高考数学立体几何空间几何中的探索性问题

立体几何

空间几何中的探索性问题

大题拆解技巧

【母题】（2021年全国甲卷）已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，侧面AAiB（B为正方

形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC）的中点,D为棱A.B）上的点,

（1）证明:BF_LDE.

（2）当B.D为何值时，平面BB.CiC与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？

【柝解1J已知直三棱柱ABC-AiBiCi中.侧面AAiBiB为正方形.AB=BC=2.E.F分别为AC

和CCi的中点,D为棱AiB,上的点,BF_LAiBi,证明:BA_LBC.

【解析】连接AF,

VE,F分别为直三棱柱ABC-A1B.C.的棱AC和CCi的中点，且AB=BC=2,

・•・CF=1.BF=VBC2+CF2=V22+l2=V5,

VBF±AiBi,AB/7A|Bh

ABF±AB,

Z.AF=VAB2+BF2=j22+(V5)2=3,

AC=VAF2-CF2=V3M2=2^,

/.AC2=AB2+BC2,5PBA1BC.

【拆解2】本例条件不变，证明:BF_LDE.

【解析】由拆解1可知BA1BC,

故以B为原点,BA.BCBB所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(2,0,0),B(0.0.0),C(0,2,0),E(1,1,0),F(0,2,l),

设BQ=m(OWn旺2),则D(m,0,2),

.•.BF=(0,2J),DE=(l-m,l,-2),

/.BFDE=O,BPBF±DE.

【拆解31本例条件不变，间当BQ为何值时，平面BBCC与平面DFE所成的二面角的正弦

值最小？

【解析】〈AB，平面BBCiC,・••平面BBiCiC的一个法向量为m=(1,0,0),

由⑴知，尻=(1-mJ,-2),EF=(-l,l,l),

设平面DFE的法向量为n=(x,y,z),则卜巴=y-2^=&

InEF=0,(-x+y+z=0,

令x=3,则y=m+1,z=2-m,/.n=(3,m+1,2-m),

•...mn333

e.cosUm,nL=；~—=—f?=।=,

22

阿“川lxj9+(m+i)+(2-m)“而》14.m今2+:

・•・当m=：时，平面BBQC与平面DFE所成的二面角的余弦值最大，为£此时正弦值最小，为

V3

3-

小做变式训练

《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书''中最重要的一部，它对儿何学的研究比西

方要早1000多年.在《九章算术》中,将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为

堑堵.如图，在堑堵ABC-A.BiCi中,AB_LACAA尸AB=AC=1,M,N分别是CChBC的中点，点P

在线段AIBI上.

(1)若P为AiBi的中点，求证:PN〃平面AAiCiC.

(2)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45。?若存在，试确定点P的位置;

若不存在,请说明理由.

【拆解1】《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书''中最重要的一部,它对几何学的

研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中,将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三

棱柱称为堑堵.如图，在堑堵ABC-ABG中,AB_LAC,AA=AB=AC=LM,N分别是CChBC的

中点，点P在线段A|B)上.若P为AB的中点，求证:PN〃平面AAiCiC.

【解析】取AICI的中点H.连接PH.HC如图所示.

在堑堵ABC-A.B.C,中,四边形BCCiB)为平行四边形,

所以BiG〃BC且BiC产BC.

在AAIBICI中,P,H分别为AiBuAjCi的中点,

所以PH〃BiCi且PH=|BQ.

因为N为BC的中点，所以NC=|BC,

从而NC=PH且NC〃PH,

所以四边形PHCN为平行四边形，于是PN〃CH.

因为CHu平面AiCCA.PNU平面ACCA.所以PN〃平面AAiCiC.

【拆解2】本例条件不变，求平面PMN的法向量.

【解析】以A为原点,AB,AC,AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，则

A,(0,0,1),Bi(1,0,1),N(；0),M(0,1

假设满足条件的点P存在，令P(X,O,l)(O<>t<l),

则丽=(g芸)，而

/4/4/

设平面PMN的法向量为n=(x,y,z),

n-NM=0,

则

.n-PN=0,

--x+-y+-z=0,

；2i2

(尸)x+yz=0.

令Ix=3,得y=1+2入,z=2-2九,

所以n=(3/+2入,2-21).

【拆解31本例条件不变，问是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45。?

若存在，试确定点P的位置;若不存在,请说明理由.

所以PD±AC,PD=2V3.

所以NPDE为二面角P-AC-B的平面角，则NPDE=60。，

在APDE中,由余弦定理，

得PE=VPD2+DE2-2PDDEcos600=3,

所以PD2=PE2+ED2,

所以PE_LED.

因为EDJ_AC,PD_LAC,EDClPD=D,EDTDu平面PDE,

所以ACJ_平面PED,

所以AC_LPE.

又ACClED=D,DE,ACu平面ABC,所以PE_L平面ABC,

因为PEu平面ABC,

所以平面PAB_L平面ABC.

(2)以点C为原点,CACB所在的直线分别为x,y轴，过点C且与PE平行的直线为z轴键在空

间直角坐标系，如图所示，

则B(0,2V3,0),A(4,0,0),E(2,V3,0),P(2,V33),M(3^),™=(3^,1),CB=(0,2V3,0),CP=(2,V33).

设平面PBC的法向量为n=(xi,yi,zi),

吧=0,即

则1=0,

n-CP=0,-75yl+3zi=0,

取x1=3,贝I」n=(3,0,-2).

所以CM与平面PBC所成的角的正弦值为sin9=|cos＜国n,t。/=等

2.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A]BiC]Di中,E,F分别是B|B,BC的中点.

(I)求证:AiE,AB,DF三线共点.

⑵线段CD上是否存在一点G,使得直线FG与平面AFG所成的角的正弦值为日?若存在,

请指出点G的位置，并求二面角E-ACi-G的平面角的余弦值大小;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)连接EF,AD「・EF〃AQ且EFMiD,

・・・A|E,DF共面,

设A|EC1DF=P，则点P£AF,而A|Eu平面AAiBiB,

:•点、P£平面AAiBiB.

同理可得点PW平面ABCD,

・•・点P在平面ABCD与平面AAiBiB的公共直线AB上,

即AiE,AB,DF三线共点.

(2)根据题意可知,AAi,AB,AD两两垂直，以A为原点,AB.AD,AAi所在的直线分别为x,y,z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，由图可得Ai(0,0,2),E(2,D,l),Ci(222),F(2,l,0),

故不二(2。-1),函=(2,2,0),

假设满足条件的点G存在，

设G(a,2,O),ae[0,2],则由ga-2,1,0),

设平面A|EC］的法向显为m=(x,y,z),

m-AxE=0ZR(2X-Z=0,

则由编=0(2x+2y=0,

不妨取z=2,则x=l,y=-l,

所以平面AiECi的一个法向量为m=(l,-l,2),

设直线FG与平面AiECi的平面角为9,

mil.।/.m-FG.,(a-2)xi+(-l)xi+2x0,百

则sin0n=|cosVm,FG>|=|^^|=|j/|=三,

|m||FG|J(a-2)2+l2+02XJ12+(-l)2+223

解得a=l,故G为CD的中点.

则前；:(1,0,2),

设平面A1GG的法向量为n=(x,y,z),

由｛:算It得露L，取x=2则，=52,

则平面AiGCi的一个法向量为n=(-2,2,l),

Ic°svm,n>|二|丽|=|百|

9

所以二面角E-A.C1-G的平面角的余弦值为当

3.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点，平面PAC±平面

ABC,PA=PC=AC=2.BC=4,E,F分别是PC.PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线

1.

(I)求讦:直线1_1_平面PAC.

(2)宜线I上是否存在点Q.使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余?若存在.求出

|AQ|的长;若不存在,请说明理由.

【解析】⑴〈EF分别是PC,PB的中点,・・・BC〃EF,又EFu平面EFA,BCC平面EFA,，BC〃

平面EFA,又BCu平面ABC,平面EFAD平面ABC=1,ABC/71,

又BC_LAC,平面PACC1平面ABOAC,平面PAC_L平面ABC,，BC_L平面PAC,JI_L平面

PAC.

(2)以C为坐标原点CA,CB所在的直线分别为x,y轴,

过点C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系,

可得A(2,0,0)3(0,4.0),P(l,0,V3),E(|,0,y),F(1,2,^),AE=(-|,0,y),EF=(0,2,0),

•3^3

设Q(2,y,0),平面AEF的法向量为m=(x,y,z),则1012、+2"”

EFm=2y=0,

取z=V5,得m=(l,0,V3),PQ=(l,y,-V3),

|cos＜丽屁＞|=|缶=舟Jcos：丽m|=|潟上得声

依题意得|cos二同，前J|=|cosCPQ,m

.*.y=±l,

，直线I上存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，此时|AQ|=1.

4.在图1所示的平面图形ABCD+.AABD是边长为4的等边三角形,BD是/ADC的平分线,

且BD_LBC,M为AD的中点，以BM为折痕将aABM折起得到四棱锥A-BCDM(如图②所示).

⑴设平面ABC和平面ADM的交线为1,在四棱锥A-BCDM的棱AC上求一点N,使直线BN

〃1：

(2)若二面角A-BM-D的大小为60。,求平面ABD和平面ACD所成的锐二面角的余弦值.

【解析】(1)延长CB,DM,设其交点为E,如图所示，

因为点A,E既在平面ABC内，又在平面AMD内，

所以直线AE为平面ABC与平面AMD的交线1,

因为BD为NMDC的平分线，且BD_LBC,所以B为EC的中点，

取AC的中点N,连接BN,则BN为AAEC的中位线，

所以直线BN〃AE,即BN.yi,

故N为棱AC的中点.

(2)因为BMJ_AM,BM_LMD,所以NAMD=60。，

又因为AM二MD,

所以^AMD为等边三角形，取MD的中点0为坐标原点，以0M所在的直线为x轴,在平面

BCDM内过点O且和MD垂直的直线为y轴，以0A所在的直线为z轴,建立如图所示的空间

直角坐标系,

所以D(-1,0,0),A(0,0,VS),C(-5,4g,0).B(1,2g,0),

所以DX=(1,o,V5),氏=(.4,46,0),55=(2,275,0),

m-DA=0,

设平面ACD的法向量为m=(x,y,z),则

m-DC=0,

x4-V3z=0,

即令z=-再，则x=3,y=V3,

「4x+4Vsy=0,

所以m=(3,V5,-g),

n-DA=0,

设平面ABD的法向量为n=(a,b,c),则

.nDB=0,

蓝靠晨令C则a=3-6,

即

所以n=(3,-V3,-V3),

设平面ABD和平面ACD所成的锐二面角的大小为6,

所以cos0~|mn|

|m||n|

|3x34-73x(-V3)+(-V3)x(-V3)|

J32+(口产+(_仃)2q32+(_曰)2+(s)2

=_3—

r9

所以平面ABD和平面ACD所成的锐二面角的余弦值为g.

〈能力拔高,

5.已知四棱柱ABCD-AiBiCiD1的底面是边长为2的菱形，且BC=BD,DDiJ.平面

ABCD.AAi=l.BE±CD于点E.

(1)试问在线段AIBI上是否存在一点F,使得AF//平面BEG?若存在，求出点F的位置;若不存

在,请说明理由.

⑵在(1)的条件下,求平面ADF和平面BECi所成的锐二面角的余弦值.

【解析】(1)当F为线段A山।的中点时,AF〃平面BECi.

卜面给出证明:

取AB的中点G,连接EG,BiG,则FB/AG,且FB)=AG,

所以四边形AGBiF为平行四边形，所以AF#BiG.

因为BC=BD,BEJ_CD,所以E为CD的中点，

又G为AB的中点,AB〃CD,AB=CD,所以BG〃CE,且BG=CE,

所以四边形BCEG为平行四边形，所以EG〃BC,且EG=BC,又BC〃BC,BC=BQ,

所以EG〃BiG,且EG=BCi,所以四边形EGB.C,为平行四边形，

所以B[G〃C]E,所以AF〃CIE,

又AFU平面BECiCiEu平面BECi,所以当F为线段A1B)的中点时,AF〃平面BEG.

(2)连接DG,因为BD=BC=AD,G为AB的中点，所以DGJLAB,乂AB〃CD,所以DGXCD,

因为DDiJ_平面ABCD,DC,DGu平面ABCD,所以DDi1DC,DD|J_DG,

所以DG,DC,DDi两两垂直，以D为原点.DG.DC.DDi所在的直线分别为x.y,z轴建立如图所示

的空间直角坐标系D-xyz,由题意知BD=BC=CD=AB=AD=2,所以NDAB:NBDO60。,又

AA1=1,所以D(0,0,0),A(V3»-1,0),Di(O,0,1),E(0,1,0),Ci(0,2,l),B(V3,1,0),F(V3,0,1),

所以而二(g,0,0)、M=(0、I、I)J5X=(6,-1、0),而=(6。I).

n=0,

设平面BEG的法向量为n=(x,y,z),则即zUj令z=L得平面BEC,的一个法

S,n=0,

向量为n=(0,-l,l).

设平面ADF的法向量为m=(a,b,c),则但加=0,即使a-b=0,令@口,得上限二6、平面

m=0,,V3a4-c=0,

ADF的一个法向量m=(l,V3,-V3).

设平面ADF和平面BECi所成的锐二面角的大小为0,

所以平面ADF和平面BECi所成的锐二面角的余弦值为手.

6.在正三棱柱ABC-AiBiC!中，已知AB=2,AA)=3,M,N分别为AB,BC的中点,P为线段CCi上

一点.平面ABCi与平面ANP的交线为1.

(1)是否存在点P使得GM〃平面ANP?若存在，请指出点P的位置并证明;若不存在，请说明理

由.

(2)若CP=1,求二面角B-1-N的余弦值.

【解析】(1)当CP=2时,GM〃平面ANP.

证明如下:连接CM交AN于点G,连接GP,

因为演『封=2,所以GM/7GP,

GMPC]

又GPu平面ANPCMC平面ANP,

所以GM〃平面ANP.

(2)取AC的中点O,连接B0,易证OB_L平面ACGAi,如图,分别以()B,OC所在的宜线为x,y

轴，以过点O且平行于AAt的直线为z轴建立空间直角坐标

系,A(0,-1,0),B(V5,0,0),CI(0,1,3),Ng,1,O),P(O,1J),

则通:(⑸,0),ACT=(0,2,3：..AN=(^,1,0),AP=(0,2,1).

设平面ABCi的法向量为ni=(xi,yi,zi),平面APN的法向量为n2=(x2,y2,z2),

nrAB=0,+Vi=0,

由令xi=V5得ni=(x/3,-3,2).

nrAC^=0及2yi+3%=0,

低而=0.但2十Z2二。，

由0令X2=g得n2=(V3,-1,2),

(n2AN=0『2+/2=

设二面角B-1-N的平面角为6,则cos6=|：：：产二)二^^.

〈拓展延伸〉

7.如图，在ZXABC中,AB=BC=2,NABC=90。,E,F分别为AB.AC边的中点,以EF为折痕把△AEF

折起，使点A到达点P的位置，且PB=BE.

(1)证明:EF_L平面PBE.

(2)设N为线段PF上的动点,求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值.

【解析】(1)因为E,F分别为AB、AC边的中点，所以EF〃BC.

又因为NABO90。,所以EF_LBE,EF_LPE.

又因为BEDPE=E，所以EF_L平面PBE.

⑵

取BE的中点0.连接P0,

由(1)知EF_L平面PBE,EFu平面BCFE,

所以平面PBE_L平面BCFE.

因为PB=BE=PE,所以PO1BE.

又因为POu平面PBE,平面PBEC平面BCFE=BE,

所以POQFifijBCFE.

过点O作OM〃BC交CF于点M、分别以OBQM.OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角

坐标系，如图所示.则P(0,0,,2,0),F(-1,l,0),B(1,0,0),PC=(p2,-^),PF=(-1,1,-^),

N为线段PF上一动点，设丽=入际(OOWl),

则N(-：入^(l-A)),BN=(-^Xy(1-X)),

设平面PCF的法向量为m=(x.y,z),

则@=0,即上+2暧=0,取…』两

(PF-m—0,l.-x4-y—z=0,

\22

设直线BN与平面PCF所成的角为仇

则sin8=|cos＜丽皿冲鬻①化:;=---1?当且仅当九=：时取等号.

故直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为噜.

J5

8.如图，矩形ABCD中,AB=3.BC=1,E、F是边DC的三等分点.现将△DAE.^CBF分别沿AE,BF

折起，使得平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直.

（1）若G为线段AB上一点，口AG=1,求证:DG〃平面CBF.

（2）求二面角A-CF-B的正弦值.

（解析】（1）（法一）如图,分别取AE,BF的中点M,N,连接DM,CN,MG,MN.

因为AD=DE=1,所以DM_LAE,且口\1=学

因为BC=CF=I,所以CN_LBF,且CN=y.

因为平面DAE_L平面ABFE,平面DAECI平面ABFE=AE,DM_LAE,DMu平面DAE,所以DM

JL平面ABFE.

同理可得CN_L平面ABFE,所以DM〃CN,且CN=DM.

又DMC平面CBF,CNu平面CBF,所以DM〃平面CBF,

在矩形ABCD中,NDAE=45。,故NEAB=45。,同理可得/FBA=45。，

在几何体ABFEDC中，因为MGWAM2+AG2cAM因Gcos45o=当所以MG2+AM2=AG2.所以

ZAMG=9