人教版高中数学必修2考点训练：直线与直线、直线与平面平行（解析版）

8.5.1&8.5.2直线与直线、直线与平面平行

【考点梳理】

＞考点一：等角定理

＞考点二：判断线面平行

＞考点三：直线与平面平行的性质判断线段比例或点所在位置

＞考点四：证明线面平行

＞考点五：直线与平面平行的性质定理的应用

＞考点六：直线和平面的位置关系综合问题

【考点梳理】

知识点一：基本事实4

文字语言平行于同一条直线的两条直线壬行

------a

图形语言------b

------C

符号语言直线”，b,c,a//b,b//c=＞a//_c

作用证明两条直线平行

说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性

知识点二空间等角定理

文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

OA//OrAf,OH//O'今NA。吐NA'O'B'或NA04+

符号语言

NA'O'=180°

“X—A'

0'^--------*B'

图形语言

///B

0-^------A。4------A

作用判断或证明两个角相等或互补

推广：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

知识点三直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直.线与此平面内一条百•线平行,那

文字语言

么该直线与此平面平行

a^a,

符号语言bUa,>=>a//a

a//b.

--a

图形语言口

知识点四直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面壬红，如果过该直线的平面与此

文字语言

平面相交，那么该直线与交线平行

符号语言a//a,〃u£,aCB=bOa〃b

图形语言

九b/

【题型归纳】

题型一：等角定理

1.（20-21高一•全国）如图，三楂柱A8C—A4G中，M,N,P分别为AA，，CG的中点.求证：乙MC、N=4APB.

【答案】证明见解析

【分析】通过平行以及长度关系证明GN//8P,QM//AP,然后根据等角定理证明NMGN=/4P8.

【详解】证明：因为N,尸分别是CG的中点，所以用V//GP,KN=C/,

所以四边形3PGN为平行四边形，所以GN//8P.

同理可证GM//A尸，

又/MGN与/AM方向相同，所以NMGN=NAP4.

2.（24-25高一下.全国•课后作业）若408=幺。4,且。4〃。同,0A与OA方向相同，则下列结论正确的是（）

A.。"〃。倒且方向相同B.OB//O^,方向可能不同

C.OB与。由不平行D.OB与。区不一定平行

【答案】D

【分析】依题意画出图形，即可判断.

【详解】如图，

B

O

NAOB=NA°SOAHO\A\,0A与O|A|的方向相同,

但是08与。力不平行,

如图，N4OB=NAQ与，Q/V/Q|A，。4与O|A|的方向相同,

此时OB//Q片且方向相同,

故04与不一定平行，故D正确.

故选：D

3.（24-25高一下•全国•课后作业）在梯形48co中，AB//CD,£,尸分别为BC和AD的中点，DN//BC,DN与

所相交于M.将平面OCE/沿E尸翻折起来，使C。到C'。’的位置，G,”分别为和8c'的中点，求证：

⑴四边形EFGH为平行四边形；

（2）NC'EB=N〃MN.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）根据梯形中位线的性质得到G"〃痔且G"=M,即可证明：

（2）依题意折叠前ZW〃CE,MNHEB,即可得到折叠后O'M//C'E,MNI/EB,根据空间等角定理即可证明.

【详解】（1）因为在梯形A8CO中，ABHCD,E,尸分别为8C,4。的中点，

所以所〃4月且石尸=：（人4+。。），

又CDUEF,EF//AB,所以

因为G,〃分别为49，BC的中点,

所以GH//ABnGH=g（A3+C。）=^（AI3+CD）,

所以GH//EF且GH=EF,所以四边形EEG”为平行四边形.

（2）折叠前ON如C,旦DM//CE,MNHEB,

折登后DM〃C'E,MN//EB,

所以NC仍与NZ7MV的对应边平行且方向相同,

所以NCEB=ND'MN.

题型二：判断线面平行

4.（24-25高一下•全国）在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点，则在这

四个正方体中，直线A8与平面MNQ不平行的是（）

【答案】A

【分析】根据线线平行证明线面平行.

如图所示，由中位线性质可知A8//O。，且OQ平面MNQ=Q,则A8与平面MNQ不平行，A选项满足题意:

B选项：由正方体结构特征，易得A8//MQ,结合线面平行的判定定理，知B不满足题意:

C选项.由正方体结构特征，易得A3//MQ,结合线面平行的判定定理，知C不满足题意;

D选项，由正方体结构特征，易得A&/NQ,结合线面平行的判定定理，知D不满足题意,

故选：A.

5.（2023高一•全国•专题练习）如图，点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满

足直线/WN〃平面A4C的是（）

【分析】对于A,根据MN//AC结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据MN//8E结合线面平行的判断定

理即可判断；对于C,根据MN//8O,结合线面平行的判断定理即可判断；对于D,根据四边形AMN8是等腰梯

形，AB与所在的直线相交，即可判断.

则MN//AC,

又MN（Z平面ABC,ACu平面ABC,

则MN//平面A6C,故A满足；

对于B.如下图所示，

易得A”=bC,AE"BC、

则四边形A8CE为平行四边形，

A〃,C,£四点共面，

乂易知MN//BE,

又MNa平面4AC,u平面A8C,

则MN//平面八3C,故B满足；

对于C,如下图所示，

点。为所在棱的中点，连接。

易得四边形ABCO为平行四边形，A及C,。四点共面,

且MN；/BD,

又MNS平面48C,皿）u平面ABC,

则MN//平面A8C,故C满足；

时于D,连接AM,4N,

由条件及正方体的性质可知四边形AMN8是等腰梯形，

所以A8与MN所在的直线相交，

故不能推出MN与平面ABC不平行，故D不满足，

故选：D.

6.（22-23高一下•浙江温州•期末）下列正方体中，人，8为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点,

则能满足ABU平面MNP的是（）

【答案】C

【分析】由A8与平面MNP相交，判断A；结合E不在平面NGRV*”判断B：由线面平行的判定判

断C；由中位线定理判断D.

【详解】对于A：连接MRNC,由图可知，AB与平面MNP相交，故不满足A8〃平面MNP,故A错误；

对于B：如图所示，上分别是所在棱的中点，连接NH,NG,GF,卜M,EM

则平面MNP和平面NGEW7/为同一平面，因为

因为E"与平面NGRWP”相交，所以不满足A8//平面MNP,故B错误；

对于C：连接AO,交MN与点。，连接P。，因为。，尸分别为498。中点,

所以~。//人8,由线面平行的判定定理可知，AB"平面MNP,故C正确；

对于D：DEE分别是所在棱的中点，连接DN、NF、FM,ME,PE,DP,AC,

平面DNFMEP与平面MNP为同一平面，

取AC的中点为。，连接M0,由中位线定理可知，AB//MO,

因为与平面MNQ相交，所以不满足/W"平面MNQ,故D错误；

故选：C

题型三：直线与平面平行的性质判断线段比例或点所在位置

7.（23-24高一下.江苏扬州.阶段练习）在四棱锥P-人BCD中，底面A8C。为平行四边形，E为线段A。上靠近A

的三等分点，尸为线段PC上一点，当尸A〃平面/时,

A.3B.4C-gD-i

【答案】D

【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可.

【详解】

AB

如图，连接AC交BE于点G,连接房

因为尸4//平面BEF,PAu平面PAC,平面P4Cc平面BEF=FG郎以PA//FG,

ppAr:

所以3=罢，因为4O//AC,石为40的三等分点,

PCAC

lhlAGAE1AG1HIIPF1

GC8c3AC4PC4

故选：D.

8.（20-21高一下•江苏无锡・期中）如图，在三棱锥P-A8C中，点D,E分别为楂P8,8c的中点.若点尸在线段

则真的值为（）

A.1B.2c"D-I

【答案】C

【分析】连接CQ，交PE干点G,连接〃G,由线面平行性质证明4/）〃产G,再利用重心性质求解即可.

【详解】如图，连接C。，交PE于点、G,连接R7,

因为4）〃平面"ERAOu平面AQC,平面4QC平面q所以AO〃AG,

因为点。，E分别为棱PB,AC的中点，所以G是的重心，所以会=尝=〈.

ACGG2

故选：C.

9.（2223高一下•河南洛阳♦期中）如图，已知圆锥的顶点为S,A8为底面圆的直径，点M,C为底面圆周上的点,

并将弧A8三等分，过AC作平面。，使SB〃a,设。与SM交于点N,则项y的值为（）

SM

【答案】C

【分析】连接交AC于点。，连接NDM4,NC,根据线面平行得性质证明SS〃Z）N,再根据MC7/A6可得

嗡为进而可得出答,

【详解】连接研交AC于点。，连接ND,NA,NC,则平面24c即为平面。，

因为SB〃a,平面SM8ca=ON,SBu平面SMB,

所以S5//DV,

因为AB为底面圆的直径，点M,。将弧A8三等分,

所以48M=N8MC=NM8C=N8AC=30MC=BC^AB.

所以MC7/4B且MC=gAB,

DMMC_\

所以~DB

又—所嗒焉K

的卜】SN2

所以旃=3

s

故选：c.

【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到£=黑是解决本题得关键.

3/ViJn

题型四：证明线面平行

10.（24-25高一下•全国•单元测试）在多面体A88M中，点O是矩形的对角线的交点，枝EF//BC旦

EF=^BC.求证：尸0〃平面COE.

【答案】证明见解析

【分析】取C。中点M,连接OM,EM,利用平行四边形的判定与性质得/O//EM,然后利用线面平行的判定定

理证明即可.

【详解】如图所示，取C。中点M,连接OM,EM,

在矩形48c0中，OM〃8。且

又EF//BC且EF.BC,则"'〃。例且.

所以四边形EFOM为平行四边形，所以FO//EM.

又因为尸O仁平面COE,EMu平面CDE,所以广0〃平面CDE.

H.（24-25高一下•全国•课堂例题）如图所示，已知。是，/WC。所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的中点，平

面PBCpI平面E4O=/,则：

（1）/与8C是否平行？说明理由；

（2）MN与平面PA。是否平行？试证明你的结论.

【答案】（1）平行，理由见解析

（2）平行，证明见解析

【分析】（1）根据线面平行的性质即可求证，

（2）根据线面平行的判定即可求证.

【详解】（1）平行，理由如下：

因为四边形A3C。为平行四边形，所以5C//A。，

又定平面PAD,AOu平面P4。，所以8c〃平面PAD.

又平面P8CCI平面A4£）=/,BCu平面PBC,所以BC川.

（2）平行.证明如下：如图所示，

取PO的中点E,连接AENK,

故NE/1DC,NE=>DC,又AM//DC、AM=-DC

22

所以NE//AM且NE=AM.

所以四边形AMNE是平行四边形，所以MN//AE.

又AEu平面P/W,"7/平面公。，

所以MV〃平面％。.

12.（24-25高二上•北京•期中）如图，三棱柱44C—A4G中，D,E分别为8C,的中点.

⑴求证：A。//平面

(2)若点尸在线段上，且。尸〃平面4CGA，求证：点r为片£中点.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)取Bq的中点，构造平行四边形AEMZ),可得ME//DA,根据判定定理即可得证；

(2)分别取Aa4G的中点Q,P,S,构造过点。且与平面ACG4平行的平面只SDQ,可得PQc4E=尸，即

可得证.

【详解】(1)

证明：取8G的中点，连接£河,。河,.4。，在三棱柱ABC-AAG中，

因为分别为8G,8。的中点，则。M//CC-且。M=gcC，E为AA的中点,

则CCJ/4A，且AEug/LA,,则AE//OM且

则四边形AEMD为平行四边形，则ME7/D4,

又EMu平面B&E,ADa平面8GE,则A。//平面8C£.

(2)

证明：分别取心G的中点Q,P,S,连接。S,SP,PQ,8,

设用EcPQ=F,则。Q//4C,DQ=-AC,且PS//AC，PS=^,C,,

22

则PSHDQ,则DS,P,Q四点共面，

因为SD//CG，又SO（Z平面ACGA，CG<Z平面ACGA

则SD〃平面4CGA，又DQI/AC,OQu平面ACGA，4c①平面ACQA，

则QO//平面4CGA,又QDCSD=D,

则平面PSOQ//平面ACCA,又QPu平面ACGA,

则OF"平面WCC|A，又平面PSQOc平面=PQ,

平面ACGAH平面"4A=A4，则PQ//AA，

又，为A片的中点，则/为4七的中点.

题型五：直线与平面平行的性质定理的应用

13.（23-24高一下•吉林•期中）如图，在四棱锥P-A8CZ）中，底面A3CO是正方形，点/在棱出上（不与端点重

合），E,尸分别是尸。，AC的中点.

（1）证明：律〃平面心C.

⑵若平面尸A8C平面比7=/,证明：EF//1.

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析

【分析】U）利用中位线定埋及线面平行的判定定埋即可证明；

（2）由（1）得所〃平面PBC,由线面平行的性质定理即可证明.

【详解】⑴连接8。，

因为底面A8CD是正方形，所以厂是的中点，

又因为七是P。的中点，所以所是△尸8。的中位线,

所以EF//PB,

因为砂仪平面P4C,P4u平面P3C,

所以即//平面尸8。

（2）;E,尸分别是叨,8。的中点，

;.EF/：PB,

・・・EE<z平面PBu平面R4B,

.•.47;平面八旬，

若平面以8c平面£77=/,

又EFu平面EF7,

所以历/〃.

14.（23-24高一下•新疆省直辖县级单位•阶段练习）如图，在正方体ABCO-AeGR中，AB=2,尸为A。的中点,

点E为CD的动点.若"〃平面相C,求线段EF的长度.

【答案】V2

【分析】根据线面平行得出线线平行，再结合中点得出线段长度即可.

【详解】因为石尸〃平面A8C,

叮u平面A8C7）,平面/WCOc平面=AC,

月〒以律/A4C,

又因为“为A。的中点，所以七是CO的中点，

\EF\=^\AC\=->/AB2+BC2=-x2x/2=x/2.

22

15.（23-24高一下.广东深圳.阶段练习）如图，已知四棱锥S-人8c。中，底面A8C。是平行四边彩,

⑴若E为侧棱S0的中点.求证：SA,"平面

⑵若过A8,E的平面与SO交于点尸，求证：EF//DC；

【答案】（1）证明见解析

⑵证明见解析•

【分析】（1）根据三角形中位线可得SA//EO,即可由线面平行的判定求解,

（2）根据线面平行的性质即可求证.

【详解】（1）设人。口8。=。，连接AC,0E,因为ABC。是平行四边形，故AO=OC,

又E为侧楂5r的中点，故SA//EO

又SA«平面以M,EOu平面££）/3,

故SA/：平面£。4；

（2）由于C/）〃A4,C。仁平面AfiE,A8u平面ABE,

故。C//平面A3E.

又COu平面SC£）,平面SC£）c平面=

枚CDUEF

题型六：直线和平面的位置关系综合问题

16.（23-24高一下•福建宁德）如图所示正四棱锥S-AACO,SA=SB=SC=SD=2,AB=6,P为侧棱SO上的

点，且SP=3PO,求：

s

(1)设平面SABc平面SC£)=/,求证：AB//I；

(2)求三楂锥P-ACD的表面枳.

【答案】(1)证明见解析

⑵26+5/7+4

4

【分析】(1)由题意可得48〃C。，从而得48〃平面SC。，再由线面平行的性质定理证明即可;

(2)连接8。交AC于。，连接POSO,求得OP=走，CP=且，再根据5=54"+5八°+25,

求解即可.

22

【详解】(1)证明：由题意可得A8〃CQ,

因为平面S8,C£)u平面SCO,

所以AB〃平面SCO,AAu平面SAB,

又因为平面5；48c平面SCD=l,

所以4B〃/；

(2)解：因为必=S8=SC=S£>=2,AB=®,SP=3PD,

所以4c=4。=2,PD=；,ASH。为正三角形，

连接8,文AC于O,连接尸SO,

则。为AC、BD中点,

因为/IC_LBD,AC工SO、BDcSO=O,

所以ACJ_平面S/3O,POu平面SBD,所以4C_LPO,AP=PC,

从而有r.AP。=CPD(SSS),

3

在△OPO中，由余弦定理可得OP-=0D2+DP2-2OD•DP-COSNODP=

4

所以0P=3,

2

在直角三角形中CPO中，CP=yJoC2+OP2=—,

所以。尸+"。2=2=67)2,

所以△C。。为直角三角形，ZCP/）=p

又sAa>=g，AC0P=4,SDcp=；CPPD=q,StACf）=-ADCD=l,

ZZZJS/

所以三棱锥P-ACD的表面积S=SACP+S+2s=2、+J+4

ACD

17.（23-24高一下•四川绵阳•期末）如图，直三棱柱ABC-A8G的侧面积为72+36应，底面V48C为等腰直角三

角形，AB=AC,AA=6,M,N分别是A8和4G的中点.

G

（I）求证：MN//平面A8C；

⑵取人画的中点E,连接随与4M交于点。，求异面直线。q与人田所成角的余弦值.

【答案】⑴证明见解析

⑵*

【分析】（1）连接AC.先证明四边形AAG。是矩形.再借助中位线证明MN//BC,运用线面平行定理证明即可.

（2）连接4。并延长与3修交于的中点，记为点F,过。作交A4于点〃.则，为AM的三等分

点（靠近A点），连接G”，则NC。”或其补角为异面直线0G与A8所成角，设A8=x,根据直三棱柱4BC-A&G

的侧面积为72+36及，解得AB=6,再分别求出A。，。&，G”，OH,在△G。”中用余弦定理求出cos/CQ”

即可.

【详解】（1）证明：连接AC.

在直三棱柱ABC-中，AA//CG，且AA=CG，

••・四边形AAGC是矩形.

QN是4G的中点，

・••4C过点N且平分AC.

••在,A8C中，M是A乃的中点,

是qABC的中位线,

:.MNUBC,又M/Va平面ABC,BCu平面ABC,

「.MN〃平面ABC.

（2）•,点£M分别是A瓦和AB的中点,

二.BE与4M的交点。为避的重心.

连接A。并延长与8片交于/34的中点，记为点£

过0作。”/46,交A4于点从

为的三等分点（靠近A点）.

连接则/G。”或其补角为异面直线OG与所成角.

设A4=x,则直三棱柱A8C-4片G的侧面积为6（2x+岳）=72+36&,解得"=1=6.

1.1直三棱柱A8C-A且G的底面VA3C为直角三角形，AB=AC,

AA11AG,AG-LA^i-

•・伙A=A且都在面AAB用内,

.・•4。1，平面4人84，AOu面AABBI，

A£1A0.

又AOMgAFuiJA哥+男/2=_^62+32=26,

OC,二J/Cj+W=5+(2可=2^/14.

乂C1“=JAC：+A”2=用+22=2函,OH=-AtM=2^/2.

OH2+OC^-QH28+56-403s

在△G。”中,cosZCOH=

}20Hoe12x2夜x2«-14

18.（23-24高一下.海南海口.期中）如图，在四棱锥P-ABCO中，底面48co为正方形，点E,尸分别为A。，PC

的中点，设平面PC。。平面尸既=/.

(2)证明：DFIh

AN

(3)在棱48上是否存在点N,使得EN〃平面FBD?若存在,求出)的值；若不存在，说明理臼.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析•

(3)1

【分析】

(1)取P8的中点Q,连接QF,EQ,由题意可证得四边形为平行四边形，可证得进而可证

得结论；

(2)由(1)及线面平行的性质定理，可证得结论；

(3)取A/3的中点M由中位线论性质可得EN//8D,再由线面平行的判断定理可得硒//平面。8F,并可得

AN,

---=1.

NB

【详解】(1)

取尸B的中点Q,连接QEEQ,

因为点石，尸分别为A。，PC的中点，

由题意可证得且。产=；4C=Q£,BC//DE,

所以QE//DE,且QE=DE,

所以四功形。EQF为平行四功形，所以。///。£,

而平面P3£,QEu平面P3E,

所以。尸〃平面PBE.

(2)

设平面PCD平面PBE=I，

由（1）可得。平面P跳:，力？二平面PC。,

所以。尸〃/.

在棱4/3上存在点N为A8的中点，连接£MBD,

因为石为人。的中点，所以EN//BD,E7VO平面厂B。，BOu平面尸40,

所以EN//平面尸8。,

AN,

此时——=1.

NB

【双基达标】

一、单选题

1.（24-25高一下•全国）若AB〃A'用，BC//RC,且ZABC=45。，则ZA6C等于（）

A.45°B.135°C.45。或135。D.不能确定

【答案】C

【分析】根据空间等角定理判断即可.

［详解】因为AH//49,BC//FC,且Z4BC=45°,

所以NAEC=45。或NA'3'C'=135。.

故选：C

2.（23-24高一下•宁夏固原•期末）在三棱锥P-A3C中，AC=P3,且直线AC与依所成的角为60。,E尸分别为

棱PCAB的中点，则直线Er与AC所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.30。或60°D.45。或60°

【答案】C

【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解.

【详解】如图，取8C的中点。，连接。,中，

易知ED//PR,FD//AC,且ED=LpB,FD=；AC,

故ED=FD,且NE£中是异面直线AC与PB所成角或其补角,

所以NE8'=60。或120。，

所以异面直线EF与AC所成角为NEF7）或其补角，

当NED产=60。时，ZE77）=60°；当/ED产=120。时，ZEFD=30°,

所以直线E”与AC所成角的大小为30。或60。

故选：C

B

3.（24-25高一下•全国•随堂练习）如图所示，在空间四边形A8-CZ）中，F,G分别是8C,CD的中点，EH〃平面

CRD,则EH与FG的位置关系是（）

A

A.平行B.相交C.异面D.不确定

【答案】A

【分析】由三角形的中位线及线面平行的性质定理即可选出答案.

【详解】因为F，G分别为BCC。的中点，

所以FG//BD,

因为历//平面CBD，平面AZ?£>c平面BCD=8。，吩u平面ABD,

所以EH//BD,

由平行的传递性可知EH//FG.

故选：A.

4.（24-25高一下•全国•课前预习）下列说法正确的是（）

A.若直线/平行于平面a内的无数条直线，则〃/a

B.若直线。在平面夕外，则a//a

C.若直线。与直线人不相交，直线〃ua,则〃//a

D.若直线a//b,bua,那么直线“平行于平面。内的无数条直线

【答案】D

【分析】结合线面平行的判定定理，逐个分析即可.

【详解】A错误，直线/还可以在平面仪内，同时。存在无数条直线与之平行；

B错误.直线〃在平面。外，包括平行和相交；

C错误，〃还可以与平面a相交或在平面a内；

D正确，直线。//,bua,那么直线。平行于平面a内的无数条直线.

故选：D.

5.（24-25高一下•全国•课后作业）下列命题中正确的个数是（）

①两条直线。，〃没有公共点，那么。，力是异面直线；②若直线/上有无数个点不在平面内，则〃/a；③空间中如

果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由两条直线的位置关系、直线与平面的位置关系、空间等角定理即可判断.

【详解】两条直线“，8没有公共点，那么直线a，b平行或异面，故①错误；

若直线/上有无数个点不在平面。内，则或/与。相交，故②错误；

由空间等角定理知，③正确.

故选：B.

6.（23-24高一下•河北.期中）下列命题中正确的是（）

A.若直线/平行于平面。内的无数条直线，则///a

B.若直线小〃相交，b,c相交，则a,c相交；

C.若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线

D.若直线。和平面。满足〃//力，alia；则。//a

【答案】C

【分析】根据线线，线面的位置关系，即可判断选项.

【详解】选项A中缺少/在平面。外这一条件，A错误；

选项B.若直线m”相交，b,c相交，则m。异面、平行、相交都有可能，B错误；

选项C.若四点中恰有三点共线，则直线和直线外一点，确定一个平面；若四点共线，则四点一定共面；若四点不

共面，则这四点中任何三点都不共线，故C正确；

选项D,缺少/，不在平面。内，D错误.

故选：C.

7.（2324高一下•福建龙岩•期中）设〃?，〃是不同的直线，64是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若〃则〃〃/aB.若m/la,〃l1m,则〃//a

C.若〃〃/a,〃//a,贝D.若mlia、mu°、acB=n,则加〃〃

【答案】D

【分析】利用线面位置关系，逐项判断即得.

【详解】对于A,则〃?ua或A错误；

对于B.mlla.nlhn,则〃u“或nila,B错误；

对于C,m"a,n〃a，则直线〃?，〃可能相交，可能平行，也可能是异面直线,C错误;

对于D,由线面平行的性质知，D正饰.

故选：D

8.（23-24高一下•安徽六安・期末）如图，在正方体48CO-A4GA中，KMP分别是CQICA。的中点，有四

个结论:

①A/）与CM是异面直线；

②相交于一点;

③MN〃叫；

④MN”平面BBRD.

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】①，作出辅助线，得到四点共面，故①错误；②，在①基础上得到交于一点，故②错误；（3）,

作出辅助线，得到RMWR为平行四边形，MN//RR,③错误；④，作出辅助线，得到面面平行，进而得到线面平

行.

【详解】①，连接MP,AC4G，

因为M,P分别是CQ，AR的中点，

所以MP//AC，

因为AC/"©,所以MP//AC,

故AP,M,C四点共面，故AP与CM是共面直线，①错误;

DiMG

②，由①可知，4P与CM是共面直线，延长ARCM相交于一点九

故Tw平面平面COR。，

所以丁£平面与平面的交线，

即Te。。，

③，取8。的中点R,连接RN,则RV〃C。且AN=：CD,

又RM//C。且Q1M=；C。，

故RN//D\M且RN=D.M,

故MNHRD\,故MM8。不平行，③错误;

④，取C。的中点W,连接MW,WW,

因为N为BC的中点，所以例V//8/),

因为VW（Z平面8。4，BDu平面Bl）%,

所以WV〃平面8。。，

因为WW//QA，1加0平面8。2，ORu平面8。。，

所以也0//平面8。。，

因为WWWN=W,WMJIWu平面MWV,

所以平面M\VN//平面BDR,

因为MVu平面所以仞V//平面8。。百，④正确

9.（23・24高一下•贵州贵阳•期末）已知〃5是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若〃?_L〃，且〃ua,则j_a

B.若mua,m〃仇acQ=n,则〃？〃〃

C.若mua、nu0、m〃B、n〃a、则。〃£

D.若/〃//am〃B。"B、则川〃〃

【答案】B

【分析】由线面、面面位置关系即可逐一判断各个选项.

【详解】对于A,若〃z_L〃，且〃ua,则〃?_L。或根,。斜交或〃〃/。或机匚。，故A错误；

对于B.由线面平行的性质可知,若mua,m〃B，acB=n,则用〃〃，故B正确;

对■干C设a£=/,mua,〃u£,〃?/〃,〃/〃，又〃?所以加〃氏〃〃a,但a〃△不成立，故C错

误；

对于D,若小〃1〃〃⑸a〃/，则小〃〃或犯〃异面,故D错误.

故选：B.

10.（23-24高一下•河南郑刑期中）已知正方体A4cO-ASCQ的棱A4,AQ，AG，CG的中点分别£,RG,",则下

列直线中，与平面AC"和平面的交线平行的直线（）

A.GHB.EHC.EGD.FH

【答案】A

【分析】作出平面AC。和平面3OA的交线图，结合中位线定理即可得解.

【详解】设ARCAO=M,ACC4O=O,连接OM,

而O,Me平面AC。，O,Me平面8Z）4，

则平面ACQc平面8DA=OM,

作出平面4CR和平面BOR的交线如图所示:

另一方面：由正方形的性质可知M。分别是4cA。的中点,

从而MO//CR,同理有G/7//CR,

对比选项可知与平面ACj和平面BDA｛的交线平行的直线GH.

故选：A

二、多选题

H.（24-25高一下•全国•课后作业）如图，尸为平行四边形4BC。所在平面外一点，。为上4的中点，。为4c与

的交点，下列说法正确的是（）

A.0Q〃平面PC。B.PC〃平面8OQ

C.4Q〃平面PC。D.CO〃平面丛4

【答案】ABD

【分析】根据线线平行证明线面平行，进而判断各选项.

【详解】因为。为平行四边形A3C。对角线的交点，所以。为AC的中点,

乂Q为姑的中点，所以OQ〃PC,

又PCu平面PCD,。。二平面PCD,所以。。〃平面PCD,A选项正确；

同理OQu平面8。。，夕Ca平面8叱，所以PC〃8DQ,B选项正确；

由四边形A8CO为平行四边形，所以AB//CD,/Wu平面PW,CDs平面RAA,故C。//平面2W,故D正确;

又AQ与平面〃C。相交于点〃，故C错误；

故选：ABD.

12.（24-25高一下•全国•课后作业）如图，在四棱锥A—4COE中，底面四边形4CQK为梯形，BCHDE.设CO,

BE,AE,4。的中点分别为M,N,P,Q,则（）

A.PQ=；MNB.PQWMN

C.M,N,P,Q四点共面D.四边形MNPQ是梯形

【答案】BCD

【分析】根据中位线的性质，结合平行的性质逐一分析即可.

【详解】由题意知=且DEwMN,所以PQwgMN,故A错误：

又PQUDE,DEHMN,所以PQ//A4N,又PQ工MN,

所以M,N,P,Q四点共面，且四边形MNPQ是梯形.故BCD正确.

故选：BCD.

13.（23-24高一下.黑龙江•期中）下面四个命题中，无碰购为（）

A.相交于同一点的三条直线在同一平面内

B.VA8C在平面。外，其三边延长线分别和。交于RQ,R,则P,QR一定共线

C.一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等

D.若己知四个点不共面，则其中任意三点不共线

【答案】BD

【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；利用反证法判断D.

【详解】对于A,三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A错误；

对于B.VA8C所在平面与平面。相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，故B正确；

对于C.一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等或互补，故C缙误;

对•于D,因为四个点不共面，假设其中任意三点共线，

由平面公理2的推论可得此四点共面，与已知矛盾\所以假设错误，故D正确.

故选：BD.

14.（23-24高一下•新疆省直辖县级单位•阶段练习）如图所示，在匹面体A-8CO中，M,N,P,Q,E分别是

ABIC,6,4）,AC的中点，则下列说法正确的是（）

A.四边形MNPQ是菱形B.NQME=ZDBC

C.BCDS-MEQD.四边形MNPQ为矩形

【答案】BC

【分析】由由等角定理即可判断BC,由三角形的中位线即可判断匹边形形状判断A,D.

【详解】由三角形中位线的性质知MQ//M,MQ』D,NPHBD,NP；BD,

22

所以MQ//NP,MQ=NP,所以四边形MNPQ为平行四边形，但不能确定是否为菱形或矩形，故AD不正确.

在V八8c中中位线定理得ME//BC,同理在△八3D中，由中位线定理得MQ口BD,

所以由等角定理知，NQME=NDBC,所以B正确；

在△ADC中，由中位线定理得QE〃OC

所以MEI/BC,MQHBD,QE//DC,

所以由等角定理可知，^QME=ZDBC,4QEM=NDCB/MQE=NBDC,

所以一6C£>S_MEQ,所以c正确；

故选：BC.

15.（23-24高一下•广东佛山•期中）在正方体4BCQ-ABGQ中，M,N,P分别是CC,,G"的中点，Q

是线段〃A上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（）

A.直线历夕与直线8N是异面直线B.直线MN与直线AP是相交直线

C.存在点Q,使3,N,P,Q四点共面D.存在点Q,使PQ〃平面MBN

【答案】AD

【分析】根据直线与直线的位置关系可判定AB,根据平面基本性质可判定C,根据线面平行的判定定理可判定D.

【详解】连接MR，AN,M,N分别是4A，CG的中点，所以BN//MQ,

由可确定平面及VQM,平面8NRM1平面CDDG=NQ,

而平面CDD,C,内点P任直线ND、,故户壬平面BND\M,

故户与B、N、M三点不共面，所以直线加。与直线8N是异面直线，故A正确，B错误；

因〜是的中点，所以PN〃2C〃AB,故8,N,P三点确定平面PNBA，

平面。加队与直线AA仅有一个公共点A，但。不与A重合，故不存。使得Qe平面PN%,故c错误;

由选项A知P任平面M8N,故。。仁平面M8N,只需。为AA中点，有PQHA、CJIMN,

则PQ〃平面M8N,故D正确.

故选：AD.

5pG

16.（23-24高一下•浙江•期中）如图，四棱锥。-A6c。的底面是平行四边形，瓦/分别是棱PR%的中点，下列

说法正确的有（）

A.多面体A8尸-OCE是三棱柱

B.直线所与PC互为异面直线

C.平面AOP与平面3cp的交线平行于所

D.四棱锥2-ABCD和四棱锥夕-BCEF的体积之比为8:3

【答案】BCD

【分析】利用棱柱的定义判断A；利用异面直线的判定判断B：利月线面平行的判定性质推理判断C；利用割补法

求出体积比判断D.

【详解】对干A,多面体AB/7-DCE中，由直线A尸c力£=?,得平面48尸与平面。CE不平行，

显然多面体OCE中不存在平行的两个面