大学数学习题三答案

习题三

1.确定下列函数的单调区间：

(1)y=2/一6/一184-7；

解：所给函数在定义域(一8,”)内连续、可导，且

y=6炉-12.v-18=6(x+l)(x-3)

可得函数的两个驻点：%二一1,七=3,在(1》,-1),(—1,3),(3,+8)内，)，'分别取+,-,+

号，故知函数在(-8,-1］,［3,+(4)内单调增加，在J1,3］内单调减少.

Q

(2)y=2x+—(x>0)；

x

Q

解：函数有一个间断点/=0在定义域外，在定义域内处处可导，且)/=2--则函数

x

有驻点x=2,在部分区间((),2］内，/<()；在［2,+00)内了>0,故知函数在［2,+8)内单

调增加，而在(0,2］内单调减少.

(3)y=ln(x+71+x2)；

解：函数定义域为(-OO,+OQ),=故函数在(YO,+X>)上单调增加.

(4)y=(D*+a；

解：函数定义域为(y,y),y'=2(x+l)2(2x-l),则函数有驻点：x=-l,x=；,在

内，y<o,函数单调减少；在弓,+00)内，y>o,函数单调增加.

(5))，=X&r(/2>0,/2>0)；

解：函数定义域为［0,+8),y=nxn-lc-x-xnex=e-vxw-'(n-x)

函数的驻点为x=0,x=〃，在［0,网上函数单调增加；在5,+8］上y'<0,函数单

调减少.

(6)y=x+|sin2x|；

解：函数定义域为(-8,+Xi),

x+sin2x,[〃兀.〃兀+—],neZ,

2

=<

x-sin2x,xe[；77r--,7771],neZ.

2

1)当[〃兀，〃兀+工]时，y=1+2cos2X,则

2

1Ji

yr>0ocos2x>--<^>xe[mt,nit+y]；

，,八C/兀r兀兀[

y<0<=>cos2x<——OX£[〃兀+—,〃7T+一].

232

2)当[〃兀一],〃兀]时，y=l-2cos2x,则

1TlJi

yr>()<=>cos2x<—<=>xG[mt—，〃兀­]

226

y'<0<=>cos2x>—<=>xG,mt].

26

综上所述，函数单调增加区间为[@,@+(k£Z),

3

函数单调减少区间为[如+2,y+工](kez).

2322

(7)y=(x-2)5(2x+l)4.

解：函数定义域为(-8,+力).

y=5(x-2)4(2x+1)4+4(x-2)5(2x+1)3•2

=(2X+1)3(18X-11)(J-2)4

=

函数驻点为x}=——,x221

在(+叫一f内，y>o,函数单调增加，

在[一LU]上，vvo,函数单调减少，

218

在,2]上，y>(),函数单调增加，

在[2,+oo)内，y>o,函数单调增加.

故函数的单调区间为：(-8,—L],[—LU],[U,+8).

221818

2.证明下列不等式：

(1)当Ovxv—时,sinx+tanx>2x;

2

'T血人〃、OmilC/、(1-cosx)(cos2X+cosX+1)

证明：令/(x)=smx-tanx-2x,则f(x)=------------------------,

cos-x

当0<x<：时，f\x)>0,/(x)为严格单调增加的函数，故/(x)>/(0)=0.

即sin2x-tanx>2x.

(2)当0vx<l时，e-'+sinx<1+—.

2

2

证明：令/(x)=e-x+sin,则/'(x)=-e-t+cosx-x,

f\x)=e-r-sinx-1=e-"-(sinx+1)<0,则f\x)为严格单调减少的函数，故

f\x)<f(0)=0,即f(x)为严格单调减少的函数，从而/(x)</(0)=0,即

厂

e-'+sinx<1+—.

2

3.试证:方程sin工=不只有一个实根.

证明：设/(工)二«11工一工，贝1)/(幻=<：05工一1«0,/(幻为严格单调减少的函数，因此/,*)

至多只有一个实根.而/(())=(),即工二0为八幻的一个实根，故/(幻只有一个实根

x=0,也就是sinx=xN有一个实根.

4.求下列函数的极值：

(1)y=x2-2x^-3；

解：y'=2x-2,令)/=0,得驻点x=L

又因)严=2>0,故冗=1为极小值点，且极小值为兴1)=2.

(2)y=2.?-3.r2；

解：、'=6工2-6］，令)，'=(),得驻点内=0,々=1，

)，〃二12—6,人。<0,丹日>0,

故极大值为)k))=(),极小值为y(l)=-l.

(3)y=2x3-6x2-18x4-7；

解：y'=6.t2-12x-18=6(x-3)(x+1),

令y'=0,得驻点xx=-l,x2=3.

户⑵-⑵人…心0，

故极大值为)，(-1)=17,极小值为武3)=-47.

(4)y=x-ln(l+x)；

解：/=1一一—=0,令)，'=0,得驻点1=().

1+x

)，〃二不二,力…〉0，故y(0)=0为极大值.

(l+x)~

(5)y=-x4+2x2；

解：yr--4%3+4x=4x(1-x2),

令y'=0,得驻点=-l,x2=0,x3=1.

-4,/L±1<0,/|v=0>0,

故y(±l)=l为极大值，)：(0)=0为极小值.

(6)y=x+\l\-x；

13

解：y=l--7=：，令y'=0,得驻点x,=-,且在定义域(-00,1］内有一不可导点占=1,

2V1-X4

当时3，)，'<0;当工<3巳时，故百二3」为极大值点，且极大值为)《3)=工5

44444

因为函数定义域为xWl,故x=l不是极值点.

1+3x

(7)y=

，4+5/

解：:12-5"x，令y'=0,得驻点.K=P&.

J(4+5f)35

当时，y<0；当)/>0,故极大值为y(U)=」_拉而.

5510

/、3x2+4x+4

(8)尸FT

,x+1，-x(x+2)

斛：y=3Q+—；------.y=--------7，

JT+X+1(JC+X+1)-

令y'=(),得驻点x1=-2,x2=0.

„{—2.x—2)(x~+x+1)+2(2x+1)(厂+2x)

)(x2+X4-1)3

)'1><X/|<0.

Jlx=-27Jlx=f0

Q

故极大值为y(0)=4,极小值为y(—2)=］.

(9)y=excosx；

解：/=e'(cosx-sinx),

令y'=0,得驻点七=E+；(k=0,±l,±2,).

n

>"=一2e'sinx,y\.,R<0,y"\«>0,

//\x=2kn¥-"I.v=(2i4-1)n+-

兀2A,TC4--

故.%=2灯1+1为极大值点，其对应的极大值为=4；

71-5/2(2A+I)JI+-

修人］=(2Z+1)兀+一为吸小值点，对应的极小值为)，(尤2Ai)=---e4.

42

(10)y=xx；

_.-1,.,-1—Inx

解A：y=xr(z—Inx)=xx——；—,

Xx~

令y=(),得驻点x=e.

当x>e时，)，'<0,当xve时，/>0,

I

故极大值为y(e)=ee.

(11)y=2ex+e-x；

解：)，'=26'-e-\令y'=0,得驻点x二一警.

yn=2eA+e-v,)［「_如>。，

故极小值为y(-。)=2贝.

2

(12))，=2-(1"；

21

解：/=---^^=,无驻点.y的定义域为(-00,+8),且y在片1处不可导，当x>1时

3yjx~\

y<0,当K1时，y>0,故有极大值为y(l)=2.

(13)y=3-2(x+ir；

21

解:・无驻点.y在戈二一1处不可导，但)/恒小于0,故y无极值.

y=§正+1)2

(14)y=x+tanx.

解：y=l+sec2x>0,y为严格单调增加函数，无极值点.

5.试证明：如果函数)，=4-+灰2+cx+c/满足条件。2一3。。<0,那么这函数没有极值.

证明：/=3or2+2bx+c,令y'=0,得方程30^+2Z?x+c=0,

由于△=(2份2-4(3〃兄=4(〃2-3。。)<0,那么y'=0无实数根，不满足必要条件，从

而y无极值.

171

6.试问a为何值时，函数/(x)=〃sinx+耳sin3x在才=不处取得极值？它是极大值还是

极小值？井求此极值.

解：Hx)为可导函数，故在工=1处取得极值，必有

JT

/'(—)=(t?cosx+cos3x)=0,得a=2.

31

又(工)=(_2sinx-3sin3x)=-x/3<0,

31

3

所以X=g是极大值点，极大值为/(1)二6.

7.求下列函数的最大值、最小值：

54

(1)f(x)=x-----,XG(-OO,0);

X

解：y的定义域为(-8,0),253:27)=(),得唯一驻点信—3

x

且当36(-8,-3]时，y<0,y单调递减；当XC[-3,0)时，y>0,y单调递增,

因此产一3为y的最小值点，最小值为f(-3)=27.

又lim/(戈)=+8,故f(x)无最大值.

⑵f(X)=X+yJ［-XyXG［-5,1］;

13

解：y=i一一^=o,在(一5,1)上得唯一驻点x二二，

2V1-X4

又>但1="Mi)=LX-5)=>/6-5.

故函数/(幻在［-5,1］上的最大值为2,最小值为6-5.

4

(3)>=/-842,-l<x<3.

解：函数在(一1,3)中仅有两个驻点xO及42,

而y(-1)=-5,y(0)=2,y(2)=-14,y⑶=11,

故在［-1,3］上，函数的最大值是11,最小值为一14.

8.设a为非零常数，。为正常数，求广切2+"在以0和2为端点的闭区间上的最大值和最

a

小值.

解：y=2or+力=0得x=-2不可能属于以0和-为端点的闭区间上，

2aa

而y(0)=0,yf-l=—,

\a)a

故当力。时，函数的最大值为最小值为y(0)=0;

\a

当次0时，函数的最大值为y(0)=0,最小值为—=---.

\a)a

9.求数列，G1的最大的项.

l/z+l(XX)J

解：令y=,

”X+1000

，二册("1°⑼-五=z。。­=10007

,一(x+1000)2-2&x+1000)2-2&x+1000)2

令y'=0得Q1000.因为在(0,1000)上y'>0,在(1000,+8)上y'<0,

所以户1000为函数V的极大值点，也是最大值点，)，皿,=)，(1000)二三黑

g白，后衣_viooo

故数列,的取大项为4ooo=2000

Z7+1000.

10.已知a>0,试证：f(x)=-L-+—l~的最大，直为出.

1+31+lx-6/|i+Cl

证明:

当内。时，f\x)="-!—y+----!...—>0；

(1-A)(1-X+fZ)

11

当0<x<a时，f\x)=

(l+x)2(\-x+a)2

4

此时令/。)=0,得驻点工=@,且:

2\2>2+^

当Qa时，/'1)-一二~―^<0.

(1+x)(\+x-a)

又lim/(x)=0,且f(0)=/⑷=.

XT81+a

而一(%)的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得

42442+。

故

2+。'1+。1+Q

11.在半径为〃的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.

解：设圆柱体的高为九则圆柱体底圆半径为-]

•/?=Ttrh--hy

4

令9=0,得/1=空匚

3

即圆柱体的高为守r时，其体积为最大.

12.某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为a泊问底

宽x为多少时，才能使所用建造材料最省?

解：由题设知

得y----=-----A7TX

xx8B

截面的周长

l(x)=x+2y+-nx=x+—--xn+-.xn=x+—+-x

2x42x4y

71

/(x)=l1+.-一一2a-

4r

8。

令r(x)=o得唯一驻点工二即为最小值点.

4+兀

建造材料最省.

13.甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB的何处时,

所需电线最短？

解：所需电线为

LM=&+1+:」+(3-幻2(0<x<3)

〃⑴—xJ2.25+(3—工.一(3—/)Ji+1

Jf+i也.25+(3-幻2

在0<K3得唯一驻点产1.2(km),即变压器设在输电干线离A处1.2km时，所需电线最短.

14.在边长为a的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无

盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？

解：设小正方形边长为x时方盒的容积最大.

2

V=(a-2x>•x=4丁-4ad+ax

V'=}2x2-Sikx+a2

令9=()得驻点x=@(不合题意，舍去)，x=-.

26

即小正方形边长为人时方盒容积最大.

6

15.判定下列曲线的凹凸性：

(1)*4*—x；

解：y=4-2x,/=-2<0,故知曲线在(TO,48)内的图形是凸的.

(2)y=sinhx；

解：yr=coshx,y"=sinhx.

由sinhx的图形知，当xc(0,”)时，/>0,当X£(YO,0)时，/<0,

故*sinhx的曲线图形在(-8,0］内是凸的，在［0,~F8)内是凹的.

⑶),=%+，(x>0)；

X

I2

解：y=i一一?,/=—>o,故曲线图形在(0,+8)是凹的.

XX

(4)片xarctanx.

x2

解：/=arctanx+—,yn-——rv-7>0

-\+x2(1+x2)2

故曲线图形在(-8,+0。)内是凹的.

16.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：

(1)y=x3-5x2+3x+5；

解：/=3X2-10X+3

/=6x-10,令y〃=0可得x=

当工时，/<0,故曲线在(—8,g)内是凸弧;

当时，)，〃>0,故曲线在［2,4-0)内是凹弧.

33

因此(|,称)是曲线的唯一拐点.

(2)*心7

解：)，'=(1x)e-\/=e-v(x2)

令y〃=0,得户2

当X>2时，)，">0,即曲线在［2,+8)内是凹的;

当晨2时，)，〃<0,即曲线在(-00,2］内是凸的.

因此(2,2e.2)为唯一的拐点.

(3)y=(x+l)4+ev；

解：y=4(x+l)3+er,/=e'+12(x+l)2>0

故函数的图形在动内是凹的，没有拐点.

(4)尸In(x+1);

2x2(1-x2)

斛：丫一>=7―f

\+x(1+厂)

令y"=0得产-1或片1.

当一1<求1时，/>0,即曲线在［-1,1］内是凹的.

当x>1或点一1时，/<0,即在(-00,-1］,U,y)内曲线是凸的.

因此拐点为(-1,In2),(1,In2).

(5))，=©2,；

解：/=—^earctanr,

1+厂

令y〃=()得X=g.

当X〉［时，/<0,即曲线在己,+8)内是凸的；

22

当尤<；时，/>0,即曲线在(-co,g］内是凹的,

Iarctan—

故有唯一拐点(5,e2).

(6)*21nx-7).

解：函数y的定义域为(0,+8)且在定义域内二阶可导.

y=4x3(12lnx-4),yH=144x2Inx.

令y"=0,在(0,+8),得产1.

当X>1时，/>0,即曲线在口,十*)内是凹的；

当0<京1时，)/<0,即曲线在(0,1］内是凸的，

故有唯一拐点(1,-7).

17.利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：

(1)g(x"+y")>(x>O,y>O,x^)\H>l);

证明：令f(x)=xf,

f(x)=nx,l~\f\x)=/?(/?-1)Z-2>0,

则曲线*Hx)是凹的，因此Vx,)，£/T,

Ax+)1//*)+/(y)

,〔亏J2'

即(手［<*"+"

\2/2

er+ev亨.、

(2)--->e-(")，)；

证明：令f(x)=ex

.m)=ev,ru)=ev>o.

则曲线尸尸(x)是凹的，Vx,yeR,y

则/山］J*)+/⑴

,I2)2

即苫,上

2

(3)xlnx+ylny>(x+y)In(x>0,y>0,XHy)

证明：令f(x)=xlnx(x>0)

/'(x)=lnx+1,ru)=->DU>0)

x

则曲线y=/(x)是凹的，Vx,eR+,xHy,有

x+)1</&)+/()')

22

x+y.x+y1,,.、

即-----In------<—(xlnx+yiny),

222

y

即xlnx+yIny>(x+y)In,.

18.求下列曲线的拐点:

(l)x=/2,y=3/+r5;

dy3+3rd2y_3(r2-l)

drIt

令U=。，得片1或片一1

de

则41,尸4或41,y=—4

当t>1或K—1时，U>。，曲线是凹的,

dr

(j2V,

当0<K1或一1<亡<0时，-4<0,曲线是凸的,

改

故曲线有两个拐点(1,4),(1,-4).

(2)A=2acot0,y=2asin20.

dy2a2sin0・cos0_.

解：—=-----------；-----=-2sin3OncosOn

dr2。•(一csc~，)

—=(一6sin'Ocas'0+2sin40)-----------、——=--sin40cos'(3—tan、0)

dx226?(-csc20)a

令£町得"源冶，

不妨设》0,不失一般性，当百>tan6>-G时，即一二<夕<工时，-4>0,

33dx~

当tan/9>6或tan8<-6时，即。<一二或。〉工时，^<0,

33dr-

故当参数8或6时，都是y的拐点，且拐点为（述出。/及（一毡”「

33132JI32J

设试证明：曲线尸三空三个拐点位于同一直线上.

,—x~+2x+1

证明:

(x2+1)2

〃2(x+1)(x-2-A/3)(x-2+V3)

y=(X2+I)3

令y〃=0,得尤=-l,/=2+后,x=2—石

当不£（-8,—1）时，/<（）；

当X£（—1,2—6）时y〃>0；

当xc（2—6,2+6）时），〃<（）；

当X£（2+g,+8）时），">0,

因此，曲线有三个拐点（一1,-1）,（2-6,一1一」）,拐+指「"■）.

44

因为

因此三个拐点在一条直线上.

20.问a,。为何值时，点（1,3）为曲线*aM+bV的拐点？

解：y/=3ax+2bx,y〃=6a吠2b

依题意有

a+b=3

6a+2h=0

39

解得a=--,b=-.

22

21.试决定曲线*ax'+W+c/d中的a,b,c,d,使得六一2处曲线有水平切线，(1,-

10)为拐点，且点(一2,44)在曲线上.

解：令f(x);ax-^bx+c^d

联立兴-2)=44,ff(-2)=0,f(1)=-10,f,f(1)=0

可解得a=1,Z>=—3,c=-24,M16.

22.试决定），3）2中的〃的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.

解：y=4tv(x2-3),yn=\2k(x2-\)

令y〃二o,解得『±1,代入原曲线方程得片4A,

只要女H0,可验证（1,4A）,（-1,4A）是曲线的拐点.

）工*二±弘，那么拐点处的法线斜率等于孑白，法线方程为y=$

oKoK

由于（1,4川，（-1,4〃）在此法线上，因此

4Zr=±—.得32公=1,32公=_［（舍去）

我

23.设*Hx）在A=X。的某邻域内具有三阶连续导数，如果（（小）=0,/"（%）=（）,而

/7%）工0,试问后桁是否为极值点?为什么？又（%,『（七））是否为拐点？为什么？

答：因/（%）=/"*0）=0,且/桁（小）工0,则户用不是极值点.又在（/（/»）中，

ff

rw=/（^）+（x-x0）r（//）=a-x0）r（7），故广⑶在飞左侧与尸（飞）异号,在

与右侧与/“小）同号，故在广刈左、右两侧凹凸性不同，即（马,/（/））是拐点.

24.作出下列函数的图形:

X

(1)/«=

1+X2

解：函数的定义域为（一8+8）,且为奇函数,

,1+—2x~1—x~

)(l+x2)2=(l+x2)2

„_2x(x2-3)

y(1+x2)3

令y'=0,可得x=±l,

令y〃=0,得产o,±6,

列表讨论如下:

X0(0,1)1（1,6）(75,+°°)

yz+0———

/0———0+

y0极大、拐点1

当18时，入o,故片0是一条水平渐近线.

函数有极大值极小值/（一1）二一；，有3个拐点，分别为（一百，一

,(0,0),

,作图如上所示.

(2)f(x)=x—2arctanx

解：函数定义域为(-8,4-00),且为奇函数,

令y，=0,可得户±1,

令y〃二0,可得产0.

列表讨论如下：

X0(0,1)1(1,8)

—0+

0++

y0极小

又

..f(x)..2.,

lim-----=lim(lZ1——arctanx)=1

.v->oo戈.r—>oox

且lim[/(x)-x]=iim(-2aictanx)=-n

人f十».If

故y=x-7t是斜渐近线，由对称性知y=X+TI亦是渐近线.函数有极小值y(l)=1-1,极

TT

大值y(-1)=5一>(°，0)为拐点.作图如上所示.

2

⑶/(外=j

\+x

解：函数的定义域为xwRxw—1.

2Hl+x)-rx(x+2)/-

--——--=—f(xwT)

(1+江(1+»

)/(=-1+--4

令y'=0得xO,"-7)

当xe(—8,—2]时,,y'>O,/(x)单调增加；

当工£[-2,-1)时,)，'vOJ(_r)单调减少；

当xc(T,O]时，)，'<0,/。)单调减少；

当x£[(),+oo)时，y>oj(x)单调增加，

故函数有极大值《—2)=—4,有极小值"0)=0

x

又lim/(x)=lim——=oo,故产一1为无穷型间断点且为铅直渐近线.

-Tx+11+X

又因=且lim(/(x)—x)=lim—工=-1,

XTBXA->X/->8\+X

故曲线另有一斜渐近线片X—1.

综上所述，曲线图形为：

y

(4)y=e-u_,)2.

解：函数定义域为(—8,+8).

/=-2(x-l)e-<x-1)2

(r,)22

/=e--.2(2x-4x+l)

令y=0,得HL

令y〃=0,得工=1±4.

当x£(—8,1]时，y'>0,函数单调增加；

当工£[1,+8)时，y'<0,函数单调减少；

J?

当工£(-8［一学］J［l+5,+8)时，)，">0,曲线是凹的；

当天£［1一日,1+等］时，)，〃<0,曲线是凸的，

J2x/2--

故函数有极大值两个拐点：A(l-—,e2),5(1+—,e2),

22

又lim,f(Y)=0,故曲线有水平渐近线*0.

Xf00

图形如下:

y

25.逻辑斯谛(Logistic)曲线族

A

y=-------,-co<x<+oo,A,B,C>0

)\+Becx

建立了动物的生长模型.

A

(1)画出生1时的曲线g[x)=-----的图像，参数彳的意义是什么(设x表示时间，y表

1+e-c”

示某种动物数量)？

解：g'(x)=------^>0,g(x)在(-8,+8)内单调增加，

(l+e)~

〃，、-Ac2e'cx+Ac2e-Cr-2(1+ecx)-e-cr—Acbd*)

gW=---------------------------------------=(1+及

当x>0时，g"(x)vO,g(x)在(0,+8)内是凸的.

当KO时,g〃(x)>O,g。)在(一8,0)内是凹的.

A

当后。时，g(X)=~.

且limg(x)=0,limg(x)=A.故曲线有两条渐近线尸0,尸4且为该种动物数量(在特

X->-coX—>4<CA

定环境中)最大值，即承载容量.如图：

(2)计算g(—x)+g(x),并说明该和的意义；

AA

解：g(—x)+g(x)='j~~-+-一~—=^.

1+eI+e

A

(3)证明：曲线y=-------是对式x)的图像所作的平移.

I+

,__n..AA

：•V-1+Be-t(t+T-1+Be~cxe~cT

取Be"=l,得7=蛇

c

即曲线y=---是对g(x)的图像沿水平方向作了7=电四个单位的平移.

'1+灰心C

26.球的半径以速率/改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？

解:V=—nr3,A=TI，，—=v.

3dr

dVdVdr/

---=-------=471T2•V

drdrdr

d/drdz

27.一点沿对数螺线r=e"°运动，它的极径以角速度。旋转，试求极径变化率.

匕二业也=e叫〃.①他

解:

dr(\(pdr

28.一点沿曲线r=2acos0运动，它的极径以角速度”旋转，求这动点的横坐标与纵坐标

的变化率.

f^=2«cos2(p

解：

y=2acosgsin°=asin2(p

"d

5L-r

一-=2a•2cos*•(一sin0)•=-2acosin2(p,

8d了

山

dv

d\」

-.--6(p

d8.市=lacos2(pco=2ao)cos(p.

dr

29.椭圆16f+9)，=400上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？

解：方程16Y+9)，=400两边同时对t求导，得

dr

32r=0

dr

,dxdy，曰10”16

由----=—.得18y=32r,y=­x

drdr9

代入椭圆方程得：X2=9,X=±3,J=±—.

3

即所求点为1个),,3,一/、

30.一个水槽长12m,横截面是等边三角形，其边长为2m,水以3mmirT的速度注入水槽

内，当水深0.5m时，水面高度上升多快？

解：当水深为方时，横截面为

12h2=4y/3h2

体积为飞

dV=4>/3-2/2—

drdr

当h=Q.5m时,——=3m'-min

dr

故有3=4x/3-20.5—,

dr

得—=—；m3-min-'),

dr4

31.某人走过一桥的速度为4km•h,同时一船在此人底下以8km・hT的速度划过，此桥

比船高200m,求3min后，人与船相离的速度.

解；设2小时后，人与船相距s公里，则

s=J(4，y+(8.2+(0.2)2=780r+0.04.

由_80/

山融人.”

且5=与=8.16(km-h-1)

dr/=_LJ6

20

32.一动点沿抛物线*V运动，它沿x轴方向的分速度为3cm・$一:求动点在点(2,4)时,

沿V轴的分速度.

dydych-

解:—=---------=2x-3=ox

drdrdr

当产2时,曳=6x2=12(cm-s-').

d/

33.设一路灯高4m,一人高2m,若人以56m•min7的等速沿直线离开灯柱，证明：人影

3

的长度以常速增长.

证明：如图，设在1时刻，人影的长度为ym.

5

则3=

4y+56z

化简得7y=280f,y=40r,虫=40(m•minP.

dr

即人影的长度的增长率为常值.

34.计算抛物线*4*一/在它的顶点处的曲率.

解：尸一(x—2)2+4,故抛物线顶点为(2,4)

当户2时，y'=0,y9=-2

35.计算曲线*coshx上点(0,1)处的曲率.

解：/=sinhx,y"=coshx

当产。时，y'=0,y"=l,

36.计算正弦曲线*sinx上点1)处的曲率.

解：yf=cosx,y*=-sinx.

当x=T时，y=0,y"=-1,

Iy"|

故"二8F=L

37.求曲线*ln(secx)在点(x,y)处的曲率及曲率半径.

解：yr=tanx,y"=sec2x

Isec2.v|

故k=

(1+j/2)3'2(1+tan2x)3

R=;=Isecx|•

k

x=acos片asin〉在t=£°处的曲率.

由

一

d/3〃sin*fcosf

解:曳-=-tanr,

drd_x-3«cos2tsint

dz

d2yd/d(-tant)1-sec211

T=—(-tanr)=------------=----------；-----=-----------「

dx~dvd/竺-3tzcos~/sin/3。sinzcost

d7

1

4

故sin/cos/_2

[1+(-tanr)2]3/2-3asm2f

2

且当户之时,k=

3asin2fo

39.曲线弧片sinx(0<KTT)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径.

解：yf=cosx,>*=-sinx.

(1+COS2x)3sinx

1\=

sinx2

显然/?最小就是《最大，k'=2d：*：，)

(l+cos2x)5/2

令〃=(),得工=q为唯一驻点.

2

在(0,^)内，1>0,在兀]内，^<0.

TT

所以工=巳为4的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为

2

D(1+cos2%)32.

A=-------------=1.

sinx£

-2

40.求曲线尸Inx在与x轴交点处的曲率圆方程.

解：由.一'解得交点为(1,0).

[y=0

儿1=；=1，

4x=l

y"l,=-L=-l.