高考数学 5年高考真题与模拟 专题05 三角函数 理 (二)

【备战2013】高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题05三角函数理

【2012高考真题精选】

1.(2012・湖北卷)函数f(x)=xcosx2在区间(0,4]上的零点个数为()

A.4B.5

C.6D.7

【答案】C【解析】令.[x)=。，得工=。或COST=。，由xe[0,4],得16]因为cos：+K=

0(0),故方程中炉的解只能取必=5,，4，/[0，间所以零点个数为6.故选C.

【考点定位】角的概念及任意角的三角函数

2.(2012・辽宁卷)已知sina—cosa=，La£(0,兀)，则tana=()

A.-1B.-坐

【答案】A【解析】本小题主要考查同角三角函数基本关系的应用.解题的突破口为灵活应用同角三

角函数基本关系.

...rz、1sinacosa1tana

.s:na-cosa=\-=^((sma-cosan=1-2smacosa=2=5smacosa=-7=^—：~~:-------=--=>—：~~r~r

2sm-a+cos-a2:an-a+1

=—!=tana=-1,故答案选A.

【考点定位】同角三角函数的基本关系式与诱导公式

3.(2012•福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

(l)sin213°+cos217°—sinl3°cos17°；

(2)sin215°+cos215°—sinl5°cos15°；

(3)sin218°+cos212°—sin18°cos12°；

(4)sin2(-18°)+cos2480-sin(-18°)cos48°；

(5)sin2(-250)+cos2550-sin(-250)cos55°.

(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

【解析】解：解法一：

(1)选择(2)式，计算如下：

sm:15c+cos;15°-sml5scosl5s=l-7Sin30==l-

(2)三角恒等式为sm:a+cos:(30=-a)—smacos(30="a)=^.

证明如下:

sin2a+cos:(30°-a)-smacos(30o-a)

=sm:o(+icos30=cosa+sin30=sma)：—sina(cos305coss(+s:n30;sina)

.Fi.Gi.

=sm-a+^cos-ad--msmacosa+^s:n-a—T-sinacosa-Kin-a

333

=?m-2+了os・久=j.

解法二：

(1)同解法一.

(2〕三角恒等式为sm;5(+co5:(30=-5t)—sinacos(30=-a)=^.

证明如下：

sm:a+cos:(30°-a)-smacos(302-a)

1-cos2a.l+cos60c-2a…,.….

---------1----------------sma(cos30cosa+sm30sma)

11,11S

=--cos2a+5+-(cos60=cos2a+sin60:sin2a)——smacosa,

11、,1.1、、6、L,、、

=5­十三十］cos2anla—^-s-n2a-y.1—cosZa)

-1.3、_3

=l-,os2a-1+?os_3=了

【考点定位】同角三角函数的基本关系式与诱导公式

4.(2012•重庆卷)设出x)=4cos(tox—*)sin3x—cos(2cox+7t),其中CD>0.

(1)求函数y=f(x)的值域；

(2)若f(x)在区间[一自，外上为增函数，求①的最大值.

【解析】解：(l)Rx)=4(坐coscox+；sincox}in(ox+cos2(ox

=2\3sina)xcos(DX+2sin2(ox+cos2a)x—sin2cox

=*\/3sin2cox+1.

因一lgsin2coxWl,所以函数y=f(x)的值域为(1—小，1+45].

⑵因y=sinx在每个闭区间2kn—2k兀(k£Z)上为增函数，故f(x)=，5sin23x+1®>0)在每个闭

区间居一击》/卜一上为噌函出

依题意知〔一苧，张居一篇方:£]对某个柩z成立，此时必有一。，于是

解得04故"的最大值为《

00

5.（2012•广东卷）已知函数f（x）=2cos（3x+§（其中3>0,xdR）的最小正周期为107t.

⑴求3的值；

（2）设a,pe0,5f（5a+$t）=一,，f（5[3—/r）=招，求cos（a+B）的值.

.，冗1

【解析】解：⑴由于=10兀得co--.

COJ

(2)"「一g=.d,=2cos'g

=2cos-久+,：=-lsina.9

【考点定位】三角函数的图冢与性质

7.(2012-

湖南卷）函数f（x）=sin®x+（p）的导函数丫=畋）的部分图象如图1—5所示，其中，P为图象与y轴的交点,

A,C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.

（1）若（p=5，点P的坐标为（o,¥5则8=；

（2）若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在aABC内的概率为

图1—5

【答案】(1)3(2);

【解析】考查三角函数叉x)=sm⑷x+o)的图象与解析式，结合导数和几何概型，在陈题上有了不少的

创新.作为埴空题，第二间可在第一间的特殊情况下求解.

⑴函数Rx)=sin(3x+0)求导得，7(x)=3cos(0x+p),把k1和点於代入得scos1：Q+l解

得G=3.

㈡取特殊情况，在⑴的条件下，导函数4x)=3cos；3x+*求得.」1，0,

3一3；,喈，3,故3c的面积为S皿=:?3=9,曲线段与轴所围成的区域的面积5

——•fx等，一s血与+口:+s:n*+需=2,所以该点在AJ3c内的概率为9二里黄。：.

【考点定位】三角函数的图象与性质

,“一、八,rM”sinx-cosxsin2x

8.(2012•北乐卷)已知函数f(x)三----而^-----.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期；

⑵求f(x)的单调递增区间.

【解析】解：⑴由smxW得.\=皿隹Z),

故贝x)的定义域为｛xGRmtor，kEZ].

mac、sinx-cosxsin2x

因为五x)=———;——

=2cosx(smx-COST)

=sin2x-cosix-1

G二711

=V2sin',2x--j；-b

所以小翔最小正周期7=字=兀

0函数产皿的单调递噌区间为向T2E+*WZ).

由2反一2?x一笔2H+Sx=反(AEZ),

得五一^£xSH+U，mE(太£Z).

uo

所以(x)的单调递增区间为1反和市，E+阁华GZ).

【考点定位】三角函数的图冢与性质

9.(2012•山东卷)已知向量in.=(sinx,l),n=(小Acosx,冬os2x)(A>0),函数f(x)=nrn的最大值为6.

⑴求A；

JT1

(2)将函数y=f(x)的图象向左平移各个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的3倍，纵坐标不变,

得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[o,用上的值域.

【解析】解：(l)f(x)=m-n

=-\/3Asinxcosx+ycos2x

因为A>0,由题意知，A=6.

(2)由⑴f(x)=6sin(2x+1).

将函数y=f(x)的图象向左平移g个单位后得到

y=6sin12(x+曰+外=6sin(2x+§的图象;

再将得到图象匕各点横坐标缩短为原来的;倍，纵坐标不变，得到y=6sin(4x+§的图象.

因小匕，g(x)=6sin(4x+§.

因为xe［o,用，

所以4x+养，y_.

故g(x)在［o,用上的值域为［-3,6］.

【考点定位】三角函数的图象与性质

10.(2012•陕西卷)函数f(x)=Asin((ox-§+l(A>0,3>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距

离靖.

(1)求函数出X)的解析式;

°，Z=2,求a的值.

【解析】解：(1)：函数的最大值为3,二/+1=3,即T=2,

•••函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为W，

.二最小正周期丁=兀，

—故函数.心)的解析式为Y=2sin2x-^+1.

(2),「dT：=2sinla—T：+1=2，

即sin*久一(：=1,

••.兀■兀一

-UCa.一§"一§就£,

•故a=?

【考点定位】三角函数的图象与性质

2cosx

11.(2012・上海卷)函数f(x)=.,的值域是,

sinx—1

【答案】［r一5本一楙31

【解析】考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数

的化简.

11r531

f(x)=-2—sinxcosx=­2—^sinZx,又一lgsin2xWl,所以f(x)=—211sin2x的值域为一一］.

11.(2012重庆卷)设导纨一，，3m公LCOS(2公t+Q,其中田>0.

⑴求函数)二心•质值域3

⑵若秋在区间[一辛，可上为噌函数，求G的最大值.

【解析】解：(1)心)=44。。如工+(5m公K；sm公v+costs:

=2^3sm^xcos^x+2sm:^x+cosNox-sin:wx

=y3sin2wx4-l.

因一Hn2纨Wl,所以函数『=.心1的值域为(1—1+#].

(2)因产sg在每个闭区间2K+9；:GZ)上为噌函数，故尔)=\^足於+1(。>0)在每个闭

区间探一心，卜W3鹏

依题意知,一率与-2,"对某个隹Z成立，此时必有『，于是

L2-JLCx)斗”(04WJ

卜合点

IlL?兀w

解得舄故"的最大值为去

【考点定位】三角函数的图象与性质

12.(2012・陕西卷)函数f(x)=Asin(3x—2+l(A>0,3>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距

离为参

(1)求函数[x)的解析式；

(2)设ae(0,习，回=2,求a的值.

【解析】解：(1)：函数f(x)的最大值为3,；.A+1=3,即A=2,

函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为宏

最小正周期丁=兀，

jr

/.CD=2,故函数f(x)的解析式为y=2sin2x—q+1.

⑵；e)=2shi(a-卷)+]=2,

即sin(a-野=3,

・•c兀.兀兀兀

.0<咤，..-6<a-6<3'

.nn..兀

・・a一耳=%,故a=].

【考点定位】函数V="sin(°x+9)的图象与性质

13.(2012•安徽卷)设函数f(x)=芈cos2x+于+sin2x.

⑴求f(x)的最小正周期；

(2)设函数g(x)对任意xGR,有g(x+?=g(x),且当xG0,E时，g(x)=1—f(x).求g(x)在区间(一兀，0]

上的解析式.

【解析】解：(1)心)=奇85；入+：+54x

、兀、疝11-cos2x

=­coslvcos^-sin2xsin^-------

一11.

=<一~sin2x.

故员工)的最小正周期为T

(2)当工a0,1时，g(x)=1—/(x)=TSin2x>故

①当一多0,，工+*|。，1.由于对任意x£R»g工+，=g(x)，从而

g(x)=g(x+;=1sin2x+7'=|sm(7t+2x)=—1sm2x.

②当xE-兀，一三时，X+TI€0,7•,从而

g(Q=g[x+^)=1sin(2(x+切=vsinlv.

综合①②得£x)在(一工，0]上的解析式为

口、u「疝；

欧、尸.1.「兀

I-：sin2x,x€一二，0.

【考点定位】函数J=Msin(ox+0)的图象与性质

/八八・~“A①、「八r四~、.sinx—cosxsin2x

14.(2012•北乐卷)已知函数f(x)=5亩*

(1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间.

【解析】解：⑴由s:nx=O得ERkGZ),

故.心)的定义域为｛xGRx=fcr,kEZ).

~sinx—cosxsin2x

因为."X)=------7-----

=2cosx(sinx-cost)

=sin2x-cos2x-1

=Ssin，2x—；1

所以贝x)的最小正周期丁=T=工

(2)函数j=s:m•的单调递噌区间为卜船一号，2H+J(2eZ).

由2K—*2x—反+1,mtor(AEZ)，

得五―今殳£反+得，x=K(2£Z).

QQ

所以贝x)的单调递噌区间为「K-去船和E,fcr+V(2CZ).

【考点定位】函数:j=Tsin(0x+@)的图冢与性质15.(2

012•全国卷)当函数y=sinx—小cosx(0gx<2兀)取得最大值时，x=.

【答案】着5兀

【解析】本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意

定义域.

函数可化为y=2sin(x-§,由xG(0,2兀)得x—铝［―；,专)，；.x—畀飘，即x=3%,函数有最大值2,

故士喏

【考点定位】函数N="sin(°x+e)的图象与性质

16.(2012♦湖北卷)已知向量a=(cos3x—sin(Dx,sincox),b=(-COSGJX—simox,2小coso)x).设函数f(x)=a,b

+MXGR)的图象关于直线X=7T对称，其中3,入为常数，且COcg,I)

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若y=f(x)的图象经过点件0),求函数f(x)在区间［o,第上的取值范围.

【解析】解：⑴因为,/fx）=sm:Cc;x-cos:w.v+2v3s:nwx-cos^x+z

=­cos2wx+sin2o9x+z

=2sin!2wx-7+1.

由直线工=兀是1=2。图象的一条对称轴，可得sin2加一]==1,

所以2”兀一*=K+4（2EZ）,即3=:+&；EZ）.

又/正:，1•,片EZ,所以XI,故

\2Jo

所以人X）的最小正周期是

⑵由产.3的图象过点：，0,得毋=0，

即/.=——2sin'7X?-7,=——2smJ=——亚，即；.=­S.

.0_0.4

故义x)=2sm

由0玄寿有一痣T/，

所以一工sin；玄一器1,得一1一动丁吟一,班£一五

故函数况x）在[。，刊t的取值范围为（—一S，2—S].

【考点定位】函数j=Hsin（0x+Q）的图象与性质

17.（2012•课标全国卷）已知3>0,函数f（x）=sin（cox+；）在&兀）单调递减，则3的取值范围是（）

fl5]fl3]

A.|_2-4jB-L2,4

C.（0,1D.（0,2]

【答案】A【解析】因为当3=1时，函数y=sin（3x+^=sin（x+9在（1,J上是单调递减的，故排除B,

C项；当3=2时，函数y=sin（3x+g=sin（2x+?在0，兀）上不是单调递减的，故排除D项.故选A.

18.（2012•浙江卷）把函数y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向

左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）

图1一1

【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数图象的平移问题.考杳函数

图象变换方法和技巧.

把函数j=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,可信函数产cos2，+

l=cosr+l的图象；然后向左平移1个单位长度得到函数j=cos（x+D+l的图象；再向下平移1个单位长

度得到函数J=8S（x+l）+l-l=8S（x+l）的图冢；结合各选项中的图象可知其图象为选项A中的图冢，故

应选A.

19.（2012♦重庆卷）设tana,tan。是方程方一3x+2=0的两根,则tan（a+。）的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A【解析】因为tana,tan。是方程x2—3x+2=0的两根，所以tana+tanp=3,tan（Han0=2,所

tana+tan03

以tan(a+p)=3.

1—tanatanp7^2

20.（2012•课标全国卷）已知a,b,c分别为aABC三个内角A,B,C的对边,acosC+SasinC一b一c=

0.

⑴求A；

(2)若a=2,ZkABC的面积为小,求b,c.

【解析】解：(1)由acosC+，5asinC—b—c=0及正弦定理得

sinAcosC+-\/3sinAsinC—sinB—sinC=0.

因为B=TI—A—C,所以

WsinAsinC-cosAsinC-sinC=0.

由于sinC/0,所以sin(A—

兀

又0<A<7t,故A=§.

(2)AABC的面积S=1bcsinA=V3,故be=4.

而a2=b2+c2—2bccosA,故b2+c2=8.

解得b=c=2.

21.（2012•重庆卷）iS：f（x）=4COS^（DX—^jsincox—COS（2CDX+7r）,其中0>0.

（1）求函数y=f（x）的值域；

（2）若Rx）在区间［—苧，用上为增函数，求①的最大值.

【解析】解：［1］心）=4号二0加X+7sinw.v,sinw.v+zoslcox

=t/sms工co如x+2sm-wx+CQSTCOX-sm:wx

=gsin2<yx+l.

因-l$m2”烂1,所以函数7=.心］的值域为（1—l+/］.

⑵因产snu在每个闭区间，如一与2五+小一上为噌函数，故五*）=小加2纨+1«。>。）在每个闭

区间盘一最抖打―限

依题意知:T，可B—源日+打对某个性z成立，此时必有『，于是

匕金

解得故"的最大值为4.

00

22.（2012,广东卷）已知函数出x）=2cos（3x+熬其-中3>0,x^R）的最小正周期为10兀.

⑴求3的值；

（2）设a,pe0,£|,f（5a+/t）=—,,f（50—豺=招，求cos（a+。）的值.

【解析】解：（1）由卷=10兀得3=g.

f^5a+|?ij=2cos&5a+?7t)

(2)V-

=2cos(a+])=_2sina,

居=45B—前=

2cosI*)+野=2cosp,

.即$8邓小

,/a,pe[o,£|,

sin0=、1-cos20=y1-f2=万

।4831513

/.cos(a+P)=cosacosp-sinasinp—-x—=——

4

23.(2012•安徽卷)在平面直角坐标系中，点0(0,0),P(6,8),将向量0绕点O按逆时针方向旋转彳7r后得向

量贡，则点Q的坐标是()

A.(一7啦，一啦)B.(~7\[2,啦)

C.(-4^/6,-2)D.(一4#,2)

【答案】A【解析】本题考查三角函数的和角公式，点的坐标.

34

设NPOx=a,因为P(6,8),所以讲=(10cosa,10sina)=cosa=m，sina^5,

则g=(10cos(0+乎)，10cos(0+华))=(—7啦，一的.故答案为A.

24.(2012,安徽卷)设函数f(x)=^cos2x+；+sin2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)设函数g(x)对任意x£R,有g(x+$=g(x),且当xjo,时，g(x)=1—f(x).求g(x)在区间(一兀，0]

上的解析式.

【解析】解：(l)f(x)=^cos(2x+^+sin2x

啦，c兀.c.兀、I1—cos2x

=-21coszxcos^—sin2xsm7|+-----------

故f(x)的最小正周期为兀

(2)当xe0,g(x)=7—/(x)=1sin2.v.故

①当xG1—J,Q，t，X+EG'0,4.由于对任意xWR,S'.V+T=g(x),从而

一、J1「■/11._1_、、1A

g(x)=g".v+-'=7S：n21.v+-1=7$in(x+2x)=­•TSIOZX.

②当xW1-g—1时，x+z£Q,7从而

g(x)=g{x+n)=5sin(2(x+n)]=不ini工

综合①②得奠吟在(一20]上的解析式为

r-isin2.x>x€/—i,-5A，

1「兀1

一不in2x,xE-7,0.

sinx-cosxsir12x

25.(2012•北京卷)已知函数f(x)三

sinx

⑴求f(x)的定义域及最小正周期;

⑵求f(x)的单调递增区间.

【解析】解：⑴由smxxO得mfat(柩Z),

故.左)的定义域为A；GZ).

ma八sinx-cosrsin2x

因为•他='一再一

=2cosx(sinx-COST)

=sin2x-cos2x—1

=V2sm!2x--1,

所以©的最小正周期『=学=工

⑶函数］=smx的单调述噌区间为口市一口，2反+斗柩Z).

由2反一—.v=S7t(fr€Z^i>

得E—氏士H+俳，mQr(kEZ).

所以.3的单调因曾区间为信一去市和丁市+阕UWZ).

L0\oJ2

6.(2012•福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数:

(I)sin2130+cos2170-sinl30cosl7°；

(2)sin215°+cos215°—sinl50cosl5°；

(3)sin218°+cos212°—sinl8°cos12°；

(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°；

(5)sin2(—25°)+cos255°—sin(—25°)cos55°.

(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

【解析】解：解法一：

⑴选择⑵式,计算如下：

113

sin:15c+cos:153—sinl53cosl55=l-TS：n303=l-

(2)三角恒等式为s:n:a+cos:(30'-a)—smacos(305-a)=q-.

证明如下：

sin:a+cos:(30°-a)-sinacos(30c-jx)

=sm:久+(cos30=costz+sin30:sma):-sma(cos30=cosa+sin30:sina)

.,.3,6,i,6i,

----sinacosa+^sin-a——sinacosa—

3.33

=jsm-2+j.

解法二：

(1)同解法一.

㈡三角恒等式为sm:a+cos:(30=-a)—smacos(30=-a)=^.

证明如下：

sin:a+cos:(30°-a)-smacos(30c—a)

1-cos2a,l+cos60=-2a….…

=-------------1---------r-------:-sma(cos30Jcosa+sin30'sma)

11ii/1

---7cos2a+-+cos60°cos?5(+sm60•sin2a)—三与n-a

iiiis.Si

=--7Cos2a+-+^cos2aH~~^-sin2a—^sin2a-y1-cos2a)

27.

（2012・江苏卷）设a为锐角，若cos（a+§=3，则sin（2a+专）的值为.

【答案】甯【解析】本题考查三角函数求值问题.解题突破口为寻找已知角和所求角之间的整体关系.

由条件得sin（a+g='|,从而si1^2（（1+初=|^,co{2（a+初=2、卜一1=£,

从而s《2a+套)=sin(2a+>*奈当—亲苧=嚅.

28.(2012•全国卷)已知a为第二象限角sina+cosa=坐,则cos2a=()

A.亚B-亚C亚D亚

【答案】A【解析】本小题主要考查三角函数中和角公式与二倍角公式的运用，解题的突破口为原式

两边平方后转化为二倍角结构及任何情况下均要考虑符号看象限二

由sma+cosa=g及a为第二家限角有亍i*EZ),「.JK+x2a之EZ).原式

、2x/s

两边平方得2smacosa=sin2a=一号cos2a=—j，故选A.

,\/37T

29.(2012•安徽卷)设函数fOOn^-cosZx+w+sinZx.

⑴求f(x)的最小正周期；

(2)设函数g(x)对任意x£R,有g(x+"=g(x),且当xe[(),时，g(x)=1—f(x).求g(x)在区间(一兀，0]

上的解析式.

二6「7(\

【解析】解：(1加工)=y832x+[+5正工

、兀.、疝।1-cos2x

cos2xcos-sin2xsin^H----；---

11「

=5-gsmlv.

故.心0的最小正周期为兀.

(2)当xG0.7g(x)=I—/(x)=1sin2x.故

①当工曰Tx+曰曰0,由于对任意xGR,g.V+T=g(x))从而

g(x)=W工+[：=U21x+7"|=,7511112x)=-7S；n2x.

\U2L\LL

②当工6一7b—4时，x+兀E3,T,从而

g(x)=g(x+冗)=|sin(2(x+7t)]=|sm2x.

综合①②得gUI在(一2。]上的解析式为

「一」研

2sm2x,x£­兀,~2Jf

g(x)={「

1兀八

[-]sin2x,x£-5,0.

30.(2012•福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

(l)sin213°+cos217。一sin13°cos17°；

(2)sin215°+cos215°—sinl5°cos15°；

(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°；

(4)sin2(—18°)+cos248°—sin(—18°)cos48°；

(5)sin2(-250)+cos2550-sin(-250)cos55°.

(1)请从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

【解析】解：解法一：

⑴选择⑵式,计算如下3

113

sm-15=+cos-153-sml5scosl5==l-7Sin30==l-

㈡三角恒等式为sm:a+cos:(30=—a)-smacos(305—

证明如下：

sm:a+cos:(30s—a)-smacos(30=­a)

=sm:a+(cos30=cosa+s!n30:sma)：-sma(cos30ccosa+sin30:sina)

、3、31转1

=sm:a+^cos:aH---sinacosa+^sm:a—f-smacosa--sm:a

33,3

=了m=a+^cos-a=j.

解法二：

(D同解法一,

(2)三角恒等式为sm;a+cos:(30=-a)—sinacos(303—a)=^

证明如下：

sm-a+cos:(30=-a)-smacos(30=­a)

1-cos2a,l+cos60s-2a".、

=-----；-------1---------二-----L-sma(cos30wcosa+sin30-sina)

11ii币i

=T-TCos2<1+T+T：cos60:cosl9：+0:s:n2><«—「三n或osc—二三n-aj_

=2

1、,1,1。上近.,亚.，1.,、

一］cos2a十］十］cos2a十才sin2a-Hsm2a-1—cos2a)

11c1J「3

=1—Tcos2a—T+Tcos2a=7.

31.(2012•湖北卷)已知向量a=(coscox-sincox,sincox),b=(—coscox-sincox,2-\/3coscox).设函数f(x)=a・b

+MxGR)的图象关于直线X=7T对称，其中3,人为常数，且(Odg,1).

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若y=f(x)的图象经过点仔，0),求函数f(x)在区间［。，第上的取值范围.

【解析】解：⑴因为.心）=sm：公LQQST（OX+2币smw.vCO3公l+，.

=­cos2cyx+3sin2^x+/.

=2sin'2wx—7+

0/

由直线工=兀是3=.心〕图冢的一条对称轴，可得sin;2GL=±1,

所以,兀一匕沱Z）,即“=1+2之£2）.

又1,kEz,所以=1,故

\ZJ0

所以及心，的最小正周期是w.

⑵由产3的图冢过点:，0,得，:=。，

即4=-2sini7X?-7=—2sin4=-S，即/.=-V?.

JJ1w4

故.3=2sm!或-S，

由。:£壮装有一圣茅一景旨，

,o3oo

所以一Nsin1：；x-^;<1>得一1-亚W2smjx—^/2<2—S.

故函数/W在〔0,管的取值范围为（一1一亚，2—曲.

32.（2012・山东卷）若所百"疝28=芈，则s】nJ=（）

【答案】D【解析】本题考查三角函数的二倍角公式，考查运售求解能力，中档题.

2sin9cos0=­，一一3

8解之得sin0=^.

isin2O+cos20=L

33.（2012•湖南卷）函一数f（x）=sinx—cos（x+*）的值域为（）

A.（-2,2）B.（一小，小］

C.(-1,1)D.一坐,阴

【答案】B【解析】考查三角函数化简求值，关键是三角函数的化简，三角公式的识记.

函数f(x)=sinx-cos(x+2)='sinx-坐cosx=^/5sin(x-所以函数%x)=sinx-cos(x+^)的值域为(—\[3,

小],故选B.

34.(2012•安徽卷)设函数f(x)=^cos2x+》+sin2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)设函数g(x)对任意xCR,有g(x+?=g(x),且当xd[o,用时，g(x)=1—f(x).求g(x)在区间(一兀，0]

上的解析式.

【解析】解：(l)f(x)=^cos(2x+£)+sin2x

=要必竭-sin2xsi吟)+匕普

11.c

=1-5sm2x，

故f(x)的最小正周期为71.

"7l~l11

(2)当x£0,]时，g(x)=2—f(x)=2sin2x,故

①当x£—，，o]时，x+，e[o,5.由于对任意x£R,g(x+])=g(x),从而

g(x)=g(x+学=；sin12(x+§]=；sin(兀+2x)=-gsin2x.

②当x£—兀，—9时，x+ice^O,。从而

g(x)=g(x+兀)=/sin(2(x+7T)]=/sin2x.

综合①②得g(x)在(一兀，0]上的解析式为

r|si„2x.xe卜兀，甘)，

g(x)=J[「兀一

[一/sin2x,x£­1,0.

35.(2012•湖北卷.)已知向量a=(cos3x—simox,sincox),b=(—coscox—sino)x,2,\/3COS(DX).设函数f(x)=a,b

+MXGR)的图象关于直线X=7T对称，其中3,入为常数，且COG8，I)

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若y=f(x)的图象经过点件0),求函数f(x)在区间[o,第上的取值范围.

【答案】解g(1)因为义工)=s而公r—cos;公v+2^3smw.vcoswx+Z

=­cos2wx+V3sin2^x+z

由直线工=兀是『="）图冢的一条对称轴，可得sm2（on-=±1,

所以2s-］=市+与（3EZ）,即cy=:+!”WZ）.

0225

又OGW，1；,kez,所以看1,故0=（

\2?o

所以贝X）的最小正周期是g.

（2）由产仅的图象过点：，5,得若=。，

即2=-2sin；2一］=-2sinj=-S，即二=一0

故周x）=2sini?一看一第,

由把烂了，有一言•，一并了，

所以一ksiirj.x—1<1>得一1—Sw2sm；x一1一Sw2一仍.

故函数.心;）在［0,54t的取值范围为（-1一S，2一的.

6.(2012•江西卷)若tan0+\=4,则sin28=()

lUHv

A./B.；C.g.D.；

【答案】D【解析】考查同角三角函数的关系、二倍角公式，以及“1”的代换及弦切互化等方法.解题的

突破口是通过“1”的代换,将整式转化为齐次分式，再通过同除以cose达到化切目的.•；tan8+就」%/

2sinOcos02tan021

=4,:.sin20=2sinOcos0=a=5，故选D.

sin29+cos20tan29+1

37.（2012♦重庆卷）设tana,tan。是方程x2—3x+2=0的两根，则tan（a+。）的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A【解析】因为tana,tan。是方程x2—3x+2=0的两根，所以tana+tanp=3,tanatanp=2,所

35

38.（2012・重庆卷）设aABC的内角A,B,C的对边分别为a、b、c,且cosA=g,cosB=ypb=3,贝1」c

14354I?

【答案】了【解析】因为cosA=g,cosB=百，所以sinA=g,sinB=百，因为sinC=sin（180。一（A+B）］

cbc314

==(由正弦定理知:,即八=直，解得c=1".

=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB55sinCsinB

6513

39.（2012•四川卷）如图1一1所示，正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC、ED,

贝ijsinZCED=（）

也也D若

A.1010

【答案】3【解析】法一：由已知，/CED=4BED-4BEC=4看一4BEC,

而结合图形可知tanZBSC=7,

AtanZC£2?=tani,45=-4BEC)

1

1+1

.".smZCED=

法二：由已知，利用勾股定理可得DE=S，C£=V5,又CD=1,

利用余弦定理得：cos—二+二%=非

2、姬鹏10

.*.smNCSD=噜.

法三：同法二，得DE=S，CE=V5,又8=1,

有S

△CED=1cDAD=1,

又SACED=|cE-EDsinZCED=^sinZCED,

对比得sin/CED=鸣.

40.（2012•上海卷）在AABC中，若sin2A+sin2B<sin2C,则4ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

【答案】C【解析】考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把

角转化边，再利用边之间的关系，判断三角形的形状.由正弦定理可把不等式转化为a2+b2<c2,cosC=

—c?

所以三角形为钝角三角形.故选

2ab<0,C.

已知；71)：)

41.（2012•江西卷）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,A=,bsin[+C—csin(+B=

4

a.

TT

(1)求证：B—C=2;

(2)若a=4L求AABC的面积.

【答案】解：⑴证明：由%n-cm,+3=a应用正弦定理，得

-smCsini[+8=smJ,

£osC-smd

—sin5+^~zos57"-

整理得sinScosC—cos3s:nC=b

即sin(5-Q=L

由于。＜5,cA,从而5—。=由

42

⑵由⑴知3—。=与，又3+。=兀-因此3=得，C=z.

Z-TOO

.二，万/日,asm5、.5兀asmC、.冗

由a=S，.•!=*，得5=青=2smpc=—=2sm?

所以的面积S=3cs:n4=^s:n^sin^=V2co­：1

42

.(2012・辽宁卷)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.

(1)求cosB的值；

(2)边a,b,c成等比数列，求sinAsinC的值.

【答案】解：⑴由已知2B=A+C,A+B+C=180。，解得B=60。，所以cosB=；.

(2)(解法一)由已知b2=ac,及COSB=2»

根据正弦定理得sin2B=sinAsinC,

3

所以sinAsinC=l—cos2B=1

(解法二)

由已知b2=ac,及cosB=g,