群论典型试题及其答案解析

群论典型试题及其答案解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题1.设G是一个群，e是G的单位元，a∈G，则a的逆元a⁻¹满足a*a⁻¹=________。2.设G是一个群，H和K是G的子群，则H∩K也是G的________。3.设G是一个阶为n的有限群，a∈G，若a的阶为k，则k整除n，即k|n，根据拉格朗日定理，k的可能取值为________。4.设G是一个群，a∈G，若a²=e，则a的阶为________。5.设G是一个群，a∈G，其阶为6，则a⁴*a²的阶为________。6.设G是一个阿贝尔群，a,b∈G，则(ab)ⁿ=________。7.循环群Zₙ指的是整数加法群Z在模n下的剩余类加法群，它的生成元为________。8.对称群S₃的阶为________，它包含的子群S₃的阶为________。9.设G是一个群，H是G的一个子群，a∈G，则aH和Ha是G的两个________，且aH=Ha当且仅当a∈H________。10.设φ:G→G'是一个群同态，ker(φ)={g∈G|φ(g)=e'}，则ker(φ)是G的一个________。若φ是满同态，则G'可以表示为G的某个商群G/N，其中N=________。二、判断题（请判断下列命题的真假，并在括号内打√或×）1.()若G是一个群，a,b∈G，则(ab)⁻¹=a⁻¹b⁻¹。2.()若H是群G的一个非空子集，且H对于G的运算封闭，则H是G的一个子群。3.()若G是一个群，a∈G，则a的阶等于使aⁿ=e成立的最小正整数n。4.()任何有限群都包含至少一个子群。5.()若G是一个阿贝尔群，H和K是G的子群，则HK={hk|h∈H,k∈K}也是G的一个子群。6.()若G是一个群，a∈G，则a的阶一定是G的阶的约数。7.()任何群都同构于某个循环群。8.()若G是一个交换群，且G的阶为p(p为素数)，则G同构于整数加法群Zₚ。9.()置换群Sₙ的子群一定是可换的。10.()Sylow第一定理保证了群G中必存在Sylowp-子群。三、选择题（下列每个题目都有多个正确选项，请将所有正确选项的字母填入括号内）1.()下列集合对给定的运算是否构成群？若构成群，请说明是否为阿贝尔群。(a)G=Q,运算为普通乘法。(b)G=R\{0},运算为普通乘法。(c)G=R,运算为普通加法。(d)G=N,运算为普通加法。2.()设G是一个群，H是G的一个子群，|G|=12,|H|=3，则H的指数为()。(a)2(b)3(c)4(d)63.()设G是一个群，a∈G，a的阶为5，则下列说法正确的有()。(a)a⁴*a⁻¹=e。(b)a²≠e。(c)a⁵=e。(d)a⁻¹的阶为5。4.()下列哪个是S₃的子群？()(a)H={e,(12)}(b)K={e,(13),(23)}(c)L={e,(123),(132)}(d)M={e,(12)}5.()设G是一个阿贝尔群，a,b∈G，若a²=b²，则()。(a)a=b(b)a=b⁻¹(c)存在c∈G使得a=bc且b=ac(d)a=b或a=-b（在乘法群中理解为a=b⁻¹）6.()下列哪个是Z₆的子群？()(a)H={0,2,4}(b)K={0,3}(c)L={0,1,2,3,4,5}(d)M={0}四、解答题1.设G是一个群，a,b∈G，且满足a²=b²=e(单位元)，证明ab=ba。2.设G是一个群，H是G的一个子群，|G|=30,|H|=5。证明H的指数为6，并证明G中存在一个子群K，使得K∩H={e}且G=HK。3.证明整数加法群Z是一个无限循环群，并找出它的所有生成元。4.设G=S₃，证明G中所有元素的阶。找出G的所有子群，并判断哪些是正规子群。5.设φ:G→G'是一个群同态，证明ker(φ)是G的一个正规子群。若G是阿贝尔群，ker(φ)是否一定是G'的正规子群？6.设G是一个群，a∈G，其阶为n。证明a的任意子群都是循环群。若H是a的一个子群，且|H|=d，证明n/d是整数，且aᵏ是H的生成元当且仅当gcd(k,n)=d。7.证明Sylow第三定理：设G是一个有限群，|G|=pᵐn，其中p是素数，p∤n。则：(i)G中存在Sylowp-子群P（即|P|=pᵐ）。(ii)G中所有Sylowp-子群都是共轭的。(iii)G中Sylowp-子群的数量nₚ满足nₚ≡1(modp)且nₚ|n。8.设G是一个阿贝尔群，证明G的所有子群都是正规子群。9.设G是一个群，a,b∈G，且ab=ba。证明a和b的阶的最小公倍数等于ab的阶。10.设G=Z₆，H=<3>是G的一个子群。求G关于H的左陪集和右陪集，并验证拉格朗日定理。试卷答案一、填空题1.e2.子群3.n的所有正约数4.1或25.36.aⁿ7.[1]8.6,39.陪集,a⁻¹10.子群,{g∈G|φ(g)=e'}二、判断题1.√2.×3.√4.×5.√6.√7.×8.√9.√10.√三、选择题1.(a),(b),(c)2.(a),(b),(c),(d)3.(a),(b),(c),(d)4.(b),(c)5.(c)6.(a),(b)四、解答题1.证明思路：利用a²=e,b²=e。考虑元素(ab)²=abab。因为a,b可换，所以abab=aabb=a(e)b=ab。又因为abab=e，所以ab=e。同理，考虑元素b(a)=ba。因为ab=e，所以ba=e。因此ab=ba。2.证明思路：利用拉格朗日定理，H的指数为|G|/|H|=30/5=6。根据Sylow第二定理，nₚ≡1(modp)且nₚ|n。这里p=5,n=30,nₚ|30且nₚ≡1(mod5)，所以nₚ=6。存在6个不同的Sylow5-子群。任取一个Sylow5-子群P，剩余的G中元素个数|G/P|=6。由于nₚ=6，这6个陪集构成一个等价类。任取G中一个元素g≠e，g所在的陪集不同于{e}和P。设gH为另一个陪集。因为P与H共轭，存在x∈G使得xHx⁻¹=P。令k=xg。则kH=xgHx⁻¹=xH=H，所以k∈H。因此g=kx⁻¹∈Hx⁻¹。这说明g所在的陪集为Hx⁻¹。由于g是任意的，G中所有非单位元元素都在H的陪集Hx⁻¹中。故G=H∪Hx⁻¹∪...∪Hx⁻ⁿ⁺¹=HU。由于HU中每个元素都在某个Hx⁻¹中，且H与所有Hx⁻¹互不相交，所以U={Hx⁻¹|x∈G,x≠e}是H的陪集族，且G=HU。显然H∩Hx⁻¹={e}，且每个Hx⁻¹都包含H中除单位元外的所有元素，故G=HK。3.证明思路：首先证明Z是循环群。存在a=1∈Z，使得对于任意z∈Z，z=a*k=k*1，其中k是整数。即Z由1生成。因此Z是循环群。再找生成元。若d|6，则Z中存在元素d*1，其阶为6/d。设d=6/p₁p₂...pk(pᵢ为素因子)。若d*1是Z₆的生成元，则(d*1)⁶=6*1≠e。即(6/p₁p₂...pk)⁶=6≠0(mod6)。这意味着6/p₁p₂...pk是Z₆中非零元。只有当d|6时，d*1才是Z₆中非零元。因此Z₆的生成元为[1],[2],[3],[4],[5]。即所有与1互素的元素。4.证明思路：S₃={e,(12),(13),(23),(123),(132)}。计算各元素阶：e的阶为1。交换元素(12)²=e，阶为2。(13)²=e，阶为2。(23)²=e，阶为2。(123)(123)=(132)，(132)(123)=(12)，(123)³=e，阶为3。(132)(132)=(123)，(132)³=e，阶为3。因此S₃中元素阶为1,2,2,2,3,3。子群：{e},{e,(12)},{e,(13)},{e,(23)},{e,(123)},{e,(132)},{e,(12),(13),(23)},S₃。正规子群：{e},S₃。因为S₃是阿贝尔群，所有子群都是正规的。{e,(12)},{e,(13)},{e,(23)}不是阿贝尔群，但它们是正规子群，因为它们都是S₃的正规子群（可以通过验证gHg⁻¹=H对所有g∈S₃和H∈{e,(12),(13),(23)}都成立）。5.证明思路：ker(φ)={g∈G|φ(g)=e'}。需要证明ker(φ)是正规子群。取任意x∈ker(φ)，y∈G。需要证明yxy⁻¹∈ker(φ)。φ(yxy⁻¹)=φ(y)φ(x)φ(y)⁻¹=φ(y)e'φ(y)⁻¹=φ(y)φ(y)⁻¹=e'。所以yxy⁻¹∈ker(φ)。因此ker(φ)是正规子群。若G是阿贝尔群，对任意g∈G,h∈ker(φ)，有φ(gh)=φ(g)φ(h)=φ(g)e'=φ(g)。又φ(g)=φ(hg)=φ(h)φ(g)。所以φ(g)φ(h)=φ(h)φ(g)，即φ(gh)=φ(hg)。因为G是阿贝尔群，gh=hg，所以φ(g)=φ(h)。即φ(g)φ(h)=e'。所以φ(h)∈ker(φ)。即ker(φ)对任意h∈G都封闭，是G的子群。由正规子群定义，ker(φ)是正规子群。若G非阿贝尔，ker(φ)仍一定是G'的正规子群，因为同态核的共轭仍在同态核内。6.证明思路：a的任意子群H必包含单位元e。因为a的阶为n，所以aⁿ=e。令d=|H|。对任意h∈H，h=aᵏ对某个k。考虑aᵏH=aᵏa⁻ᵏH=H。所以aᵏH=H对所有k成立。特别地，aᵏe∈H对所有k成立。即aᵏ=e∈H对所有k成立。因为d是a的阶，所以存在最小正整数k₀使得aᵏ₀=e。此时aᵏ₀=e∈H。因为H是子群，e的阶为1，所以gcd(k₀,n)=1。即n/d是整数。反之，若aᵏ是H的生成元，则H=<aᵏ>。H中元素阶为|aᵏ|=n/gcd(k,n)。因为H是a的子群，aᵏ的阶必须整除a的阶n。所以n/gcd(k,n)|n。即gcd(k,n)|n。令d=gcd(k,n)，则d|n。因为aᵏ∈H，且H是子群，aᵏ的阶为n/d。所以aᵏ的阶为n/gcd(k,n)。这与H=<aᵏ>中aᵏ的阶一致。因此gcd(k,n)=d。7.证明思路：(i)令P={g∈G|gᵖᵐ=e}。P非空，因为单位元e∈P。P对运算封闭。若g,h∈P，则(gh)ᵖᵐ=gᵖᵐhᵖᵐ=ee=e。所以gh∈P。P是子群。因为G是有限群，P是G的子群，所以|P|=pᵐn。P是G的一个p-子群。令P'是G的任意一个Sylowp-子群。由Sylow第二定理，所有Sylowp-子群共轭，所以P和P'共轭。存在g∈G使得gPg⁻¹=P'。因为P和P'都是子群，gPg⁻¹也是子群。且|gPg⁻¹|=|P|=pᵐ。所以P'的阶为pᵐ。因此P'是G的一个Sylowp-子群。(ii)由Sylow第二定理，G中Sylowp-子群的数量nₚ≡1(modp)且nₚ|n。令P是G的一个Sylowp-子群，|P|=pᵐ。考虑G关于P的左陪集划分。G=∪ᵢgᵢP。|G/P|=nₚ。因为P是正规子群（由Sylow第三定理保证），右陪集划分与左陪集划分相同，且每个陪集的阶为pᵐ。所以nₚ=n/pᵐ。nₚ|n显然成立。nₚ=n/pᵐ≡n(modpᵐ)≡0(modp)，因为pᵐ是p的幂。所以nₚ≡1(modp)。(iii)综合(i)和(ii)即得。8.证明思路：设H是G的一个子群。需要证明H是G的正规子群，即对任意g∈G,h∈H，ghg⁻¹∈H。因为G是阿贝尔群，对任意g,h∈G，gh=hg。所以ghg⁻¹=hgg⁻¹=hh=h。因此ghg⁻¹∈H。即H对任意g∈G都共轭不变，所以H是正规子群。9.证明思路：设a的阶为m，b的阶为n。令d=gcd(m,n)。则aᵈ=(aᵐ)^(d/m)=e^(d/m)=e。同样bᵈ=(bⁿ)^(d/n)=e^(d/n)=e。所以aᵈ,bᵈ都是单位元。设ab的阶为t。则(ab)ᵗ=e。即aᵗbᵗ=e。两边右乘b⁻¹，得aᵗ=b⁻¹。两边左乘a，得aᵗ⁺¹=e。所以m|t。同样，(ab)ᵗ=e两边左乘a，得bᵗ=a⁻¹。两边右乘b，得bᵗ⁺¹=e。所以n|t。因此m|t且n|t，所以d=gcd(m,n)|t。反之，若ab的阶为t，则aᵗ=b⁻¹。两边右乘b，得aᵗb=e。即(ab)ᵗ=e。所以m|t。同样，bᵗ=a⁻¹，两边左乘a，得abᵗ=e。即(ab)ᵗ=e。所以n|t。因此gcd(m,n)|t。综上，ab的阶t是m和n的公约数。又因为ab(ab)^(t/d)=a(ba)^(t/d)=a(aⁿ)^(t/d)=a^(m+t/d)=e。所以a的阶m整除m+t/d。因为m|t，所以m|t/d。同理b的阶n整除t/d。所以m,n都整除t/d。即d整除t/d。因此t/d是m,n的最大公约数的倍数。即t=d*(m,n)。所以ab的阶t等于a的阶m和b的阶n的最大公约数d。10.解答：G=Z₆,H=<3>={0,3,6(≡0mod6),9(≡3mod6)}。|G|=6,|H|=3。拉格朗日定理：|G|=|H