高考数学：数列不等式的证明 （附解析）

数列不等式的证明

视角11放缩后裂项

例1已知数列｛5｝中，m=l,其前"项和为S”，且当〃22时，满足〃“=

S与

s,-r

1

（1）求证：数列是等差数列；

c21।

【解答】当〃22时，S“一S“—[=《、，即S〃—i—S〃=S〃Si,即三一「=

3”一1ondn-1

1,从而｛t｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

7

（2）求证：S?+S34------FS%V不

【解答】由（1）可知，丁=针+（〃-1）X1=〃，所以Sn=二.

on31H

方法一：当心2讯V所以W+S5H------FS?

<1+2（1-3）+2（2-4）+

77

当

又-7

-〃-

中4故S?+S?H------FSn<T.

方法二当心2时，^=^<-3-=---,那么心3时，W+&+…+

577

当〃=2时，S?+W=z<q,满足题意，故W+必T----

・总结提燎》

常见的放缩后裂项处理的形式：

1]1]J___4_4（I1

⑴序<（〃_]）〃（心2）,“2—4〃2V4层—1-2（2〃—12〃+1

⑵]+g（〃72），5＞电+5+1

12/,-1II

（3）^T7[VQ〃-1_]）（2〃_1）=2”丁一]一^T7[522）.放缩过程中常需保留第

一项或前几项不放缩来调节使得结果符合题设数值要求.

变式1已知函数段)=喋-2r,数列｛z｝的前〃项和为S“，点尸〃(〃，品)均

在函数y=/U)的图象上，若〃”=/m〃+3).

(1)当心2时，试比较小+1与2儿的大小;

【解答】由兀t)=f-2丫，知Sa=/—2/?.当〃22时，an=Sn—Sn-\=2n—

3；当〃=1时，ai=Si=-1适合上式，因此a〃=2〃-3(〃£N"),从而仇=〃，bn

+i=〃+l,2%=2〃.当〃22时，2〃=(1+1)"=CS!+C+…+©>〃+1,故为+1V

2hfl.

(2)记c〃=、y^(〃£N*),证明：ci+ciH----FC4OO<39.

I~Tii97

【解答】由⑴知。尸赤,°=1,赤=布乐<方布=2(5

一业L1)(〃WN",〃22),所以C1+C2+…+c4oo<1+2(^^—1)+2(小一…

+2(^400-^399)=2-^400-1=39.

视角旧放缩成等比

例2已知数列｛〃〃｝满足41=；,且4”，+1,2“3+1成等差数列.

(1)证明数列：5一”是等比数列，并求｛服｝的通项公式；

3

解

由-

2

\2anan+\成等差数列，得3。〃+1=小+2小。〃+】•因为。i

—7>可得所以两边同时除以得—~—2,上式可化为一1—

4。”+1anCln+1

3?一1),所以数列JJ—1]是以!-1=3为首项，3为公比的等比数列，所以5

\ClnJ[u/iCl\dn

-1=3X3"i=3",即。〃=3〃+],

(2)记｛〃“｝的前〃项和为S”,求证：卷.

【解答】因为]V记所以〃22时，S〃=ai+〃2+a3H------\~cin<a\

DI1J

_1_

卜孕+率T

*海+9,11223"、12

1-3

=1时，Si=|<^,故S〃v卷.1_1

因为Un—>——---所以5〃

3〃+1=3><31+14X3"f

=41+磁+。3+…+。〃

WS〃vR.

IL

<总结提炼A

若A>(),B>(),()VqiV0,m>(),常见放缩成等比数列模型：⑴为=Aq,+m

V册(2)z=即—⑼=的｛1一/削〉(T•驰我

变式2(2025•宜昌模拟)已知数列｛〃“｝的前〃项和为S”,且满足m=l,3S〃

=(〃+2)a”.

(1)求｛。〃｝的通项公式；

【解答】由3s〃=(〃+2%〃，当〃22时，3sl=5+1)-,所以两式相减

得3。〃=(〃+2)。〃一整理得=7.当〃22时，a.n=ci\X—X~

67/1-1n-1a\。2

34

Un-Ian-X-n〃+l/i(n+1).]ar।上

X…X——X——=112…义口乂^^二一^"'又n=l也满足上式,

〃〃一2Cln-1

所以。尸吟D.

⑵求证：i+z+晟+…+zv?

【解答】因为£=2〃(2：+1)=2“T(：〃+1)<F^1=221-1'所以

__」"|一哥L」0__L]d

侬与+区+32+,+22,,_,-3+,1-3+6l4T<?+%一，

1-4

而一+一+—!----F―<z.

42(1448Cl2n2

视ffi©函数型放缩

3

-7£N*

例3-1已知数列他〃｝满足山

2J

(1)若数列｛瓦｝满足瓦=。〃-5,证明:数列｛瓦｝是等比数列；

【解答】(1)由题可知z+i—；=3(。〃一从而有儿+1=3瓦，b\=

6/i-1=1,所以｛仇｝是以1为首项，3为公比的等比数列.

(2)若数列｛C〃｝满足Cn=10g3〃〃，Tn=C\-\-C2-\------Fc〃，求证：

【解答】由(1)知瓦=3〃I从而〃〃=3〃1+；,c〃=log3(3"-i+；).设D

为数列｛d“｝的前〃项和Q〃，欲证明〉"、,,只需证当〃=1时，C1=

3.।、।—1)(〃—1)(〃—2)

Iog3],4=0,则。1>力；当“22时，d〃=Q〃­0〃1=-2----2----=n

—1,因为log3(3"i+g)>log33"r=〃-1,所以c〃>d〃，所以A?〉"“；”•

例3—2设函数人口二,一r—Inr.

(1)求yw的极值;

【解答】九丫)的定义域是(0,+8),/(x)=2r—]_：=(_+1).令fw

>0,得x>l,令，(工)<0,得OVxVl,所以火外在(0,1)上单调递减，在(1,+

8)上单调递增，所以4%)攸小值=火1)=(),无极大值.

(2)若〃WN*,求证：■+参H-----卜.，)2Vln(〃+1).

【解答】由(1)知#X)=『一X—Inx在(0,1)上单调递减，所以x£(O,D时，/

—x—lnx>/(l)=O,所以x2—x>lnx.令1=帚7[,得/一]=一鬲7/，所以一

nn〃+1m〃+1〃1324

海亍>心干=一皿丁，即1。丁>阳亍，所以巾2>吩，ln2>?,

72,…，InJ—>:2,累加得ln2+ln]+ln]H----------------------------------------F

II<-If/I]I乙J，I乙JI

77123n

丘正，所以ln(〃+l)>^+审+Q+…+而#,即得证.

配套精练

1.已知数列伍〃｝的前〃项和为S”，且S〃=%a〃+4“-1.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

【解答】当〃=1时，Si=/n+m—1,即0=2.当〃22时，S〃=$4“+〃〃

-1①，Su-i=g(〃—11+。〃一1一1②，①一②得=nan—(n-])an-1+2。”-2cin

-1,即〃CE=(〃+l)C-所以由=答，且?=1,所以数列备受常数列,

7?I1〃4I“।1

且^y=l,即Z=〃+1(〃WN*).

213

(2)若数列J益］的前〃项和为7〃，求证：Tn<&

222II

【解答】由(1)得小=〃+1,所以涕=两］<而力=［一扃工，所以北

-I1J1.11.

<1二+5-/厂M+…

2.已知数列｛〃〃｝的前〃项和为S,”且*=2〃〃-1.

(1)求｛〃〃｝的通项公式;

【解答】由S〃=为〃-1,当〃=1时，Si=2ai-l,则小=1WO.当〃22时，

-

Sn-1=2alt-1—1,两式相减得Sn—Sn-1—2an—1—(2an-i1),即a”=2a〃_i(〃22).因

此数列｛小｝是以1为首项，2为公比的等比数列，所以⑶=2"-i.

(2)求证：9+上+上H----F4-<2.

7S\SiS3Sn

1—2〃|

【解答】由(1)知S尸丁3=2〃-1.当〃=1时，¥'=1V2；当〃22时，2”

»,所以S―小>。,所以？身册,所以当后2

综上，卷

时，5+瓦+前

31

+而+而+…+而<2・

,4

3.在数列｛〃〃｝中，己知2a〃=a〃+i+a〃a〃+i,〃i=亍

(1)求数列｛〃“｝的通项公式;

【解答】由2。“一叶硕〃+1可得以wo,则£=卜5+今即£T=

给■-1),故|十一“是以!-1=一1为首项，：为公比的等比数列，则—-1=一］

ZXUnJClnCl\4ZCln

X1__1讣112…

入2〃一1-2n+,,或[2n+i，2n+1—

4

-

(2)若儿=届一新,S〃为数列｛儿｝的前〃项和，证明:9

2"十।

【解答】由(1)知/?〃=晶一Chi—Cln(_Cln-1)—/”：+1]\5,易得仇>0,故Si25l

_4_72〃+】2〃+】_______________22__________1

=力i=§.又'=(2,+1—1)2V(2"+]—1)(2〃+1—2)=(2〃_1)(2二]—1)=2〃—]—

—2+2—3

2n1—]»故Sn=bi-\-b2-\-----t-^<2iL]2—|2—12—1-------^万匕"一

114

T-H—=1--q—<1.综上有dWS“Vl,得证.

2—12—Iy

4.己知数列｛小｝满足ai=2,a”+i=2a〃+2〃"，

(1)证明管是等差数列，并求｛〃〃｝的通项公式；

F1名〃MYB工""+12。〃+2"1Cln(In.Cln匕匚曰斗后4⑶

【解答】因为产一环=――[-―M=K+1—五=1,所以是首项为”"

=1,公差为1的等差数列，所以羽=1+〃-1=小所以〃〃=〃・2".

(2)求数列｛m｝的前〃项和S”；

【解答】因为S«=1X2,+2X22+3X23+-+/Z•2\所以25«=1X22+

2X23+3X24+—+n•2w+I,两式相减得一5〃=21+22+23+…+2”一〃・2n+1=

2(1-2,,)_

n2w+1=(l-n)2n+l-2,所以&=(〃-1)21rH+2.

1-2

⑶求证：占+£+£+…+—V

n+1

【解答】因为・2",所以aw+i=(n+l)•2,所以m+i—〃“=(〃+

1_1

2)・2〃，当〃WN*时，n+2>2所以(〃+2)・2〃>2〃+】，所以

9an^\—Qn(〃+2)•2〃

<当，所以占+£+力+…+—0+抖抖一+*=

臀当@吗

1-2

5.已知公差不为()的等差数列｛〃〃｝满足0=1且。2,6/5,M4成等比数列.

(D求数列｛〃”｝的通项公式和前〃项和5；

【解答】设数列仅〃｝的公差为乩因为。2,675,04成等比数列，所以质=

。204,即(l+4d)2=(l+J)(l+13d),得3屋—64=0,又dWO,所以d=2.故

(1+2/?-1)n°*

=1+2(〃-l)=2n-l,Sn=-------z--=n2(neN).

(2