2026年高考数学复习讲义+强化训练：概率与统计综合问题的（3大核心压轴题型）学生版+解析

压轴23概率与统计综合问题的3大核心题型

统计与概率的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建

模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、

统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.

A题型01概率与统计图表的综合

技法指导

统计图表与概率综合问题的求解策略

(1)正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据：

(2)根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样点中各统计量之间的关系构造教学模型(函

数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等)；

(3)正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策

与判断.

1.12025•北京朝阳•二模)某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从人地区和8地区随机抽取了

500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按［40,50),［50,60),…，［90,100］分组整理得到如下

(I)从A地区抽取的50()名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；

⑵从8地区评分为［80,100］的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X,求X的分布列和

数学期望；

⑶根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为〃…

A,8两地区评分的平均值估计为〃，比较必与〃的大小关系.：直接写出结论)

2.(2025•广东广州•三模)为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高

一、高二全体学生进行了相关知识测试.现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩(百分制)

进行了整理和分析后得到如下信息：

高一年级成绩分布表

成绩[50,60)[60,70)[70.80)[80,90)[90J00]

人数123410

高二年级成绩频率分布直方图

f频率

组距

0.030.............

0.025--------------------

0.020----------国I

0.015.......i=l

0.010———

5060708090100茄

(1)从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率;

(2)用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量X表示这三

人中成绩不低于90分的人数，求X的分布列和数学期望.

A地型02概率与独立性检验的综合

技法指导

独立性检验与概率综合问题的解题思路

本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2X2

列联表，并按照公式求得£的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的榻率模型求解.

3.12025•辽宁本溪-模)电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实

施远程、非接触式诈骗的犯罪行为为打击电信诈骗犯罪活动，我国各地积极开展各类“反诈”知识宣传，并取

得了显著的效果.某社区为调查该社区市民对“反诈”知识的熟悉情况，进行了一次抽样调查.调查结果如列联

表所示.

是否熟悉“反诈”知识

性别合计

不熟悉熟悉

男241640

女124860

合计3664100

（1）依据小概率值a=0.（X）l的独立性检验，能否认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关？

⑵为了增强市民的防范意识，该社区举办了一次"反诈''知识竞赛已知参加本次知识竞赛的市民的竞赛成绩

X近似服从正态分布N（86,9）,若有15.865%的参赛市民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计

本次知识竞赛预期的平均成绩；

⑶为了进•步增强市民的“反诈”意以，参加了知识竞赛的市民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，

活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知参加了知识竞赛的市民小王答对每道

题的概率均为（，且每道题答对与否相互独立，记小王获得话费为y元，求y的期望仪丫）和方差。（丫）.

参考公式…)(L)(a+)c)S+d)'"=

-a+b+c+d.

a0.10.050.010.0050.001

X2.7063.8416.6357.87910.828

参考数据：若随机变量X~N（从/），则

P(〃一bWXW〃+cr)k0.6827,P(〃-2bWXW〃+2b)k0.9545,P(〃-3cFWXW4+3b)N0.9973.

4.（2025・上海静安•三模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机

调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2x2列联表所示（单位：人）.

非常喜欢感觉•般合计

男性31100

女性t

合计60

（1）求/的值，试根据小概率a=001的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；

⑵从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶

大集”现从这«名代表中任选？名男性和2名女性进一步交流，记Y为这S人中非常喜欢“赶大集”的人数，

求X的分布列及数学期望E”）.

-bc)~

参考公式：2=其中〃=a+〃+c+d.

Z(a+8)(c+d)(a+c)(/?+d)

a0.10.050.01••・

42.7063.8416.635•••

A题型03概率与回归分析的综合

技法指导

回归分析与概率综合问题的解题思路

（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程（预测）；②求某

随机变量的概率（范围）、均值、方差等；

（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解

射要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；

（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.

5.12025•山东淄博・二模）汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强

调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展.某汽车制造企业对某地

区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：

年份，20152016201720182019

年份代码x（x=r-2014）12345

销量y（万辆）1012172026

（1）计算销量y关于年份代码x的线性相关系数八并判断是否可•以认为），与x有较强的线性相关关系（若

MX）.75,则认为有较强的线性相关关系）.若是，求出），关于x的线性回归方程：若不是，说明理由；

（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业乂随机调查了该

地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车.男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购

置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车.洛频率视为概率，已知一位车主购得新能源

汽车，请问这位车主是女性的概率.

附：若（%"）（£，/），为样本点，

Z（七一元）（K-y）Zwy一际

i-I=i—1

相关系数公式:y=1+〃为回归方程，则

3①）》*②

2（苍一于）5-y）Zxy-师

b=J-----------=母---------，a=y-bx-

£（玉-君2-疝2

r=l，=1

6.（2026•河南郑州二模）某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的

臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：

X159165170176180

y6771737678

⑴根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与4的关系，请用相关系数加以说明:

⑵建立），关于x的回归方程（系数精确到0.01）；

⑶从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X,求E（X）.

参考数据：,入冽=62194,JZ（X-G）2=8.6,V282»I6.8

参考公式:1可归方程），=°+/忒中斜率和截距的最小二乘估计公式分

.£（%二）（）小亍）

别为〃=0---------a=y-bx-

1=1

1.12025•云南曲靖一模）某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如

下频数分布表：

分组[40,50)[50,60)[60.70)[70,80)[80,90]

10

频数5254020

（1）估计样本的中位数；

（2）从样本［60,70）和［70,80）中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在［60,70）,

［70,80）的人数分别为x,九记

（i）求X的分布列及期望；

（ii）求ZX2X+1）.

2.（2025•江苏徐州二模）某品牌新能源汽车在某城市2024年1月至5月的销售量如下表所示：

月份X12345

销售量W辆32486380107

⑴求），关于x的经验回归方程；

⑵用（1）中所求的方程来拟合数据时，定义残差的绝对值大于3的一对数据为“异常数据”，现从这5对数

据中任取3对做残差分析，求取到的数据中“异常数据”的对数X的概率分布和数学期望.

ZCE)(升-刃

附：经验回归直线亍=哀+&中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：&='-----------,a=y-bx.

Z(x/-J)2

l-l

3.(2025・海南•模拟预测)交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁

路线/上有自东向西依次编号为1,2,21的21个车站.

(1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车户的旅客中，随机抽取100名旅

客，得出数据(不完整)如下表所示：

车站编满不满合

号意意计

103550

II30

合计55

完善表格数据并计算分析：依据小概率值a=0.01的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度

与车站编号有关联？

⑵根据以往调图经验，列车产在编号为8至14的终到站每次调图时有)的概率改为当前终到站的西侧一站,

4

有:的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原定终到站编号为11的列车，经历

4

了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X,求X的分布列及均值.

2

n/l->n(cu/—be)

附---7V7---7^----B7V，其中”=a+〃+c+d.

(〃+〃)(c+d)(a+c)(〃+d)

a0.10.010.001

%2.7066.63510.828

4.(2025・甘肃白银•二模)从全校学生中随机选取100人，统计了他们在寒假期间，一周参加体育锻炼的时

间(单位：小时)，分别位于区间[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),股⑵，[12,14],用频率分布直方图表示

如图，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.

(I)求。的值，并估计全校学生在寒假期间一周参加体育锻炼的时间位于区间【8,12)的概率；

(2)完成2x2列联表，并依据小概率值。=。1的独立性检验，能否认为性别与学生在寒假期间一周参加体育

锻炼的时间有关联？

⑶以频率作为概率，从全校学生中随机选取3人，记X表示这3人寒假期间一周参加体育锻炼的时间在区

间口0,12)的人数，求X的分布列和数学期望E(X).

锻炼时间[2,10)[10,14]合计

男生30

女生25

合计100

附：/=言而士肃而？其中〃=+

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

5.(2026・陕西商洛•二模)汉中藤编久负盛名，被列入国家非物质文化遗产.一根藤，牵起千年的记忆，也

编织出乡村振兴的新图景.汉中某藤编制作工坊积极探索线上推广渠道，藤编产品销量逐年增长.该工坊

为了科学规划生产，统计了2021-2025年藤编产品的销量数据如下表：

年份〃年20212022202320242025

年份代码

12345

xix=r-2020)

销量)'/万件67101215

(1)统计表明销量)'与年份代码x有较强的线性相关关系，求)'关于X的线性回归方程，并预测该工坊2026

年藤编产品的销量；

(2)已知该工坊2025年售出的藤编产品中，有9万件通过线上售出，用频率估计概率，现从2025年售出的

藤编产品中随机抽取4件，求其中线上售出数量X的分布列及数学期望.

X(^-x)(x-y)

附：$，=加+4为回归直线方程，其中月二上\-----------，a=y-bx.

l-l

6.(2026・重庆•一模)某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所

示的频率分布宜方图.

，频率/组距

a.....................—

0.025...............—1

0.020...........

0.010....................

0.005-］—

0^405060708090100

⑴该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生

本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）

⑵从成绩位于区间［80,90）和［90,100］的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，

设成绩在［90,100］的答卷份数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

7.12026•河北承德•一模）2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗口战争暨世界反法西斯战争胜

利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼.某中学为了增强学生的爱国主义情

怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛.为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100

名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有1的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有1■是男生.参

JJ

加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，

选择题与填空题出现的频率之比为2:1,已知学生答对选择题的概率为。，答对填空题的概率为:，每次答

42

题互不影响.

喜欢军事不喜欢军事合计

男生

女生15

合计

（1）艰据已知条件补充完整上表，并根据小概率值。=0.001的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性

别有关；

（2）若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期叟.

2

附.zZ=_______,其中〃f+〃+c+d

阳'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.010.0050.001

Xa6.6357.87910.828

8.（2026.江苏镇江.一模）AI幻觉，是指A1模型生成看似合理但实际不正确或笃无事实依据的信息的现象,

AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如

下表所示:

AI

模1234567891011121314

型

幻

觉1.3%1.8%2.9%1.5%1.9%2.9%0.7%0.9%1.6%2.4%0.8%1.6%2.4%2.8%

率

⑴从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率;

⑵从表中提供的幻觉率小于2%的AI模型中任取3个，用随机变量X表示其中幻觉率个「1.3%的模型个数,

求随机变量X的分布列和数学期望.

9.（2026・湖南邵阳•二模）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所

学校共抽取120名学生.通过测验得到如下数据：甲校50名学生中有10名学生的数学成绩优秀；乙校70名

学生中有10名学生的数学成绩优秀.根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表（一）所示.

单位：人

数学成绩

学校合计

不优秀优秀

甲校1050

乙校1()70

合计

表（一）

（1）完成表（一）列联表，依据小概率值。=0.1的/独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率

有差异？

（2）已知甲、乙两所学校利用AI自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下：甲校数

学不优秀学生成绩有效转化的概率为:，乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为3.若从甲，乙两所学

校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出1名学生，用样本估计总体，用频率估计概率，求该学生

数学成绩有效转化的概率.

参考公式与数据：

/=_________________________

(</+b)(c+d)(a+c)(b+〃)，

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

10.（2026・贵州毕节•二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额），（单

位：万元）的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：

10101010

工再=50,2另=400.工1/=2200,Xv=300-

r=l2I

⑴求销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程：

⑵该公司计划下一场直播投入总领10万元，现有两种方案：方案一；全部用于平台流量推广；方案二：部

分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x万元（OKxWIO）,主播佣金激励投

入（10-x）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入，万元的销售额为（12/--）万元；平台流量推广的效

果仍符合（I）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额.

x

'AZ（r-^）（x-y）.

参考公式：线性回归方程»=良+1中，b=-..------------,a=y-bx.

fa-

1=1

压轴23概率与统计综合问题的3大核心题型

统计与概率的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建

模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、

统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.

A题型01概率与统计图表的综合

技法指导

统计图表与概率综合问题的求解策略

（1）正确识读统计图表，从图展中提取有效信息及样本数据；

12）根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样点中各统计量之间的关系构造教学模型（函

教模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等）；

（3）正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策

与判断.

1.12025•北京朝阳•二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和8地区随机抽取了

500名和100名用户进行问卷评分调查,将评分数据按［40,50）,［50,60），…，［90,100］分组整理得到如下

（1）从4地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；

⑵从B地区评分为［80,100］的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X,求X的分布列和

数学期望；

⑶根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设4地区评分的平均值估计为M，

A，B两地区评分的平均值估计为〃，比较必与〃的大小关系.：直接写出结论）

【解】(1)设事件M：从八地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于60分.

由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为

5(X)x(0.025+0.035+().015+O.(X)5)xl()=4(X),

所以尸(加)=募=0.8

(2)5地区评分为［80,100］的样本用户共有100x(0.01+0.005)x10=15人,

其中评分不低于90分的人数为5人.

由题意可知，X的所有可能取值为()，I,2.

2

P(X=0)=*C，3

S等吟

2

P(X=2)=WC，2.

第21

所以X的分布列为:

X012

3102

P

7212?

31()?2

则X的数学期望1。宁喘+2叼=3

(3)必>〃.

根据频率分布直方图A地区评分的平均值为

//,=45x0.05+55x0.15+65x0.25+75x0.35+85x0.15+95x0.05=70.5,

8地区评分的平均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.25+85x0.1+95x0.05=67，

所以A,4两地区评分的平均值〃＜必；

2.(2025・广东广州•三模)为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高

一、高二全体学生进行了相关知识测试..现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩(百分制)

进行了整理和分析后得到如下信息：

高一年级成绩分布表

成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数123410

高二年级成绩频率分布直方图

（2）用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量X表示这三

人中成绩不低于90分的人数，求X的分布列和数学期望.

【解】（1）从高一年级成绩分布表可以看出，成绩不低于90分的概率为

从高二年级成绩频率分布直方图中可以看出，成绩不低于90分的概率为0.025x10=0.25.

所以从高一和高二样本中各抽取1人，这两人的成绩都不低于90分的概率为：^x0.25=1

2o

（2）根据题意可知，X的可能取值为0，1，2,3.

当X=0时，即这三个人中成绩都低于90分，此时概率为:

P(X=())=

214；(4)32

当X=1时，即这三个人中成绩只有1人的成绩是不低于90分的，此时概率为:

1

P(X=1)=—x1-1x

2I4八2’4432

当X=2时，即这三个人中成绩只有2人的成绩是不低于90分的，此时概率为:

P（X=2）=；xC；11117

X—+—X—X—=-----

424432'

当X=3时，即这三个人的成绩都是不低于90分的，此时概率为:

p(X=3)=lx-!-xl1

'724432

所以X的分布列为:

X0123

91571

P

32323232

所以数学期望为双牙）=0X卷+1*+2X\+3X'=L

A题型02概率与独立性检验的综合

技法指导

独立性检验与概率综合问题的解题思路

本类题目以生活题材为背景，涉及独立性检验及概率问题的综合，解决该类问题首先收集数据列出2X2

列联表，并按照公式求得小的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的率模型求解.

3.12025•辽宁本溪一模)电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实

施远程、非接触式诈骗的犯罪行为,为打击电信诈骗犯罪活动，我国各地积极卅展各类“反诈”知识宣传，并取

得了显著的效果.某社区为调杳该社区市民对“反诈”知识的熟悉情况，进行了一次抽样调杳.调查结果如列联

表所示.

是否熟悉“反诈”知识

性别合计

不熟悉熟悉

男241640

女124860

合计3664100

⑴依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有美？

(2)为了增强市民的防范意识，该社区举办了一次“反诈”知识竞赛.已知参加本次知识竞赛的市民的竞赛成绩

X近似服从正态分布N(86,9),若有15.865%的参赛市民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计

本次知识竞赛预期的平均成绩；

(3)为了进一步增强市民的“反诈”意识，参加了知识竞赛的市民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，

活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知参加J'知识竞赛的市民小王答对每道

题的概率均为彳，且每道题答对•与否相互独立，记小王获得话费为y元，求丫的期望石(丫)和方差。(丫).

参考公式f=-——__-,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

X2.7063.8416.6357.87910.828

参考数据：若随机变量X~N(〃0”则

0.6827,P(/Z-2<T<X<//+2<T)«0.9545,P(//-3<T<X<//+3cr)*0.9973.

【解】(1)零假设为”o：该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别无关，

以、;由组，100x(24x48-12xl6)250,,_

经计算得Z-=一二一/一—=—«116A.A667>10.o828o=%。“，

40x60x36x643

所以依据小概率值a=0.(X)l的独立性检验，推断儿不成立，

即可认为该社区市民是否熟悉"反诈”知识与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.

“、r-iu1P(u-cr<X<p+cr)10.6827

(2)因为尸(X<〃-o)=-----------------——1=---------«0.15865,

2222

又〃a86,cra3,

故本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86-3=83.

(2A

(3)记小王答对题的数量为Z,则y=30Z,由题意得Z~B3,-,

\3)

则E(Z)=3x(=2,O(Z)=3x：x；=；,所以E(y)=30E(Z)=30x2=60,

2

D(K)=900D(Z)=900x-=600.

3

4.(2025・上海静安•三模)“轩大集”出圈彰显了传统民俗的独特林力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机

调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2x2列联表所示(单位：人).

非常喜欢感觉一般合计

男性3;100

女性

合计60

(I)求/的值，试根据小概率a=0.01的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；

(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶

大集现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数,

求X的分布列及数学期望E(X).

n(ad-bc)'

参考公式：2=其中〃=a+〃+c+d.

Z(a+b)(c+d)(ac)(b+d)

a0.10.050.01•・・

Xa2.7063.8416.635•・•

【解】(1)由题意可知：3f+(607)=100,解得，=20,

2x2列联表如下：

非常喜欢感觉一般合计

男性6040100

女性8020100

合计14060200

2

,200x(60x20—80x40)2200x2000n

V2=-------------------L-=------------------------=9.524>6.635.

140x60x100x100140x60x100x100

根据小概率值a=0.01的独立件检验,认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关.

此推断犯错误的概率不大于0.01.

（2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为，叫女性中非常喜欢“赶大集”的人数为

则且X的所有可能取值为1,2,3,4.

尸(X=l)=尸(，〃=0,〃=1)=^^=4=、，

P(X=2)=P(M,"=I)+P(…〃=2)=普筹+1g哈，

p(X=3)=PW=2,e)+P('”"=2)=隼烂+簧

p(X=4)=P(/w=2,/?=2)=^^-=—=—.

'，')eg3010

所以X的分布列为

X1234

11321

P

305K)

所以3）=局+2碍+3啮+4喙Y

A题型03概率与回归分析的综合

技法指导

回归分析与概率综合问题的解题思路

（1）此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：①求经验回归方程（预测）：②求某

随机变量的概率（范围）、均值、方差等；

（2）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解

▽要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的：

（3）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.

5.12025•山东淄博•二模）汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强

调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展.某汽车制造企业对某地

区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：

年份/20152016201720182019

年份代码”(x=r-2014)12345

销量y（万辆）1012172026

（1）计算销量y关于年份代码x的线性相关系数〃，并判断是否可以认为），与k有较湖的线性相关关系（若

团大.75,则认为有较强的线性相关关系）.若是，求出y关于x的线性回归方程：若不是，说明理由；

（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业乂随机调查了该

地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车.男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购

置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车.将频率视为概率，己知一位车主购得新能源

汽车，请问这位车主是女性的概率.

附：若（不凹），（七，必），…为样本点，

Z（七一元）（》-y）Zwy一际

相关系数公式:y=+4为回归方程，则

思9》*@"〃丁

o(x-y)Zwy-师

b=~~»=E»a=y-bx-

/=!/=1

【解】(1)由题意得了=((l+2+3+4+5)=3,

3[(10+12+17+20+26)=17,

5525_、

Ew=295,Z%=55，Z(X一»=164，

MMM

旧衅o.976>0.75,

j=l295-5x3x172s

V55-5X32XA/164

序5行"»

因此，销量y与年份代码工有较强的线性相关关系:

4,

力工”5丁255-45

/=!

y关于”的线性回归方程为a=4x+5.

（2）由题意知，该地区100名购车车主中，男车主有70名，女性车主有30名，购置新能源汽车的男性车主

有30名，购置新能源汽车的女性车主有15名.

“一位车主购得新能源汽车”记作事件A,“车主是女性”记作事件B,

一位车主购得新能源汽车，这位车主是女性的概率为:

15

11'尸⑷迎十至3

looToo

6.（2026•河南郑州二模）某高中数学兴趣小组，在学习了统计窠例后，准备利用所学知识研究成年男性的

臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据:

X159165170176180

y6771737678

（1）艰据上表数据，可用线性回归模型拟合丫与x的关系，请用相关系数加以说明:

（2）建立），关于x的回归方程（系数精确到0.01）；

（3）从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X,求七（X）.

参考数据：X.V,=62194,=8.6,x/282^16.8

I=IVi=i

参考公式：相关系数，.=Iu…，回归方程），=0+以中斜率和截距的最小二乘估计公式分

归一）？（"丫

.£")(一)一

别为〃=—~~";,a=y-bx•

Z")

【解】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得

55

、=850,i=[70，£另=365,y=73,

x.-x)2=112+52+02+62+102=282,

2

yf-y)=8.6,若一司(其一亍)=£内=£y.=62194-170x73x5=144,

J=lJ=li=l

£（若-；心-亍）

144

r-1---------«0.997

16.8x8.6

因为y与x的相关系数近似为0.997,说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合），

与工的关系.

_,力14424

(2)由y=73及(1)得6=口--------=—=—%0-51*

如T28247

f=1

---24

a=y-bx=73------xl70«-13.81,

,47

所以『关于X的回归方程为y=-13.81+0.5a.

(3)X的取值依次为2,3,4,5,6,7,9,11,

P(X=2)=/！，p(x=3)=\q,P(X=4)=*q,

P(X=5)=-4=-,P(X=6)=-^=—,P(X=7)=-4=—,

'7C；5*V7C-10V7C；10J

P(X=9)=J_=J_p(x=ll)=-^=J-

')C；10'I7C；10,

X的分布列

X234567911

111111

/P

51010510101010

1J2O25•云南曲靖一模）某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如

下频数分布表：

分组[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]

10

频数5254020

⑴估计样本的中位数；

（2）从样本［60,70）和［70,80）中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在［60,70）,

［70,80）的人数分别为x,记X=x-y.

（i）求X的分布列及期望；

(ii)求。(2X+1).

【解】(1)因为5+25=30v50,5十25十40=70>50,

故样本的中位数落在［60,70）内，

乂40+2=20,30+20=50,故中位数为殁”=65

（2）⑴［60,70）和［70,80）的人数比为40:20=2:1,