函数与方程-高考数学复习之重难点题型讲义（新高考地区专用）解析版

专题2.17函数与方程.重难点题型精讲

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1.函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y=/3(x£。)，把使/(x)=0的实数x叫做函数)=/(x)(x£。)的零点.

(2)三个等价关系

方程/(x)=0有实数根o函数y=/(x)的图象与x轴有交点0函数)，可。)有零点.

(3)函数零点的判定(函数零点存在定理)

如果函数y=/(x)在区间［。，加上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/3)〃份＜0,那么，函数y=/(x)

在区间仅，坊内有零点，即存在cW(°,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程f(x)=O的根.

2.二次函数y=or2+Z＞x+c(公＞0)的图象与零点的关系

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【题型1函数零点所在区间的判断】

【方法点拨】

确定函数大幻的零点所在区间的常用方法：

⑴利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=/(x)在区间S，切上的图象是否连续，再看是否有人。)叭。)<0.

若有，则函数y=#x)在区间(小。)内必有零点.

⑵数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

【例I】(2022春•新兴区校级期末)函数f(x)=/ogix+”的零点所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【解题思路】根据函数零点的判定定理，求解即可.

【解答过程】解：f(1)=logil+l=0+l=l>0,f(2)=logi2+|=-1+1=<0f

所以，函数/'(为二^^逐+9的零点所在区间为(1,2).

故选：B.

【变式1-1](2022春•湖南月考)函数/(x)=2斗3.「3的零点所在区间是()

1133

A.(0,B.(加1)C.(1,.D.(打2)

【解题思路】山函数解析式可得函数的单调性，再山/•8)<«/(I)>0得结论.

【解答过程】解：由f(x)=2]+3.i-3,可知/(x)是R上的增函数，

'-V(1)=V2-|<0,/(1)=2〉0,的零点在区间咳，1)内・

故选：B.

【变式1-2](2022春•祥符区月考•)函数/•(乃二的4%一焉的一个零点所在的区间是()

A.(0,I)B.(2,3)C.(2,e)D.(1,2)

【解题思路】首先判断函数为(0,+8)上的增函数，再结合/(I)<0,/(2)>()得结论.

【解答过程】解:函数/(工)=/。94%-/是(。，+8)上的增函数，

又f(I)=log4l~\/(2)=20<42='一'=今为'

，函数/'(%)=log/-人的一个零点所在的区间是(1，2),

故选：D.

【变式1-3](2022春•贵池区校级月考)函数/'(%)=《尸一%-5的零点所在的一个区间是()

A.(-3,-2)B.(-2,-1)C.(-L0)D.(0,1)

【解题思路】直接利用函数零点存在性定理判断即可.

【解答过程】解：易知函数八x)在R上单调递减，且/(一2)=(1)-2+2-5=6,/(-1)=(i)-1+1-5=

-1,则/(-2)•/(-1)<0.

故由零点存在性定理可知，函数f(x)在(-2,-I)上存在一个零点.

故选：B.

【题型2函数零点个数的判定】

【方法点拨】

函数零点个数的判断方法：

⑴直接求零点，令yu)=o,有几个解就有几个零点；

⑵零点存在性定理，要求函数人外在区间口，刃上是连续不断的曲线，且人幻叭3<0,再结合函数的图象与

性质确定函数零点个数；

⑶数形结合法，作出两函数图象，观察两函数图象的交点个数，即得函数的零点个数.

log2x,0<x<2>

【例2】(2022•泾县校级开学)已知函数/(%)=1%则函数g(x)=2if(x)-1在(0,

寸⑶，x>2,

32)上的零点个数为()

A.6B.5C.4D.3

【解题思路】函数零点个数可转化为函数.y=4(x)与y=(的图象交点的个数，根据函数解析式作出函

数图象，数形结合求解即可.

【解答过程】解：由g(x)=L/(x)-1=0,可得2/(%)

故函数g(x)的零点个数即函数)，=Zf(%)与y=9的图象交点的个数，

log2x,0<x<2

V/(x)=i，，可将函数的定义域分段为(1,2],(2,4],(4,8],(8,16],(16,

(打(x分x>2

32),

并且./■(%)在(2〃[，2”]上的图象是将/(x)在(2”一2,2〃-1]上图象的所有点的横坐标伸长为原来的2

倍,

纵坐标缩短为原来的之后得到，作出），=2f（X）与y的图象，如图所示,

2x

由图象可知，共有5个交点，

故函数函数g（x）=2xf（x）-1在（0,32）上零点个数为5个.

故选：B.

【变式2-1]（2021秋•贵阳期末）借助信息技术画出函数），=击和y=x|x-a|（。为实数）的羽象，当。=

1.5时图象如图所示，则函数y=x|戈-1.5|-的零点个数为（）

【解题思路】根据函数与方程的关系进行转化求解即可.

【解答过程】解：btly=x\x-l.5|-bvc=（）,得L5|=//m

由图象知吠和），=邛-1.5两个图象的交点有2个，故函数），=水-1.5|-阮r的零点个数为2个，

故选：B.

3—x2—2x,x<1,

【变式2-2]（2022春•昌图县校级期末）已知函数/•（%）=4—则函数（x））-3

x+——2/x>1，

的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】数形结合，把零点问题转化为对应方程的根或函数图象的交点即可求解.

【解答过程】解：作出/G)的图象，如图所示：

则/(幻的值域为R，求)=/(/(%))・3的零点，即求)-3=0,即/(/(x))=3,对应

方程的根，

设〃?=/(x),则则)=3等价于=3,

如图所示：

f(/«)=3有3个交点，则〃?有三个解，

当机W1时，有3--2机=3,解得m=0或m=-2,

当机＞1时，有机+色一2=3,解得机=4或，〃=1(舍)，

故机的值分别为-2,0,4,则〃?=/(x)对应解如下图:

m

m=f(x)对应5个交点，分别为点Q,M,K,E,T,

综上所述：y=/(/(x))-3的零点个数为5个.

故选：D.

X乙+V+(*YV0

'~,若/(-2)=/(0),/(-3)=

(2,x>0

1,则函数y=/(x)-x的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据条件先求得每段函数的零点，其中当xWo时，由/(-2)=/(0)得的对称轴

-r=-1,再解之.

【解答过程】解：当xWO时，，/(x)=/+乐+c,/(-2)=f(0),/(-3)=1,・•・-2二-1,

(9-3b+c=1

:・b=2,c=-2,

/(x)=/+2x-2,令/(x)-x=0,即/+x-2=0,解得，x=-2或x=I(舍去)，

当x>0时，2-x=0,得x=2,

综上，函数y=/(x)-x的零点为-2和2,

故选：B.

【题型3根据零点的个数(或范围)求参数】

【方法点拨】

根据函数零点的情况求参数的方法：

⑴直接法：直接根据题设条件构建方程(不等式)，再通过解方程(不等式)求参数.

⑵分离参数法：先将参数分离，转化为求函数的最值或值域问题，加以解决.

⑶数形结合法；先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.

【例3】(2022•河南模拟)已知函数/(x)=f-3/-k在区间(0,3)存在零点，则攵的取值范围是()

A.(-8,o)B.[-4,+8)C.(-4,0]D.[-4,0)

【解题思路】把问题转化为y=k与g(x)=9-3/在区叵(0,3)存在交点，研究g(x)=?-3A-2

在(0,3)上的值域即可求解结论.

【解答过程】解：•・•函数/(x)=4-3/-A在区间(0,3)存在零点，

即y=〃与g(x)=9-3/在区间(0,3)存在交点，

■:g'(x)=3f-6X=3X(x-2),

••・0VxV2时，g'(x)<0,g(x)递减,

2VxV3时，g'(x)>0,g(x)递增，

又g(0)=0,g(2)=-4,g(3)=0,

J-44V0,

故选：D.

【变式3-11(2021秋•和平区期末)已知函数y=a^m-1(0<«<1)有零点，则实数m的取值范围是()

A.(…，o)B.(…，0]C.[0,I)D.[1,2)

【解题思路】问题转化为a1=1■加有根,求出胪的范围,即可求得实数机的取值范围.

【解答过程】解•：函数了=/电〃・1(0<67<1)有零点，即方程。国+阳・1=0有根，

也就是m=1■加有根，

OVaWl,A«we(0.1].

则1・，托(0,1],可得0WmVI.

即实数机的取值范围是[0,1).

故选：C.

+4%+Q.fxVI

,若函数y=/(x)-2只有两个零

Inx+1,x>1

点，则实数〃的取值范围是()

A.(-8,2)B.(-3,4)C.(-3,6)D.(-«>,-3]U{6}

【解题思路】判断函数零点的位置与个数，然后转化求解。的范围即可.

>2+4%+a,xVI

,函数y=f(x)-2只有两个零点，

{Inx+1,x>1

当时，方程/(e=2,可得以计1=2,解得x=e,函数有一个零点.

当xVl时，函数有一个零点，即a=-7-4x+2,x<l,有一个解.

设91(%)=-4%+2(x<l),g2(x)=a，则gi(x)与g2(x)的图象有且仅有一个交点•

故aW・3或4=6.

故选：。.

【变式3-3](2()21秋•光明区期末)已知函数/(x)=ZogaX-4xT(a>0_aa#l^(0,刍上无零点，在8,1)

上白零点，则实数。的取值范围为()

A.(0,3B,贪1)U(L4-00)

C.(0,D.1)

【解题思路】将问题转化成研究方程，。%”=钎-1在(o,刍上无实数根，在8,1)上有实数根，即考查

函数g(x)=/oga%,九(%)=4"1的交点情况，作出函数图像数形结合即可得到答案.

【解答过程】解：函数J'(x)在(0,口上无零点，在《，1)上有零点，

却方程/⑴=0在(0,刍上无实数根，在8，1)上有实数根，

即/0%%=4%-1在(0,刍上无实数根，在41)上有实数根，

X-1

设9。)=logax,h(x)=4；

函数〃(x)在R上单调递增，且力(0)=卜h(i)=\,-1)=1,

h(x)=4厂1>0恒成立，

若4>1,则在(0,1)时,g(x)=lOgaX<0,故不满足条件.

由于g(X)与h(A-)的图象在(0,勺上无交点，在弓，1)上有交点，

(0<a<l

根据函数的图象可知11,

(力)>帖)

解得工VaVI,

4

故选：D.

［ft4］（2022•克拉玛依三模）函数/（x）=l・（x・n）siiir在区间［-当，岑］上的所有零点之和为（）

A.0B.2TTC.4TTD.6n

【解题思路】易知.y=siiu-关于点（口，0）对称，y元也关于点（口，0）对称，作出y=sinx与、=

的图象，观察在区间［-岑，亨］上的交点个数，根据对称性即可得解.

1

【解答过程】解：令/（x）=0,则s»x=不彳

坐标之和为2m

・•・函数/（工）在区间［一岑，争上的所有零点之和为2X如=411.

故选：C.

（%-1）2,%”）一的所有零点之和为（）

【变式4-1］（2022•萍乡二模）已知函数/•（%）=

l|x+1|,x<0''2

V2+11-V2

A.---------B.---------C.2D.0

22

【解题思路】根据零点定义求出零点后可得.

【解答过程】解：当在。时.，由(x-l)2_/=o,得尸]土?，当.9时，由卜+||4=0,得尸一聂

3

<二一下

所以四个零点和为1+孚+TW=o.

故选：。.

【变式4-2](2022•怀仁市校级二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=

2|X-1I-1,0<x<2c

1,若关于X的方程[f(x)]2-(a+1)f(A)+a=0(〃£R)恰有4个不相等的实数

"(X—2),x>2

根，则这4个实数根之和为()

A.-4B.4C.8D.-4或8

【解题思路】设/J)=/,则关于U'Q)产-M=o(aeR)的方程等价于於-(u+i)(+a

=0,解得f=a或/=1,结合图象，分两种情况：(1)t—ci—(2)t—(i——讨论/1X)=〃的实

数根的和，即可得到结论.

【解答过程】解：当x=0时，/(0)=0,此时不满足方程，

若2Vx<4,则0VX-2W2,即/(X)=1f(x-2)=1(2k-31-1),

若4VxW6,贝【J2<x-2=54,即f(x)=)(x-2)=1(2U51-1),

作出函数工20的图象，如图所示：

设/(x)=/,则关于伏(不)]2-(a+i)/(X)+4=0(aER)的方程等价于r2-(4+1)/+«=(),

解得f=a或-=1,

当，=1时，即f(x)=1对应一个交点为明=2,方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：

(1)l=ct=即