高考数学一轮复习 第五章 第4节 复数-含解析

第4节复数

9课标要求1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.

掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

一厂《«««主干梳理基础落实»»»>»---------------（

知识梳理

1.复数的有关概念

⑴定义:我们把集合C=Q+bi|a,b£R）中的数,即形如。+技（〃”£合的数叫做复数，其中a叫做复数z的口

叫做复数z的0J（i为虚数单位）.

（2）分类

满足条件（〃,人为实数）

〃+加为实数0国.”

复数的分类。+历为虚数oGh一）

a+b\为纯虚数=国

（3）复数相等:。+历=。+$0用工（I4c,d£R）.

（4）共轨复数:a+Z?i与c+di共轨=团、b=-（i（a,b,c,deR）.

⑸模响量被的模叫做复数z=a+b'\的模，记作因或叵],即|z|=|a+/川+a（a,/?eR）.

2.复数的几何意义

复数？=a+Z?i与复平面内的点血区公^及平面向量被=（a,匕）（a,b£R）是---对应关系.

3.复数的运算

⑴运算法则：设z产a+bi,Z2=c+di,a,b,c,R.

1/Z1士句人（a+从）士匕+琲）=同（a土d+（：±d）i

二/Z1•Z2（3+历）3巾。=圆）i

^7含A嚼咂篙+察ki-

（2）几何意义:复数的加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行运算.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数的加、减法的几何意义，即应=西+西，花=

OZ2-0Z].

I常用结论与易错提醒，

1.与复数有关的四个常用结论

(l)(l±i)2=±2i-=i-=-i.

i-ii+i

4rt+24

(2)旧，叫,i=-l,i^=-i(WGN*).

2

(3)z•乞=|z/=|z|,|zi-z2|=|zil-I22I，当二密，I牛W.

\^2\

(4)外或团<厂2表示以原点o为圆心，以fl和72为半径的两圆所夹的圆环;

|z-(a+M)|=r(r>0)表示以(a,%)为圆心,r为半径的圆.

2.两个易误点

(1)利用复数相等。+例=c+di列方程时，注意a,力,c,R的前提条件.

(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.

断自测

1.思考辨析(正确的打“V”，错误的打"x”)

⑴复数z=a+Z?i(a,b£R)中，虚部为历.(*)

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()

⑶复平面内原点是实轴与虚轴的交点.(V)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，乜就是复数对应的向量的模.(，)

2.(人A必修二P69例1改编)复数z=(〃P-3〃?+2)+(“P-2"?)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数”.

解析由题意可得［租:一:巾+:二^解得加二1.

km2-2mH0,

3.(人A必修二P94T1(2)改编)已知复数z=W(i为虚数单位)，则z的共轨复数为7=1+|i.

解析因为z=U=］耦=中=；一手，所以z的共飘复数为2=之+?

4.(人A必修二P73T6改编)已知i是虚数单位,若复数z=(a+l)+(3-a)i(a《R)在复平面内所对应的点位于

第一象限，则。的取值范围为3.

解析因为复数z=(a+l)+(3-a)i(a£R)在复平面内所对应的点为(a+l,3-a),且位于第一象限，所以

g+13R解得即实数a的取值范围为(-1,3).

13—a>0,

—L««««考点突破能力提升>—>——:-----------(

考点一复数的概念

【例1】(1)(2025•全国一卷)(I+5i)i的虚部为(C)

A.-lBOC.lD.6

解析因为(l+5i)i=i+5i2=-5+i,所以其虚部为1,故选C.

(2)已知复数z=M-l+(〃?+i2)i(〃PR)表示纯虚数，则人等于(B)

A.lB.-1

C.1或-1D.2

解析z=m2-l+(〃*2)i=m2-]+(〃?-1)i,若复数z表示纯虚数，贝叶—二1二，解得"尸-1.

bn-1工0,

⑶己知z=-l-i,则|z|=(C)

A.OB.lC.V2D.2

解析因为z=-1-i,则|z|=7(-l)2+(-1)2=故选C.

I思维升华〉

解决复数概念问题的常用方法

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式2=0+8i(a,8WR),则该复数的实部为4,虚部

为b.

(2)复数是实数的条件：①z=〃+/?i£Ro/?=0(a,/?£R)；②z£R<=>z=z；③zeRoz?20.

(3)复数是纯虚数的条件

①z=a+bi是纯虚数u>a=0且/?W0(c;,Z?£R);

②z是纯虚数=z+2=0(zH0)；③z是纯虚数o/vO.

(4)复数z=a+bi(ab£R)的共甄复数为5=a-加，则z•彳=|z|=|z|\即团=团=VFz.

【跟踪训练1]⑴设a£R,(a+i)(l-ai)=2,则a=(C)

A.-2B.-l

C.lD.2

解析因为(a+i)(1-疝=4-滔+1+〃=2〃+(1/2)[=2,所以一解得.故选C.

(1-az=0,

⑵己知复数z满足4z(l4-z)=15+8i,则z的实部为-(

解析设z=a+bi(a，/?eR),贝।历二a-历，

由45(1+z)=15+8i,得4(a-bi)+4(/+/)=15+8i,

由复数相等的充要条件，得

代r(父+〃)=15,解得卜=*，故z的实部为上

考点二复数的四则运算

【例2】⑴复数(3+4i)・(3-4i)=(B)

A.-25B.25

C.-5D.5

解析(3+4i)(3-4i)=9+16=25.故选B.

(2)(2026・浙江绍兴月考)若*1-i,则z=(B)

A31・3,1.

S-?BD-2+2*

「13.1.3.

解析因为三所以2==+1=君高+1=|+共故选B.

(3)若」?=l+i,则z等于(C)

Z-1

A.-1-iB.-1+i

C.l-iD.l+i

解析因为‘一=ZT+1=1+所以z=l

z-1z-1z-11

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复数代数形式运算问题的解题策略

(1)复数的乘法：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i

的看作另一类同类项，分别合并即可.

(2)复数的除法运算是分子、分母同乘分母的共舸复数，即分母买数化.

【跟踪训练2](1)(2026•安徽合肥十校联考)已知复数z=l-i(其中i为虚数单位)，则二的值为(D)

,2,4..,2,4.

A.—HrB.—I—1

5555

心24.「24.

5555

解析因为Z=l-i,所以=二用=^=片察=5一刍•故选D.

z+l1-1+12-1(2-1)(2+1)55

(2)(2026・T8联考)已知复数z满足2z+l=(3-z)i,则z・5=(C)

A.4B.2V2

C.2D.V2

解析2z+1=(3-z)i=3i-zi,则(2+i)z=3i-l,

故-31_(31)(2-i)_6i-2+3+i_17.

~2+i(2+i)(2-i)555'

故z・2=(工+2i)(工一Zi)=2+2=2.故选C

\55八55/2525

⑶己知i为虚数单位，则i+i2+i34---+i2O25=।.

解析i+F+F+i4=0,则i+i2+i3+*••+i2O25=506x0+i=i.

考点三复数的几何意义

【例31(1)已知复数Z满足z=m，则复数5在复平面内对应的点位于(D)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析依题意，二=三2」+i,所以，：l-i在复平面内对应的点(1,-1)，

(；1+£1)(：1-1).)、2

(2)已知复数z满足|z|足,则|z-2i|的取值范围为(B)

A.[0,2]

C.[2,4]

解析|z|=l表示z在复平面内对应的点是单位圆上的点，|z-2i|的几何意义是单位圆上的点和(0,2)之间的距

离，故|z-2i|的最大值为点(0,2)到圆心的距离加上半径，最小值为点(0,2)到圆心的距离减去半径，所以最大

距离为2+1=3,最小距离为2-1=1,所以|z-2i|的取值范围为[1,3].

|思维升华〉

复数几何意义的理解及应用

1.复数z、复平面上的点Z及向量次相互联系，即z=a+bi(«,Z?eR)<=>Z(«,W<=>OZ=(«,b).

2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与几何联系在一起，解题时可运用

数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

【跟踪训练3](I)在复平面内复数z二言+〃?i+〃“〃?£R,i是虚数单位)对应的点在第二象限,则(C)

1—21

A.〃?<-1或m>2B.l</?/<2

C.-1<m<2D.-2<m<1

解析+mi+m=mi+(/〃+1)i,由题意得]解得-1</〃<2.

l-2i(1-21)(1+41)：]：2，+im十JL>u,

(2)己知i是虚数单位,复数z满足|z-i|=l,则|z-V5|的最小值为(B)

A.x/3-1B.lC.V3+1D.3

解析|z-i|=l的几何意义是复数z对应的点Z到点A(0,l)的距离为1,即点Z在以点A(0,l)为圆心，1为半

径的图上,|z-百|的几何意义是点Z到点8(8,0)的距离.如图所示,|z-百|min=|O8|=|48|-1=2-1=1.

考点四复数与方程

【例4】(多选)已知在复数范围内，关于x的方程d+a+l=0(-24<2)的两根为a和Z2,则(ABC)

A.Z|=Z2B.ZI,Z2=l

C.|z4㈤D资=G)

z2\?2/

解析关于x的方程x^+tx+1=0(-2<r<2).贝UJ=/2-4<0.4一"？"。,不妨设z尸一+.z尸§-"；吃.

/.zi=z2.故A正确;

由根与系数的关系可得Z|Z2=1,故B正确;

|Z1|=|Z2|=1（一/+（=1,故C正确；

・.2z尸1,.•.幺=^=zg=（—：+yi）=二一卓],贝加包）=?+^^当/WO时，包CR,此时

立Z/z\22/22\z.2,f2222

包工（红），故D错误.

Z2\Z2/

I思维升华〉

（1）对实系数二.次方程来说，求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化，仍然适用.

（2）对复系数（至少有一个系数为虚数）方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.

【跟踪训练4]己知复数z=l-2i是方程/+办+8=0&beR）的根,则|〃+加等于（D）

A.V5B.4

C.x/21D.V29

解析由题意得,5=l+2i是方程.F+"+〃=O（a,力£R）的另一个根，由根与系数的关系得l+2i+l-2i=-

a,（l+2i）（l-2i）=/?,故«=-2,/?=1-4i2=1+4=5,故依++i|=|-2+5i|=V4+25=啰.

课时作业

［基础巩固］

一、单项选择题

1.设(l+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则(A)

A.a=l,Z?=-lB.«=l,b=\

C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1

解析因为a,b£R,(1+2i)a+b=(a+b)+2a\=2i,所以a+b=O,2a=2，解得a=1,b=-\.

2.(2025•浙江绍兴二模)上二(B)

i+i

A.l-iBi-|i

心+/D.与+净

解析＞?故选艮

3.(2025•河南郑州一模)若复数z满足(1+i)(z+i)=2,其中i为虚数单位，则z的虚部为(C)

A.-lB.lC.-2D.2

解析由(1+i)(z+i)=2,得z=W-i=其虚部为-2.故选C.

i+i(潟i”+i:)(”i-i)

4.(2025•全国二卷)已知z=l+i,则」一二(A)

z-l

A.-iBiC.-lD.l

解析因为z=l+i,所以工=丁工:===白=-i.故选A.

z-ll+l-l1I2

5.（2025•北京卷）已知复数z满足i•z+2=2i,则|z|=（B）

A.V2B.2V2C.4D.8

解析由i•z+2=2i可得,z=三卫二2+2i,所以|z|=\/22+-2>j2.故选B.

6（2026・江苏南京六校联考）复数2满足a=1+12025,则复数z在复平面内对应的点位于（B）

/十J1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析由*rl+iB^l+i?02"-i=l+i，可得=（l+i）（2+3i）=-]+5i,其在复平面内对应的点（-1,5）在第二象限

故选B.

7.已知复数z满足22+=z+i,则z等于（A）

i+i

A.-2-iB.2-i

C.-2+iD.2+i

解析依题意，设z=〃+Z?i£R）,则5=。-加，

因为盘=湍言尸⑵，所以由2"搭si.

可得2(a-b\)+2-2i=«+bi+i,

则(2c+2)-(2Z?+2)i=a+S+1)i,

即J2Q+2=a,

,-7-(2/7+2)=b+1,

解得｛，二二；'所以z=2i.

8.已知复数z满足l<|z・（l・i）|<2,则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为（C）

A.TUB.2nC.3TID.4兀

解析令z=a+历则lW|S-l）+3+l）i|W2,所以1这01）2+e+1）2・4,即对应的点Z所在区域的

面积是圆心为（1,-1）,半径分别为1,2的两个同心圆的面积差，所以所求区域的面积为4兀-兀=3应

二、多项选择题

9.（2026•辽宁沈阳质检）设方程f+x+l=0在复数范围内的两根分别为4Z2,则下列关于A,Z2的说法正确的

有（ABD）

A.Z1=Z2B.Z；—Z2=0

C.zf-z>0D.Z1Z2=1

2

解析对A,由实系数一元二次方程求根公式知Z1=[+事,Z2=-：—争，则以=（一:+当）=-

ji=Z2（与Z1,Z2顺序无关），故A正确；

对B,因为z；=z1=l,所以2；-z1=0,故B正确;

对C,由A得,—z/=Z2-Z]W。，故C错误；

对D,由根与系数的关系可得Z|Z2=1,故D正确.

10.已知Zi,Z2为复数,则下列说法正确的是(AC)

A.若2］£R,则z\=zr

B.若同=历2|,则Zi=Z2

C.若Z\=Z2,则㈤二㈤

D.若［Z］-Z2|=|Zl|,则Z|=0或Z2=2Z\

解析根据共朝复数的定义，易知选项A正确；

取Z|=l,Z2=i,满足|Z||二|Z2|,但Z1WZ2,故选项B错误；

设z\=a+b\,Z2=c+di,a,b,c,d^R,由z\=Z2,得a+bi=c+di,即a=c,lj=d,

所以a2+b2=c2+d2,即㈤二㈤,故选项C正确；

取zi=2,22=l+V3i,则zi-Z2=l-V3i,|ZI-Z2|=2=|ZI|,此时zi#0且z2H2z1,故选项D错误.故选AC.

11.下列说法正确的是(AC)

A.若z=-2+i,则z在复平面内对应的点位于第二象限

B.若z满足z・i=-l+2i,则，的虚部为1

C.若2是方程/+3=0的根,则z=±V3i

D.若z满足|z-l+2i|=2,则|z|的最大值为遥+V2

解析对于A,z=-2+i在复平面内对应的点为(-2,1),位于第二象限，故A正确；对于B,因为z・i=・l+2i,所以

2=*^=互誓=2+1则5=2-i,所以5的虚部为-1,故B错误；对于C,方程f+3=0的根为±V5i,故C正确；对

于D,设z=x+yi(x,y£R),若z满足z-1+2i|=2，即［Cv-1)+(y+2)i|=2,所以J(x—1尸+(y+21=2,即(x-

l)2+(y+2)2=4,则点(x,y)在以(1,-2)为圆心，2为半径的圆上，又点心到坐标原点的距离为，M+(_2/-瓜

所以目的最大值为石+2,故D错误.

三、填空题

12.(2026*安徽皖南八校联考)已知复数z与2互为共辅复数，则复数z的虚