高三数学高考第一轮高中数学解题方法梯度训练二换元法高中数学解题方法梯度训练二换元法

换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化,

这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变

换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂

问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起

来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的

计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研

究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已

知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候

要通过变形才能发现。例如解不等式：4"+2”—220,先变形为设2、=t(t>CD,而变

为熟悉的一元一次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三

角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=\[x+W-x的值域时，易发现x@[0,1],

C兀

设*=5门2a,ae[0,y],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,

其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量X、y适合条件x2+y2=”

(r>0)时，则可作三角代换x=rcos0、y=rsin。化为三角问题。

sS

均值换元，如遇到*+丫=5形式时，设x=^+t,y=^—t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量

范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上

71

几例中的t>0和ae[0,y]o

一、再现性题组：

1.y=sinx•cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.设f(x?+1)=log.(4—x4)(a>l),则f(x)的值域是o

3.已知数列｛a〃｝中，=—1,a//+1•a„=aN+1—an,则数列通项a“=。

4.设实数x、y满足x?+2xy—1=0,则x+y的取值范围是。

1+3一”

5.方程।”:3的解是______________o

1+3

v+,

6.不等式log2(2、-1)-log2(2-2)〈2的解集是o

/1

【简解】1小题：设sinx+cosx=t£[―血，],则y=3+t一W，对称轴t=

—1,当1=皿，丫”制=；+也；

2小题：设x?+l=t(t2l),则f(t)=log”[-(t-1)2+4],所以值域为(-8,iog.4]；

3小题：已知变形为」------=-1,设b〃=」-,则b]=—1,b〃=—1+(n—1)(-1)

=—n,所以a=——；

zjn

4小题：设x+y=k,则x?—2kx+l=0,△=4k：—420,所以kel或kW—1；

5小题：设3'=y,则3y2+2y—1=0,解得y=w,所以x=-1；

X

6小题：设log2(2—1)=y,则y(y+l)<2,解得一2<y<l,所以xW(log2—,log23)o

二、示范性题组：

例1.实数x、y满足4x?—5xy+4y2=5(①式)，设S=x?+yt

求-^---的值。

Jmax“min

【分析】由S=x?+y2联想到cos2a+sin2a=1,于是进行三角换元，设

X-VSCOSa

代入①式求S3和S*的值。

y=Vssina

x=Vscosa

r-代入①式得：4S—5S•sinacosa=5

{y=JSsinQ

10

解得S=

8-5sin2a

101010

'/TWsin2aWl3W8—5sin2aW13—W--------------W一

138-5sina3

・__1__।___1_=_3__।_1_3_=_16_=_8

••£ax5min1010105

8s—10

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2a=—「的有界性而求，即解不

QC_1Q

等式：I——141。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

SSSS

【另解】由S=x?+y2,设x2=^+t,y2=——t,te

乙乙乙乙

则xy=±代入①式得：4S±5

移项平方整理得100t2+39S2-160S+100=0。

，,z1()10

・・・39S'—160S+100W0解得：一WSW一

133

113B16_8

二+=io4-io=io=5

max

【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用己知条件S=X?+y2与三角

公式cos?a+sin2a=1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值

域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S=x?+y2而按照均值换元的思

路，设x2=l+t,y2=£—t,减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求

22

值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设

x=a+b,y=a—b,这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b,

y=a—b,代入①式整理得3a*+13b?=5,求得不£[0,3],所以S=(a—b)?+(a+

、,、,1020.rU1010q再求[二十白的值。

b)“=2(a“+b-)=——I——a~£[一-,-■-J»

1313133“max“min

11叵

例2.△ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B,।

cosAcosCcos3

A-C

求COS---的值。

2

【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得

A+C=120°A=60°+a

由“A+C=120°”进行均值换元，则设〈。,再代入可

5=60。C=60°Q

AC

求7cosQ即cos---~--

2

A+C=120°

【解】由AABC中已知A+C=2B,可得〈

8=60。

A=600+a

由A+C=120。，设《o,代入已知等式得:

C=60—a

-----+]_]]_]+

cosAcosCcos(60°4-cjf)cos(60°-«)1

—costz-——sincr

22

1cosacosa

IV3.

-coscr4-—sina—cos2a--sin2acos2a--

22444

A-CV2

解得：COSQ=等即:COS------------=-------o

22

11V2

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°°所以——-+——-=-------

cosAcosCcosB

=-2血，设---=-V2+m,---=一々2—m,

cosAcosC

所以cosA=---F=---,cosC=---尸----,两式分别相加、相减得:

-v2+m-v2-m

A+CA-CA—C2V2

cosA+cosC=2cos---cos---=cos---=—;—-

222m--2

A+CA-CFTA-C2m

cosA—cosC=—2sin-----sin----=--—v3sin-----

222m2—2

A-C2m2叵A—CA—C

即:sin-----代入sin*■------Feos2-----=1整

V3(m2-2)nr-222

,4八A-C2V272

理得：3nl4—16m—12=0,解出=6,代入cos-----=­彳-----=---

2m~-22

【注】本题两种解法由“A+C=120。”、“一^+」7；=—2后”分别进行均

值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要

求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由

11V2

A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以-----+------=--------=—2J2,即cosA

cosAcosCcosB

-|-cosC=—2^2cosAcosC,和积互化得:

A+CA-CV2

2cos-----cos-----=­V2[cos(A+C)+cos(A-C),B|Jcos-----

2222

AcAc

22A-C

V2cos(A-C)=-----A/2(2COS--------1),整理得：4A/2COS------------+2CDS

222-

—35/2=0,

A-CV2

解得：COS---=——

22

例3设a〉0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx•cosx—2a2的最大值和最小值0

【解】设sinx+cosx=L,贝ijiE[-V2,A/2],由(sinx+cosx)2=1+2sinx“cosx

zgZ2一1

得：smx•cosx=---

f(x)=g(t)=——(t—2a)2+—(a>0),tV2,V2]

时，取最小值：-2a2-2后a-1

当2a2时、t=V2,取最大值：—2a2+2^2a----；

2

当0〈2a《J5时，t=2a,取最大值：-<>

2

1八V2

-(0<6/<—)

*,•£6)的最小值为一242—2血2一：,最大值为乙乙

2、r1a°

-2a~+2y/2a--(a>——)

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【注】此题属于局部换元法，设sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx与sinx•cosx

的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求

解。换元过程中一定要注意新的参数的范围(l£[-亚，、历])与sinx+cosx对应，否

则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭

区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目己知和未知中含有sinx与c族x的和、差、积等而求三角式的最

大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元

法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究c

例4.设对所于有实数x,不等式x21og)46+l)+2xlog,2v+于g?>0恒

成立，求a的取值范围。

2

【分析】不等式中log。4("+「)、log2一、log?二项有何联系？进行

对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

【解】设log-2^〃―=t,则log24(6Z+1)8(。+1)4+1

21^=1%词］=3+1%汇=3-

2a(〃+1)2ci4-1

log-)-----=3—t,log,-=21og——=—2t,

~a±\~4a~2?~2a

代入后原不等式简化为(3-t)x2+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立，所以:

3T>()t<32a

2，解得〈：.t<0即log,----<0

△=4广+8r(3-r)<0t<0或06-4+1

2a

0<—^-<1,解得(Ka〈l。

a+1

COS0COS20sin29_10

_zsin0x

例5.已知------,H.彳-+V3(/+),2)求一的值。

xy%y

.,.、“sin0cos0

【解】设------=-------=k则sin0=kx,cos0=ky,且sin20+cos20=

%y

我2V2il21Q1Qb-y"Y~

k%*2)r代入②式得：e+y=即

--io-

3

设==t,则i+』=!2,解得：t=3或(=±J5或土坐

y~t33y3

例6.实数x、y满足3上+“巳1)2=1,若x+y—k>0恒成立，求k的范里.

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【分析】由己知条件殳J+(,41)=1,可以发现它与a?+b2=l有相似之处,

于是实施三角换元。

2

……d)2(y+1)、nx—ly+1

【解】由----1---——=1,设一^-=cos。，=sin。，

x=1+3cos。

即：\代入不等式x+y—k>0得：

y=-1+4sin。

3cos0+4sin0—k>0,即k<3cos0+4sin0=5sin(0+3)

所以k<-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元，将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等

式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角浮数的值