湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期开学学情自测数学试卷(含答案)

湖南省长沙市2026-2027学年高一秋季开学学情自测卷

数学试题

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.已知对任意实数x,式子都有意义，则实数m的取值范围是()

A.m<4B.m>4C.m≤4D.m≥4

2.某校九年级261位学生参加理化实验考试，其中某班35位学生的物理成绩与理化总成绩

在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生，则三人中化学成绩最好的是

()

理化成绩年级名次

A.甲B.乙C.丙D.无法确定

3.如果抛物线y=(x-m)²+(m+1)的顶点在第一象限，则m的取值范围是()

A.m>1B.m>0C.m>-1D.-1<m<0

4.不等式(x+1)(x-2)≤0的解集为()

A.{x|-1≤x≤2}B.{x|-1<x<2}

C.{x|x≤-1或x≥2}D.{x|x<-1或x>2}

5.函数的图象的大致形状是()

A.B.

C.D.

6.下列选项中，是“不等式2x²-x-m>0在x∈R上恒成立”的一个必要不充分条件的是

()

A.B.

D.

7.如图，四边形ABCD内接于00,AB为直径，AD=CD,过点D作DE⊥AB于点E,

连接AC交DE于点F.,则BC的长为()

B

A.8B.10C.12D.16

8.抛物线y=x²+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x²+bx+3-t=0

(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根，则t的取值范围是()

A.2≤t<11B.t≥2

C.6<t<11D.2≤t<6

二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项

符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)

9.已知集合A={1,2,3},则下列表示方法正确的是()

A.≤AB.{1,2}∈AC.A≤ND.1A

10.已知a>0,b>0,a+b=1,则下列结论成立的是()

A.的最小值为4B.的最小值为3

C.的最小值为2D.的最小值为1

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形

OACB是矩形，函数.的图象与边AC交于点M,与边BC交于点N(M,N不

重合).给出下面四个选项，则正确的有()

A.△COM与△CON的面积一定相等

B.△MON与△MCN的面积可能相等

C.△MON一定是锐角三角形

D.△MON可能是等边三角形

三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)

12.如图，将三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，折痕为CE.若△ABC的

面积为8,△BCE的面积为5,则BD:DC=

13.设命题P:已知a>0,b>0,且a+b=ab,不等式a+b≥m²-5m-2恒成立，命题9:

存在x∈[-1,1],使得不等式x²-2x+m-1≤0成立，若命题P、9中有一个为真命题，一个

为假命题，则实数m的取值范围是_

14.黄金分割比,这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉.古希

腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角

与之关联.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,BC=2,点D在线段AB上，过点D

作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,得到矩形DECF,若矩形DECF的周长与Rt△ABC的

周长之比恰好为黄金分割比，则AD的长为_

四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.已知集合A={x|3<x<6},B={x|4<x<10},C={x|x<a},全集为实数集R.

(1)求A∩B,AUB,A;

(2)如果A∩C≠×,求a的取值范围.

16.学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活

动，请阅读下列材料，并完成相关问题.

租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满

员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人

材料一

;用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车

辆数相同.

A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为

材料二3000元/辆.优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用

(3200-50m)元/辆；租用B型客车，租车费用打八折.

租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动

材料三

师生共有530人，租用A,B两种型号客车共10辆.

(1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?

(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少?

17.某单位欲购买A、B两种电器，根据预算，共需资金15750元.购买一件A种电器和两件

B种电器共需资金2300元：购买两件A种电器和一件B种电器共需资金2050元

(1)购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别是多少元?

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(2)若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件?

(3)为节省开支，该单位只购买A、B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元：

自己出资金不超过4000元；其中政府对A、B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元.

请你通过计算求出有几种购买方案?

18.如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°,BC=CD,E是AD延长线的一点.若

DE=AB=3,CE=4√2.求AD的长.

19.已知二次函数f(x)=ax²-2x(a>0)

(1)若f(x)在[0,2]的最大值为4,求a的值；

(2)若对任意实数t,总存在x,x₂∈[t,t+1],使得|f(x₁)-f(x₂)|≥2.求a的取值范围.

湖南省长沙市2026-2027学年高一秋季开学学情自测卷

数学试题

1.B

【详解】x²-4x+m=(x-2)²+m-4,

对任意实数x,式子都有意义，∵(x-2)²≥0,∴m-4>0,解得m>4.

2.A

【详解】由统计图可知，乙的物理成绩非常靠前，远远高于甲的物理成绩，

但甲、乙两人的理化总成绩却相差不大，说明甲的化学成绩比乙好；

丙的物理成绩非常靠前，比乙好，但是理化总成绩却比乙差许多，说明丙化学成绩比乙差.

综上所述，三人中化学成绩最好的是甲.

3.B

【详解】由题意得抛物线y=(x-m²+(m+1)的顶点坐标为(m,m+1),

因为其在第一象限，则解得m>0:

故选：B.

4.A

【详解】令(x+1)(x-2)=0,所以x+1=0或x-2=0.

解得x=-1,x=2.

所以不等式(x+1)(x-2)≤0的解集是{x|-1≤x≤2}.

故选：A.

5.B

【详解】当x>0时，y=e在(0,+∞0)上单调递减，排除CD;

当x<0时，y=-e⁻×在(-∞,0)上单调递增，排除A,选项B符合要求.

故选：B

6.A

【详解】令f(x)=2x²-x-m,其图象开口向上，

∵不等式2x²-x-m>0在x∈R上恒成立，

∴△=1+8m<0,解得

又∵

是的必要不充分条件，

选项B,则是的充要条件，

选项C,则是的充分不必要条件，

是的充分不必要条件.

故选：A.

7.C

【详解】连接BD,因为AB是直径，所以∠ADB=∠ACB=90°,

因为AD=CD,所以∠DAC=∠DCA,

而∠DCA=∠ABD,所以∠DAC=∠ABD,

因为DE⊥AB,所以∠ABD+∠BDE=90°,

而∠ADE+∠BDE=90°,所以∠ABD=∠ADE,

所以∠ADE=∠DAC,所以FD=FA=5,

在Rt△AEF中，,所以EF=3,所以AE=4,DE=8,

因为∠ADE=∠DBE,∠AED=∠BED,

所以△ADE~△DBE,所以

所以AB=20,在Rt△ABC中，

故选：C

B

8.A

【详解】抛物线y=x²+bx+3的对称轴为直线x=1,所以

则关于x的一元二次方程x²+bx+3-t=0(1为实数)在-1<x<4的范围内有实数根，

整理得t=x²-2x+3=(x-1)²+2,而(1-1)²+2=2,(4-1)²+2=11,

所以2≤t<11.

故选：A

9.AC

【详解】因为集合A={1,2,3},

则Ø≤A,即A选项正确；集合4中元素都是正整数，则A≤n,即C正确；

“∈”只能表示元素与集合之间关系，故B错；

“三”只能表示集合之间的关系，故D错.

故选：AC.

10.AB

【详解】对于A,

当且仅当时，取等号，故A正确；

对于B,

当且仅当时，取等号，故B正确；

对于C,由a>0,b>0,a+b=1,

可知(1-a)+(2-b)=3-(a+b)=2,且1-a>0,2-b>0,

不等式取等号的条件是1-a=2-b=1,即a=0,b=1,

与题设a>0,b>0矛盾，故的最小值大于2,故C错误；

对于D,

故最小值大于1,故D错误.

故选：AB.

11.AD

【详解】设点1,点N坐标为(

∴SACM=SACoN,故A正确；

当△MON与△MCN的面积相等时，即a=b,

当a=b时，M,N重合，与题意不符，故B错误；

当M,N在y=x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，C错误；

∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM=60°且

对称轴都为直线y=x,△MON可能是等边三角形，D正确；

如图：

故选：AD.

12.

【详解】由题意，△ABC的面积为8,△BCE的面积为5,

所以△ACE的面积为3,

因为将三角形纸片ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，折痕为CE,

所以S△ACE=S△DCE=3,所以△BDE的面积为2,

所以BD:DC=S△BDE:S△DCE=2:3.

故答案为：

13.(-∞,-1)U(2,6)

【详解】对于P:所以a+b≥4,当且仅当a=b=2时取等号，

∴m²-5m+8≤a+b恒成立，则m²-5m-2≤4,即-1≤m≤6;

对于9:存在x∈[-1,1],使得不等式x²-2x+m-1≤0成立，

,∴-2+m≤0,∴m≤2;

因为P,9有一真一假，所以

若9为假命题，P为真命题，则,所以2<m≤6;

若P为假命题，9为真命题，则所以m<-1.

综上，m<-1或2<m≤6,

故答案为：(-∞,-1)U[2,6].

14.3√5-5

【详解】∵∠C=90°,AC=4,BC=2,∴由勾股定理得AB=2√5,

∴CRt△ABC=AC+BC+AB=6+2√5,

∵四边形DECF为矩形，∴∠AED=∠C=90°,

设DE=x,则AE=2x,AD=√5x,∴CE=AC-AE=4-2x,

∴C矩形DECF=2×(DE+CE)=8-2x,

,解得x=3-√5,

∴AD=√5x=3√5-5.

故答案为：3√5-5.

15.(1){x|4<x<6},{x|3<x<10},{x|x≤3或x≥6}

(2)(3,+∞)

【详解】(1)∵A={x|3<x<63,B={x|4<x<10},

∴A∩B={x|4<x<6},AUB={x|3<x<103,CA={x|x≤3或x≥6},

(2)因为集合A={x|3<x<6},C={x|x<a},且A∩C≠Ø,

所以a>3,

即a的取值范围为(3,+∞).

16.(1)A型号的客车每辆载客量是60人，B型号的客车每辆载客量是45人.

(2)本次研学活动学校的最少租车费用是27000元.

【详解】(1)由已知设A型号的客车每辆载客量是x人，则B型号的客车每辆载客量是

(x-15)人.

根据题意有,解得x=60,

经检验，x=60是方程的解，且符合题意，

所以x-15=60-15=45(人).

答：A型号的客车每辆载客量是60人，B型号的客车每辆载客量是45人.

(2)设租用A型号的客车m(0≤m≤8)辆，则租用B型号的客车(10-m)辆.

根据题意有60m+45(10-m)≥530,解得

设本次研学活动学校的租车费用是W元.

则有w=(3200-50m)m+3000×(10-m)×0.8=-50m²+800m+24000

因为抛物线的对称轴为直线且开口向下，

所以当m≤8时，w随着m的增大而增大，

又因为m取正整数，且

所以当m=6时，w取得最小值，

且最小值为-50×6²+800×6+24000=27000(元).

答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元.

17.(1)600;850

(2)15

(3)4

【详解】(1)设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为a元和b元.

由题意可知,解得

故购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为600元和850元.

(2)设购买B种电器x件.

15750-850x≤5×600,解得x≥15,

故可购买B种电器至少有15件.

(3)设购买A种电器件，则购买B种电器(6-y)件.

,解得l≤y≤4,

因为V取整数，

所以Y可取1,2,3,4,共4种方案.

18.5

【详解】

连接AC,∵BC=CD,AB=DE,∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°,

∴∠B=∠CDE,∴△CDE≌△CBA(SAS),∴∠ACE=90°.

因为CA=CE=4√2,所以AE=8,故AD=5.

19.(1)2;2)(8,+∞).

【详解】由f(x)解析式知：f(x)为开口方向向上，对称轴为的二次函数，

(1),即时，f(x)在[0,2]上单调递减，

∴f(x)mx=f(0)=0,不合题意；

当,即时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，

∴f(x)=max{f(0),f(2)},

又f(0)=0,f(2)=4a-4,f(x)在[O,2的最大值为4

∴f(x)mx=f(2)=4a-4=4,解得：a=2;

综上所述：a=2.

(2)若对任意实数t,总存在x,x₂∈[t,t+1],使得|f(x₁)-f(x₂)|≥2,

则f(x)m-f(x).≥2对x∈[t,t+1]恒成立，

①当,f(x)在[1,t+1]上单调递增，

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