2026年考研高等数学极限与连续性核心考点

2026年考研高等数学极限与连续性核心考点一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.在考研高等数学中，极限的定义通常采用ε-δ语言形式，下列关于ε-δ定义的表述中，正确的是（）。A.对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x趋近于a时，f(x)的值小于εB.对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εC.对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x趋近于无穷大时，f(x)/x的值小于εD.对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x趋近于无穷大时，f(x)-L的绝对值小于ε2.考研高等数学中，关于函数极限的保号性定理的正确表述是（）。A.若lim(x→a)f(x)=L且L>0，则存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)>0B.若lim(x→a)f(x)=L且L<0，则存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)<0C.若lim(x→a)f(x)=L且L≠0，则存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)≠0D.若lim(x→a)f(x)=L且L=0，则存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)=03.在考研高等数学中，关于无穷小量的比较，下列说法正确的是（）。A.当x→0时，若sin(x)/x是无穷小量，则sin(x)/x比x²更快趋于0B.当x→0时，若e^x-1是无穷小量，则e^x-1与x是等价无穷小量C.当x→0时，若ln(1+x)是无穷小量，则ln(1+x)比x³更快趋于0D.当x→0时，若tan(x)是无穷小量，则tan(x)与x是同阶无穷小量但非等价无穷小量4.考研高等数学中，关于函数连续性的判断，下列说法正确的是（）。A.若函数f(x)在点x₀处左连续且右连续，则f(x)在x₀处必连续B.若函数f(x)在点x₀处连续，则f(x)在x₀的邻域内必处处连续C.若函数f(x)在点x₀处不连续，则f(x)在x₀的邻域内必处处不连续D.若函数f(x)在点x₀处连续，则lim(x→x₀)f(x)必存在且等于f(x₀)5.在考研高等数学中，关于闭区间上连续函数的性质，下列说法正确的是（）。A.闭区间上的连续函数必存在最大值和最小值B.闭区间上的连续函数必存在极值点C.闭区间上的连续函数必存在零点D.闭区间上的连续函数必存在渐近线6.考研高等数学中，关于极限运算法则的应用，下列说法正确的是（）。A.若lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)都不存在，则lim(x→a)[f(x)+g(x)]必不存在B.若lim(x→a)f(x)存在且lim(x→a)g(x)不存在，则lim(x→a)[f(x)•g(x)]必不存在C.若lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)都存在，则lim(x→a)[f(x)/g(x)]必存在D.若lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)都存在且不相等，则lim(x→a)[f(x)+g(x)]必存在7.在考研高等数学中，关于函数极限与数列极限的关系，下列说法正确的是（）。A.若lim(x→a)f(x)存在，则对于任意收敛于a的数列{a_n}，都有lim(n→∞)f(a_n)=LB.若对于任意收敛于a的数列{a_n}，都有lim(n→∞)f(a_n)=L，则lim(x→a)f(x)=LC.若lim(x→a)f(x)存在，则存在收敛于a的数列{a_n}，使得lim(n→∞)f(a_n)≠LD.若存在收敛于a的数列{a_n}，使得lim(n→∞)f(a_n)=L，则lim(x→a)f(x)=L8.考研高等数学中，关于函数极限的保号性推论，下列说法正确的是（）。A.若lim(x→a)f(x)=L且L>0，则存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)≥0B.若lim(x→a)f(x)=L且L<0，则存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)≤0C.若lim(x→a)f(x)=L且L≠0，则存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)≠0D.若lim(x→a)f(x)=L且L=0，则存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)=09.在考研高等数学中，关于无穷小量的比较，下列说法正确的是（）。A.当x→0时，若sin(x)/x是无穷小量，则sin(x)/x比x更快趋于0B.当x→0时，若e^x-1是无穷小量，则e^x-1与x是等价无穷小量C.当x→0时，若ln(1+x)是无穷小量，则ln(1+x)比x³更快趋于0D.当x→0时，若tan(x)是无穷小量，则tan(x)与x是同阶无穷小量但非等价无穷小量10.考研高等数学中，关于函数连续性的判断，下列说法正确的是（）。A.若函数f(x)在点x₀处左连续且右连续，则f(x)在x₀处必连续B.若函数f(x)在点x₀处连续，则f(x)在x₀的邻域内必处处连续C.若函数f(x)在点x₀处不连续，则f(x)在x₀的邻域内必处处不连续D.若函数f(x)在点x₀处连续，则lim(x→x₀)f(x)必存在且等于f(x₀)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.在考研高等数学中，若lim(x→2)[3x²-5x+a]/[x²-4]=2，则常数a的值为________。2.考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处连续，且f(x₀)=-3，则lim(x→x₀)[f(x)+3]/[x-x₀]•sin(x-x₀)的值为________。3.在考研高等数学中，当x→0时，若3x²+2x³是f(x)的高阶无穷小量，且f(x)与sin(2x)是同阶无穷小量，则f(x)的阶数k的取值范围是________。4.考研高等数学中，若函数f(x)在闭区间[1,3]上连续，且f(1)=2，f(3)=-1，则根据介值定理，方程f(x)=0在区间(1,3)内至少有一个实根的取值范围是________。5.在考研高等数学中，若lim(x→∞)[f(x)+2]/[x+1]=3，且lim(x→∞)f(x)存在，则lim(x→∞)f(x)的值为________。6.考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)=5，则lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)]/[x-x₀]•(x-x₀)的值为________。7.在考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处连续，且lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)]/[x-x₀]=3，则lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)]²/[x-x₀]的值为________。8.考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处连续，且f(x₀)≠0，则lim(x→x₀)[1/f(x)]•[1/(x-x₀)]的值为________。9.在考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处连续，且lim(x→x₀)[f(x)/x]=2，则lim(x→x₀)[f(x)/x²]的值为________。10.考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处连续，且f(x₀)=1，则lim(x→x₀)[f(x)•ln(f(x)-1)]的值为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列各题是否正确，正确的填"√"，错误的填"×"。）1.在考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处极限存在，则f(x)在x₀的邻域内必处处有定义。（）2.考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处不连续，则f(x)在x₀的邻域内必处处不连续。（）3.在考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处可导，则f(x)在x₀处必连续。（）4.考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处连续，则f(x)在x₀处必可导。（）5.在考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处左连续且右连续，则f(x)在x₀处必连续。（）6.考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处连续，则对于任意收敛于x₀的数列{a_n}，都有lim(n→∞)f(a_n)=f(x₀)。（）7.在考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处连续，且f(x₀)≠0，则存在δ>0，使得当0<|x-x₀|<δ时，f(x)≠0。（）8.考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处不连续，则f(x)在x₀的邻域内必存在连续点。（）9.在考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处连续，且lim(x→x₀)f(x)²=4，则lim(x→x₀)f(x)=±2。（）10.考研高等数学中，若函数f(x)在点x₀处连续，且f(x₀)≠0，则lim(x→x₀)[f(x)/f(x₀)]=1。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上。）1.在考研高等数学中，如何判断一个函数在某点处是否连续？请给出完整的判断步骤。2.考研高等数学中，什么是无穷小量？请举例说明不同阶的无穷小量之间的关系。3.在考研高等数学中，极限的ε-δ语言定义是什么？请解释其中各个符号的含义。4.考研高等数学中，连续函数有哪些重要性质？请分别说明。5.在考研高等数学中，如何判断一个函数在某点处是否可导？请给出完整的判断步骤。6.考研高等数学中，什么是等价无穷小量？请给出两个常见的等价无穷小量例子。7.在考研高等数学中，如何应用极限运算法则计算复合函数的极限？8.考研高等数学中，闭区间上连续函数的性质有哪些？请分别说明。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上。）1.在考研高等数学中，已知函数f(x)=x³-3x+2，求lim(x→1)[f(x)-f(1)]/[x-1]。2.考研高等数学中，已知函数f(x)=|x|在x=0处是否连续？请给出判断过程。3.在考研高等数学中，已知函数f(x)=1/(x-1)在x=1处是否连续？请给出判断过程。4.考研高等数学中，已知函数f(x)=√(x²+1)在x=0处是否连续？请给出判断过程。5.在考研高等数学中，已知函数f(x)=e^x在x=0处是否连续？请给出判断过程。6.考研高等数学中，已知函数f(x)=sin(x)/x在x=0处是否连续？请给出判断过程。7.在考研高等数学中，已知函数f(x)=ln(x+1)在x=0处是否连续？请给出判断过程。8.考研高等数学中，已知函数f(x)=tan(x)在x=π/2处是否连续？请给出判断过程。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：ε-δ定义的正确表述是：对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。这是极限的ε-δ语言形式的核心定义，其他选项的表述均存在错误。2.B解析：保号性定理的正确表述是：若lim(x→a)f(x)=L且L<0，则存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)<0。其他选项的表述均存在错误。3.B解析：当x→0时，e^x-1与x是等价无穷小量，这是因为lim(x→0)[e^x-1]/x=1。其他选项的表述均存在错误。4.A解析：左连续和右连续是函数在一点连续的充分必要条件，因此若函数f(x)在点x₀处左连续且右连续，则f(x)在x₀处必连续。其他选项的表述均存在错误。5.A解析：根据闭区间上连续函数的性质，闭区间上的连续函数必存在最大值和最小值。其他选项的表述均存在错误。6.B解析：若lim(x→a)f(x)存在且lim(x→a)g(x)不存在，则lim(x→a)[f(x)•g(x)]必不存在。这是因为两个函数相乘时，若其中一个极限不存在，则乘积的极限也不存在。其他选项的表述均存在错误。7.B解析：根据函数极限与数列极限的关系，若对于任意收敛于a的数列{a_n}，都有lim(n→∞)f(a_n)=L，则lim(x→a)f(x)=L。这是函数极限与数列极限的关系的基本定理。其他选项的表述均存在错误。8.A解析：根据函数极限的保号性推论，若lim(x→a)f(x)=L且L>0，则存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，f(x)≥0。其他选项的表述均存在错误。9.B解析：当x→0时，e^x-1与x是等价无穷小量，这是因为lim(x→0)[e^x-1]/x=1。其他选项的表述均存在错误。10.D解析：若函数f(x)在点x₀处连续，则lim(x→x₀)f(x)必存在且等于f(x₀)。这是函数连续性的基本性质。其他选项的表述均存在错误。二、填空题1.1解析：根据极限的定义，lim(x→2)[3x²-5x+a]/[x²-4]=lim(x→2)[3x²-5x+a]/[x-2][x+2]=lim(x→2)[3x-5+a/(x-2)]/[x+2]=[3×2-5+a/(2-2)]/[2+2]=2。因此，3×2-5+a/(2-2)=4，解得a=1。2.0解析：根据极限的定义，lim(x→x₀)[f(x)+3]/[x-x₀]•sin(x-x₀)=lim(x→x₀)[f(x)+3]/[x-x₀]•lim(x→x₀)sin(x-x₀)=lim(x→x₀)[f(x)+3]/[x-x₀]•0=0。3.2解析：根据无穷小量的定义，若3x²+2x³是f(x)的高阶无穷小量，则f(x)的阶数k必须大于2。又因为f(x)与sin(2x)是同阶无穷小量，而sin(2x)的阶数为1，因此k=2。4.(1,3)解析：根据介值定理，若函数f(x)在闭区间[1,3]上连续，且f(1)=2，f(3)=-1，则对于任意介于2和-1之间的实数c，方程f(x)=c在区间(1,3)内至少有一个实根。因此，方程f(x)=0在区间(1,3)内至少有一个实根的取值范围是(1,3)。5.5解析：根据极限的性质，lim(x→∞)[f(x)+2]/[x+1]=lim(x→∞)[f(x)/x+2/x]/[1+1/x]=lim(x→∞)f(x)/x+2/x+2/(x+1)=3。因此，lim(x→∞)f(x)/x=3-2/x-2/(x+1)→3。因此，lim(x→∞)f(x)的值为5。6.5解析：根据导数的定义，f'(x₀)=lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)]/[x-x₀]=5。因此，lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)]/[x-x₀]•(x-x₀)=5×(x-x₀)→5。7.9解析：根据极限的性质，lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)]²/[x-x₀]=[lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)/[x-x₀]]]²=[3]²=9。8.1/f(x₀)解析：根据极限的性质，lim(x→x₀)[1/f(x)]•[1/(x-x₀)]=lim(x→x₀)[1/f(x)]•lim(x→x₀)[1/(x-x₀)]=1/f(x₀)•1/(x-x₀)→1/f(x₀)。9.2/x₀解析：根据极限的性质，lim(x→x₀)[f(x)/x²]=lim(x→x₀)[f(x)/x]•[1/x]=2/x₀。10.0解析：根据极限的性质，lim(x→x₀)[f(x)•ln(f(x)-1)]=lim(x→x₀)f(x)•lim(x→x₀)ln(f(x)-1)=1×ln(1-1)=0。三、判断题1.×解析：函数在某点处极限存在并不意味着函数在该点处必处处有定义。例如，函数f(x)=1/x在x=0处极限不存在，但在x=0处无定义。2.×解析：函数在某点处不连续并不意味着函数在该点处的邻域内必处处不连续。例如，函数f(x)=x²在x=0处连续，但在x=0的邻域内存在不连续点。3.√解析：根据可导与连续的关系，若函数f(x)在点x₀处可导，则f(x)在x₀处必连续。这是可导与连续的基本性质。4.×解析：函数在某点处连续并不意味着函数在该点处必可导。例如，函数f(x)=|x|在x=0处连续，但在x=0处不可导。5.√解析：左连续和右连续是函数在一点连续的充分必要条件，因此若函数f(x)在点x₀处左连续且右连续，则f(x)在x₀处必连续。6.√解析：根据函数极限与数列极限的关系，若函数f(x)在点x₀处连续，则对于任意收敛于x₀的数列{a_n}，都有lim(n→∞)f(a_n)=f(x₀)。7.√解析：根据连续函数的性质，若函数f(x)在点x₀处连续，且f(x₀)≠0，则存在δ>0，使得当0<|x-x₀|<δ时，f(x)≠0。8.×解析：函数在某点处不连续并不意味着函数在该点处的邻域内必存在连续点。例如，函数f(x)=1/x在x=0处不连续，但在x=0的邻域内不存在连续点。9.√解析：根据极限的性质，lim(x→x₀)f(x)²=4，则[lim(x→x₀)f(x)]²=4，因此lim(x→x₀)f(x)=±2。10.√解析：根据极限的性质，lim(x→x₀)[f(x)/f(x₀)]=lim(x→x₀)f(x)/f(x₀)=1。四、简答题1.判断函数在某点处是否连续的步骤：（1）检查函数在该点处是否有定义；（2）计算函数在该点处的极限；（3）比较函数在该点处的极限值与函数值是否相等；（4）若三者相等，则函数在该点处连续；否则不连续。2.无穷小量的定义：无穷小量是指当自变量趋于某一值时，函数值趋于零的变量。例如，当x→0时，x²和x³都是无穷小量，而x²比x³更快趋于0。3.极限的ε-δ语言定义：对于函数f(x)在点x₀处的极限，ε-δ语言定义是：对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x₀|<δ时，|f(x)-L|<ε。其中，ε是任意给定的正数，δ是依赖于ε的正数，L是函数f(x)在点x₀处的极限。4.连续函数的重要性质：（1）局部有界性：若函数f(x)在点x₀处连续，则f(x)在x₀的邻域内有界；（2）局部保号性：若函数f(x)在点x₀处连续，且f(x₀)≠0，则存在δ>0，使得当0<|x-x₀|<δ时，f(x)与f(x₀)同号；（3）介值性：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则对于任意介于f(a)和f(b)之间的实数c，方程f(x)=c在区间(a,b)内至少有一个实根。5.判断函数在某点处是否可导的步骤：（1）检查函数在该点处的极限是否存在；（2）若极限存在，则计算函数在该点处的导数；（3）若导数存在，则函数在该点处可导；否则不可导。6.等价无穷小量的定义：等价无穷小量是指当自变量趋于某一值时，两个无穷小量的比值趋于1的变量。例如，当x→0时，x与sin(x)是等价无穷小量，这是因为lim(x→0)[x/sin(x)]=1。7.应用极限运算法则计算复合函数的极限的步骤：（1）将复合函数分解为多个简单函数；（2）分别计算每个简单函数的极限；（3）根据极限运算法则，将各部分极限组合起来，得到复合函数的极限。8.闭区间上连续函数的性质：（1）最值定理：闭区间上的连续函数必存在最大值和最小值；（2）介值定理：闭区间上的连续函数必存在介值；（3）零点定理：闭区间上的连续函数若在端点处异号，则必存在零点。五、应用题1.已知函数f(x)=x³-3x+2，求lim(x→1)[f(x)-f(1)]/[x-1]。解：根据导数的定义，lim(x→1)[f(x)-f(1)]/[x-1]=f'(1)。计算f'(x)=3x²-3，因此f'(1)=3×1²-3=0。因此，lim(x→1)[f(x)-f(1)]/[x-1]=0。2.已知函数f(x)=|x|在x=0处是否连续？解：函数f