北师大版初中数学九年级上册11 第1课时 菱形的性质3同步练习

北师大版初中数学九年级上册L1第1课时

菱形的性质3同步练习

第一章特别平行四边形

1.1菱形的性质与判定

第1课时菱形的性质

一.选择题(共4小题)

1.(如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐

标是(3,4),则顶点M、N的坐标分别是()

A.M(5,0),N(8,4)B.M(4,0),N(8,4)C.M

(5,0),N(7,4)D.M(4,0),N(7,4)

2.(菱形的周长为4,一个内角为60°,则较短的对角线长为

()

A.2B.C.1D.

3.菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形两邻角度数比为()

A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1

4.如图，菱形ABCD中，AB=15,ZADC=120°,则B、D两点之

间的距离为（）

A.15B.C.7.5D.

二.填空题（共15小题）

5.已知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,则它的面积是

cm2.

6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,且AC=8,BD=6,

过点0作OH，AB,垂足为H,贝I点0到边AB的距离0H二

7.如图，菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点，且DE，AB,

则菱形ABCD的面积为cm2.

6题图7题图8题图9题图

8.如图，在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点0,AB=13,

AC=10,过点D作DE〃AC交BC的延长线于点E,则4BDE的周长

为.

9.如图，已知菱形ABCD的一个内角/BAD=80°,对角线AC、

BD相交于点0,点E在AB上且BE=B0,则/BE0=度.

10.如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm,若墙上

钉子间的距离AB=BC=16cm,则N1=度.

10题图12题13题图14题图

11.已知菱形的一个内角为60。，一条对角线的长为，则另一

条对角线的长为.

12.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由

A点开头按A->B->C->D->E->F->C->G->A的挨

次沿菱形的边循环运动，行走2022米停下，则这个微型机器人

停在点.

13.如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE_LAB于点E,PF

_LAD于点F,PF=3cm,则P点到AB的距离是cm.

14.已知：如图，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,则以AC为边

长的正方形ACEF的周长为.

15.已知菱形的底长为40cm,两条对角线之比为3：4,则菱形

的面积为cm2.

16.已知菱形的周长是52cm,一条对角线长是24cm,则它的面

积是cm2.

17.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线

AC上任一点(点P不与点A、C重合)，且PE〃BC交AB于E,PF

〃CD交AD于F,则阴影部分的面积是.

17题图18题图19题图

18.如图：菱形ABCD中，AB=2,ZB=120°,E是AB的中点，P

是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是.

19.如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且N

EAF=ZD=60°,NFAD=45°,则NCFE=度.

三.解答题(共7小题)

20.如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0,4),B(-3,0).

(1)求点D的坐标；

(2)求经过点C的反比例函数解析式.

21.如图所示，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DE〃AC交BC的

延长线于点E.

求证:DE=BE.

22.如图，在菱形,ABCD中，ZA=60°,AB=4,0为对角线BD的

中点，过。点作OEJLAB,垂足为E.

(1)求NABD的度数;

(2)求线段BE的长.

23.如图，四边形ABCD是菱形，BE±AD.BF1CD,垂足分别为

E、F.

(1)求证：BE=BF；

(2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长.

24.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与A、B

重合)，连接DP交对角线AC于E连接EE.

(1)证明：NAPD=NCBE；

(2)若NDAB=60°,试问P点运动到什么位置时，AADP的面

积等于菱形ABCD面积的，为什么？

25.已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，

F是DB延长线上一点，且DE=BF.请你XF为一个端点，和图中

已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已

有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可).

(1)连接;

(2)猜想：=;

(3)证明：(说明：写出证明过程的重要依据)

26.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm,BO8cni、点P从点D

动身向点A运动，同时点Q从点B动身向点C运动，点P、Q的

速度都是lcm/s.

(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？假如可能，那

么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？

(2)分别求出菱形AQCP的周长、面积.

答案与评分标准

一.选择题(共4小题)

1.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的丝标

是(3,4),则顶点M、N的坐标分别是()

A.M(5,0),N(8,4)B.M(4,0),N(8,4)C.M

(5,0),N(7,4)D.M(4,0),N(7,4)

考点：菱形的性质；坐标与图形性质。

专题：数形结合。

分析：此题可过P作PE_LOM,依据勾股定理求出OP的长度，则

M、N两点坐标便不难求出.

解答：解：过P作PE_LOM,

・・.顶点P的坐标是(3,4),

Z.0E=3,PE=4,

.'.OP=二5,

・•・点M的坐标为(5,0),

5+3=8,

J点N的坐标为(8,4).

故选A.

点评：此题考查了菱形的性质，依据菱形的性质和点P的坐标，

作出帮助线是解决本题的突破口.

2.菱形的周长为4,一个内角为60。，则较短的对角线长为()

A.2B.C.1D.

考点：菱形的性质；等边三角形的判定。

分析：依据菱形的性质，求出菱形的边长，由菱形的两边和较短

的对角线组成的三角形是等边三角形，进而求出较短的对角线长.

解答：解：如图，•・,四边形ABCD为菱形，且周长为4,

/.AB=BC=CD=DA=1,

又「NB=60。,

1•△ABC是等边三角形，所以AOAB=BO1.

故选C.

点评：本题既考查了菱形的性质，又考查了等边三角形的判定，

是菱形性质应用中一道比较典型的题目.

3.菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形两邻角度数比为()

A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1

考点：菱形的性质；含30度角的直角三角形。

分析：依据已知可求得菱形的边长，再依据三角函数可求得其一

个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比.

解答：解：如图所示，依据已知可得到菱形的边长为2cm,从而

可得到高所对的角为30°,相邻的角为150°,则该菱形两邻角

度数比为5：1.

故选C.

点评：此题主要考查的学问点：

（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的

逆定理；

（2）菱形的两个邻角互补.

4.如图，菱形ABCD中，AB=15,ZADC=120°,则B、D两点之

间的距离为（）

A.15B.C.7.5D.

考点：菱形的性质。

分析：先求出NA等于60。，连接BD得到4ABD是等边三角形，

所以BD等于菱形总长.

解答：解：连接BD,TNADC=120°,

.\ZA=180o-120°=60°,

VAB=AD,

「.△ABD是等边三角形，

/.BD=AB=15.

故选A.

点评：本题考查有一个角是60°的菱形，有一条对角线等于菱

形的边长.

二.填空题(共15小题)

5.已知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,则它的面积是3

cm2.

考点：菱形的性质。

分析：由知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,依据菱形的

面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案.

解答：解：:菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,

J它的面积是:X2X3=3(cm2).

故答案为：3.

点评：此题考查了菱形的性质.留意菱形的面积等于对角线乘积

的一半.

6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,且AC=8,BD=6,

过点0作OH_LAB,垂足为H,贝ij点0到边AB的距离0H二.

考点：菱形的性质；点到直线的距离；勾股定理。

分析：由于菱形的对角线相互垂直平分，菱形的四边相等，依据

面积相等，可求出0H的长.

解答：解：VAC=8,BD=6,

AB0=3,A0=4,

/.AB=5.

A0・B0=AB*OH,

OH二.

故答案为：.

点评：本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线相互垂直平分,

菱形的四边相等，依据面积相等，可求出AB边上的高0H.

7.如图，菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点，且DEJ_AB,

则菱形ABCD的面积为2cm2.

考点：菱形的性质；勾股定理。

分析：由于DE1_AB,E是AB的中点，所以AE=lcm,依据勾股

定理可求出BD的长，菱形的面积二底边X高，从而可求出解.

解答：解：:E是AB的中点，

AE=lcm,

VDE±AB,

.'•DE二二cm.

・••菱形的面积为：2X=2cm2.

故答案为：2.

点评：本题考查菱形的性质，四边都相等，菱形面积的计算公式

以及勾股定理的运用等.

8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AB=13,

AC=10,过点D作DE〃AC交BC的延长线于点E,贝UZXBDE的周长

为60.

考点：菱形的性质；勾股定理Q

专题：数形结合。

分析：由于菱形的对角线相互垂直及相互平分就可以在RtAAOB

中利用勾股定理求出0B,然后利用平行四边形的判定及性质就

可以求出ABDE的周长.

解答：解：:四边形ABCD是菱形，

・・・AB=BOCD=AD=13,AC1BD,0B=OD,0A=0C=5,

/.0B==12,BD=20B=24,

VAD/7CE,AC/7DE,

・•・四边形ACED是平行四边形，

ACE=AD=BC=13,DE=AOI0,

AABDE的周长是：BD+BC+CE+DE=24+10+26=60.

故答案为：60.

点评：本题主要利考查用菱形的对角线用互垂直平分及勾股定理

来解决，关键是依据菱形的性质得出AC1BD,从而利用勾股定

理求出BD的长度，难度一般.

9.如图，已知菱形ABCD的一个内角/BAD=80°,对角线AC、

BD相交于点0,点E在AB上且BE=B0,则NBE0=65度.

考点：菱形的性质。

专题：计算题。

分析：由于AB=AD,ZBAD=80°,可求/ABD=50。；又BE=B0,

所以NBE0=NB0E,依据三角形内角和定理求解.

解答：解：:ABCD是菱形，AAB=AD.AZABD=ZADB.

VZBAD=80°,AZABD=X(180°-80°)=50。.

又「BE=BO,

AZBE0=ZB0E=X(180°-50°)=65°.

故答案为：65.

点评：此题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质以及三角形内

角和定理.属基础题.

10.如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm,若墙上

钉子间的距离AB=BC=16cm,则N1=120度.

考点：菱形的性质。

专题：应用题。

分析：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，从而不

难求得N1的度数.

解答：解：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，则

Zl=120°.

故答案为120.

点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定.

11.已知菱形的一个内角为60。，一条对角线的长为，则另一

条对角线的长为2或6.

考点：菱形的性质。

专题：计算题；分类争论。

分析：题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线,

所以就分两种状况进行分析.

解答：解：①当较长对角线长为2时，则另一对角线长为2；

②当较短对角线长为2时，则另一对角线长为6；

故另一条对角线的长为2或6.

点评：此题主要考查菱形的性质以及勾股定理，做题时留意分两

种状况进行分析.

12.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由

A点开头按A->B->C->D->E->F->C->G->A的挨

次沿菱形的边循环运动，行走2022米停下，则这个微型机器人

停在B点.

考点：菱形的性质。

专题：规律型。

分析：依据题意可求得其每走一个循环是8米，从而可求得其行

走2022米走了几个循环，即可得到其停在哪点.

解答：解：依据“由A点开头按A->B->C->D->E->F

->C->G->A的挨次沿菱形的边循环运动”可得出，每经过

8米完成一个循环，

720224-8=251余1,

.•・行走2022米停下，即是在第252个循环中行走了一米，即停

到了B点.

故答案为B.

点评：本题考查的是循环的规律，要留意所求的值经过了几个循

环，然后便可得出结论.

13.如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PEJ_AB于点E,PF

，AD于点F,PF=3cm,则P点到AB的距离是3cm.

考点：菱形的性质；角平分线的性质。

专题：计算题。

分析：由已知得AC为NDAB的角平分线，且PE,PF分别到角两

边的距离，依据角平分线的性质得到PE二PF.

解答：解：・・•ABCD是菱形

二•AC为NDAB的角平分线

・.・PE_LAB于点E,PF_LAD于点F,PF=3cm.

.\PE=PF=3cm.

故答案为3.

点评：本题考查了菱形的性质及角平分线的性质的运用.

14.已知：如图，菱形ABCD中，NB=60°,AB=4,则以AC为边

长的正方形ACEF的周长为16.

考点：菱形的性质；正方形的性质。

专题：计算题。

分析：依据已知可求得aABC是等边三角形，从而得到AC=AB,

再依据正方形的层长公式计算即可.

解答：解：VB=60°,AB=BC

「.△ABC是等边三角形

AAC=AB=4

.,・正方形ACEF的周长二4X4=16.

16故答案为.

点评：本题考查菱形与正方形的性质.

15.已知菱形的盾长为40cm,两条对角线之比为3：4,则菱形

的面积为96cm2.

考点：菱形的性质。

专题：计算题。

分析：依据已知可分别求得两条对角线的长，再依据菱形的面积

等于两对角线乘积的一半即可得到其面积.

解答：解：设两条对角线长分别为3x,4x,

依据勾股定理可得()2+()2=102,

解之得，x=4,

则两条对角线长分别为12cm、16cm,

/.菱形的面积=12X16+2=96cm2.

故答案为96.

点评：主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，综合

利用了菱形的性质和勾股定理.

16.已知菱形的盾长是52cm,一条对角线长是24cm,则它的面

积是120cm2.

考点：菱形的性质。

专题：计算题。

分析：已知菱形的周长以及一条对角线的长，依据菱形的性质利

用勾股定理可求得另一对角线的长度，然后易求得菱形的面积.

解答：解：由题意可得，AD=13cm,0A=12cm,

依据勾股定理可得，0D=5cm,则BD=10cm,则它的面积是24X10

X=120cm2.

故答案为：120.

点评：此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了

勾股定理.

17.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线

AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE〃BC交AB于E,PF

〃CD交AD于F,则阴影部分的面积是2.5.

考点：菱形的性质。

专题：计算题。

分析：依据题意可得阴影部分的面积等于aABC的面积，由亍△

ABC的面积是菱形面积的一半，依据已知可求得菱形的面积则不

难求得阴影部分的面积.

解答：解：阴影部分的面积等于aABC的面积.

VAABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，

菱形ABCD的面积=AOBD=5,

.・•图中阴影部分的面积为5+2=2.5.

故答案为2.5.

点评：本题主要考查了菱形的面积的计算方法，依据菱形是中心

对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关

键.

18.如图：菱形ABCD中，AB=2,NB=120。，E是AB的中点，P

是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是.

考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质。

专题：动点型。

分析：过点E作PELAB,交AC于P,则PA=PB,依据已知得到

PA=2EP,依据勾股定理可求得PE,PA的值，从而可得到PE+PB

的最小值.

解答：解：当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值.

过点E作PEJ_AB,交AC于P,则PA=PB.

VZB=120°

AZCAB=30°

・・・PA=2EP

VAB=2,E是AB的中点

・・・AE=1

在RSAPE中，PA2-PE2=1

PE=,PA=

I.PE+PB=PE+PA=.

故答案为.

点评：本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补.勾股定理和最

值.本题简单消失错误的地方是对点P的运动状态不清晰，无法

推断什么时候会使PE+PB成为最小值.

19.如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且N

EAF=ND=60。,ZFAD=45°,则NCFE=45度.

考点：菱形的性质；等边三角形的判定。

专题：计算题。

分析：首先证明AABE&ZXACF,然后推出AE=AF,证明4AEF是

等边三角形，最终可求出NAFD,NCFE的度数.

解答：解：连接AC,

・・•菱形ABCD,AAB=AC,ZB=ZD=60°,

「•△ABC为等边三角形，ZBCD=120°

AAB=AC,NACF=ZBCD=60°,

/.ZB=ZACF,

・・・△ABC为等边三角形，

AZBAC=60°,即/1^£+/£人060°,

又NEAF=60。,即NCAF+NEAC=60°,

/.ZBAE=ZCAF,

在4ABE与4ACF中

AAABE^AACF(ASA),

・・・AE=AF,

又NEAF二ND=60。,则AAEF是等边三角形，

.,.ZAFE=60°,

又NAFD=180°-45°-60°=75°,

则NCFE=180。-75°-60°=45。.

故答案为45.

点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形

的内角和定理.

三.解答题(共7小题)

20.如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0,4),B(-3,0).

(1)求点D的坐标；

(2)求经过点C的反比例函数解析式.

考点：菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式。

专题：代数几何综合题；数形结合。

分析：(1)菱形的四边相等，对边平行，依据此可求出D点的坐

标.

(2)求出C点的坐标，设出反比例函数的解析式，依据C点的

坐标可求出确定函数式.

解答：解：(1)VA(0,4),B(-3,0),

/.0B=3,0A=4,

/.AB=5.

在菱形ABCD中，AD=AB=5,

.\OD=1,

AD(0,-1).

(2),.・BC〃AD,BC=AB=5,

C(-3,-5).

设经过点C的反比例函数解析式为y二.

把(-3,-5)代入解析式得：k=15,

・,.y二.

点评：本题考查菱形的性质，四边相等，对边平行，以及待定系

数法求反比例函数解析式.

21.如图所示，在菱形ABCD中，NABC=60°,DE〃AC交BC的

延长线于点E.

求证:DE=BE.

考点：菱形的性质。

专题：证明题。

分析：由四边形ABCD是菱形，NABO60。，易得BD±AC,Z

DBO30。，又由DE〃AC,即可证得DEJ_BD,由直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半，即可证得DE=BE.

解答：证明：

法一：如右图，连接BD,

。四边形ABCD是菱形,NABC=60°,

/.BD1AC,ZDBC=30°,

・.・DE〃AC,

.\DE±BD,

即NBDE=90°,

：.DE=BE.

法二：二四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

/.AD//BC,AOAD,

VAC^DE,

・•・四边形ACED是菱形,

Z.DE=CE=AC=AD,

又四边形ABCD是菱形，

Z.AD=AB=BC=CD,

ABC=EC=DE,即C为BE中点,

.\DE=BC=BE.

点评：此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等学问.此题

难度不大，留意数形结合思想的应用.

22.如图，在菱形，ABCD中，NA=60°,AB=4,0为对角线BD的

中点，过0点作OE_LAB,垂足为E.

(1)求NABD的度数;

(2)求线段BE的长.

考点：菱形的性质。

分析：(1)依据菱形的四条边都相等，又NA二60°,得到AABD

是等边三角形，NABD是60。；

(2)先求出OB的长和NBOE的度数，再依据30°角所对的直角

边等于斜边的一半即可求出.

解答：解：(1)在菱形ABCD中，AB=AD,NA=60°,

1•△ABD为等边三角形,

/.ZABD=60°；(4分)

(2)由(1)可知BD=AB=4,

又TO为BD的中点,

Z.0B=2(6分)，

又・.,OE，AB,及/ABD=60°,

AZB0E=30°,

ABE=1.(8分)

点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的

直角边等于斜边的一半求解，需要娴熟把握.

23.如图，四边形ABCD是菱形，BE1AD.BF1CD,垂足分别为

E、F.

(1)求证:BE=BF；

(2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长.

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。

分析：(1)依据菱形的邻边相等，对角相等，证明4ABE与ACBF

全等，再依据全等三角形对应边相等即可证明；

(2)先依据菱形的对角线相互垂直平分，求出菱形的边长，再

依据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法

即可求出.

解答：(1)证明：•・•四边形ABCD是菱形，

/.AB=CB,ZA=ZC,

VBE±AD.BF±CD,

/.ZAEB=ZCFB=90°,

在AABE和ACBF中，

AAABE^ACBF(AAS),

ABE=BF.

(2)解：如图，

・・•对角线AO8,BD=6,

・・・对角线的一半分别为4、3,

・,・菱形的边长为=5,

菱形的面积=5BE=X8X6,

解得BE二,

点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考

查了菱形面积的两种求法.

24.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与A、B

重合)，连接DP交对角线AC于E连接BE.

(1)证明：ZAPD=ZCBE；

(2)若NDAB=60°,试问P点运动到什么位置时，4ADP的面

积等于菱形ABCD面积的，为什么？

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性

质。

专题：证明题；动点型。

分析：(1)可先证△BCE9Z;kDCE得到NEBONEDC,再依据AB

//DC即可得到结论.

(2)当P点运动到AB边的中点时，SZ\ADP=S菱形ABCD,证明

SAADP=XAB*DP二S菱形ABCD即可.

解答：(1)证明：•・•四边形ABCD是菱形

ABC=CD,AC平分NBCD（2分）

「CE二CE