江苏苏州市昆山震川某中学2025-2026学年高一年级下册期中数学模拟练习卷1

震川中学2025・2026学年高一下学期期中数学模拟练习卷1

一、单项选择题：本大题共2小题，共16分。

1.在梯形48CD中，BC=2AD,AC与8。交于点。，记瓦？=五，BO=b,则就=（）

A.3a-2bB.-2a4-3bC.3a+2SD.2a+3^

2.已知G为的重心，过G的直线与A8,AC边分别交于M,N点，若通=%宿，AC=yAN,则

“2），的最大值为（）

A.2B.^C.4D.装

o16

二、多项选择题：本大题共5小题，共40分。

3.在△力BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是（）

A.若sin4>sinB,则4>B

B.若acos4=bcosB,则44BC是等腰三角形

C.若sin4=cosB,则△力BC是直角三角形

D.若AABC为锐角三角形,则sin,4>cosB

4.在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,瓦c,则（）

A.若a=2/=34=%则解此三角形有两解

O

B.若acosA-bcosB=sin（A+8+C）,则此三角形为等腰直角三角形

C.若14/BC为锐角三角形，贝ljsin74+sinB>cos/+cosB

D.sin/1>sinB的充要条件是a>h

5.下列说法错误的是（）

A.若五〃反b//c,则五〃）

B若五七=1•己且力与6,则五=:

C.在a/lBC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,力〉B是sinA>sin8的充要条件

D.在A/WC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac3A=bcusB,则△A3C是等腰三角形

6.以下是真命题的是（）

A.已知五花为非零向量,若怔+可>怔一肛则不与B的夹角为锐角

B.已知五万片为两两非共线向量，若强5=1々，则11（另一百

C.在三角形ABC中，若a・cos4=b-cosB,则三角形48c是等腰三角形

D.己知而为单位向量,且诟与五平行，则五=±|司而

7.已知△A8C的内角48,6；的对边分别为a,4c,则下列说法正确的是（）

A.若sinA>sinB,则力>8

B.^a2+b2<c2,则△ABC为钝角三角形

C.若acos力=bcosB,则^48c为等腰三角形

D.若sinAsin&sinC=2:3:/19,则△ABC的最大角是120。

三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。

8.如图，等边△ABC的边长为1,点D,E分别为的中点，连接并延长。E到点忆使得DE=2",

9.已知对任意平面向量而=(xfy),把通绕其起点沿逆时针方向旋转8角得到向量而=(xcos0-

ysine,xsinJ+ycos。)，叫做把点B绕点4沿逆时针方向旋转8角得到点P,已知平面内点4(1,3),点

8(0,-3),把点8绕点A沿顺时针方向旋转？后得到点P,则点P坐标为—.

四、解答题：本题共6小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

10.(本小题13分)

己知△ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c,且则笠更=空

sinoa十c

⑴求C：

(2)^2a/?sinC=c2tanC,求证：⑦吃:叱=：

''tan4+tanB2

11.(本小题13分)

在A4BC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2,(b+c)(sinC-sinB)=a(sin?l-sinfi).

(1)求角C的值;

(2)求a+b的最大值；

(3)若AB边上的中线C。长为，求△4BC的面积.

12.(本小题13分)

在平面几何中，三角形的''莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记△ABC的内角A,

B,C所对的边分别为a,b,c,平面内一点K到三边8C,C4,A8的距离d。，db,(满足勺=/

k,称点K为△ABC的“莱莫恩点”.

(1)若在△A8C中，a=5,b=3,c=4,求常数攵的值；

⑵求证：而=需答

(3)若就1前，试判断△ABC的形状，并说明理由.

13.(本小题13分)

如图，在ZL4BC中，点。是8c中点，点E、尸分别在边A3、AC上，AF=2FC,BE=2E4设而=优

(2)若国=3心，|b|=3,五•万二9,求向量而、品夹角的余弦值.

14.(本小题13分)

如图所示，已知梯形ABCQ中，AB//CD,AB=2CD,E为线段BC的中点，且线段8D与AE的交点为

(1)用2,b表示店;

(2)求BF:FD的值;

(3)若8C=CD=DA,点G在线段。。上运动，设尼=入9+〃而，求4+，勺取值范围.

15.(本小题13分)

如图，设。=、。)，是平面内相交成a(0vaV7T)的两条射线，瓦、与分别为Or、Oy同向的单位向量，定义

平面坐标系xO.F为%。y(a)仿射坐标系，在不。y(a)仿射坐标系中，若丽=%可+y瓦，则记丽=(%,y).

(1)在%。匕3人仿射坐标系中,若五=(2,1),求I五I；

(彳)

(2)在％0y⑷仿射坐标系中，若五=(一1,3),b=(-3,1),且五与面勺夹角为『求sina;

(3)如图所示，在％0y室仿射坐标系中，B、C分别在X轴、1y轴正半轴上，|瓦^=1,OD=E、

分别为30、3C中点，求世•丽的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为在梯形4BCQ口，阮=2而,AC与交于点0,且

瓦？=a»BO=b，

所以臆/

可得反=2而，

所以就一所二2（B0-BA）=>BC=3前一2前,

由千瓦？=正前=E，

可得能二33一2反

故选：B.

2.【答案】C

【解析】【分析】利用三点共线得到％y的关系式，再代入，利用导数求得函数最值即可.

【详解】因为G为△力8c的重心，

所以布=等?，

又因为近=%初，AC=yAN,

所以探=吟&而+?前，

又因为M,N,G三点共线，

所以X=1=x+y=3,

因为M在线段A8上，所以福与而同向且|而7归而|,

于是工二粤21,同理yNl,

\AM\

结合％+y=3得％6[1,2].

目标函数为x2y=/(3一人)，

记/(x)=x2(3-x)=3x2-x3,xG[1,2],

求导，得：f(x)=6x-3x2=3x(2-x)>0,

所以f(x)在[1,2]上单调递增,

/tomax=/(2)=22x1=4.

故选：C

A

3.【答案】AD

【解析】解：对于A：若sim4>sinB,转换为：2Rs\nA>2Rs\nB,

利用正弦定理：a>b,则力>从故A正确；

对于3项，因为acosA=bcosB,

所以由正弦定理得:sinAcosA=sinBcosF,即：sin24=sin2B,

所以24=2B或24+28=7T,所以力=B或A+8=*,

所以△力为等腰三角形或直角三角形，故4项错误：

对于C：根据一：角函数性质，sirM=cosB时，

在三角形内角范围0。<4,8<180。内，有两种可能：

情况一：8=90。一力，则A+B=90。，C=180。—04+8)=90。，此时△ABC是直角三角形；

情况二:如A=100°,8=10。,sinl00°=sin(90°4-10°)=coslO°,

满足sin4=cosB,但C=70。，△力8C不是直角三角形；

综上，仅由sin/=cos〃不能得出A/9C定是直角三角形，C错误：

对于。：当A/IBC为锐角三角形时，A+

smA>sin(-5)=cosBf可得sinzl>cosB成立，故。正确.

4.【答案】ACD

【解析】【分析】利用余弦定理求解可判断A；利用正弦定理边化角可得A=8或A+8=今可判断8,

利用锐角三角形的定义以及诱导公式冲算可判断C由正弦定理可判断D.

［详解】对于A,由余弦定理可得a?=b2+c2—2bccosA=9+c2—3V-3c=4,

即c2—3CC+5=0,解得。=喀先或c=双弊，故三角形有两解，故4正确；

对干B,因为acos/l-bcosB=sin(4+8+C)=sin/r=0,

所以由正弦定理可得sini4cos力—sxnBcosB=?sin24-gsin28=0,

所以sin24=sin2B,因为0〈力<兀，0<B<TT,

所以2A=28或24+2B=n,所以A=8或4+8=],

所以三角形4BC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C因为△4BC为锐角三角形，所以4+8>与所以4>]一8>0,B>1-A>0,

所以sinA>sind-8)=cosB,sinB>sinQ-=cos/1,

所以sinA+sinB>cos/l+cosB,故C正确；

对于。，充分性，若Q>b,则2Rsin4>2RsinB,所以sin4>sinB,故充分性成立，

必要性，若sim4>sinB,则尚>白，所以a>从故必要性成立，

ZnLK

所以sinA>sinB的充要条件是a>b,故。正确.

故选:ACD.

5.【答案】ABD

【蟀析】解：对于A：当5=6时，G〃1共线不成立，故4错误；

对于少若21=方々且下工6,并不能说明五二比故B错误；

对于C：根据大边对■大角力>8oa>b=sin4>sinB,故C正确；

对于。：由于acos/l=bcosB,则sin24=sin28,故A=8或4+B=],故。错误.

故选:ABD.

直接利用向量的共线，向量的数量积运算，正弦定理，三角膨形状的判定求出结果.

本题考查的知识点：向量的共线，向量的数量积运算，正弦定理，三角形形状的判定，主要考看学生的运

算能力，属于中档题.

6.【答案】BD

【解析】【分析】根据向量数量积的定义及运算律可计算并判断4,B；利用正弦定理将边化角，结合二

倍角公式可计算并判断C；利用单位向量和共线向量的定义可判断。.

【讲解】对于八，由B+M>忖一同可得Q+E)2>0—方)2,即片+片+2心5>片+石2一2W丸

所以五不>0,即cos值㈤>0,所以值㈤E[O,9,所以五与方的夹角为锐角或零角，故4错误；

对于ZL因为五不=心乙所以五•色一弓=0,又因为五花1为两两非共线向量，则五工03-^工0,所

以3_1@—可，故4正确；

对于Ct因为a•cos力=b-cosB,则有sin，•cos/l=sinB♦cosB,即sin24=sin2F,

所以24=28或24+25=TT,即A=5或A+8=与所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形，故。

错误；

对于。，通为单位向量，若丽与初司向共线，则1=|可近；若乐与H反向共线，贝।质=-|可匹.故。正确.

故选：BD.

7.【答案】ABD

【解析】【分析】利用正弦定理判断A,利用余弦定理判断6,利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式

判断C根据正弦定理及题设可得a：b：c=2:3:，血，易得C最大，进而结合余弦定理求解判断D.

【详解】对于人，因为sin/l>sin8,由止弦定理可得a>b,所以4>8,故人止确；

对于8,由余弦定理cosC="”唱;“V0,可知。为钝角，

Zab

即A4BC为钝角三角形，故B正确；

对于C,因为QCOS/1=bcosB,所以sin4cos4=sinBcosB,即sin24=s\n2B,

又4B£(0,TT),所以24,28£(0,2TT),A+BE(0,7T),

所以2A=2B或24+28=-

即4=8或4+8=*即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误;

对于。，由sinAsinB:sinC=2:3:，诃，根据正弦定理的a:b:c=2:3:，13,

显然c最大，则C最大，设a=2x,b=3%,c=，诃x,x>0,

a^+b^—c^_4x2+9x2-19/1

则cos。=

2ab2x2xx3x

又C6(0,产)，所以C=120°,故。正确.

故选：ABD.

8.【答案】i

O

【解析】解：因为点。，£分别是边A8,3C的中点，所以屁="尼，

因为OE=2£T,所以。彼月=,力^,

24

所以/=而+9=/Mg+?前.

24

因为反?=而一近，Z-BAC=60°,AC=AB=1,

所以衣.正=c而+(??).函一而)

22222

=1AC-^AB-^AC^=5Xl-ixl-ixlxi=i

42442428

故答案为5

9.【答案】(一5,4)

【解析】解：♦.•平面内点4(1,3),点8(0,-3),

...万=(-1,-6),

把点B绕点A沿顺时针方向旋转弓后得到点P,

即等同于点B绕点4沿逆时针方向旋转手后得到点P,

：•而=(-cos咨+6sin^,-sin^-6cos巧=(-6,1)»

乙乙乙乙

乂4(1,3),解得「(一5,4).

故答案为：(—5,4).

根据新定义求出向量而的坐标，进而求得点P的坐标.

本题考查平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】(1)由正弦定埋可得等二^^,化简可得。2+标一。2=/1助，

故cos。=上*士==浮，因为CE(0,兀)，所以C=%

ZabZab24

(2)因为2QbsinC=c2tanC,C=苗，所以2absinC=c2,

由正弦定理得2sinAsinBsinC=sin2C,易知sinC工0,所以2sin4sin8=sinC»

因为sinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以2sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,

MH____sin二sinB_______1tanZtang_1

历"sin/lcosB+cos/lsinB-5'"乂tan/1+tanB-5

【解析】(1)根据已知得a2+b2-c2=，Iab,再应用余弦边角关系求角；

(2)根据已知及(1)得2absinC=c?,应用正弦边角关系易得2sinAsin8=sinC,再应用三角形内角关系及和

角正弦公式可得2sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,变形整理艮|.可证.

II.【答案】【详解】(1)因为(b+c)(sinC-sinB)=Q(sin4-sinB),

由正弦定理可得(b+c)(c-b)=a(a-b),

整理可得a?+d2-c2=ab,

由余弦定理得小+匕2一c2=2Q加osC,所以ab=2abcosC,所以cosC=g.

又因为CW(0,TT),所以C=*

(2)因为c=2,由正弦定理得导=磊=高=1=今

可得Q=^sin4b=-^=sinB,

因为4+B+C=7T,所以sin/=s\n[n-(B+C)]=sin(B+C)=sin(B+g),

则a+b=.[siMB+,+sinB]=表•(jsinfi+苧cosB)=4sin(B+'

又OVBV曰，则(VB+「V”，

5ooo

当B+tW即B=±时，a+b取得最大值为4.

(3)由题意知：CD=<3,c=2,

由Q)知a?+/j2-c2=ab,即4=a2+b2—ab,

因为CO为A5边上的中线，所以2而二方+3，

两边平方得4CD2=C铲+CA+2CB-cX=a2+b2+2abcosC=a2+b2+ab,

所以12=a2+b2+ab,

联立方程组=叱解得2ab=8,所以帅=4,

(12=a"++ab

所以△力8c的面积S=^absinC=|x4x^=/3.

【解析】【分析】(1)由正弦定理得到a2+b2-c2=ab,再由余弦定理，求得cosC=J,即可求解；

(2)根据正弦定理，得到Q=*sinA,b=4=s\nB,化简得到Q+b=4sin(B+”，进而结合正弦函数的性

质卬可求解；

(3)由(1)得到4=。2+匕2一。6,再由CO为A4边上的中线，利用2而=而+万，得到12=。2+52+

防，联立方程组，求得ab=4,结合三角形的面积公式，即可求解.

12.【答案】解：⑴因为a=5,匕=3,c=4,所以a2=/j2+c2,所以A=SAABC=^bc=6.

连接KA,KB,KC,将△力BC分割为△K8C,△KC4,△K48.根据“莱莫恩点”的定义,

点〈到三边的距离分别为da=ka,db=kb,dc=kc.

所以SMBC=S&KBC+SAKS+ShKAB=1a•da4-4-|c-dc

=；a(ka)+Jb(kb)+Jc(kc)=^k(a2+b2+c2).

z1乙乙乙

代人已知数据,得6=［々(52+32+42),故攵=..

(2)由(1)可知,s&KBC：S&KCA：S4KAB=O^'-b2'.C2.

如图，延长AK交8c于点D,根据面积法可知雄=2些=W=刍，

M3aACD'&KACb

所以而=而+昌(而一宿)=庐”+C了.

■+c2')b2+c2

另一方面，因为AKBC与△力BC同底，所以K,A到BC的距离之比等于三角形面积之比,

即殷_S&KBC_/向彳以竺_1_庐+。2

222f2,

4。S&ABCa+b+cAD-AD~a2+^)+c2

即L，］R_4K而_b2+c2b2AB^-c2AC_b2AB+c2AC

'"K=*-02+户+02•庐+M=Q2+/+C2・

(3)△48。为等腰三角形或直角三角形.

由次1万？可知R?。阮=0,

启丽+c2配

由(2)知•(AC-AB)=0，所以(〃漏+c?而)•(就一漏)=0,

a2+b2+c2

展开得力2AB-AC-b2\AB\2+c2\AC\2-c2AC-AB=0,

又因为I48I=C，I4CI=6，所以(/)2—。2)48•4。一匕2c2+c2/)2二32—02)•AC=0.

因为儿C>0,所以有以下两种情况:

b2-c2=0,即力=一此时△ABC为等腰三角形；

AB-AC=0^即/18JL/1C,此时△力BC为直角三角形.

综上所述，△4BC为等腰三角形或直角三角形.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

13.【答案】解：（1）由题意可得即二酢一荏二:万一;也

(2)解法一：由(1)得|前|=J(|5-1a)=—4a-S+4J2

=iV18-4x9+4x9=/2,

J

因为。为8c的中点，所以而=?尼+2而+g五，

从而|而|"JOI),=■$+2五不+―=我18+2x9+9=半,

2112111113

一

一T2

Tb+一T9+98

-匕Qb-XXX-

一

一Q----Q----

而.前二（颉+初•333663662

3

42

D-EF

所以cos(AD,EF)

I研初~W~

故向显而、铲夹角的余弦值为答.

解法二：因为|前|=\a-b\=^a2-2a-b+b2=718-2x9+9=3,

又因为国|=3,所以国（+|画2=।园2,

所以△ABC为等腰直角三角形,

如图，以。为原点，石?的方向为▲•轴的正方向，通的方向为y地的正方向，建立平面直角坐标系.

可得4(3,0)、8(0,3)、D(0,1)>F(l,0)、E(2,l),

贝|J下=(一33)・前

故向量彳方、乔夹角的余弦值为富.

解法三：因为|近|=\a-b\=Ja2-2a-K+K2=718-2x9+9=3,

222

又因为国|=3,所以麻|+\AB\=\BC\,

所以△力BC为等腰直角三角形，

如图，以A为原点，南的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系.

可律4（0,0）、8（3，1,0）、C（孚，崂、E（，I,0）、F（/2,/2）.

。竽苧），

从而而=（竿,浮），FF=（O,/2）,

3

-

所以8S（而，司=骷=2=

故向量而、舐夹角的余弦值为答.

【解析】【分析】⑴利用平面向量的减法可得出品关于本方的表达式；

（2）解法一：利用平面向量数量积的运算性质可求得向量而、前夹角的余弦值；

解法二：推导出△力也为等腰直角三角形，然后以。为原点，石?的方向为x轴的正方向，方的方向为y轴

的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示可求得结果；

解法三：推导出△力8c为等腰直角三角形，然后以。为原点，B的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标

系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果.

14.【答案】解：（1）因为AB=2CD,

所以OC=

BC=BA+AD+DC=-a+b+^a=b-^a,

因为£为线段3c的中点，

所以而=:反一）五+：氏=^a+^b.

24242

（2）设前=k而，则乔=备前，AB=a,

而=亚+乔=己+缶/一砌=寻1百+缶比

乂府，而共线,

所以存在一个实数九使得系2+备心招2+步,

两式相除可得上=率即BF：FD=2：3.

(3)设前=%比，xe[0,11；

AC=AD+DC=b+^a,DB=AB-AD=a-b,AG=AD-^DG=b+^xa,

因为而=/l而+〃布,

所以B+家=X(a-b)+^(S+|xa),

p-A=1oo

可得3解得〃=-=—访—1，

U+-XH=-厂x+2x+2

所以4+2=三+4-1,

nx+23

由对勾函数的性质可得[0,1]时，A+-G[1,^].

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

15.【答案】解：⑴由题意可知，可、的的夹角为引

由