高考数学总复习《常用逻辑用语》专项测试卷及答案

高考数学总复习《常用逻辑用语》专项测试卷及答案

学校:________班级：姓名：考号：

复习要点1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，理解定义、判定

定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系2通过已知的数学实例，

理解全称量词与存在量词的意义3能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

理清教材♦得固

1基础普查

-命题的概念

使用语言、符号或者式子表达的，可以判断

概念

真假的陈述句

特点(1)能判断真假；(2)陈述句

分类真命题、假命题

二充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p今q,则〃是。的充分条件,2是〃的必要条件

p是q的充分不必要条件p今q一旦q令p

p是q的必要不充分条件p由q且q0p

p是q的充要条件poq

p是q的既不充分也不必要条件p令q且q令p

三全称量词和存在量词

1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，

并用符号y、表示.

2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量

词，并用符号”旦/表示.

四全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

对M中任意一个x,p(x)

结构存在M中的元素x,p(x)成立

成立

简记VxEM,p(x)3x^M,p(x)

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否定幺弟p（x）弋xRM,金⑴

常/用/结/论

1.设4=｛卫〃（1）｝,8=｛腓7。）｝.

①若〃是夕的充分条件，则A73；

②若〃是夕的充分不必要条件，则AB；

③若..2是的必要丕充殳条件*一则.四…A；

一个推理形式等价于3种不同叙述形式.如:p今q且q3/p.等价于:①p

是q的充分不必要条件（或q的充分不必要条件是p）；②q是p的必要不充分条件

（或p的必要不充分条件是q）;③AB.

④若〃是9的充要条件，则A=5.

2.〃是q的充分不必要条件，等价于女弟4是女弟〃的充分不必要条件.

1.判断下列结论是否正确.

（1）“P是4的充分不必要条件”等价于‘％是〃的必要不充分条件（J）

（2）“菱形的边长相等”是全称量词命题.（J）

（3）已知集合A,B,"AU3=AC3”的充要条件是“A=B".（J）

xx3

（4）命题u3xR,sin]+cos5=5”是真命题.（）

2.（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）

A.3%eR,f—x+；<0

B.所有的正方形都是矩形

C.R,f+2x+2=0

D.至少有一个实数x,使.2+1=0

解析：对于A,其否定为x2—x+；20,是全称量词命题，又x2—x

+：=Q—；）220,所以为真命题，故符合题意；对于B,其否定为存在量词命题，

故不符合题意；对于C,其否定为全称量词命题，又/+21+2>0,则原命题为

假命题，即其否定为真命题，故符合题意；对于D,其否定为对于任意实数招

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都有V+1W0,而工=-1时,2+1=(),所以其否定不是真命题，故不符合题意.故

选AC.

答案：AC

3.(1)“x>0”是“式工+1)>0”的条件.

(2)“⑷>0”是“。>0”的条件.

(3)“。>夕'是"sina>sin夕'的条件.

答案：(1)充分不必要(2)必要不充分(3)既不充分也不必要

4.(2024•重庆南开中学模拟)若命题“三工£口,2],2x+x-a^09f为真命题，

则实数a的取值范围为.

解析：因为三工£[1,2],2x+x-a^0,所以a^(2v+x),nin,xE[l,2],显然)，

=2*+x在x£[l,2]上单调递增，所以。221+1=3,即实数〃的取值范围为[3,

+0°).

答案：[3,+°°)

重难题型,了全线突破题型探究：提能力

题型联如何判断充分、必要条件

典例1下列各题中，〃是9的什么条件？

(l)p：a>b,q：a>b~1；

(2)&d>b,q：lga>lgZ?；

p力q,原因在于没有强调a,b的范围.

(3)p：a>b,az2a>2h；

指数函数的定义域为R,不必考虑a,b的范围.

(4)p：a>b,qza2>b2.

解：(l)p=>q,q力p,・•・〃是^的充分不必要条件.

(2)q0p,p+q,：.p是q的必要不充分条件.

(3)p今夕，且q今p,，〃是q的充要条件.

(4)p由q,q书p,：.p是q的既不充分也不必要条件.

判断充分、必要条件的步骤

(1)弄清条件p和结论q分别是什么.

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（2）尝试〃今q,q0P.

充要条件可以融入数学各个分支，题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧

扣定义，结合其他知识，便可迎刃而解.

对点练1设则％＞0”是“苏＞产的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:①当时，满足但不满足“苏〉〃2，，,所以、＞（），，不能推出、3＞。叫

故充分性不成立;

②由苏＞/，解得因为可以推出%＞0"，故必要性成立.

综上，可知Z＞0”是、3＞渣，的必要不充分条件.故选B.

答案：B

典例2（2023・新高考全国I卷）记S〃为数列｛斯｝的前〃项和，设里1」纭』为笠

差数列榔为等差数列，则（

)

本题考查了等差数列｛an｝及其衍生数歹lJ｛Sn｝和|票｝的联系.

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析：方法一：甲：｛斯｝为等差数列，设其首项为0，公差为d,

则，=町+人展%dS〃+]Sn_d

2'n+1n~29

因此为等差数列，则甲是乙的充分条件;

反之，乙榔为等差数列，即落S〃〃S,L1—(〃+1)S〃”+1-Sn

为常数,

n/?(7?+1)n(n+1)

设为I,

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即标而则&=叫土+1),有50=(〃一1)劭一/•〃(〃—1),"22,

此推导过程略显繁琐，等差数列的本质可从各个方面体现出来.(1)通项公式

为一次函数型.(2)前n项和为n的二次函数型且无常数项.

=

两式相减，得。〃=〃a〃+i—(71—1)cin—2f〃，即知+]—a〃=2t,对n\也成工，

因此｛4〃｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法二：甲：｛斯｝为等差数列,设数列｛斯｝的首项为卬，公差为d,即S〃=

码+血/d,

2

若榭为等差数列，则可设衿an+b,则有Sn=an+bn,符合等差数列的

特性.

因此｛学｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：用为菱33猾二七2

从等差数列的定义出发，这样设出公差.

号=$+(〃-1)。，

—__

即Sn=nS\+n(n—1)0,5M-i=(nl)5i+(nl)(n2)D,

当时，上两式相减，得S“一SLI=SI+2(〃-1)0,即an=S\+2(n—l)D,

对n=1也成立，

于是an=a\+2(n—1)0,又an+\—an=ai+2nD—[a\+2(/?-1)D]=2D为常数,

因此｛斯｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.故选C.

I解题感悟I

充分、必要条件的两种判断方法

(1)定义法：根据go,进行判断.

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(2)集合法：根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.

对点练2(2023•全国甲卷，理)气由20+3//?=1”是“sina+cos/?=0”的

()

A.充分条件但不是必要条件

B.必要条件但不是充分条件

C.充要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

JT

解析：当sin2a+sinT=1时，例如。=5,£=。，但sina+cos夕W0,

即“sin%+sin2£=1"推不出"sinQ+COS夕=0”；

当sina+cos^=0时，sin2a+sin2^=(—cos^)2+sin2^=1,

即“sina+cos4=0"能推出wsin2a+sin2^=l.

综上可知，“si/a+si"夕=1”是%由1+85夕=0”的必要条件但不是充分

条件.

故选B.

答案：B

题型2利用充分、必要条件求参数

典例3已知P={x*—8x—20W0},非空集合S={x|l—〃WxWl+m}.

(1)若“龙是“xES”的必要条件，则加的取值范围为；

(2)若“xWP”是“xES”的充分不必要条件，则小的取值范围为

解析：由X2—8x—20W0,得一2<xW10,：.P={M—2WxW10}.

⑴若二斐P”戛,,“X乒的必果条件一则,6的必

把充分、必要条件转化为集合的包含关系，是此类题目的常规思路.

f1-2一2,

7+mWl(),解得0<〃zW3,故机的取值范围为[0,3],故答案为[0,3].

、1—mW1+m,

1一〃店一2,

⑵若是“x£S”的充分不必要条件，则PS,・：二或

l+m>10

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1~m<~2,

:/.m^9,

1+"2210,

数形结合:S理解为以1为中心，到1的距离小于或等于m(m20)的闭区间，

只有当m29时，才把P全部包含进来.这样是不是更直观呢？

则机的取值范围为［9,+8).故答案为［9,+8).

I解题感悟I

本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏

的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地，在涉及字母参数的取值范围的

充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题

的关键.

yry9V，2

对点练3已知p：实数m满足3〃<小<4〃(〃>0),q：方程---r+y2—=1

11m~12—m

表示焦点在y轴上的椭圆，若〃是q的充分条件，则。的取值范围是.

33、、

解析：由2—相>〃2—1>0,得即夕：IVmV不因为〃是q的充分

条件.

13

3解得QWaWg.

4〃9,

13

答案:

3,8

全称量词命题与存在量词命题

典例4下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假.

(1)有的正方形不是矩形；

“有的”属于存在量词.

(2)VxeR,♦+2>0；

(3)3x^Q,/=3.

解：(1)存在量词命题；假命题.

(2)全称量词命题；由于VxER,都有r巳0,因而有/+222>0,即炉+2

>0,所以命题“VxWR,f+2>0”是真命题.

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(3)存在量词命题；由于使炉=3成立的数只有45,而它们都不是有理数.因

此，没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“mx£Q,/=3”是假命题.

I解题感悟I

判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路

对点练4下列命题为真命题的是()

A.ln(x2+l)<0

B.\/x>22x>x2

C.3a,sin(a—H)=sina-sin4

D.Vx£(O,7i),sinx>cosx

解析：・・・/+121,；.瓜(/+1)20,故A是假命题；当x=3时，23V32,故

TT

B是假命题；当。=4=0时，sin(a­/?)=sina—sin[5,故C是真命题；当工=不£

(0,兀)时，sinx=x,cosx=^~,sinx<cosx,故D是假命题.故选C.

答案：C

题型4

典例5(1)(2024・湖南怀化模拟)命题“Vx£N*,火〃)£N*且人的否定形

式是()

A.VxeN*,人〃游1<且人〃)>〃

第8页共10页

B.Vx£N*,&N*或/(〃)>〃

C.3xeN\人〃声N*且人〃)>〃

D.3xeN*,五〃)阵N或向2)>〃

(2)若“力斗享用‘W”是假命题，则实数m的最大值为()

也可以先将原命题当作真命题来做：转化为m>(s%x%M对于TxWD,m

>f(x)则转化为m>f(x)〃g,而对于mx£D,m>f(x)则转化为m>f(x)〃而.

11

A.2B.~2

C,坐D.一当

解析：(1)写全称量词命题的否定时，要把量词V改为并且否定结论，注

意把"且''改为“或".故选D.

TTTT

⑵因为"Bxe—辛T,sinx</7?"是假命题，

IFTT

所以一彳，彳，〃?Wsinx”是真命题，

•J

兀兀

即〃zWsin工对于—y1恒成立，所以〃2W(sin犬)min,

因为1y=sinx在y3上单调递增,

兀］一sin尹-坐

所以X=-1时，y=si