集合新定义题 拔高专点专练 课后分层练习（学生版）- 2027届高考数学第一轮复习

2027届第一轮复习•课后拔高加练

培优微专题1集合新定义题课后分层专点专练

［重方法嚏）一重视通解通法归纳总结

课后拔高分层专点专练

□重方法口

对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：

1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；

2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.

3、涉及有交叉集合的元素个数问即往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的

概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.

4、解新定义题型的三个步骤：

第一步：理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

第二步：重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法：

归纳“举例”提供的分类情况.

第三步：类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

5、树信心，大胆做：：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多

时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.

□夯基础口

1.（2025•内蒙古包头•二模）己知集合M={2,3,4},N={%|xV3},若T={%|%WM,且％CN},则T=（）

A.{4}B.{3,4}C.{2}D.{2,4}

2.（2026•辽宁•三模）定义集合运算：A^B=（z\z=xy,xeAfyEB）,设集合。={0,1},B={2,3},则

集合4G>8的所有元素之和为（）

A.0B.2C.3D.5

3.（2023•安徽蚌埠•二模）对于数集A,B,定义A+B={x|x=Q+b,a”,bW8},A-i-B=[x\x=^,aE

AfbEB],若集合4={1,2},则集合（4+A）+A中所有元素之和为（）

A.5B.C.gD.胃

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4.（2025•云南玉溪•模拟预测）如图所示的Venn图中，8是非空集合，定义集合4区）8为阴影部分表

示的集合.若集合4=[0,2J,集合8={x|x>1卜则集合4⑤8=（）

A.{x|0<x<2}

B.{x|l<x<2}

C.{x\x<1,或%>2}

D.{x|0<x<1或%>2]

5.（2025•湖北黄冈•模拟预测）（多选）对于集合小B,定义运算：A/B=[x\xGA且xCB},力㊉8=

（4/8）U（8/4）.若力={1,234},8={3,4,5,6},则（）

A.B/A={5,6}B.力㊉8={1,256}

C.力㊉B=AUBD.4㊉BHAnB

6.（2025•上海闵行一模）已知P={0,l},Q={1,2},若P-Q={x|xEP,且xCQ},则P—Q=（）

A.{2}B.{1}C.{0}D.{0,1,2}

0,x=0

7.（2024•河南•模拟预测）定义sgn（x）=二％工0,若集合力={y|y=£；=isgn®）},则A中元素的个数

为（）

A.6B.7C.8D.9

8.（2026•河南开封•二模）定义集合4-B={x\x€4且％CB},已知集合A=={2,b},若A-B={1},

则下列一定成立的是（）

A.a=2B.bWlC.AOB={2}D.B-A={2}

9.（2026•湖南怀化•二模）给定整数九>3,有几个实数元素的集合S,定义其相伴数集T={\a-b\\a,bWS,aH

b],如果min（T）=l,则称集合S为一个九元规范数集.（注：min（X）表示数集X中的最小数）.对于集合

M={-0.1,-1.1,2,2.5},N={-1.5,-0.5,0.54.5},则（）

A.M是规范数集，N不是规范数集B.M是规范数集，N是规范数集

C.M不是规范数集,N是规范数集D.M不是规范数集，N不是规范数集

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10.（2024•河南•三模）（多选）对TR的两个非空子集48,定义运算为x3={Q,y）|xe4/wB},则（）

A.AxB=BxA

B.Ax(BnC)=Q4xB)n(4xC)

C.若AGC,则(4x8)q(Cx8)

D.4x4表示一个正方形区域

□提能力口

1.（2025高三上•安徽•调研）若数集力={%,%，•••，<ai<«2<-<an,n>2）具有性质P：对任意

的i,j（1<i</<n）,。玛与詈中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”，则（）

A.{1,3,4}为“权集”B.{1,236}为“权集”

C.“权集”中元素个数一定是有限个D.“权集”中一定有1

2.（202S高三下•北京•月考）设C（M）表示非空集合M中元素的个数，已知非空集合4艮定义4区月=

S3-5黑,若力={1，2}，8={水%2+ax）（x2+g+2）=0}且A住3=1,则实数a的

23）-C（A）,C（A）<C3）

所有取值为（）

A.0B.0,-2乃C.0,2V2D.-2拒，0,272

3.（2025•北京•模拟预测）集合/={1,234,5}的所有三个元素的子集记为8】,4,•••,%（九GN）记仇为集合

=1,2,3,…,zi）中的最大兀素，则瓦+九+力3+…+瓦0=（）

A.10B.40C.45D.50

4.（2025•浙江温州•模拟预测）（多选）给定〃EN+，若集合PU{1,2,3,…,九},且存在a,b,c,d£P,满足

a<b<c<dfb-a=d-c,则称P为“广义等差集合”.记。的元素个数为|P|,则（）

A.{1,2,3}是“广义等差集合”

B.{1,3,4,6}是“广义等差集合”

C.若P不是“广义等差集合“，当几=8时，|P|的最大值为4

D.若。不是“广义等差集合“，若|P|的最大值为4,则〃可以是13

5.（2024•江苏泰州•模拟预测）（多选）对任意48GR,记力㊉8=并称4㊉B

为集合48的对称差.例如:若力={1,2,3},F={2,3,4},则力㊉8={1,4}.下列命题中，为真命题的是（）

A.若4,8GR且力㊉8=8,则4=0

B.若48GR且A㊉B=0,则A=B

C.若48GR且4㊉8G4则AG8

D.存在4SQR,使得H㊉B#CR力㊉CRB

6.（24-25高三上•山东聊城•阶段检测）（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872

年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的

科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的

子集E与凡且满足EUF=Q,FAF=0,E中的每个元素都小于F中的每个元素，称（E,F）为戴德金分割.下

列结论正确的是（）

A.E=｛XEQ\X<1｝,F=｛XEQ\X>1｝是一个戴德金分割

B.存在一个戴德金分割（民尸），使得E有一个最大元素，尸没有最小元素

C.存在一个戴德金分割（E,F）,使得E有一个最大元素，尸有一个最小元素

D.存在一个戴德金分割（瓦F）,使得E没有最大元素，F也没有最小元素

7.（24・25高三上•上海•开学考试）已知全集（/=｛。/）|%丫WR｝,若集合AGU,且对任意（M,必）€4

均存在（小/2）£4使得：xry2+x2yi=0,则称集合4为“对称对点集”.给出如下集合:

（1）4=｛（x,y）|x,y6Z｝；（2）A=｛（%y）|y=pxeR,x工oj；

（3）A=｛（x,y）|y=2x+l,xeR｝；（4）A=｛（x,y）\y=x2,xeR,xH0）.

其中是“对称对点集”的序号为（写出所有正确的序号）

8.（2024•江西宜春•模拟预测）（多选）已知力UR,如果实数%满足对任意的Q>0,都存在工€力，使得

0<|x-x0|<a,则称&为集合4的“开点”,则下列集合中以0为“开点”的集合有（）

A.｛x\x0»%6R｝B.｛x\x0,x6Z）

C｛y|y=[”N+｝D.｛y|y=^7，xeN+｝

9.（2024•北京朝阳一模）设A,8为两个非空有限集合，定义=1-媒其中⑸表示集合5的元

|/1V/Z?|

素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平

等级性考试科FI中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为品，S2,S3,S4.已

知工=（物理，化学，生物｝,S2=[地理，物理，化学｝,S3=｛思想政治，历史，地理｝,给出下列四个结论：

①若J（S2，SJ=1,则S4=｛思想政治，历史，生物｝;

②拘（Si，S2）=/（Si，S4）,则54=｛地理,物理,化学｝;

③若54=｛思想政治，物理，生物｝,则J（Si，SjVJ（S2，SJ=J（S3，S。;

④若J（Si，S4）>/（52乃4）=/（S3，S4），则S4=｛思想政治，地理，化学｝.

其中所有正确结论的序号是.

10.（2024•全国•模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，

而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了

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解笛卜尔积.两个集合A和6,用4中元素为第元素，6中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对

组成的集合叫作A与B的笛卡尔积，乂称直积，记为4x8.即4>8={(工,丫)反€力且丫68}.关于任意非

空集合M,N,T,下列说法一定正确的是()

A.MxN=NxMB.(MxN)xT=Mx(NxT)

C.Mx(NUT)(MxN)U(MxT)D.Mx(Nn7)=(MxN)n(MxT)

□迎挑战口

1.(2026•山东德州•模拟预测)已知力，B,C为集合M={1,2,…,n}(nEN,)的非空子集，满足：

①Wr\B=Ar\C=BdC=(Z),4u8uC=M：

②hwM|x=3A,k£N*}£48中元素均为奇数，C中元素均为偶数；

③4B,C中所有元素的和分别记为S],S2,S3,且Si=Sz=S3,则正整数〃的最小值为.

2.(2026•北京顺义•二模)已知集合乂={1,2,3,…,16},集合4是集合X的一个含k(k<16)个元素的子集.

若集合4满足如下两个性质，则称集合力为集合X的完美子集：

①集合力的任意两个不同子集的元素之和不相等；

②对任意m£X且令8=4u{m},且集合B存在两个不同子集，它们的元素之和相等；

⑴若&={1,3,5},42={1,2,4,9},判断4,4是否为集合X的完美子集：

(2)若集合A为集合X的完美子集，证明：集合A的元素之和的最小值为16；

(3)若集合4为集合X的完美子集，证明：k<5.

3.(2025•湖北•模拟预测)已知集合时={1,2,…，九),ziEN*,是M的非空子集.记集合力+8={(x+y)

除以九的余数|%W4yW8}.若正整数九满足：存在非空集合力、B,使得A+3两两的交集为空集，且4U8U

(4+8)={0,1,2,…,n-1],则称n为“好的”.

(1)设4={1},B={2,4},当n=5时，求4+8,并直接判断九二5是否为“好的”；

(2)证明：几=8是“好的"，n=16是“好的”;

(3)求所有“好的”正整数.

4.(2025•北京海淀•二模)记|M|表示有穷集合M的元素个数.已知m,几是正整数，集合S={1,2,…,九}.若

集合序列Q：&,&,•••,满足下列三个性质，则称Q是“平衡序列”：

其中*=

®\Ak\