高考数学 应用与创新习题

专题十三应用与创新

应用创新篇

应用创新一数学与实际生活

考向一集合与实际生活

1.（2020新高考I,5,5分）某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球

或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的

学生数占该校学生总数的比例是（）

A.62%B.56%C.46%D.42%

答案C

2.（2022河南师大附中月考，13）2021年某高中举办学生运动会，某班60名学生中有一半

的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有2（）人，则

田赛和径赛都参加的人数为.

答案6

3.（2022安徽滁州检测，15）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座,其中有75人听了

数学讲座,68人听了历史讲座,61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12

人同时听了数学、音乐讲座,9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则

听讲座的人数为.

答案172

考向二函数与实际生活

1.（2022河南洛阳期中,7）据中国地震台网测定,2021年9月16日4时33分,四川省泸

州市泸县发生里氏6.0级地震.已知地震时释放出的能量E（单位:焦耳）与地震里氏震级

M之间的关系为lg£=4.8+1.5M.据此测算,2021年3月20H17时09分在H本本州东岸

近海发生的里氏7.0级地震所释放出的能量,约是该次泸县地震所释放出来的能量的（精

确到1;府416）（）

A.19倍B.23倍C.32倍D.41倍

答案C

2.（2021广西钦州四中月考，14）某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿

车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为

10%（即这辆车每年减少它的价值的10%）,则大约使用年后,用在该车上的费

用（含折旧费）达到14.4万元.

答案4

3.（2020北京，15,5分）为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水

治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间，的关系为卬可⑺，

用.弋一/⑷的大小评价在［〃,口这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期丙，甲、

乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.

污水达标排放量

给出下列四个结论：

①在［/I,T这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在及时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在八时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［0,ri］,［ri,T,02,T这三段时间中,在的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.

答案①②③

4.（2022江西上饶期中,21）某地政府为增加农民收入,艰据当地地域特点,积极发展农产

品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本2万元,每加工4万千克该农产

-x2+%,0<%<6,

品，需另投入成本fix）万元,且fix）=已知加工后的该农产品每千克

7xH----27,x26.

售价为6元,且加工后的该农产品能全部销售完.

（1）求加工后该农产品的利润），（万元）与加工量x（万千克）的函数关系式；

（2）求加工后的该农产品利润的最大值.

解析⑴当0<x<6时,>'=6X-Q%24-%）-2=-y+5八-2.

—I.仑6时,y=6x-^7x+?-27）—2=-x—^+25.

--X2+5x—2,0<x<6,

故）={249

—x----F25,xN6.

x

（2）当0<v<6时,y=-^x2+5x-2=-1（x-5）2+y,当x=5时,y取得最大值

当x>6时，因为炉彳工2匹=14,当且仅当x=7时,等号成立,所以当户7时,），取得最大

值11.

因为能11,所以当％=7时,），取得最大值11.

故加工后的该农产品利涧的最大值为11万元.

考向三三角函数与实际生活

1.（2021哈尔滨三中一模,9）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保,

至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时

针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形,如图所示，圆O的半径为4米,Po在水

平面上,盛水筒M从点几处开始运动,。益与水平面所成的角为30。,且2分钟恰好转动

1圈，则盛水筒M距离水面的高度〃（单位:m）与时间/（单位:s）之间的函数关系式是

（）

A"=4sin(印冶)+2

B•加4s呜—)+2

C〃=4sin得£*)+2

D.H=4sin^t—£)+2

答案D

2.（2021辽宁省实验中学二模,6）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称

为撮尖,清代称为攒尖.攒尖建筑的屋面在顶部交会为一点,形成尖顶,依其平面有圆形攒

尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建

筑.辽宁省实验中学校园内的明心亭为一个八角攒尖,它的主要部分的轮廓可近似看作一

个正八棱锥,设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为20,则它的侧棱与底面内切圆半径

的长度之比为（）

考向四数列与实际生活

1.（2022新高考n,3,5分）图1是中国古代建筑中的举架结构,A4,BB',CC,是桁,相

邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中

DDhCCi,BBi,AAt是举,。。，DChCBh是相等的步,相邻桁的举步之比分别为

瞪二。5肄后，膏心源外已知丘A七成公差为0,1的等差数列,且直线办的斜率

为0.725,则k3=)

图1

A.O.75B.O.8

答案D

2.（2022安徽六安质检，12）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫

大学发表演讲并回答学生们提出的问题,在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿

水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银

山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向

绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境,2014年投入资金160万元,以后

每年投入资金比上一年增加20万元,从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%,

到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为)

A.2655万元B.2970万元

C.3006万元D.3040万元

答案C

3.（2022南京中华中学期中,6）设某厂2020年的产值为1,从2021年起,该厂计划每年的

产值比上年增长P%,则从2021年起到2030年年底，该厂这十年的总产值为)

A.（1+P%）9

B.（1+P%）10

「（I+P%）[（I+P%）I0-I]

，p%

10

N（I+P%）-I

■p%

答案C

考向五立体几何与实际生活

1.（2021北京,8,4分）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失

而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位:mm）.24h降雨量的等级划分如

下：

24h降雨量

等级

（精确到0.1）

...••••••

小雨0.1-9.9

中雨10.0-24.9

大雨25.0〜49.9

暴雨50.0-99.9

•...........

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm,高为300mm的圆锥形雨量

器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），则这24

h降雨量的等级是()

U——200mm-J

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

答案B

2.（2020江苏,9,5分）如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.

已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛

坯的体积是____________cm3,

nr।

答案（12百-以

3.（2019课标IH,16,5分）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图,

该模型为长方体A8CQ-48GOi挖去四棱锥O-EFG”后所得的几何体，其中。为长方

体的中心,E,F,G,”分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA|=4cm.3D打印所用原料密

度为0.9g/cn?.不考虑打E[J损耗,制作该模型所需原料的质量为g.

答案118.8

4.（2022全国甲，19,12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装

盒如图所示:底面人3C。是边长为8（单位:cm）的正方形,△E43,2FBC,xGCD,LHDA

均为正三角形,且它们所在的平面都与平面4BC。垂直.

（1）证明：M〃平面ABCD;

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

解析取48、BC、CD、D4的中点M、N、P、Q,连接EM、FN、GP、HQ、MN、

NP、PQ、QM.

⑴证明：在正三角形ABE中,M为AB的中点，所以EMLAB.又平面平面

ABCD=AB,且平面AAE1平面ABCD,EMu平面ABE,所以EM_L平面ABCD.

同理“N_L平面ABCD,所以EM//FN,

又EM=FN,所以四边形£MN尸为平行四边形,所以EF〃MN.又MNu平面ABCD,且

E;m平面ABCD,所以EF〃平面ABCD.

（2）如图,可授包装盒嫄J为长友他必侬盘四和四个金笠的眼雌

易得MN=4^2cm,EM=4A/3cm.

所以V长方体MWQ.EFG*（4&）2X4B=1286cm3,

V四枝砥8X473X4、hx2V2="卢cm3,

JA

所以该包装盒的容积为1288+4x芋=^cm\

33

易错警示:线面平行的判定中，不能忽略线不在平面内这一条件.

5.（2016江苏，17,14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四

棱锥P-AiBiGDi,下部的形状是正四棱柱ABCD-A^GD,（如图所示），并要求正四棱柱

的高。。是正四棱锥的高POi的4倍.

（1）若AB=6m,尸。尸2m,则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m,则当POi为多少时，仓库的容积最大？

解析(1)由2。=2知OIO=4POI=8.

因为43尸48=6,

所以正四棱锥PHi的体积

V砒41以•P01=1x62x2=24(m3);

*5*5

正四棱柱ABCD-A山O的体积

223

Vtt=/lBO1O=6x8=288(m).

所以仓库的容积推+V柱=24+288=312(m3).

(2)设AiS=a(m),PO尸力(m),

则aor/?(m).连接OlBi.

因为在RtAPOiBi中,。居+POl=PBf,

2

所以（华，+//2=36,即々2=2（36/2）.

于是仓库的容积V=V«+V«=fl2,Wa2-h=ya2h

=^（36/i-/P）,0</?<6,

J

从而V,=^（36-3/r）=26（l2-/z2）.

«3

令V=0,得〃=2百或/?=-2V3（舍）.

当0</?<2百时，k>0,V是单调增函数；

当2V3</?<6时，V'<0,V是单调减函数.

故人=2b时，V取得极大值,也是最大值.

因此,当户。尸2百m时,仓库的容积最大.

考向六解析几何与实际生活

1.（2022武汉模拟,5）2021年12月22日，教育部提出五项管理“作业、睡眠、手机、

课外阅读、健康管理”，体育锻炼是五项管理中一个非常重要的方面，各地中小学积极

响应教育部政策，改善学生和教师锻炼设施设备.某中学建立“网红”气膜体育馆（图1）,

气膜体育馆具有现代、美观、大气、舒适、环保的特点，深受学生和教师的喜爱.气膜

体育馆从某个角度看，可以近似抽象为半椭球面形状，该体育馆设计图纸比例（长度比）

为1:20（单位:m）,图纸中半椭球面的方程为。+30）（如图2）,则该气膜体育

44

馆占地面积为()

图1

22

A.1000nmB.540nm

C.2000nm2D.l600nm2

答案D

2.（2022福州一中质检,8）许多建筑融入了数学元素,更具神韵，数学赋予了建筑活九数

学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成的立

体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底面与地面平行.现测得

下底面直径A8=20g米,上底面直径。。=20鱼米,AB与CD间的距离为80米,与上、

下底面等距离的G处的直径等于CO的长,则最细部分处的直径为（）

图1图2

A.10米B.20米

C.10百米D.10V石米

答案B

3.（2022河南鹤壁月考，15）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射

后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线产2px（p>0）,如图,一平行于x轴的

光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,

再反射后又沿平行于4轴的方向射出，且P,Q间的最小距离为3,则抛物线的方程

为.

答案卢3大

4.（2023届河南名校联盟联考,20）疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要

上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、〃米的区域,如

图,/1,/2分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，旦李叔叔家在王阿姨家的

北偏东45。方向，以点。为坐标原点,人/2为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检

查点［即点”（100,400）］和平安检查点［即点N（400,700）］是李叔叔负责区域中最远的

两个检查点.

（1）求出k,并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；

⑵王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路(直线/:x-)，+l000=0)上碰头见面，你认

为在何处最为便捷、省时间(两人所走的路程之和最短)？并给出理由.

解析(1)易知，王阿姨负货区域边界的曲线方程为『+)，'=2001

因为李叔叔家在王阿姨家的北偏东45方向,所以设李叔叔家所在的位置为C(c,c),离

M(100,400)和N(400,700)距离相等，

故(c-100)2+(C-400)2=(C400)2+(0700)2,

故(c・100)2=(c-700)2,

即c-100=7(X)-c,故c=400,

7(400-400)2-(40。-700)2=300.

故李叔叔负责区域边界的曲线方程为(x-400)2+(y-400；2=3002.

⑵设圆心O关于直线l:x-y+\()(X)=()的对称点为P(a,b),则有］-1+1000=0,合1,

解得a=-\000,b=\000,则P(-l000,1000),

-1000-4007

故直线PC的方程为＞=-|x+喋，

联立'=一3'”+,▼4000，

,x-y+1000=0,

解得{；［可得交点坐标为(-300,700),

所以王阿姨和李叔叔为交流疫情信息,可选择在地点(-300,700)碰面,此时两人所走路

程之和最短.

应用创新二数学中的新定义问题

考向一集合中的新定义问题

1.(2022湖南岳阳一中一模，1)定义集合A,B的一种运算:4团8={］g/功,。仁4,b£B).若

A={-l,0},8二{1,2},则A站中的元素个数为()

A.lB.2C.3D.4

答案C

2.（2021河南新乡二模,3）定义集合M0N=3x£Mi.x-1GN\,已知集合A={x*+3x-

10<0},B={.r|-7<r<0},则A鲂二（）

A.{A|-5<¥<-1}B{x|-7<x-<2}

C.U|-5<v<l}D.{.r|-5<v<0}

答案C

3.（2022陕西榆林二模,3）定义集合A-B=A且腕B}.已知集合U={x^Z|-

2<A<6},A-{0,2,4,5},6-{-1,0,3},贝i」Q/（A-6）中元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

答案B

4.（2022贵州顶级名校摸底,2）定义集合的商集运算为[=[x\x=m6An6B],已知

集合A={2,4,6）,B=\x\x=^-l,kEA],则集合《U4中的元素的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

答案B

考向二函数中的新定义问题

1.（2021广东潮州二模,8）对于函数f（x）,若在定义域内存在实数xo,满足--松）=/<为），

称/（x）为“局部奇函数”.若八1）=02〃优+/后3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数

〃，的取值范围是（）

A.[-V3,V6]B.E-AV3]

C.[CD.[V6,V6]

答案B

2.（2022山西忻州月考，II）已知函数/⑺及其导数/G）,若存在即使得/Go）可•'（松），则

称均是/（x）的一个“巧值点”，给出下列四个函数:①f（x）=f；②f（x）=*；③Ax）=lnx;④

/（公=石,其中有“巧值点”的函数是（）

A.①©B.①@

C.®®®D.②④

答案C

3.（多选）（2021江苏南通阶段检测，10）对于定义域为R的函数/5），若存在非零实数沏，

使得函数/W的图象在（-co,xo）和（xo,+oo）上与x轴都有交点,则称的为函数/1）的一个

“界点”，则下列函数中:存在界点的是（）

A./（x）-2x-3B./（x）=|x-2|+l

CJ（x）=2D.fix）=2JT+X\2-X\

答案ACD

考向三数列中的新定义问题

1.(2023届黑龙江大庆重点中学开学考试,7)已知定义在(-8,0)U(0,+oo)上的函数/(x),

如果对于任意给定的等比数列｛〃〃｝,(A。”))仍是等比数列，则称/(x)为“保等比数列函

数”.下列定义在(-8,0)U(0,+8)上的四个函数中，是“保等比数列函数”的是()

A/(x)=fB/(x)=2r

C.f(x)=y+xD./W=ln|x|

答案A

2.(2023届山西晋城重点中学联考,9)若三个非零且互不相等的实数成等差数列,

且满足工+工=三,则称即,X2,i3构成一个等差数列”.已知集合M=｛HHW100,.xWZ｝,

X1x2x3

则由M中的三个元素组成的所有数列中，“夕等差数列”的个数为()

A.25B.50C.51D.100

答案B

3.(2021江西宜春中学、万载中学、樟树中学联考一,9)定义―：一为〃个正数

Pi+P2+-+Pn

Pl,P2,…,P”的“均倒数”，若己知正整数数列｛恁｝的前〃项的“均倒数”为肃，又

"二竽，则氏+白+—+—尸=()

4b2b3^19^20

191「101

AA—BD.—C.—Dn.—

20201111

答案A

4.(2022重庆育才中学入学考试,5)定义:在数列｛a｝中,若满足皿-皿二d为

Qn+1an

常数)，称｛d｝为“等差比数列”，已知在“等差比数歹『'｛a｝中，a=a=1,砥3,则殁也等

©019

于()

A.4X20172-!B.4X20182-1

C.4X20I92-!D.4x20202-1

答案C

5.(2020浙江，11,4分)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，

如数列｛竺罗｝就是二阶等差数列.数列｛丝罗卜〃£心的前3项和是.

答案10

应用创新三数学文化

考向一三角函数与数学文化

1.（2021安徽宣城第二次调研,6）刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求

周'’的方法：当〃很大时,圆内接正〃边形的周长近似等于圆周长,并计算出精确度很高

的圆周率^3.1416.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以

至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想.运用此思想，当nMX3.1416时，

可得sin20的近似值为（）

A.O.OO873B.0.01745

C.0.026IBD.0.03491

答案D

2.（2021福建厦门外国语学校月考,4）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说

过：“儿何学里有两件宝:一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金

矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿黄金三角形有两利其中底与腰之比为黄金

分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形.它是一个顶角为36。的等腰三角形（另一种

是顶角为108。的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如

图所示,在其中一个黄金“8。中，二等.根据这些信息，可得cos324。=（）

答案B

3.（2022哈尔滨三中二模,5）黑洞原指非常奇怪的天体，它的密度大，吸引力强，任何物体

到了它那里都别想再出来,数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，

依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到右

写成一个新数字串；重复以上操作,最后会得到一个反复出现的数字,我们称它为“数字

黑洞”，如果把这个数设为。，则sin'立+1=（）

/0

答案D

4.(2023届安徽安庆调研考试,7)我国唐代著名的数学家僧一行在著作《大衍历》中给

出了近似计算的“不等间距二次插值算法”，用数学语言可表述为若

yo=f(xo),y\=f(x\),y2=f(x2)(AO<VI«2),则在闭区间以也应]上函数y=f(x)可近似表示为

/(x)-Vo+yo.1U-Xo)+yo,1.2(H-XO)(X-X1),其中为I二^2^2,y.=^^-,yo.l.=yiz~y°-1.已知函数

l22xx

XI-XQ必一Xl2~0

/(X)=COSX,X£[-T，3分别取而-看即=0,於=今则用该算法得到cos段()

A.—B.—C.-D.—

2525525

答案D

考向二数列与数学文化

1.(2022云南质检,4)《九章算术》是中国古代的一部数学专著，全书总结了战国、秦、

汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五饯，令上二人所得与下三人等，问各

得儿何？”其意思为：”今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列,其中前2人所

得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”则第2人比第4人多得钱数为()

A.'钱B.一钱C.|钱D.1钱

答案D

2.(2022湖南湘潭月考,4〕我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位(1533年

一1606年)所著.程大位少年时,读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.20岁起便在长江

中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学,遍访名师,搜集了很多数学书籍，

刻苦钻研，时有心得，终于在他60岁时,完成了《算法统宗》这本著作.该书中有如下问

题：“远望巍巍塔七层，纥光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”根据诗词

的意思，可得塔的最底层共有灯()

A.192盏B.128盏C.3盏D.1盏

答案A

3.(多选)(2022山东联考)我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有

良马和驾马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日噌十三里;驾马初日行九十七里，

日减半里.良马先至齐,复还迎鸳马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驾马从长安

出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；鸳马第一天走97里，

以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国，再返回迎向招马,9天后两马相遇.下列结

论正确的是（）

A.长安与齐国两地相距1530里

B.3天后，两马之间的距离为328.5里

C.良马从第6天开始返回迎向驾马

D.8天后,两马之间的距离为377.5里

答案AB

考向三立体几何与数学文化

1.（2022山东潍坊抽测,8）牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用

于计算球体体积的方法,该方法不直接给出球体的体积,而是先计算牟合方盖的体积.刘

徽通过计算，得到“牟合方盖”的体积与球的体积关系为，=±,并且推理出了“牟合

V球n

方盖”的八分之一的体积计算公式，即?=己丫共御从而计算出V炜=11/•如果记所有棱

长都为厂的正四棱锥的体积为V,则V桢爰：v=（）

ATB.lC,V2D.2a

答案C

3.（2020新高考I,4,5分）日昇是中国古代用来测定时间的仪器，利用与界面垂直的昇

针投射到唇面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度

是指OA与地球赤道所在平面所成角，点4处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.

在点4处放置一个日展,若悬面与赤道所在平面平行，点4处的纬度为北纬40°则署针

与点A处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

答案B

4.（2020课标I,3,5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一

个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,

则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比谊为