高考数学：数形结合法及题型实例

高考数学：数形结合法及题型实例

数形结合思想

基础知识点

1.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，

借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究

图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以

使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。〃数缺

形时少直观，形少数时难入微〃，利用数形结合的

思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2.教形结合的思想方法在高考中占有非常重要的

地位，考纲指出〃数学科的命题，在考查基础知识

的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重

对数学能力的考查〃，灵活运用数形结合的思想方

法，可以有效提升思维品质和数学技能。

3.〃对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层

次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结

合〃，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习

时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为

用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4.函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数

轴表示等，是〃以形示数〃，而解析几何的方程、斜

率、距离公式，向量的坐标表示则是〃以数助形〃，

还有导致更是数形形结合的产物，这些都为我们提

供了〃数形结合〃的知识平台。

5.在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结

合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数

形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数

形结合的方法，能起到事半功倍的效果「数形结

合千般好，数形分离万事休〃。

经典例题剖析

(1)设/(》)=<g(x)是二次函数，若/(g(x))的值域是［0,+8),则g(x)的值域是().

X,\x\<b

A.(-00,-l]U[b+00)B.(_8,_]]U[0，+8)

C.[0,+OO)D.[1»+°°).

解析：因为g(x)是.次由数，ff(域不会是A、B.面出阴数y=/(x)的图像(图1)切知，当g(x)值

域是［0,+8)时./(g(x))的值域是［0,+8).答案：c..

点评：本题考查函数的图像、定义域、值域，是高考的一个重点,考题多以小题形式出现。

(2)设集全4U8Ur={L2,3,4,5},且/口8={1,3},求有序集合组{A,B.C}的个数(不同的顺

序算不同的组)。

解析：借助文氏图(图3)可知，三个集合A、B、C把全集U分成

八个部分，需按1、3是否属于C分类，再把2、4、5三个数放到如图中

③④⑤五个位置即可，每二种放法对应一个有序集合组。

按1、3是否属于C分四类：.

(1)1、3仔C;(2)1WC且3圮C;.

(3)3£C且1史C;(4)1、3WC.

共有53X4=500种。

点评：画出文氏图，提高了解题的直观性，使解题思路清晰，分类清楚,易干操作。

4cos2x-3>0

(3)解三角不等式组《

tanx-1<0

分析：利用三角函数的图像或三角函数线(如图4)求解,先求出一个周期

力武器，用好它会使解题简捷、高效。.

方法总结与高考预测

(-)方法总结

1.数形结合，数形转化常从一下几个方面：

(1)集合的运算及文氏图

(2)函数图象，导数的几何意义

(3)解析几何中方程的曲线

(4)数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图

象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等；

2.取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，

有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元

转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。

(二)高考预测

1.在高考题中，数形结合的题目主要出现在函

数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目

上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或

制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特

点的多是选择、填空等小题。

2.从近三年全国高考卷来看，全国卷与其它省市

卷相比，涉及数形结合的题目略少，预测2010年

可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考

查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的

考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是考

纲明确的一个命题方向。

高考题回顾

1.设/'（均是函数/（刈的导函数，将旷=/（刈和旷=/'。）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正

确的是（）.

2.若圆/+）2一4X一4j一10=0上至少有三个不同点到直线/：0¥+力旨=0的距离为2>/5,则直线/的倾

斜角的取值范围是（）

•万乃，c,冗5冗、c，兀兀、cr八）]

AA.[—,—]B.[—,—]C.[—,—]D.[0,一]

1241212631121

3.要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都

能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面,

则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）.

A.3B.4C.5D.6

答案:DBB

复习建议

1.加强对数学概念的复习，深刻理解定义以及

数、式的几何意义，真正夯实双基；

2.加强作图能力的训练，解题先想图，以图助解

题，养成数形结合的习惯；

3.注意知识间的联系、综合与交汇，提倡一题多

问，一题多解，多题一解，培养发散思维和归纳概

括的习惯，重视数学思想方法在解综合题中的指导

作用，

专题一：网点间的题寓公式

1.函数「=-2x+2+&J6x+lS的最小值为______.

2.西数y=Jx、2x+17-&-6x+13的最大值为____

3.曲数/(x)=(x-a)2+(Inx2-2a)2的最小值为____.

4.若a>0,则(々一6)：+(a:-lna+2-b)：的最小值为___.

5.若a>g,如(a-b)1+(ln(2a-l)-26-3>的最小值为____

专题二：两点词的科华公式

1.若点Rgn)在涉段v=8-2xQ<x<3)±则二的取值兔国为____

m

2.若点Rgx)在线毂y=8-2x(!Mx43)上J,j-----的监值范宜为.

3.若点/不埼在函数y=f-2x+l的国费上,刘二的取值范围为___-

m

4.若点Hs用在函数y=V・2x+l的图象上，则二的取值范围为____.

m-2

5.函数的值域为_____

6.函数y=3二的值域为____.

4+1

7.函数y=上的值域为___.

□-3

8.函数y=严_的值域为____.

2*cax

9.函数「=吉能在区间(OJT)上的值域为____

10.考为数)=/(x)的田象占右里，且在区画［ab］上存在网力之2)个互不和争的玄数天,七,…,X.」更得

公2=煞2=3=22,则正赘教力的取值契合为_____.

X：七互

专题三：绝对值晶数的图像

1.若方程炉-4X+5=加有zg个不等笑愎，对加的取值范围为____.

2.考方程r-2x-3=«t+2有23个不与宓根，如沏的芯值范再为____

3.若方程三-2%-3=刀+冽有四个不等玄根，乃加的取值两里为___.

4.若方程x-2+1=Ax有竟个不争笑根，刘上的取值蒐国为______

5.若关于x的万程2工-3+冽=8有泥个不与失根劝实欲胆的取俊艳引为______.

6.若函数/(x)=X-1,则关于X的方程f'(x)-/(x)-k=0的1个体要丰真金超为_______.

①存在全馆里方是恰有2个不可的实愎：②存在2值使方程恰有4个不可的笑愎：

③存在左但使方程性有5个不屈的奏愎；④存在比偿便方程恰有8个不可的生愎.

7.若为数/(x)=x2-l,且方星/2(x)+岳/(x)+c=0*7个不相与的笑数根,刘必官().

、6-。-1=0B.6+c-1=0C.6-c+!=0D"+C+1=O

8.设函数f(x)=e，若关于x的方程/(x)-W(x)+刑-1=0恰有4个不相与的笑数根，则实数洸的

取值范围【1.

A.d,2)U(2,e)B.(1,1)C.a1+1)D.d,，)

eeee

专题B：分段函数的图像

，若为数/(»=/一>对方程尸(X)+炉(x)+c=0有五个不写实根的充要条件是【】.

10,x=0

A.b<-Z且c>0B.“-2且。<0C.5<T且c=0D.b>-2且c=0

5卜-4_［j>o

2.设函数=?一.•若万程/，(x)-(2w+l)/(x)+苏=0有三个不写实根.列实教洸

x*+4x+4sx<0

的值为【】.

A.2B.6C.2或6D.4或6

3.若函数〃x)=(：、则"H-2”是“关于x的方程/：(x)+/(x)+l=0有三个不可奏

lg(-x)(x<0)

数根，的____________条件.

4.若为数/(x)-I］、产”：函数g(x)=/(x)+/(x)-九则关于南蚁g(x)的零点，下列判后

(x<0)

不尊尊的是［).

A•若r="g(x)有一个零点B.若一2</<之以X)有谖个零点

c.若Z=-2,g(x)有三个零点D.若工<-2,g(x)有四个零点

年建1:四点网叼杷冏公AI产号夺英J

::

，矍：主于1y=-2x+2+>/x-6x+18=^(x-l)+l+&-3)：+9,

医念展-1)：+1表示P(x,O),dQl)索点之陆的法篇.x-3):+9表示P(xO)T5(3,3)恋点之

间的生荔.

板函数的量小电鸵等价于在x铝上的点尸(x,0)到点4(L1),8(3,3)的不茗之和的最小良

设点用L1)关于x蓊对和的点为4(L-1)：^iPA+PB=PA^PB>A'B^2本可为PA+PB的

最小值为2有，也豌是说:函数的最小值为2有.

2.挈：主于■y=Jx：+2x+17-yjjr-6x+\3=Jx+1)：+16-^/(x-3):+4,

因光^x+l):+16表云产(x,0),域-L4)局点之间的茎苍：g-3)：+4表示尸(苍033(3,2)亮点

之间的至嘉.

枚,函数的最大值或等使于在x短上的点尸(x,0)到点4(-13),见3,2)的军茗之言的最大直

至PA-PBWAB-聿可为PA-PB的最大直为2J5\也差是道,函数的最大值为2行.

3.越：主于(x-a)：+0nx:-Id)1=(x-a)2+(21nx-2a):表示尸(x：21nx),4(02a)表点之同的至

驾的平方区殳函数/(x)的最小值虹为PA2的最小面

出于史成42a)在直线y=2x上，因NH4’的最小值即点尸(x,21nx)到直线y=2x的至泓d的平

方解音^)Y(L|

令函数g(x)=x-Inx,划主g'(x)«l-l«—为函数g(x)在(0,1)上递减，在支田)上送妲，

XX

444

故为数g(x)的最小位为g(X)=g(l)=1.从而tf=y(x-lnx)2=-(^(x))2>-.

竦上可知为数/(X)的最小值为［.

4赛：主于(a-b)：+(a：-Ina+2-b):表示尸(qa；-lna+21以，①莞点之富的登驾的平方,医工折

求式于的最小值却为尸。'的最j、色

出于点。s»)在言津》=x上，因之尸02的最小值即点尸(ad-1na+2)到宜注y=x的运友d的

平小小=(y-。：？一~丁=i(tr-a-lna+2)2.

41+12

令函数g(x)=x：-x-lnx+2JJ右g，(x)=2x-l-L=L(2x+lXx-l)知函数g(x)在(0,1)

XX

上递减,在(1,400)上递弱散函数欧X)的最小值为欧x)=g(l)=2.从变22.

竦上可知，斫求的最小值为2.

5.鳏：主于(。一方)：+(111(24-1)-26-3)：表示尸(4142々-1)),0(“2方+3)芝点之间的运驾的平方,因

之所求式于的最小值即为尸0”的最小值.

主于点。(a26+3)在豆绫y=2x+3上，因丈尸。丁的最小值R二点尸(al«2a-l))胤直线y=2x+3

2a

的运离d的平方3=(+力^丁-1))：=；(勿_如(2._1)+3)：.

令函数g(x)=2x-ln(2x-1)+3,则主g(x)=2-丁二=姿:知为效g(x)在(41)上递减，

2x-l2X-12

在(1,田)上递第故函数g(x)的量小值为氯x)=g(l)=5.从菰，之g・5?=5.

抹上可知,祈求的最小值为5.

专题2:两点间的斜率公式【参考答案】

直线x=0与指的演的文点优直线0P的畏斜角为90•，&A直线0P的胡安不存在，因文宣浅OP的斜率不

小于匏物线的切浅。4的斜象或不大于怨物漫的切线。&的斜密.

设尤翁续的切涉的方程为y=H,则亲立方程近与y=f-2x+l可得f-G-2）x+l=0,令

A=G-2）：-4xlxl=0可每A=o,或4=7.

所以，上的取值范围为上£7,或巴之0.

mmm

4.峨：主于点Rs”）在抬筋线上:巨会表示直演CF的斜志,其中点C（2-l）s

千当点P为支线x=2与拈物线的交点匕交演CP的短鼻角为90s,Nk直绫

CP的斜定不存在，因龙直或CP的歙率不小于抬物绫的切线CE的第箔或不

大于死物线的切纹CF的斜宝.

设兆物馒的切线为y=Kr-2）-L则般立y=Mx-D-l与>=必-2%-1可

得f_&-2）x_2k_2=0,44=伏-2）：_3（2一口=0可得比=2二20.

所以，二的取值范引力二或

.mm

5洛生于F=会表示落毡P（2\r）：e（-U）折淹定直或PQ的号笔荒史PQU）在

2+1

射线r=x（x>Q）上，区比建合国形（就无右阻分析的直线P。的斜宓介于直绫。。的

斜率屋“=±£=-1：与直速0R的斜率（%=1）之同.斫以函数的总城为（-11）.

-1-0

6.笠：立于y=之二表示.史既2"：.2）0（一口）折滑.定直线P0的斜麦，千3R2EH）

在射线r=：xa>0）上，因土结合国再（王右图1分怩范直绫P0的豺亲介于直线。0

的鼻率仆°=点=-1］与直注0R的斜志（1M：）之同.所以为效的值域为（-1A）.

3»_1

7.转由于y=二;表示有里氏工为众⑪折懑定直线P。的斜曲毛史PG?）在无

注y=x（x>0）上，医工结合国形（史右国）分析知：当点P为直线x=3与交线的交点片,

直涉P0的坎斜角为9C6：其姿室不存在，斫以P0的斟率小于。。的安塞」=言=：,

或大于0R的斜率%=1.所以为数的值域为g2）U（1y）.

8.黎：生于y--------=———表示茂点？(80.而9。(-20)折稿定

直线P。的斜率，〒点Reosx.$in幻在单位园上，因土结合国彩:参工右困；

分忻的直线P0的斜塞介于里把囱的切线AQ的斜姿与8。的斜率之间.

由于过点0(-2。作单但应的两切线的就定为%=-¥，匕，=，，所

以西蚊的值域为［-*,乎］.

9.筑：=干y=37mx表示再昌REr.Mny)。(4①斫猪字直涉PQ的影宓.

4-cax

而点P(co6X,sinx)在单色园的上半区(因为xe(0/))上,因比结合国考傣

王右田)分析为无线P0的斜茎介于单位圆的切渣.4。的斜妄与边界三线5。

的斜率之底.

因为切线的斜率为乜=上奢，支线5。的科室为由,=1,折以函数的值域为［巨铲：1).

加.笔：主于32=小1苧表示考点RH，/a»aao)所滂定宜注。月的斜率，3=/咚2表示竟

4。-0x.x-0

点旦(h/a；)),aao)折覆定支浅。x的豺京：……，生叱=生与表示度点尼8・/8》：。©0)斫覆定

x.%-u

直绫OH的斜密.

因攵森的值即为过京点。的直涉与函数图龛的交点个数，安”的取值集合为{234}.

专题3:绝对值函数的图像【参考答案】

I.笔:设函数/(x)=x'-4x+5,则/(x)是恒为数.首先，圃

出当xNO时的函数/(x)=M-4x+5的图窗：其次根嘱偈

函数的怪员可得当x＜0对的函数f(x)的田像.于是，可以得到

函数/(X)在定义域内的阴柒汨右国折承.

主国像可知，万程/(X)=?M有四个不写实根时，失数刑的

取值范国为1＜加＜5.

2.般：设函数/(x)=?-2x-31.首先苜出函数

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/(x)=f-2x-3的图像.其次存x抬下方的图像对秫到x指上方就可以得到的数/(x)在定义域内的

图像如右图所示.

圭图像可知，方程f(x)=m+2有4个不等实根肝：奏数加交潸足的条件为0<*+2<4.

故失数冽的最值范再为一2<m<2.

3.艇：设函数/Yx)=x*-2x-3-x.

5.艇:万程r-3+冽=8的实根个数等价于函数>=2'-3的国思与直线y=8-刑的交点的个数.

至于函数y=2'-3的而愎可以先号函数y=2’的座费W下平号

三个单位得到函数)，=2,-3的国像，再有南数y=2,-3的国像在x辕

下方的部分关于x辕对称，得到•函蚁>•=2'-3的图像R右国折示.

所以，当0<8-冽<3=5<加<8时，函数)，=2,-3的图堂与直

线)=8-刑有焉个交点，耳万理2*-3+冽=8有寿个不与失根.

6.*：首生，苜出为数/(x)=x-1的用像力右田斫示.

其次令/(x)=乙英设方程左=0的根为4耳，则主书达

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定理可包g+4=15c4=-k-

生于当左=2咛，4=-11=2,区殳方程/。)=，=7无矣愎.方程/(x)=4=2在近个实根，土

虻原方程共有恋个不可实悔：

生于当无=0时/：=0,4=1,因火下程f(x)=4=0有更个年限方程/(x)=4=1有三个女强，之

射原方程我有五个不司实裱：

主于当上=-_|叶，《=!£=],因文方程/5)=4=!有四个实愎,方程，(x)=4=i■有四个实

根，之”京万晨共考八个不可安根：

主4+4=1可为不靠可廿大于1，也不能一个为0,另一八大于1,敢不可能恰有29个不可实根.

练上可知，答案为①③④.

7.笠：首先，我们可以画出函数f(x)=x2-l的图象如下，因土:，主图象可知：

(1)当加＜0时，函数y=，(x)的图象与直速y=加没有交点：y.

(2)当加=0时，函/y=/(x)的图象与直线＞=加有零个交点：\!

(3)当0v冽＜1赳,承/》=/(x)的K金上直线》=冽有B个空占：\\/

(4)当加=1时，函数y=/(x)的图象与直爱＞=加有三个交点：-

«)当加＞1吁，函数y=/(x)的图象与直线y=加有拓个交点1|1

箕次:设/(x)=r：JJS度方程/2(x)+6./(x)+c=0有7个不写实恨方程『+-c=0必有恋个

实愎4也•且满足0＜4＜L4=L从无可知,必有1，+协1+c=0.即，答案为D.

r|

8•岁:言先，蜀出函数/(x)=7的图逐七右图所示.

其次出万程/2(x)-«x)+m-l=0得/(x)=1或f(x)=m-\.\

主于方程/(x)=l有且只有一个实教根因火要使原方程有恰有4个\

不相号的空数根，只需方程/(x)=m-l伯君3个不适号的实数掇，\-J2

故。＜冽4加＜1+1,故答案为C.

ee

说明：本32的美灌在于固为效/(x)的田象尤其是应关注函数田像的特任点，叱力板值点！

专题4：分段函数的图像【参考答案】

，冬：当xwOBlX+L22,且函数/(X)是俗话数，其石獴纪下国所示.从笊可知：

rM

(1)当初＜0时，无蚁y=/(X)的军象与直或｝=冽没有交点：

(2)当瑰=0吁，为致y=/(x)的国象与直线》=加有一个文点：

(3)当0〈刑＜2时，为/y=/(x)的引象与直纹)=泄没有交点：\/

(4)当加=2灯，函数y=/(x)的图象与直线＞=加有苫个交点：

(5)当加＞2咛，函数y=/(X)的图象与直线y=冽有23个文点.°

其次设/住)=乙为要使方程/：(x)+b/(x)+c=o有5个不与实植方程F+6＜+C=0必有麦

个实根4国，巨满足4=°工＞2.从而可也必有c=0,且-b＞2nbv-2.答案为D.

2.邂:首先：国出函数/(X)的国宝打右团所示.义无可知：

(1)当巾＜0廿，函数y=/(x)的图象与直演＞=冽没有交点：,

(2)当加=0时，理蚁y=/(x)的图盆与直统＞：=加有两个交点：\I

《3)当o＜加＜4时，函数＞=/(x)的田盆与克溃)・=冽有四个交受：一\K

(4)当选=4时，函数y=/(x)的图案与直线》・=冽有三个交点：\/\/

(5)当加＞4时：函数＞=/(x)的图象与直域》•=加有蓉个交点.~丁

其次，设/(x)=f,则要受/2(x)-(〉n+l)/(x)+析：=0有5个不写实根，-一(2加+1*+加2=0必

有透个文根4,4,巨满是/(')=4有葵个奏根，/(x)=%有三个实根.

故必有4=4,从充16-4(2加+1)+加2=0,邂存冽=2,或加=6.