广东省深圳某中学初中部2025-2026学年第一学期九年级期中考试数学试卷（答案）

2025-2026学年深圳中学初中部九上数学期中试卷解析

一、选择题（共8小题）

1.如图是一个水平放置的由圆柱体和正方体组成的几何体，它的主视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和

上面看所得到的图形.

根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可.

【详解】解：根据主视图的定义可知，此儿何体的主视图的上方是一个小矩形，下方是一个大矩形，A+

的图形符合题意，

故选：A.

2.如图，点尸是的黄金分割点，即尸点满足——=——,若4B=2,则力尸的长为（）

APAB

।।1

APB

A.V5-1B.V5+1C.V5+2D.0.618

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算.根据黄金比的值为理二五二求

AB2

解即可.

BPAP

【详解】解：•.•点尸是48的黄金分割点，即月点满足F=F

APAB

.4尸为较长线段,

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由这二星，力8=2得"=^1x2=6一1，

AB22

故选：A.

3.两个相似三角形，其面积之比为9:4,则其周长之比为（）

A.81:16B.3:2C.9:4D.不能确定

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对

应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，周长比都等于相似比；面积比等于相似比的平方.

相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比.

【详解】解：二•两个相似三角形,其面积之比为9:4,

.•.相似比〃==

V42

3

.•.周长之比为一,即3：2.

2

故选B.

4.某远光广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其

余部分种植花草.若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为3m,种植花草的区域的面积

为150m2,设水池半径为xm,可列出方程（）

A.（2x+3）2-7U2=150B.（x+6）~-nx2=150

C.（2x+3）2-2x2=150D.（2X+6）2-2TW2=150

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查列一元二次方程解图形问题应用题.设水池半径为xm,正方形的边长为（2x+6）m,根

据等量关系正方形面积-两个圆的面积=种植花草区域的面积，列出方程即可.

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【详解】解：设水池半径为*m,正方形的边长为（2x+6）m,

根据题意列出方程（2x+6）2-2/=150.

故选:D.

2

5.已知反比例函数>=-?,下列结论正确的是（）

A.当人<0时，随着x的增大而减小B.图象在第一、三象限

C.当x>-l时，y>2D.图象经过点（一1,2）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握A的符号对图象和增减性的影响是关键.

根据反比例函数性质，k=-2<0,图象在第二、四象限，且当xv0时y随x增大而增大；通过代入点坐

标验证选项.

2

【详解】解：•.•反比例函数、二一一，k=-2<0,

X

二.图象在第二、四象限，故B错误；

当x<0时，y随x的增大而增大，故A错误;

当工>一1时，y的值可能大于2或小于2,如x=1时y=-2v2,故C错误;

-2

当了二一1时,y=2,故图象经过点（一1,2）,故D正确.

故选：D.

An4

6.如图，点〃、点/在V48C的边力5上，点“在边4c上，DE//BC,且一=-,要使得E/〃CO,

DB3

还需添加一个条件，这个条件可以是（）

、EF4BD_3

C.=一D.

CD7AD4

【答案】A

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【解析】

AFAD4AFAF4DF3

【分析】根据平行线分线段成比例可得一二——二一，则可以推出当一二——=-,即——二一时,

ACAB7ADAC7AD7

EF//CD.

AD_4

【详解】W：DE//BC,

~DB~3

AEAD_AD_4_4

"7C~7B~AD+DB~4+3"7'

.•.当尊=嗡=：时，EF//CD,

ADAC7

DFAD-AF7-43

此时芸二二一二:，故A选项符合题意;

ADADr77

B,C,D选项均不能得出E/〃CQ.

故选A.

【点睛】本题考杳平行线分线段成比例.解题的关键是掌握“如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长

线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三:角形的第三边”.

7.如图，反比例函数y=图象经过力点，力Clx轴，CO=BO,若=8，则%的值为（）

X

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

设点则有0C=-凡£进而可得8。二一〃，然后根据△力C8的面积可列式子进行求解.

ka）a

【详解】解：设点由题意得：OC=-%4C=：,

.•CO=BO,

BO=-a,BC=-2a,

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・••a/CB的面积为8,

•••S“C8=、a“C=|x(_2q)x"=8,

22a

t=一8；

故选A.

8.如图，在V力8C中，/力=72。，点。为3。的中点，过点。作5c的垂线，交AB于悬E,连接CE,

CF平分N/CE,交。E的延长线于点尸，则N尸的度数为()

A31°B.54°C.41°D.36°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查中垂线的性质，等边对等角，与角平分线有关的三角形的内角和问题.

根据题意，易得。E垂直平分8。，进而推出N8=N8CE,角平分线得到N/lb二NECF,三角形的

内角和得到N4+N4CB=108。，进而得到/。。/二54。，三角形内角和求出的度数即可.

【详解】解：•.•在V44c中，4=72。，

NB+N4cB=108。，

•.•点。为8c的中点，过点。作BC的垂线，交AB于点、E,

DE垂直平分BC,

/.BE=CE,ZFDC=90°,

N8=Z.BCE,

・・・CF平分NACE,

乙4CF=Z.ECF=-^ACE,

2

•「人ACB=^ACE+乙BCE,

乙B+/ACB=/B+4ACE+/BCE=2(/BCE+Z£CF)=108°,

/BCE+/ECF=54。,即：LDCF=54°,

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...90。-54。=36。；

故选：D.

二、填空题（共5小题）

9.若x=l是一元二次方程/一3工+%=0的一个根，则％的值为

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意将x=l代入一元二次方程--3工+%=0,即可求解.

【详解】解：•「x=l是一元二次方程/一3%+4=0的一个根,

.•.12-3x1+4=0,

解得：k=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握使方程左右两边相等的未知数的值就是一元

二次方程的根是解题的关键.

10.如图，某风景区在建设规划过程中，需要测量两岸码头力、8之间的距离.设计人员在O点设桩，取。1、

。8的三等分点C、D,测得CZ）=30m,则48=______

【答案】90m##90米

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性

质.先判定出△CODSAZ。"，再根据相似二角形对应边成比例计算即可得解.

【详解】解：•点、C、。是。、的三等分点,

二.结合图形可得岩=黑4

义,：NCOD=4OB，

△COD—AAOB,

•CD_OC

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C£）=30m,

AB=3CD=90m,

故答案为：90m.

11.国学经典《声律启蒙》中有这样一段话：“斜对正，假对真，韩卢对苏雁，陆橘对庄椿”，现有四张

卡片依次写有“斜”、“正”、“假”、“真”，四个字（4张卡片除了书写汉字不同外其他完全相同），

现从四张k片中随机抽取两张，则抽到的汉字恰为相反意义的概率是_______

【答案】|

【解析】

【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上的汉字恰为相反意义的结果数,

然后根据概率公式求解.

【详解】依据题意，画树状图如下：

开蛤

Z正\Z利NZ仰NZ*N

用保・正佛・正科囊正科佛

由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的汉字恰为相反意义的有4种结果，

411

所以“抽到的汉字恰为相反意义”的概率为p=E=§,故答案为：

【点睛】本题考查了利用概率公式计算事件A或事件B的概率.利用列表法或树状图法展示所有等可能的

结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,是解题的关键.

12.如图，点。为正方形/BCQ的两条对角线力C8Q的交点.若正方形48CO的周长为8cm,则阴影部

【答案】1

【解析】

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【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质.证明△/"'/△COE,可得阴影部分的

面积等于△DOC的面积，再根据正方形的面积即可求出结果.

【详解】解：由题意可知，AO=OC,/FAO=4OCE,ZJOF=4C0E、

^AOF^COE,

可知阴影面积等于△OOC的面积，

•.•正方形ABCD的周长为8cm,

正方形ABCD的边长为2cm,

ADOC的面积为2x2-4=1卜11?),

故答案为：1.

13.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，连接。E、BD,延长CB到点F,使BF=CE,过点E作

EG1BD千点、G,连接QG.若DE=4,则bG的长为______

【答案】2五

【解析】

【分析】连接AF,AG,CG,结合正方形的性质证明ADCE口4BF可求得AF=4,证明“BGmaCBG,

可证得/G为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解.

•二四边形48。。为正方形，

LDCE=^ABC=ZABF=90°,DC=AB,4BD=/CBD=45。,

在aocE和△力4厂中，

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DC=AB

­/DCE=ZABF,

CE=BF

.•.△DCEO4BF（SAS）,

AF=DE=4,

在A/lbG和△（76G中，

AB=CB

«ZABD=/CBD,

BG=BG

.•.△44G2C8G（SAS）,

.\AG=CG,/BAG=/BCG,

：EG1BD,

:"BGE=90°,

:ZBEG=4EBG=45。、

:.乙CEG=4FBG=\35°、EG=BG,

在△CEG和AE5G中，

EG=BG

<ACEG=4FBG,

CE=FB

「.△"GHqG（SAS）,

CG=FG,MCG=4BFG、

:.AG=FG,/BAG=/BFG,

设,48与歹G交于点O,

•.ZOG=/FOB,

^AGO=ZABF=90°,

.•VZG/为等腰直角三角形，

；.FG=AG=旦AF=旦乂4=26

22

故答案为：2拒.

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【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定

理等，证明“Gb为等腰直角三角形是解题的关键.

三、解答题(共7小题)

14.用适当的方法解下列方程：

(1)(x+2)2=16；

2

(2)X-6X-7=0;

(3)2(x-3)2=X2-9.

【答案】(1)X,=2,X2=-6

(2)X)=7,X2=-1

(3)玉=3,々=9

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式

法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.

(1)用直接开平方法求解即可；

(2)用因式分解法求解即可；

(3)移项后后因式分解法求解即可.

【小问1详解】

(x+2)2=16,

x+2=±4,

解得玉=2,/=-6；

【小问2详解】

x2-6%-7=0,

(x+l)(x-7)=0,

x+1=0或工一7=0,

解得石=7,z=-1；

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【小问3详解】

2(x-3)2=X2-9,

2(x-3)2=(x-3)(x+3),

2(X-3)2-(X-3)(X+3)=0,

(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0,

(-9)=0,

x-3=0或x-9=0,

解得芭=3,^=9.

15.如图，在△4Z?C中，是边月台上的高，且虫=空,

CDBD

（1）求4月的大小；

（2）求证BC2=BD•AB

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，利用相似三角形的判定定理可得ZUOC~ACQ8,再根据相似三角形的性质

得/力=NBCD,又因N4+N4CO=90。，则N8CO+4CD=90。，即NXC8=90。；

RCAD

（2）由题（1）的结论，易证△ABC-ACBD,则上=—,即得证.

BDBC

【详解】（1）;CD是边AB上的高

:.ZCDA=/BDC=90。

i.ADCD

又•----=----

CDBD

MDC〜LCDB（两边对应成比例且其夹角相等的三角形相似）

4=Z.BCD

又72月+ZJCZ)=180°-90°=90°

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...N8c0+4CO=90。

即乙408=90。

"ACB=/CDB=9U

⑵由题⑴可知，在和ACB。中，｛zD小

[z_D=Z_/>

:.LABC〜XCBD（两角对应相等的三角形相似）

.BC4B

即BC2=BDAB.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，掌握判定定理和性质是解题关键.

16.如图，在平面直角坐标系中，V48C的顶点坐标分别为力（1,一2）、5（4,-1）,。（3,-3）,

（1）画出将V48C向上平移3个单位，再向左平移5个单位后的△4片£；

（2）以原点。为位似中心，在位似中心的同侧画出△，£G的一个位似△4名。2,使它与△4KG的相

似比为2:1；

（3）若△44G内部任意一点片的坐标为（见〃），直接写出经过（2）的变化后点々的对应点鸟的坐标（用

含阳、〃的代数式表示）.

【答案】（1）见解析；

（2）见解析；⑶（2见2冷.

【解析】

【分析】本题考查了平移作图，画位似图形，数形结合是解题的关键.

（1）利用平移的性质得出对应点坐标位置进而得出答案；

（2）画出一个以点O为位似中心的，使得与的相似比为2:1即可；

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⑶根据相似比即可求得.

【小问1详解】

解：将4（1,—2）,5（4-1）,C（3,-3）向上平移3个单位,再向左平移5个单位后的得到4（T1），

4T2）,G（—2,0）,依次连接4，（，G，则△44G为所求三角形，如图:

解：连接并延长至4，使=2。4,连接OB\并延长至，使2。4,连接oq并延长至c,

B2OB?=2

使。G=2oq,依次连接4,星,G,则△4与。2为所求角形，如图：

解:由题意可知△4JC2s且相似比为2:1,

.•.当点片的坐标为（，％〃）时，对应点£的坐标为:（2〃7,2〃）.

17.如图，在平面直角坐标系中，直线y=1x+2与N轴交于点力，与反比例函数y=4（x>0）的图象相

JX

交于点3（6,次），点C在x轴上,且

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,

(1)求加的值及反比例函数的表达式;

(2)求直线4c的表达式.

24

【答案】(1)4；y=—

x

(2)y=-x+2

【解析】

【分析】此题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质，一次函数的性

质，解题的关键是熟练掌握反比例函数以及相似三角形的有关性质.

(1)将点8代入直线y='x+2,求得〃?，然后将点8代人y二人，求得h即可求解；

3x

(2)过点8作8。ix轴，根据“OG-CO8得到券=告，求得0C,得点C的坐标为(2,0),设

直线/C的表达式为y=+即可求解.

【小问1详解】

解：，点8(6,在直线y=++2上,

1，、，

w=—x6+2=4,

3

.♦.8(6,4),

把8点的坐标代入j；=—(x>0)#,

X

.」=24,

24

.•.反比例函数的表达式为y=—.

X

【小问2详解】

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解：如图，过点8作1X轴,

VAC1BC,

乙4co+/BCD=90。,

・/40C=N80C=90。，

ZCAO+ZACO=90°,

/.KAO=/BCD,

AAOC'CDB.

AO_PC

"~CD~~DB'

2PC

.・•6-OC~~T'

解得：0C=2或0C=4,

vAC<BC,

0C=2,

.♦.点C的坐标为（2,0）,

•.•直线y=：x+2与y轴交于点,4,

.•.点4的坐标为（0,2）,

设直线AC的表达式为y=ax+b.

b=2

根据题意，得

2a+b=0'

a=-\

解得

h=2

二.直线4C的表达式为y=~x+2.

18.为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实

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施方案》，于是远光中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动.学校为了解学生

周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的

图表：

类别4类B类C类。类

阅读时长/(小

0</<11s/<22</<3r>3

时)

频数12nin6

请根据图表中提供的信息解答下面的问题:

⑴此次调查共抽取了名学生，机=________〃二

⑵扇形统计图中，〃类所对应的扇形的圆心角是______度;

(3)已知在。类的学生有4名初三学生，其中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享

活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

【答案】(1)60,27,15

2

(2)162(3)-

3

【解析】

【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出〃，再从中选出符合

事件月或8的结果数口然后利用概率公式求出事件力或笈的概率.也考查了统计图和统计表.

(1)根据力类学生的人数及占比可求得抽取的学生人数，继而求得m、〃的值；

(2)用360。乘8类人数的占比即可求解；

(3)列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解.

【小问1详解】

此次调查共抽取的学生人数为：12-20%=60(名)

w=60x25%=15,

^=60-12-15-6=27,

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故答案为:60,27,15；

【小问2详解】

27

扇形统计图中，8类所对应的扇形的圆心角是360。、——二162。

60

故答案为：162；

【小问3详解】

画树状图如下：

开始

男男女女

ZKxTx/T\

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，

.•・恰好抽到一名男生和一名女生的概率为^=|

19.某远光商场一种商品的进价为每件60元，售价为每件80元,每天可以销售48件，为尽快减少库存，

商场决定降价促销.

(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件64.8元，求两次下降的百分率；

(2)经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售8件，那么每天要想获得1020元的利润，每件应降价

多少元？

【答案】⑴10%

(2)5元

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键；

(1)设每次降价的百分率为乂根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件64.8元，列一元二

次方程，求解即可；

(2)设每件商品应降价m元，根据每天要想获得1020元的利涧，列一元二次方程，求解即可.

【小问1详解】

设每次降价的百分率为x,

根据题意,得80(1-才=64.8,

解得须=0.1=10%,々=19=190%(不合题意，舍去)，

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答：该商品连续两次下降的百分率为10%；

【小问2详解】

设每件商品应降价〃，元，根据题意，得(80-60-〃7)(48+与)=1020,

解得〃?=5或〃？=3,

・「为尽快减少库存，

/.m=5,

答：每件商品应降价5元.

20.如图，在等腰直角三角形力8。中，4=90。，BC=4,=点〃是48的中点，点。和

点.V分别是线段AC和BC上的动点.

⑴当点。和点N分别是NC和8c的中点时，求a的值；

(2)当。=加时，以点C,D,N为顶点的三角形与相似，求4N的值;

(3)当4=应时,求"N+NZ)的最小值.

【答案】(1)a=—

2

(2)BN=3-亚

(3)Vio

【解析】

【分析】(1)勾股定理求出力8,4。的长，中点求出4。的长，3N的长，根据4O=a8N,求出。的值

即可;

(2)设,BN=x,得到/O=0x，CN=BC-BN=4-x,进而得到CO=4C-40=2及一,

分《DNiBMN和ACNDSABMN两种情况进行讨论，列比比例式进行求解即可；

(3)作OEIIBC,A