考研数学（数学一）模拟试卷382

考研数学(数学一)模拟试卷382

一、选择题(本题共8题，每题L0分，共8分。)

hm-r——-1

1、设f(x)=-1+。，则x=0是f(x)的().

A、连续点

B、第一类间断点

C、第二类间断点

D、不能判断连续性的点

标准答案：B

彳+1rl1

hm-1;=1;v

知识点解析：当x>0时，f(x)=当x=0时，f(x)=’当x<0时：

1

f(x)=x.因为f(O+O)=l.f(0)=2,f(0—0)=0,所以x=0为f(x)的第一类间断点，选B

曲线丁=

2.z+l的渐近线的条数为().

A&S1条

c2条

条

A3

4条

标准答案；C

知识点解析：

因为limy=a,所以曲线没有水平渐近线；由limy=8.limy=8.得曲线有两条铅苴

L”—J―广

渐近线；由lim上=c,lim(yer)=er)=0,得曲线有一条斜渐近线.选(C).

X-*<XJC4*3\XII/

3、设(p](x),(P2(x),(P3(x)是微分方程y"+P(x)y，+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特

解，则该方程的通解为().

ANCI(p1(X)+C2<P2(X)+C3(P3(X)

B、C|[(pi(x)—(P2(x)]+C2[<pi(x)—(p3(x)]+C3[(p2(x)—(p3(x)]+(pi(x)

C、Cl[(pi(x)—(p2(X)]+C2(p2(X)+(p3(X)

y

D、Ci®(x)一(P2(x)]+C2®(x)一(p3(X)]+®(x)+(p2(x)+(p3(x)]

标准答案：D

知识点解析：显然Ci[(pi(x)—(p2(x)]+C2®(x)—(p3(x)]为y,,+P(x)y,+Q(x)y=O的通

1

解，且3[(Pi(x)+(P2(X)+(P3(X)]为y”+P(x)y，+Q(x)y=f(x)的特解，选D

（2彳一1产（1+1）”

4、设幕级数在x=-4处条件收敛，则级数”用在*=

一3处（）.

A、绝对收敛

B、条件收敛

C发散

D：敛散性不确定

标准答案：A

（21-1产

知识点解析：因为“I在x=-4处条件收敛，所以收敛半径为R=

2X（4）13・当*二一3时，因为3+l|=2VR=3,所以当x二—3

WXQ+1）'

时，级数"T绝对收敛，应选A

0101fl00

P】=100,P2=010

5、设A为三阶矩阵，令°"-2"将A的第一、二

两行对调，再将A的第三列的2倍加到第二列成矩阵B,则B等于（）.

A、PiAPz

-1

R、PIAP2

C、P2Api

1,

D、PrAP2

标准答案：D

知识点解析：

010100

显然8=I004010

001021

01001010o'-'100

注意到100=100010=010■

001001021

0-21即B二P「

IAPL，选D

6、设A为三阶矩阵,其对应的特征值为幻=入2=一1，13二2,对应的线性无关的特

征向量为ai，a2.。3,令Pl=(a]-CL3,。2+。3,2(13),则

100

00200100

010

(A)0-10(B)020(C)010(D)

33,

002,00-1、

00474

A、

B、

C、

D、

标准答案:D

1A1=—2.JAI—_2.=].

知识点解析：|A|=QQQ=2,A*的特征值为人入2‘福'A"+3E

的特征值为1,1,4,A*+3E对应的线性无关的特征向量仍为川，a2,a3,

100

令P=(q,a.a、).则P可逆且P"A'+3E)P=010

004

100

由H=P010得

-112

100100

PJ(A'+3E)B=010P*(A-+3E)P010

-112-112

00100100]

0100I0010

-1120012

100100100100100100

由0001010010010010

-1120010121010021—11

100100

010010

1

002

17"27

1000

得0120,故

-11-11

0o

01°•应选(D).

Pt'(A'+3E)P；

24

T2

7、设随机变量X,Y相互独立，且X〜N(l,oi2),Y〜N(l,O22),则P(|X—Y|V

DO.

A、随6，0的增加而增加

B、随6，s的增加而减少

C、与。1，。2的取值无关

D、随6的增加而增加，随的增加而减少

标准答案：B

知识点解析：令Z=X—Y,则Z〜N(0,

17

p“x-yy”叫-石镉-J)

1

=0v^T^)—0(一上.选

O|2+O22).)=24;

B

8、设X,Y为两个随机变量,其中E(X)=2,E(Y)=-1,D(X)=9,D(Y)=16,且

=_1

X,Y的相关系数为2\由切比雪夫不等式得P{|X+Y—

l|<10}>().

(C)4

(A)(D)-

盖⑺盖40

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析:令Z=X+Y,则E(Z尸E(X)+E(Y)=L

D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=13,则P{|X+Y-l|qO}=P{|z-

.D(Z)87

E(Z)|<10}>102I。。选B

二、填空题(本题共6题，每题L0分，共6分。)

,Ell:；J

lim［迎+ff(jr—/)d/J

9、设f(x)连续，且f(0)=0,仪0尸2,贝I」，一。nJ。

2

标准答案:

知识点解析：Hf（x—t）d产-三心地）（一du）=foxf（u）du,

则lim[皿+「"]一

4—0TJ0

=lim[[]+三+}一:"…）—

曲尸噌仆山吧ij；小处rf/3厂

=a吧Li£i=e,吧----7n二也空J笔//■

2

=e2”[贷+管]=e2[=eC4«ir-1=ei

”=2f+3

:耳1=带=中及=­l

I—L1

10、过点A(3,2,1)且平行于L|屋=10的平

面方程为

标准答案：x-2y-5z+6=0

知识点解析：SI={1,一2,1},S2={2,1,0},则所求平面方程的法向量为

n=s|Xs2={-1>2,5}所求平面方程为兀:一(X—3)+2(y-2)+5(z—1)=0,即兀:

x-2y—5z+6=0.

11、设f(x)二阶可导且满足Ht2f(0出=*3+。)，则f(x)=.

标准答案：-3eM+3

知识点解析；对Hl2f⑴di=x3|f(x)两边求导得x2f(x)=3x2+r(x),整理得F(x)一

、妍-解得

23x2f"1-33idz+C]eW=Ce4+3

当

x=o时，f（x）=o,于是c=-3,故f（x）=-3s+3・

12、平面兀：Ax+By+z+D=0被柱面x?+4y2=4所截得的面积为.

标准答案：27r71+A2-B2

知识点解析：平面九为z=-Ax-By一D,由

翌=一A俘=_B,得ds=yi+A2+B2da,

dx于是平面兀被柱面所

截得的面积为

A=ds=+A2+da=2K+A?+B?.

11][-2

q=-1•a=2,a3=1

13、设1T及0|,p2,饱为三维向量空间R3的两组

I]10

Pi=[，%=0=1

且V1-2

基,A=（Pi，P2,03）为可逆矩阵,2则从基0],

02,为到基山，3,。3的过渡矩阵为.

51-10

-408

标准答案：【一6】11

知识点解析：设从基p],p2，03到a[,。2，a3的过渡矩阵为Q,则（ai，a2,

51-10,

Q=（仇•良，仇）‘（a】a,。3）=-408

。3）=（01，02，|h）Q，6】I】

14、设X],X2，…，Xm与Y],丫2，…，Yn分别为来自相互独立的标准正态总体

z=£（x,-x）2+£（匕一丫）2.

X与Y的简单随机样本，令£，八则D（Z）=.

标准答案：2（m+n—2）

知识点解析：

令Si=£（X,-X）2，S=▲之（匕一丫）2,则

m-l廿L1月

■Vft

22

（M-1）S；=X（X,-X）2-z（w-l）,（n-l）S!=Z（K一丫）2〜x（n-l）.

J=1

fM99

£（x,-x）2与2（匕一y）2

因为X与Y相互独立，所以"I『I相互独立，于是

D（Z）=2（m-l）+2（n—l）=2（m+n-2）.

三、解答题（本题共9题，每题分，共9分。）

jre

15、计算,b

标准答案：

所以f-'re-d-r=2x—2—4-2+4>/2arctan―-2+C,

知识点解析：暂无解析

V1.

16、设f(x)=l+x(O<x<l).(I)将f(x)展开成余弦级数，并求n'(U)将f(x)展开

成正弦级数.

标准答案：(I)将f(x)进行偶延拓和周期延拓，则ao=2fo1f(x)dx=2Jo1(1+x)dx=3,

an=2j(Jf(x)cosn兀xdx=2j()(1+x)cosn兀xdx

4

2Lr......—•n=1，3,•••，

=

nx八c

°，〃=2.4,…，bn=0(n=l,2,...),则

T.34ZCOSXJT.COS3KT./t、

1+ip—H-----y-----F・・・)(04”&I),

取L。,则有昌而%/，令巨*=S,则

J

S—彳之萨+4(2W-1)-彳十百，

解得£]=身.

4(11)将心)进行奇

,,

延拓和周期延拓，则an=O(n=O,1,2,...),bn=2fof(x)sinin7rdx=2fo(1+x)sinn?ixdx

9,n=1♦

9__nn

=­11—2(-1)"]=«

7m2

------♦n=2一,4,…,

nz

则1+/=-sinwT-^-sin2nr+袅sin3大工--^-sin4KX+…(OVzV1)

n4jron47r

知识点解析：暂无解析

17、设F'（x）WC［a,b］,证明：存在］e（a,b）,使得

（八］）必=“一a"（宁）+

标准答案：令F（x尸Hf⑴出，则F，（x尸f（x）,且F”（x）EC［a,b］.由泰勒公式得

->=尸（审）+/（宁）（-审）+骞>-审）'+管5审）'

其中•里卜

F⑹=F（中）+《中）（6-娶）+骞%-审）'+等（〜中了

其中&£（审洛卜

F（b）—F（a）=的二”・，（G二（&）.

两式相减，得'"7"因为

f'（x）GC［a,b］,所以"x）WC@,々］，由闭区间上连续函数最值定理，「（X）在区间

［白，自2］上取得最小值和最大值，分别记为m,M,则有

内42乎*2&M.

2再由闭区间上连续函数的介值定理，存在自日勺，及］

—+一（&）,

U（a,b）,使得F化尸2'；从而有

知识点解析：暂无解析

18、设f（x）在［1,+8）上有连续的二阶导数，f（l）=0,f（l）=l,且二元函数

—十之4=o

Z=*+y2）f（x2+y2）满足""求f（x）在口，+8）的最大值.

言=2xf+2x(x2+/)/•

售=2/+U0J+2y)/+(4丁+4”2y)，，

标准答案：根据对称性得

舒=2/4-(10/+2x2)/+(4>*4-4x2y2)/.

分+分=4/4-12(x2+y)/4-4<j-24-/)2/.

令犬+了2=厂，由学+会=0得/+3r/'+/，=0,令厂=e*,rf'=兴，，广=W-

?•整理得

奈+2%+7=。・

解得f=(C]+C2t)3，于是f(r)=(Ci+C21nr)厂'，由f(l)=0,得Ci=0,f(r)=

c2—,/(r)=G监

r，由r(i尸i,得C2=i,于是f(x)=".令「(x尸

17M=0,

工’'，得x=e,当x£(l,e)时，f(x)>0,当x>e时、f(x)<0,则x=e为

f(x)在[1,+oo)上的最大值点，最大值为f(e尸三：

知识点解析：暂无解析

19、计算曲面积分1=12x3dydz+2y3dzdx+3(x2-l)dxdy,其中£为曲面z=l-x2—

y2(z划的上侧.

标准答案：补充go：z=0(x2+y2<l),取下侧，

1=(勺-0)2/3<1川2+2ydzdi+3(12—i)d/dy

4由格林公式得

㊁2/'dydz+2y3dz(Lr+3(x2—1)dj"dy

A)

dzjj(x2+y2)drdy=sjdzjdZ?Jr3dr

6(x2+yl)dv=6

3x(1—z)2dz=-K,

Zx4dydz+2y3dzeLr+—Ddrdy

=/3(/-l)dxdy=-3jj(x2—Ddxdj=-3Jd^J(rscos20-r)dr

4

—春Jco-8的+3n=—3cos”M3+3”=即

4

则原式=L^=一乎

知识点解析：暂无解析

工|+“2+八+14=0.

上2+2xi+2工，=1»

—4+(a-3)xj—2xt—b、

20、a,b取何值时，方程组3"+2心十小卜or'=一1有唯一解、无解、有无穷

多个解?有无穷多个解时，求出其通解.

标准答案:当

arl时，r(A)=r(A)=4,所以方程组有唯一解；当a=l,厚一1时，r(A)Hr(4)T

所以方程组无解；当a=l,b=-l时，方程组有无穷多个解，通解为X=k|(l,一

TT

2,1,0)+k2(b—2,0,19+(-1,1,0,0)(ki,k2为任意常数)

知识点解析：暂无解析

21、设A是n阶矩阵，证明：(I)r(A)=l的充分必要条件是存在n阶非零列向量

a,p,使得A=a[f；(U)r(A)=l且tr(A)#),证明A可相似对角化•

标准答案：(I)若r(A)=l,则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即人=

出。隹

a业a业

(仇，仇.…•〃.).令a=

：：

显然

a,。都不是零向量且A=a0T.反之，若A=apT,其中a,。都是n维非零列向

量，贝i」r(A尸r(a[f)W(a尸1.又因为a,0为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而

r(A)>l,于是r(A)=l.(口)因为r(A)=l,所以存在非零列向量a,历使得

A=apT,显然tr(A)=(a,。)，因为tr(A)#O,所以(a,p)=k#O.令AXMX,因为

A2=kA,所以#X=QX,或(『一kQX=O,注意到存0,所以矩阵A的特征值为

九=0