角.

/B

Xz

D

(2)数量积运算中间是“•”，而且此处的不能省略，也不能写成“X”.

(3)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.

(4)设两向量5的夹角为仇贝ijcos叙能.

例1(1)(课本例9)已如同=5,网=4,。与占的夹角〃=斗，求。.尻

解a-b=\a\\b\cos^=5x4xcos学

=5x4x(-10.

(2)(课本例10)设⑷=12,步|=9,a-b=-54V2,求a与〃的夹角0.

解由a-b=\a\\b\cos得

因为昨［0,兀］,所以任营.

例1(1)已知⑷=4,网=5,

①当。〃力时，ab=；

②当a_L力时，ab=；

③当Q与力的夹角为30。时，ab=.

答案①20或-20②0③108

解析①a〃。，若。与。同向，则＜9=0°,

a-h=\a\\h\cos0°=4X5X1=20；

若。与b反向，则％180。，

。北|〃||b|cos180°=4X5X(-1)=20.

②当a_Lb时，月90°,ab=\a\\b\cos90°=0.

③当a与方的夹角为30。时，a-b=\a\\b\cos30°=4X5Xy=l0V5.

(2)已知△A〃C是边长为6的正二角形，则荷•说=.

答案-18

解析如图，

A

△48C是边长为6的正三角形，

所以|而|二|近|=6,ZABC=60°,

所以检•正二|而||玩|cos(180°-60°)=6X6X(-1)=-18.

(3)已知⑷=6,网=4,|a•切=12,求。与b的夹角.

解因为。协二|"M|cos〈a,b),

所以|Qb|二||a||b|cos(a,b)|

=|a||Z>||cos(*b)|=12.

又⑷=6,步|=4,

所以|cos<«,力端=涪

所以cos(a,b}=±1.

因为(。，b)e[0,7t],

所以。与力的夹角为黑当

•5J

反思感悟(1)求平面向量数量积的步骤

①求a与力的夹角。，6>e[0,7t]；

②分别求⑷和步I；

③求数量积，即。•归。物cos"

(2)求向量夹角的方法：①几何法.借助图形求两个向量夹角时，首先要使两个向量起点重合，从而找到两

个向量的夹角，然后再观察向量夹角与图形内角的关系，从而确定夹角大小.

特别地，。与)的夹角为伍玲。与22伙九,22是非零常数)的夹角为仇，当丸丸2Vo时,%=180。-必当2出>0

时，&尸0.②代数法.向量a,b夹角的余弦值为cos〈a,b)=77^7-

|a||b|

跟踪训练1(1)已知向量。，》在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1,

贝1Jab=.

答案-4

解析由图可知步|=2,|a|=2V2,解b>=135°,

所以a-b=\a\\b\cos135°=2V2X2X(-y)=-4.

⑵在等腰直角三角形48c中，AB=BC=5,则说.玩二,BCCA=.

答案0-25

解析由题意，得|荏|=5,|5?|=5,|G4|=5V2,所以同.瓦=5X5Xcos9(T=0,

fiC-C4=5X5V2XcosI350=-25.

二、投影向量

1.如图，设a,b是两个非零向量,AB=a,而=b,作如下的变换：过血的起点A和终点B,分别作而

所在直线的垂线,垂足分别为4.当,得到不瓦,我们称卜述变换为向量〃向向量方投影.不瓦叫做

向量。在向量力上的投影向量.

B

A

b；

C4BiD

2.如图，在平面内任取一点。，作丽=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线，垂足为则西就是

向量。在向量力上的投影向量.设与〃方向相同的单位向量为e，。与力的夹角为仇则两与e,a,0

之间的关系为。M；=|a|cos0e=^b.

bM、N

注意点：

向量。在向量力上的投影向量是一个向量，它与向量。共线，其大小为IMIcosq,其中。为向量。与力的夹

角.

例2已知⑷=5,|加=4,。与力的夹角＜9=120。，与〃同向的单位向量为e.

⑴求ab\

(2)求。在〃上的投影向量.

解(1)。方=|0|网cos?

=5X4Xcos120°=-10.

(2)。在b上的投影向量为

1aleos夕c二苗e=-与e:|c.

反思感悟(1)任意非零向量a,e为与向量。同向的单位向量，则e"：；.

1«1

⑵任意的非零向量。在另一非零向量力上的投影向量等于同cos阳0为向量4,力的夹角，e为与力同向的

单位向量).

跟踪训练2已知|a|=6,e为单位向量，当向量a,c的夹角等于45。时，向量。在向量cHl勺投影向量

是.

答案3或e

解析因为向量a,e的夹角等于45。，|a|=6,e为单位向量,

所以向量。在向量e上的投影向量为⑷cos45°e=3V2e.

三、向量数量积的性质

设。，〃是非零向量，它们的夹角是ae是与b方向相同的单位向量，则

(1)flre=ea=|a|cos0.

(2)a_L》=a〃=0.

E%//AH4夕网,Q与b同向，

(3)当。〃＞时，ah=

「|a||b|,a与b反向.

特另U1也，a-a=|a|2或闷=＞/a•a.

(4)|〃创三⑷团.

例3（多选）对于任意向量。，b,c,下列命题不正确的是（）

A.若“仍二0,则。与。中至少有一个为0

B.向量。与向量b夹角的范围是［0,兀）

C.若a_Lb,贝ijab=0

D.⑷=V淳

答案AB

解析ab=0=>a_L。或a=0或b=0,所以A错误；

向量夹角的范围是［0,兀］,所以B错误；

由数量积的性质知C正确；

因为aa=|a||a|cos0=|a|2,

所以同/溟，所以D正确.

反思感悟（1）若。功二0,则a和力中至少有一个零向量或a,〃均为非零向量，且aJ_b.

（2）同二Va•a是求向量长度的工具.

跟踪训练3（多选）下列命题正确的有（）

A.flO=O

B.O-AS=BA

C.若aWO,则对任一非零向量从都有。历#0

D.若非零向量。与〃不垂直，则

答案BD

解析A项，«0=0,故A错误；B项，0-而二瓦?，故B正确；C项，若。_LA,则“6:0,故C错误；D

项,若。，力为非零向量，且。与力不垂直，则4彷¥0,故D正确.

■课堂小结-------------------------------------------------------------------------------------

1.知识清单：

（1）向量数量积.

（2）投影向量.

（3）向量数量积的性质.

2.方法归纳：数形结合.

3.常见误区：求向量夹角时需要把向量起点重合才行，尤其是在平面图形中研究向量夬南时要注意夬角与

图形的内角之间是否相等.

—随堂演练_____________

［

I.已知在平行四边形A8C。中，ZDAB=60°,则而与前的夹角为（）

A.30°B.60°

C.120°D.15O°

答案C

解析如图，ND48=60。，则而与而的夹角为NA8C=120。.

D_______C

KrnB

2.已知间二百，网=275,。与〃的夹角是120。，则。力等于()

A.3B.-3C.-3V3D.3百

答案B

解析由数量积的定义，得a-b=\a^b\cos120。二8X28X(-1)=-3,

3.已知同-2,e为单位向量，若a在e上的投影向量为-e,则a与e的夹角为

答案Y

解析。在e上的投影向量为(a・e)e=e,则a-e=l.

又同=2,|e|=l,

所以a-e=2义1Xcos〈a,e)=-1,则cos(a,e〉=-1,又(a,e)[0,兀],

则(a,e)号.

4.已知等边△A8C的边长为1,CB=a,CA=b,AB=c＞那么ab+"c+c・a二

答案!

解析由题意得，|a|=|^|=|c|=l,

(a,b)=60°,6,c〉=120°,(a,c)=60°,

所以ab+bc+c-a

=|a||Z＞|cos(a,b)+|8||c|cos(b,c)+|a||c|cos(a,c)

=IX,Xcos60°+1X1xcos1205X1XCOS60。小为

课时对点练

[分值：100分J

单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分

基础巩固

1.已知⑷=1,向=2,。与力的夹角为g则。力等于()

A.lB.2C.3D.4

答案A

解析a-b=\a\\b\cos1X2X1=1.

2.若a协＜0,则。和。的夹角。的取值范围为()

A.；,T[)B,Q,71

C.替T陪K)

答案B

解析。仍二|aM|cos〃<0,Acos0<0,

V6>e[0,扪，IT].

3.（多选）下列说法正确的是（）

A.向量。在向量b卜•的投影向量可表示为甯白

向网

B.若必历>0,则。与b的夹角e的取值范围是[o,与

C.在RlZXABC中,ZA=90°,AB=AC,则福近的夹角为45。

D.若非零向量。和b满足a_Lb,则。仍=0

答案ABD

解析对于选项A,根据投影向量的定义知A正确；对于选项B,丁。力二⑷网cose>0,Jcos少>0,又:

OWJWTT,・・・6£[0,^）,故B正确；对于选项C,易知而与灰的夹角为135。，故C错误；对于选项D,

a±b=>ab=O,故D正确.

4.在等腰RtZXABC中，若NC=9（）。，AC=&,则瓦5瓦的值等于（）

A.-2B.2C.-2V2D.2V2

答案B

解析BABC=\BA\\BC\cosZABC=2XV2Xcos45°=2.

5.设a,e均为单位向量，当a,e的夹角为?时，。在e方向上的投影向量为（）

A.一争B.*C.^eD争

答案B

解析由题意，a在e方向上的投影向量为同cos?e=l义（一）二劣.

6.（多选）已知向量a,力满足|a|=3|b|=。•力=3,则下列结论正确的是（）

A.aLbB.a〃b

C.|a+b|=4Y）.\a-b\=2

答案BCD

解析由⑷二3|加=。•方二3,

可得|回=!

a-b=\a\\b\cos<a,b）=3cos（«,b}=3,

所以cos（a,b）=1,因为（a,b）W[0,兀],

所以（a,b）=0,

所以a=3b,a//b,\a+b\=4,\a-b\=2.

7.己知|臼=3,。在力上的投影向量为少,则。力的值为（）

91

A.3B.-C.2D.-

22

答案B

解析设a与力的夹角为0,

V|a|cos哈:,，

**-l«|cos咕§

3

|a|cos0=-乙,

39

•.a-b=\a\\b\cos0=3X

8.（5分）已知|。|=2,|例二百，ab=3,则。与8的夹角为.

答案30°

解析因为闷=2,1^|=V3,ab=3,

所以a•5二|a|网cos〈a,b}

=2XV3Xcos〈a,b）=3,

所以cos<a,b）=y,

因为0°W（a,b>W180°,

故〈a,b）=30°.

9.（5分）已知同二2|例WO,且关于x的方程f+|水+a功=0有实根，则a与b的夹角的取值范围

是.

答案小T

解析设。与〃的夹角为仇由题意可得，

A=\a\~-4a-b^0,

V|a|=2|^|,

.•・cos〃W：,又0£[0,n],

・・・噬,n.

10.（10分）已知⑷=2,

（1）若小=3,a//b,求a・岳（4分）

⑵若〃彷二4,|ft|=2V2,求。与b的夹角之（3分）

（3）若。山二6a与「的夹角为150。,求步|.（3分）

解⑴因为从=3,所以（|二V5.

当。〃力时，有两种情况，

①。与8的夹角为0。时，a-b=\a\\b\cos00=2XV3X1=273；

②0与b的夹角为180。时，a^=|a||^|cos180°=2XV3X（-1）=-2V3.

所以a-b=2yj3^-2y/3.

（2）a-b=\a\\b\cos0=2X2^2Xcos0=4,

所以cosG4,又ew[o,KJ,所以e=；.

24

（3）当4与方的夹角为150。时，

。•。二同向cos1500

=2X|MX（-^）=-6,所以步|二2百.

IE"综合运用

II.已知非零向量。，b,。满足a+Hc=0,向量力的夹角为120。，且制二2|a|,则向量〃与c的夹角为

（）

A.1500B.30°C.1200D.60°

答案A

解析由题意画出图形，如图，因为a,b的夹角为120。,所以NCA8=60。，又步|二2|a|,所以NAC8=90。,

所以/A8C=30。，则向量方与c的夹角为150。.

B

\

c2_

12.（多选）已知正方形A8CO的边长为2,向量a,b满足通=2a,AD=2a+b,则（）

A.\b\=2>/2

B.aLb

C.ab=2

D.向量b在a上的投影向量为-2a

答案AD

解析如图，取43的中点E,

u

则荏二2祥2a,

.\AE=a,b=AD-2a

二而-近二前.

・・.|引=|丽|=2或，故A正确；

ab=AEBD=^X2X2V2X（-y）=-2,故B,C错误；

结合图形容易知道，向量b在。上的投影向量为瓦5=2%故D正确.

13.（5分）已知点A,B,C满足|而|=3,|近|=4,\CA\=5,则而.瓦+正•方+而•府的值是.

答案-25

解析y\CA\2=\AB\2+\BC\\

Z^=90°,：.ABBC=0.

43

VcosC=-,cosA=-,

J