中考数学复习（六）旋转

旋转专题

【类型一】旋60。，造等边

例1、如图，设P是等边AABC内的一点，PA=3,PB=4,PC=5,则总的度数是

A

例2、（1）如图，P是等边AABC内一点，NAPB、NBPC、NCPA的大小之比为5：6：7,则以P

A、PB、PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）.

A.2：3：4B,3：4：5C.4：5：6D.以上结果都不对

（2）在等边4ABC中，P为BC边上一点，设以AP、BP、CP为边组成的新三角形的最大内角为

。，则（）

A.H290°B.。＜120°C.9=120°D.0=135°

例3、如图所示.Z\ABD是等边三角形，在AABC中，BC=a,CA=bJ5当NACB为何值时，C,D两

点的距离最大？最大值是多少？

c

例4、(1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=60°,ZBCD=120°,证明：BC+DC

=AC.

(2)如图，四边形ABCD中，AB=BC,ZA^C=60°,P为四边形ABCD内一点，且/4尸。=120。.证

检测1、如图，P为等边AABC内一点，ZAPB=113°,ZAPC=123°求证：以AP,BP,CP为

边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.

检测2、如图，在四边形ABCD中，Z48c=3()。，ZADC=60°,AO=£>C.证明：BD2=AB2+BC2.

B

【类型二】旋90°,造垂直

例5、如图，以RA48C的斜边BC为一边在AA8C的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为0,

连接A0,如果AA=4,AO=6也，那么4C的长等于。

例6、如图，P为正方形ABCD为一点，若PB=2a,PC=3ci(«>0).

⑴求乙的度数；

⑵求正方形A8C。的面积.

例7、如图，己知DE是等腰RTAABC斜边BC所在直线上的两点，满足/DAE=1350证明

CD2+BE2=DE2.

检测1、在图中，把一副直角三角板A8C和石"；（其短直角边长均为4）叠放在一起（如图（1））,

且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点。重合.现将三角板EFG绕点0顺时针

旋转（旋转角。满足条件：0。＜。＜90。），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图

⑵）.

⑴在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现

的结论；

⑵连接HK,在上述旋转过程中，设=的面积为），，求y与x之间的函数关系式，并写

出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使AGKH的面积恰好等于面积的二？若存在，求

图①图②

检测2、如图，等腰直角A48C中，NA8C=90。，点P在AC上，将AA8尸绕顶点B沿顺时针方向旋

转90°后得至IJ/XC8Q.

⑴求NPCQ的度数；

（2；当A6=4,AP:尸C=1:3时，求打2的大小;

⑶当点P在线段AC上运动时（P不与A、C重合），请写出一个反映%2,汽;2,心2之间关系的

等式，并加以证明.

【类型三】旋18（）。，造中心对称

例8、如图1,在AA8C中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B,P在直线a的异侧，BM工

直块4于点M.CN_L直线o于点N,连接PM,PN.

⑴延长MP交CN于点E（如图2）.

（1：求证：即PMwNCPE：

⑵求证：PM=PN;

⑶若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B,P在直线a的同侧，其它条件不变，此时9=

还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

⑷若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形

状及此时尸M=还成立吗？不必说明理由.

例9、请阅读下列材料：

问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点，连接

PG,PC.若/4a?=/3所=60。，探究PG与PC的位置关系及生的值.

PC

小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.请你参考

小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

⑴写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及空的值；

PC

⑵将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边

AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变

化。写出你的猜想并加以证明；

⑶若图1中ZABC=N应户=2a（（）。vav90。），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题

中的其他条件不变，请你直接写出器的值（用含a的式子表示）.

检测1、如图，等边△ABC,其边长为1,D是BC中点，点E,F分别位于AB,AC边上，且

ZEDF=120°.

（1）直接写出DE与DF的数量关系；

（2）若BE,DE,CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出

思路，画出图形，直接给出结果即可）

（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.

E£

B

检测2、已知RtAABC中，AB=BC,在RtAADE中，AD=DE,连接EC,取EC中点M,连接DM和

BM,

⑴若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM_LDM；

⑵如图①中的aADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.

②

【类型四】大角夹半角

例10、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1,在等腰直角A4BC中，AB=AC,

N8AC=90。，小敏将一块三角板中含45。角的顶点放在4上，斜边从A3边开始绕点A逆时针旋

转一个角。，其中三角板斜边所在直线交直线8c于点，直角边所在的直线交直线8c于点E.

（1）小敏在线段夕C上取一点连接AM,旋转中发现：若AD平分"AA7,则AE也平分

NMAC。请你证明小敏发现的结论。

222

（2）当0。时，小敏在旋转中还发现线段30、CE、。上之恒存在如下等量关系：BD+CE=DEO

同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：

小颖的想法：将AABO沿AO所在的直线对折得到AAOF,连接（如图2）。

小亮的想法：将AA4O绕点A顺时针旋转90。得到AACG,连接EG（如图3）。

请却从中任选一种方法进行证明。

（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45。＜。＜135。且。工90。时，等量关系

8。2+以2=。炉仍然成立，先请你继续研究：当135。＜。＜180。时（如图4）等量关系

初2+&2=。炉是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由。

图4

检测1、如图，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上两个动点（不与B、C、D重合），连接

AE、AF,分别交BD于H、C两点，已知NEAF=45°,下列结论：①AE平分NBEF；②BE+DF

＞CE+CF;@AGAF=AHAE;④。G?+期八=G〃2其中正确的结论是（）

A.①②B.①②③C.②③④D.①③④

检测2、如图在五边形/WCDE1中，A3=3C=CZ)=OE=£4,求NBAE的度数。

2

A

【类型五】旋转任意角

例11、如图1,在MAA3C中，Z£?=90°,BC=2AB=S,点。、E分别是边8C、AC的中点,

连接OE。将AEDC绕点。按顺时针方向旋转，记旋转角为。。

O问题发现。①当2=0。时，—=_____;②当a=180。时，—=_____o

BDBD

（2）拓展探究。试判断：当00＜。＜360。时，空的大小有无变化？请仅就图2的喟况给出证

BD

明。

（3）问题解决。当AEQC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段8。的长。

（图1）

（图2）

B

（备用图）

检测1、已知正方形A3CO中，石为对角线3。上一点，过E点作所_L8O交8c于/，连接£>/"

G为W7中点，连接EG,CG.

（1：求证：EG=CG;

⑵将图（1）中绕8点逆时针旋转45。，如图⑵所示，取。尸中点G,连接EG,CG.问（1）中

的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

⑶将图（1）中绕B点旋转任意角度，如图（3）所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是

否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）.

图①图②图⑤

检测2、如图1,点0是正方形A8C。两对角线的交点。分别延长0。到点G,OC到点£,使

OG=2OD,OE=2OC,然后以0G、OE为邻边作正方形OEPG,连接AG,DE。

（1）求证：DELAG.

（2）正方形48CD固定，将正方形OE尸G绕点。逆时针旋转a角（0。<0<360。）得到正方形

OEFG,如图2。

①在旋转过程中，当NO4G是直角时，求a的度数。

②若正方形A3CO的边长为1,在旋转过程中，求A尸长的最大值和此时。的度数，直接写出

结果不必说明理由。

G'

【综合练习】

1、在△ABC中，AB=AC,NBA0900,点。在射线BC上(与B、C两点不重合)，以为

边作正方形其。£尸，使点石与点片在直线4。的异侧，射线84与射线Cb相交于点G.

(1)若点。在线段3c上，如图1.

①依题意补全图1;

②判断3C与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；

(2)若点D在线段BC的延长线上，且G为C77中点，连接GE,AB=6,则GE的长为_____

,并简述求GE长的思路.

2、如图①，四边形AEEG和A3co都是正方形，它们的边长分别为〃力(b22a),且点F在

AD上(以下问题的结果均可月*h的代数式表示).

(-)求S；

(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的Sg班;

(3)把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，53访是否存在最大值、最小值？如

果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由.

3、四边形A3CO中,A8=8Q=AO,N8CQ=30。，求证：DC2+BC2=AC2.

4、已知，A48C中，AC=BC,ZACB=90°,。为A3的中点，若£在直线AC上任意一点，DF工DE,

交直线8c于尸点.G为£尸的中点，延长CG交A8于点，.

(1：若E在边AC上.试说明DE=DF;

(2；试说明CG=G”；

⑶若AE=3,CH=5.求边AC的长.

HDB

5、已知矩形A8CO中A£>=8,将矩形A8C£）折叠，使得顶点8落在CD边上的尸点处。

C）如图1,已知折痕与边5c交于点。，连接AP、OP、A。，若AOCP与&的面积比为

1:4,求边的长。

（2）如图2,在（1）的条件下擦去AO、OP,连接3尸，动点M在线段AP上（点M不与点、P、

A重合），动点N在线段A8的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点、F,作于

点E,试问当点M、N在移动过程中，线段所的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律,

若不变，求出线段放的长度，

图1

6、数学活动课上，某学习小组对有一内角为120。的平行四边形48co（N84£）=120。）进行探

究：将一块含60。的直角三角板如图放置在平行四边形/WCD所在平面内旋转，且60°角的顶点

始终与点C重合，较短的直健