初中数学60个几何模型专题复习：模型27赵爽弦图

模型27赵爽弦图

模型故事

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理((C?=a?+/),而且很早就尝试对勾股定理作理论的证

明.最早对勾股定理进彳亍证明的，是东汉末至三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结

合得到方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅'勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的

直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为(b-a),则面

积为((b-a)2.于是便可得如下的式子：4x得)+(b-a)2=c?;化简后便可得：a2+b2=c?,亦即：c=Va2+b2.

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的载、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关

系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树

立了一个典范.

模型展现

基础模型

图示

在正方形ABCD中.分别在边AB,BC.CD.DA上取点E,F,G,H,使得BE=CF=GD=AH,将点E,F,G.H

已知

顺次相连，过点E,F.G,H作EJ//AD.FK//AB.GL//BC,HI//CD

1.四边形EFGH是正方形；

2.四边形IIKL是正方形：

结论3.正方形IJKL的边长为H1-EI;

4•S正方形Me。―S正方形EFC〃=S正方形正方形/凰

5.2S正方开乡EFGH=S正方形ABCD+S正方形IJKL

结论分析

结论1:四边形EFGH是正方形

证明:在正方形ABCD中,BE=CF二DG=AH,

ABF=CG=DH=AE.

又＜ZB=ZC=ZD=90°,ZA=90°,

AABEF^ACFG^ADGH^AAHE,

:.EF=FG=GH=HE,AAHE=乙BEF,

VZAEH+ZAHE=90°,

/.ZAEH+ZBEF-900,

；・ZFEH=90°,

・•・西边形EFGH是正方彩

结论2：四边形IJKL是正方形

证明:."£7||4D,FK||AB,GL||8C,且="=90°,

:.四边形EBFJ、四边形FCGK均是矩形，

•••△EBFFJE=△FCG=△GKF,

:.EJ=KF,FJ=E1,

•••〃=JK,

同理可得.〃=/K=KL=U,

且乙IJK=180°-国F=90°,

・•・四边形IJKL是正方形.

模型典例

例1“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四

个全等的真角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为9,设直

角三角形较长直角边长为x,较短直角边长为y,下列四个说法：①x2+y2=25,②x-y=3,③2xy+9=25,④x+y=7.其中正

确的是()

A.②③④

C.①②④D.®®®®

例2我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图，它是用八个全等的

直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形IJKL的面积分别为S»S&S3若SY+S2+S3

=24,则S2的值为()

例2题图

A.16B.12C.8D.6

例3如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形与

一个小正方形拼成的.如果大正方形的面积是25，小正方形面积是I,则cos。的值为一.

例3题图

针对训练

1/创新题型-数学文化）我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》I也称《赵爽弦图》）是由四个全等的直角三角

形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示，如果大正方形的面积是24，小正方形的面积是4,直角三角形

的较短直角边为a，较长直角边为b.那么（a+b/的值为（）

A.20B.40C.44D.48

2勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（它是由

四个全等的直角三角形围成的），证明了商高结论的正确性.若AB=15,BC=12,将四个直角三角形中的短直角边分别

向外延长一倍，得到图②所示的,数学风车”，则这个风车的面积（即图②阴影部分）是一.

第2题图

3.］创新题型-阅读理解试题）【材料阅读】赵爽在注解《周髀算经》中给出了''赵爽弦图”证明勾股定理的准确

性如度①所示，四个仝等的直角三角形可以围成T大的正方形，中间空的是一个小正方形.证明方法如下：

设直角三角形的三边中较短的直角边为a,另一直角边为b,斜边为c,朱实面积=2ab,黄实面积：=（b-a）

22222

=b-2ab+a?,朱实面积+黄实面积：=a+b=大正方形面积：=c.

【实际应用】

若较短的直角边的长为6,另一条直角边为8,求小正方形与大正方形的面积比；

【拓展延伸】

如图②，将边长为1的正方形ABCD的四边BA,CB,DC,AD分别延长至E,F,G,H,使得AE=CG,BF=DH.且二FE

B=45°,lanNAEH=2,连接EF,FG,GH,HE,求AE的长.

图①图②

第3题图

模型27

模型典例

例IB【解析】①・・,AABC为直角三角形，，根据勾股定理得/+V=AB2=25,故该说法正确；②由图中直

角三角形的线段关系可知x-y=CE=g=3,故该说法正确；③由题图可知,四个全等的直角三角形的面积与小

正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式4x1xy+9=25,即2xy+9=25.故该说法正确;④由2xy+9=25可得

2xy=16,又,.”2+41,二x+y=同工7(完全平方和公式)，故该说法错误.，说法正确的有①②③.

例2C【解析】题图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形IJKL的面积分别为St,S2,S3，八个三角形全等，

22222222

设AH=x.HD=y,:.Si=(x4-y),S2=x+y,S3=(y-x),:.Si+S2+S3=24,(x+y)+x+y+(y-x)=

3(x2+y2)=3s2=24,：,S2的值是8.

第4题解图第5题解图

5.解：由题意得可知&=S(AD-sin450)2,S=-(i4B-sin450)2^=-(^C-sin45°)2,5=-(DC-sin45

2223242

。)2,

如解图.连接AC,在RtAADC与RSABC

^.AC2=AD2+DC2=AB2+BC2,

即Si+54=Sz+S3,

S4=14-2=12.

正方形面积是I,・♦•大正方形的边长为5，小正方形的边长为I,设直角三角形中e所对的直角边为X,则X2

+(x+I)2=5匕解得：Xi=3,刈=一4(舍)，•••cosO=

针对训练

l.C【解析】•・•大正方形的面积是24,小正方形的面积是4,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为

b,：—+〃=24,.大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积和，4乂：她=24-4,即

2ab=20,(a+b)2=a2+2ab+/J2=244-20=44.

2.432【解析】如解图.根据题意，AC=y/AB2-BC2=V152-122=9,ACD=9x2=

CD=1x12x18=108,・••这个风车的面积为4x108=432.

3.解：【实际应用】•••直用三角形的两条直角边的长分别是6和8,

・•・小正方形的边长为2，根据勾股定理得：大正方形的边长为、软不齐=10,

.小正方形面积_22_1

••大正方形面积一方二行;