2026年天津市北师大版高中数学第5章函数性质综合测试卷

2026年天津市北师大版高中数学第5章函数性质综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+2在区间(-2,2)上的最大值是______。选项：A.4B.3C.2D.1解析：首先，对函数f(x)=x³-3x+2求导，得到f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0，解得x=±1。当x∈(-2,-1)时，f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,2)时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=(-1)³-3(-1)+2=4，在x=1处取得极小值f(1)=1³-3(1)+2=0。比较端点值f(-2)=-8+6+2=0，f(2)=8-6+2=4，可知最大值为4。参考答案：A2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是______。选项：A.-3B.0C.3D.1解析：函数g(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和。当x∈[-2,1]时，g(x)=(1-x)+(x+2)=3；当x∈(-∞,-2)或(1,+∞)时，g(x)分别表示x到1和-2的距离之和，最小值为3。因此，g(x)的最小值为3。参考答案：C3.函数h(x)=2cos²x-sin2x+1的周期是______。选项：A.πB.2πC.4πD.8π解析：首先，将h(x)=2cos²x-sin2x+1化简为h(x)=cos2x+1-sin2x+1=cos2x-sin2x+2=√2cos(2x+π/4)+2。由于cos(2x+π/4)的周期为2π/2=π，因此h(x)的周期为π。参考答案：A4.函数m(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,3)上的值域是______。选项：A.(0,ln3)B.(ln2,ln3)C.(ln3,+∞)D.(0,+∞)解析：令t=x²-2x+3=(x-1)²+2，则t∈[2,3]。函数y=ln(t)在(0,+∞)上单调递增，因此m(x)=ln(t)在[2,3]上的值域为[ln2,ln3]。参考答案：B5.函数n(x)=x³-6x²+9x+1的拐点是______。选项：A.(1,5)B.(2,3)C.(3,1)D.(0,1)解析：首先，对n(x)求二阶导数，n''(x)=6x-12。令n''(x)=0，解得x=2。当x∈(-∞,2)时，n''(x)<0，函数凹向下；当x∈(2,+∞)时，n''(x)>0，函数凹向上。因此，(2,n(2))=(2,3)是函数的拐点。参考答案：B6.函数p(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值是______。选项：A.1B.eC.2eD.e²解析：对p(x)求导，p'(x)=e^x-a。令x=1，p'(1)=e-a=0，解得a=e。验证：当x∈(-∞,1)时，p'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时，p'(x)>0，函数单调递增。因此，x=1是函数的极小值点，a=e符合题意。参考答案：B7.函数q(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/3)的最小正周期是______。选项：A.πB.2πC.4πD.8π解析：首先，将q(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/3)=sinxcos(π/6)+cosxsin(π/6)-cosxcos(π/3)+sinxsin(π/3)=√3/2sinx+1/2cosx-1/2cosx+√3/2sinx=√3sinx。函数y=√3sinx的周期为2π/1=2π。参考答案：B8.函数r(x)=x/(x²+1)在区间(-1,1)上的最大值是______。选项：A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解析：对r(x)求导，r'(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²。令r'(x)=0，解得x=±1。由于x∈(-1,1)，只考虑x=0。当x∈(-1,0)时，r'(x)>0，函数单调递增；当x∈(0,1)时，r'(x)<0，函数单调递减。因此，r(x)在x=0处取得极大值r(0)=0/(0²+1)=0。比较端点值r(-1)=-1/(1+1)=-1/2，r(1)=1/(1+1)=1/2，可知最大值为1/2。参考答案：A9.函数s(x)=x²lnx在x=1处的切线方程是______。选项：A.y=x-1B.y=2x-2C.y=x+1D.y=2x+2解析：首先，对s(x)求导，s'(x)=2xlnx+x。令x=1，s'(1)=2ln1+1=1。s(1)=1²ln1=0，因此切点为(1,0)。切线方程为y-y₁=s'(x₁)(x-x₁)，即y=1(x-1)，即y=x-1。参考答案：A10.函数t(x)=2^x-3^x在区间(0,+∞)上的单调性是______。选项：A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定解析：对t(x)求导，t'(x)=2^xln2-3^xln3。由于2^xln2和3^xln3都是指数函数，且3^xln3>2^xln2（因为3>2且ln3>ln2），因此t'(x)<0在(0,+∞)上恒成立。因此，t(x)在(0,+∞)上单调递减。参考答案：B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值之差是______。解析：对f(x)求导，f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0，解得x=0或x=2。比较端点值f(-1)=-1-3+2=-2，f(0)=0³-3(0)²+2=2，f(2)=2³-3(2)²+2=-2，f(3)=3³-3(3)²+2=2。最大值为2，最小值为-2，差为4。参考答案：42.函数g(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的值域是______。解析：当x∈[-3,-2]时，g(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当x∈[-2,1]时，g(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x∈[1,3]时，g(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。在[-3,-2]上，g(x)取值范围是[7,5]；在[-2,1]上，g(x)恒为3；在[1,3]上，g(x)取值范围是[3,7]。因此，值域为[3,7]。参考答案：[3,7]3.函数h(x)=sin(2x-π/4)在区间[0,π/2]上的最大值是______。解析：令2x-π/4=t，则x∈[0,π/2]时，t∈[-π/4,3π/4]。函数y=sint在[-π/4,3π/4]上的最大值为1（当t=π/2时）。因此，h(x)的最大值为1。参考答案：14.函数m(x)=ln(x²-2x+3)在x=2处的导数是______。解析：令t=x²-2x+3，则m(x)=ln(t)。m'(x)=1/t•t'=1/(x²-2x+3)•(2x-2)=2(x-1)/(x²-2x+3)。当x=2时，m'(2)=2(2-1)/(4-4+3)=2/3。参考答案：2/35.函数n(x)=x³-6x²+9x+1的二阶导数为______。解析：n'(x)=3x²-12x+9，n''(x)=6x-12。参考答案：6x-126.函数p(x)=e^x-ax在x=0处的二阶导数是______。解析：p'(x)=e^x-a，p''(x)=e^x。当x=0时，p''(0)=e^0=1。参考答案：17.函数q(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/3)在x=π/4处的值是______。解析：q(π/4)=sin(π/4+π/6)-cos(π/4-π/3)=sin(5π/12)-cos(π/12)。利用和差化积公式，sin(5π/12)-cos(π/12)=√3/2。参考答案：√3/28.函数r(x)=x/(x²+1)在x→+∞时的极限是______。解析：lim(x→+∞)x/(x²+1)=lim(x→+∞)1/(x+1/x)=0。参考答案：09.函数s(x)=x²lnx在x=1处的二阶导数是______。解析：s'(x)=2xlnx+x，s''(x)=2lnx+3。当x=1时，s''(1)=2ln1+3=3。参考答案：310.函数t(x)=2^x-3^x在x=0处的导数是______。解析：t'(x)=2^xln2-3^xln3。当x=0时，t'(0)=2^0ln2-3^0ln3=ln2-1。参考答案：ln2-1三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是8。解析：对f(x)求导，f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0，解得x=±1。比较端点值f(-2)=-8+6+1=-1，f(-1)=-1+3+1=3，f(1)=1-3+1=-1，f(2)=8-6+1=3。最大值为3，不是8。参考答案：×2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|在x=0处取得极小值。解析：当x∈[-2,1]时，g(x)=3；当x∈(-∞,-2)或(1,+∞)时，g(x)分别单调递增。因此，x=0不是极小值点。参考答案：×3.函数h(x)=sin(2x-π/4)在x=π/4处取得最大值。解析：令2x-π/4=π/2，解得x=3π/8。函数y=sint在t=π/2时取得最大值1。因此，x=3π/8是最大值点，不是π/4。参考答案：×4.函数m(x)=ln(x²-2x+3)在x=1处取得极小值。解析：令t=x²-2x+3，则m(x)=ln(t)。t在x=1处取得最小值2，因此ln(t)在x=1处取得极小值ln2。参考答案：√5.函数n(x)=x³-6x²+9x+1的拐点是(2,3)。解析：n''(x)=6x-12。令n''(x)=0，解得x=2。n(2)=3，因此(2,3)是拐点。参考答案：√6.函数p(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则a=e。解析：p'(x)=e^x-a。令x=1，e-a=0，解得a=e。参考答案：√7.函数q(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/3)的最小正周期是π。解析：函数可化简为√3sinx，周期为2π。参考答案：×8.函数r(x)=x/(x²+1)在x=0处取得极值。解析：r'(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²。令r'(x)=0，解得x=±1。x=0不是极值点。参考答案：×9.函数s(x)=x²lnx在x=1处的导数为1。解析：s'(x)=2xlnx+x。当x=1时，s'(1)=2ln1+1=1。参考答案：√10.函数t(x)=2^x-3^x在区间(0,+∞)上单调递减。解析：t'(x)=2^xln2-3^xln3。由于3^xln3>2^xln2，因此t'(x)<0在(0,+∞)上恒成立。参考答案：√四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的单调区间。解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，解得x=0或x=2。当x∈(-∞,0)时，f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(0,2)时，f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(2,+∞)时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。参考答案：单调增区间(-∞,0)和(2,+∞)，单调减区间(0,2)2.求函数g(x)=|x-1|+|x+2|的值域。解析：当x∈(-∞,-2)时，g(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当x∈[-2,1]时，g(x)=-(x-1)+(x+2)=3；当x∈[1,+∞)时，g(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。在(-∞,-2)上，g(x)取值范围是(+∞,5)；在[-2,1]上，g(x)恒为3；在[1,+∞)上，g(x)取值范围是[3,+∞)。因此，值域为[3,+∞)。参考答案：[3,+∞)3.求函数h(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期。解析：令2x-π/4=t，则x∈[0,π/2]时，t∈[-π/4,3π/4]。函数y=sint的周期为2π，因此2x-π/4的周期为2π。因此，h(x)的周期为2π/2=π。参考答案：π4.求函数m(x)=ln(x²-2x+3)的导数。解析：令t=x²-2x+3，则m(x)=ln(t)。m'(x)=1/t•t'=1/(x²-2x+3)•(2x-2)=2(x-1)/(x²-2x+3)。参考答案：2(x-1)/(x²-2x+3)5.求函数n(x)=x³-6x²+9x+1的二阶导数。解析：n'(x)=3x²-12x+9，n''(x)=6x-12。参考答案：6x-126.求函数p(x)=e^x-ax在x=1处的导数。解析：p'(x)=e^x-a。当x=1时，p'(1)=e-a。参考答案：e-a7.求函数q(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/3)的导数。解析：q'(x)=cos(x+π/6)-(-sin(x-π/3))=cos(x+π/6)+sin(x-π/3)。参考答案：cos(x+π/6)+sin(x-π/3)8.求函数r(x)=x/(x²+1)的导数。解析：r'(x)=(x²+1-2x²)/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²。参考答案：(1-x²)/(x²+1)²五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，解得x=0或x=2。比较端点值f(-2)=-8+6+2=0，f(0)=0³-3(0)²+2=2，f(2)=2³-3(2)²+2=-2，f(3)=3³-3(3)²+2=2。最大值为2，最小值为-2。参考答案：最大值2，最小值-22.已知函数g(x)=|x-1|+|x+2|，求g(x)在区间[-3,3]上的值域。解析：当x∈[-3,-2]时，g(x)=-2x-1；当x∈[-2,1]时，g(x)=3；当x∈[1,3]时，g(x)=2x+1。在[-3,-2]上，g(x)取值范围是[7,5]；在[-2,1]上，g(x)恒为3；在[1,3]上，g(x)取值范围是[3,7]。因此，值域为[3,7]。参考答案：[3,7]3.已知函数h(x)=sin(2x-π/4)，求h(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。解析：令2x-π/4=t，则x∈[0,π/2]时，t∈[-π/4,3π/4]。函数y=sint在[-π/4,3π/4]上的最大值为1（当t=π/2时），最小值为-√2/2（当t=-π/4时）。因此，h(x)的最大值为1，最小值为-√2/2。参考答案：最大值1，最小值-√2/24.已知函数m(x)=ln(x²-2x+3)，求m(x)在x=2处的导数。解析：m'(x)=1/(x²-2x+3)•(2x-2)=2(x-1)/(x²-2x+3)。当x=2时，m'(2)=2(2-1)/(4-4+3)=2/3。参考答案：2/35.已知函数n(x)=x³-6x²+9x+1，求n(x)的拐点。解析：n''(x)=6x-12。令n''(x)=0，解得x=2。n(2)=3，因此(2,3)是拐点。参考答案：(2,3)6.已知函数p(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，求a的值。解析：p'(x)=e^x-a。令x=1，e-a=0，解得a=e。验证：当x∈(-∞,1)时，p'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时，p'(x)>0，函数单调递增。因此，a=e符合题意。参考答案：a=e7.已知函数q(x)=sin(x+π/6)-cos(x-π/3)，求q(x)的导数。解析：q'(x)=cos(x+π/6)+sin(x-π/3)。参考答案：cos(x+π/6)+sin(x-π/3)标准答案及解析一、单项选择题1.A2.C3.A4.B5.B6.B7.B8.A9.A10.B解析：2.求导f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。比较端点值f(-2)=0，f(0)=2，f(2)=0，最大值为4。3.分段讨论，最小值为3。4.化简为√3sinx，周期为2π。5.求导r'(x)=(1-x²)/(x²+1)²，令r'(x)=0，解得x=0。比较端点值r(-1)=-1/2，r(0)=0，r(1)=1/2，最大值为1/2。6.求导n'(x)=6x-12，令n'(x)=0，解得x=2。比较端点值n(1)=5，n(3)=1，拐点为(2,3)。7.求导p'(x)=e^x-a，令x=1，e-a=0，解得a=e。8.化简为√3sinx，周期为2π。9.求导r'(x)=(1-x²)/(x²+1)²，令r'(x)=0，解得x=0。比较端点值r(-1)=-1/2，r(0)=0，r(1)=1/2，最大值为1/2。10.求导s'(x)=2xlnx+x，令x=1，s'(1)=1。切线方程为y=x-1。11.求导t'(x)=2^xln2-3^xln3，由于3^xln3>2^xln2，因此t'(x)<0在(0,+∞)上恒成立。二、填空题1.412.[3,7]13.114.2/315.6x-1216.117.√3/218.019.320.ln2-1解析：2.求导f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。比较端点值f(-2)=-1，f(0)=2，f(2)=-2，最大值为2，最小值为-2，差为4。3.分段讨论，值域为[3,7]。4.化简为√3sinx，最大值为1。5.求导m'(x)=2(x-1)/(x²-2x+3)，当x=2时，m'(2)=2/3。6.求二阶导n''(x)=6x-12。7.求二阶导p''(x)=e^x，当x=0时，p''(0)=1。8.求导q'(x)=cos(x+π/6)+sin(x-π/3)，当x=π/4时，q(π/4)=√3/2。9.求导r'(x)=(1-x²)/(x²+1)²，当x→+∞时，r'(x)→0。10.求二阶导s''(x)=2lnx+3，当x=1时，s''(1)=3。11.求导t'(x)=2^xln2-3^xln3，当x=0时，t'(0)=ln2-1。三、判断题1.×22.×23.×24.√25.√26.√27.×28.×29.√30.√解析：2.最大值为3，不是8。3.极小值点为x=1，不是x=0。4.最大值点为x=3π/8，不是π/4。5.ln(t)在x=1处取得极小值ln2。6.(2,3)是拐点。7.求导p'(x)=e^x-a，令x=1，e-a=0，解得a=e。8.周期为2π。9.极值点为x=±1，不是x=0。10.求导s'(x)=2xlnx+x，当x=1时，s'(1)=1。11.求导t'(x)=2^xln2-3^xln3，由于3^xln3>2^xln2，因此t'(x)<0在(0,+∞)上恒成立。四、简答题1.单调增区间(-∞,0)和(2,+∞)，单调减区间(0,2)解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，解得x=0或x=2。当x∈(-∞,0)时，f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(0,2)时，f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(2,+∞)时，f'(x)>0，函数单调递增。参考答案：单调增区间(-∞,0)和(2,+∞)，单调减区间(0,2)2.[3,+∞)解析：当x∈(-∞,-2)时，g(x)=-2x-1；当x∈[-2,1]时，g(x)=3；当x∈[1,+∞)时，g(x)=2x+1。在(-∞,-2)上，g(x)取值范围是(+∞,5)；在[-2,1]上，g(x)恒为3；在[1,+∞)上，g(x)取值范围是[3,+∞)。因此，值域为[3,+∞)。参考答案：[3,+∞)3.π解析：令2x-π/4=t，则x∈[0,π/2]时，t∈[-π/4,3π/4]。函数y=sint的周期为2π，因此2x-π/4的周期为2π。因此，h(x)的周期为2π/2=π。参考答案：π4.2(x-1)/(x²-2x+3)解析：令t=x²-2x+3，则m(x)=ln(t)。m'(x)=1/t•t'=1/(x²-2x+3)•(2x-2)=2(x-1)/(x²-2x+3)。参考答案：2(x-1)/(x²-2x+3)5.6x-12解析：n'(x)=3x²-12x+9，n''(x)=6x-12。参考答案：6x-126.e-a解析：p'(x)=e^x-a。当x=1时，p'(1)=e-a。参考答案：e-a7.cos(x+π/6)+sin(x-π/3)解析