高考数学考前提醒高中知识点易错点梳理

高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理

一、集合、简易逻辑、函数

1.研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序)；已知

集合A={x,xy,Igxy)，集合B={0,IxI,y},且A=B,则x+y=-2

2.研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义.

2

(1)已知“集合M={yIy=x2,xeR},N={yIy=x+l,xGR},与

“集合M={(x,y)Iy=x2,xGR},N={(x,y)Iy=x?+l,x£R}求MAN”的区别.

(2)已知集合A={圆},8={直线),则8中的元素个数是。或1或2

个.你注意空集了吗？

(3)设/(X)的定义域A是无限集，则下列集合中必为无限集的有一④一⑤

①{yIy=/(%),%£A}②{(x,y)Iy=/(X),XGA)

③{x"(xRO,xwA}@{x\f(x)=2,xeA}

⑤3y=fW)

3.集合A、B,Ac8=0时，你是否注意到“极端”情况：-=0或8=0;

求集合的子集时是否忘记A=0.

例如：(々-2)/+2(〃-2卜-1<0对一切xwR恒成立，求a的取植范围，你讨论

了。=2的情况了吗？

4.(CuA)A(CuB)=Cu(AUB),(&A)U(CtB)=Cu(AAB)；

AB=A,AB=BaAq,B,

对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子

集的个数依次为2“，2”-1,2"-1,2"-2.如满足条件{l}qMu{l,2,3,4}的集合M共

有多少个(特别注意0)

答案：23

5.解集合问题的基本工具是韦恩图.

某文艺小组共有10名成员，每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱

歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞

节目，问有多少种不同的选法？

答案：35

6.两集合之间的关系,时={*=2k+gZ},N={.归4"»冏

7.命题的四种形式及其相互关系；全称命题和存在命题.

(1)原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.

(2)”命题的否定”与“否命题”的区别：

练习：

(1)命题“异面直线S不垂直，则过。的任一平面与人都不垂直”，求出

该命题的否命题.

(2)命题“球£(2,使/=3成立"，求该命题的否定.

(3)若存在〃w|L3],使不等式or?+(4-2)3-2>0,求x的取值范围.

、2

(X<-IX3CX>一)

3

8、你对映射的概念了解了吗？映射f：A-B中，A中元素的任意性和B中

与它对应元素的唯一性，映射与函数的关系如何？

例如：函数与直线的交点的个数有1个

9、函数的几个重要性质：

①如果函数y=对于一切xeR,都有力+x)=f(ar)或f(2a-x)

=f(X),则函数y=/(x)的图象关于直线.r=〃对称.

②函数y=4)与函数)，=/(-x)的图象关于直线x=0对称：

函数y=/⑴与函数广-/⑴的图象关于直线)，=0对称；

函数y=/⑴与函数)，=-/(-工)的图象关于坐标原点对称.

③若奇函数y=/⑴在区间(0,+co)上是递增函数，则)，=小)在区间(-oo.O)

上也是递增函数.

④若偶函数)，=/⑴在区间M上是递增函数，贝！1)，=在区间(-oo.O)

上是递减函数.

⑤函数y=(«>0)的图象是把函数)，=/(X)的图象沿X轴向左平移

a个单位得到的；函数y=/(x+〃)(3<0)的图象是把函数)，=/(X)的图象沿x轴向

右平移同个单位得到的；

函数)，=/(x)+a(〃>0)的图象是把函数)，=/⑴助图象沿y轴向上平移a个单

位得到的；函数)，=/(x)+a(a<0)的图象是把函数)，=小)助图象沿y轴向下平移同

个单位得到的.

⑥函数y=/(r+〃)与函数y=/(x+b)的图象关于直线人(对称

例如：(1)函数,，=/(用满足/(x+1)=/(r+l)则关于直线以

对称

(2)函数)，=/(X+1)与),=/(T+1)关于直线X=1对称

(3)函数.\，=1。&a-1|(〃工0)的图象关于直线x=2对称，贝

jr,

(4)函数)，=sin3x的图象可由y=1-cos3x的图象按向量a=(-—,1)(a最小)

平移得到.

10、求一个函数的解析式，你标注了该函数的定义域了吗？

例如：(1)若/(sinx)=cos2x,则/(力=[-1,1]

(2)若/(x+1)=丁+g，贝！J/(x)=___X3—3x

AA

11、求函数的定义域的常见类型记住了吗？复合函数的定义域弄清了吗？

例如：(1)函数y=/写的定义域是_[0,3)。(3,4)；

(2)函数/⑶的定义域是[0,1],求〃*x)的定义域.

(3)函数/⑵)的定义域是(0,1]，求/(log/)的定义域.(2,4]

(4)函数小)的定义域是[«〃],b>-a>0,求函数F(x)=f(x)+f(-x)的定义域

[a-a\

12、你知道求函数值域的常用方法有哪些吗，含参的二次函数的值域、最

值要记得讨论.

例如（1）已知函数），=.仆）的值域是则函数y=1）的值域是

可_______

(2)函数y=二五的值域是—00—

2

（3）函数），=x+V［=7的值域是_芦+6

（4）函数），=白|的值域是（―8,1）

13、判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称

这个必要非充分条件了吗？在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数;两

个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数；

例如：（1）函数=fL20）的奇偶性是非奇非偶

（2）函数是R上的奇函数，且x>0时，/（x）=l+21,则/（工）的

表达式为

14、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？（取值，作差，判正

负.）可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法.在求函数的单调区间

或求解不等式时，你知道函数的定义域要优先考虑吗？

例如：（1）函数>=晦，-2］-3）的单调减区间为（3,收）

（2）若函数），=bg1（V一心+3〃）在区间［2,铉）上是减函数，则实数a

的取值范围是L

（3）若定义在R上的偶函数/（另在区间［0,转）上是单调增函数，则不

等式/0）v〃lgx）的解集为（。得U"+8）

15、你知道钩型函数），=»色（”0）的单调区间吗？（该函数在和

:，+8）上单调递增；在［-6,。）和（。,6］上单调递减）这可是一个应用广泛的函数!

例如：函数），=：三的值域为峥,+8]），=q上的值域为46

亍'+8

16、第函数与指数函数有何区别？

例如：⑴若基函数是（0什）上的单调减函数，则a=

2,1

（2）若关于x的方程4'+〃2、〃+1=0有解，则实数a的取值范围是

公2-2近

17、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？

（bgW=01°g"=】og,*）你还记得对数恒等式吗？（H）

log,,a

例如：（1）x、y、2£（0,”）且3'=4'=6"则3x、4y、6z的大小关系可按

从小到大的顺序排列为6z>4y>3x

（2）若集合410gl24-2，〃£N,则A的子集有32个

2-3

18、求解对数函数问题时，注意真数与底数的限制条件！

例如：（1）方程21T=]°g2（x+2）的解的个数是

（2）不等式lOggf（2X-I）>logs。（X-1）成立的充要条件是X>1

19、”实系数一元二次方程ad+bx+c=0有实数解"转化为“A=/r-4«c>（）”,

你是否注意到必须a,。；当a=0时，“方程有解”不能转化为△-〃2一4或之0.若

原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可

能为零的情形？

已知函数y=+（1）若函数的定义域为R,求a的取值

范围是（2）若函数的值域为R,求a的取值范围是。=l

二三角

1.三角公式记住了吗？两角和与差的公式;二倍角公

式:解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角，看函数,

看特征”,基本的技巧有:巧变角，公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次

降次，

2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切

函数在整个定义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界

性了吗？

3.在三角中，你知道1等于什么吗？

(1=sin?x+cos?x=tanxcotx=tan2=sin^=cosO=1这些统称为1的代换)常数

42

“1”的种种代换有着广泛的应用.诱导公试：奇变偶不变，符号看象限

4.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换.(如

/?=(a+/?)-<2,/?=(a-/7)+tz,仪+)=tz--1---13等)

2\2J12>

5.你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分

母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来)

6.你还记得三角化简的通性通法吗？(切化弦、降幕公式、用三角公式

转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)；你还记得降幕公式

吗？cos2x=(l+cos2x)/2;sin2x=(l-cos2x)/2

7.你还记得某些特殊角的三角函数值吗？会求吗？

sin15°=cos75°=———,sin75°=cos!5°=+后18°=—―-

444

练习：

(1)lan。=2(。工0)是«cos20+Z?sin20=a的充分不必要条件.

a

解析：

tan<7=—<=>s'n8=—<=>asinO=bcosO<=>。sinO・sin。=AcosO«sin。

acos0a

1-cos20.sin20

oa*------------=/?•--------oacos20+Z?sm1.0-a

22

反之，若48$26+戾皿26=4成立，则未必有tan0=2,取a=o,e=一工即

a2

可，故为充分不必要条件

易错原因：未考虑tan。不存在的情况

(2)已知sing=|,cos^=则，角的终边在第四象限

解析：因为==故/是第二象限角，即

25252

—4-Ikrc<—<7T+2k^(kGZ),故；r+4k;rv夕<2期+4攵江(AeZ),在第三或第四象限

22

以上的结果是错误的，正确的如下：

山s，i.n—。=—3,cos—0=—4,打—34+,2kjv<-。v4+2k7rO(k€Z7)、

252542

所以至+4所<。<2兀+4k爪kwZ),故在第四象限

2

易错原因：角度的存在区间范围过大

8.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？。=囱几无形=；〃)

乙

9.辅助角公式：asinx+Z?cosx=〃?T^sin(x+e)(其中。角所在的象限由

a,b的符号确定，。角的值由tan0=9确定)在求最值、化简时起着重要作用.

a

10.三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗？能写出他

们的单调区、对称轴，取最值时的X值的集合吗？(别忘了keZ)

三角函数性质要记牢.函数y=Asin(0.x+0)+k的图象及性质：

振幅|A|,周期T=育，若x=x。为此函数的对称轴，则X。是使y取到最值的

点，反之亦然，使y取到最值的x的集合为国x=2十幺—工《一｝,当

52a)a)coJ

0>O,A>O时函数的一墙E1为

2co(0CD2coCDCO)

为；当。<0时要利用诱导公式将⑴变为大于零后再用上面的结

论.

五点作图法：令尔+/依次为吟/年,24求出x与y,依点(Q)作图

练习：

如图，摩天轮的半径为40/〃，点。距地面的高度为50〃?，

摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始

位置在最低点处，(1)试确定在时刻/min时点P距地面的高

度；(2)摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距地面超过

70m

11.三角函数图像变换：

(1)将函数为)，=/(x)的图像向右平移£个单位后，再作关于X轴的对称

4

变换，得到函数＞=852工的图像，则八x)=sin2x

(2)f(x)=2sin(x+g)-2cosA的图像按向量平移得到g(x)的图像，若g(x)是

6

偶函数，求同最小的向量加=仔,0

IJ7

12.有关斜三角形的几个结论:

在用A/WC中，AC-=AQ・A8,BC2=BD・BA,CD°=AD・BD

a+b-c

内切圆半径”(S为AA8C的面积)

2

在AA8C中，

①sin(A+8)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

tanA+tan/?+tanC=tanA»tan/ManC

.A+8C4+B.C

sin-------=cos-,cos--------=sin-

2222

②正弦定理

③余弦定理

④面积公式S=—f/Z>sinC=—bcsinA=—acsinB

222

⑤内切圆半径

a+b+c

13.在AA8C中，判断下列命题的真假

(1)A>3的充要条件是cos2Avcos23(真)

(2)tanA+tanA+tanC>0,则AAAC是锐角三角形(真)

(3)若AABC是锐角三角形，则cosAvsinB(真)

三、数列

1.等差数列中的重要性质:

（1）若，〃+〃=〃+9，贝!la,”+4“=+4；

（2）数列｛⑸J,｛aj,｛kan+。｝仍成等差数列；Sn,S2n-Sn,S3n—S2n仍成等差数列；

（3）若｛%｝,｛4｝是等差数列，分别为它们的前〃项和，则詈=2；

2172吁I

（4）在等差数列中，求Sn的最大QJ、）值，其中一个思路是找出最后一正项

（负项）%,则⑸叫M=SA

练习：

①在等差数列｛%｝中，若§9=18,S0=240,a…=30,贝！I〃=15

②｛册｝，仇｝都是等差数列，前〃项和分别为％7；,且&-H则0金

3〃+2b.53

③若｛〃“｝的首项为14,前〃和为S”，点3“向）在直线x-y-2=0上,那S“最

大时，n=8

2.等比数列中的重要性质：

（1）若m+〃=p+q,则%。〃=。＞与；

（2）S,,S、「Sk，S“-S”成等比数列；

（3）若｛%｝是等差数列，贝!）｛4｝是等比数列，若｛%｝是等比数列且可＞。,

则｛log/｝是等差数列;

（4）类比等差数列而得的有关结论

练习：

①若｛金｝是等比数列，卬”=-5124+6=124,公比，/为整数，则%=—512

②已知数列｛%｝满足」」=*_=上_==一&一，并且％+七+.••+5=8,

x

X）-1x2+3/+5n+2〃-1

则£=卫

1T_

③等差数列｛%｝满足…2%++叫此,则｛勾｝也是等差数列，类比等比数列

1+2+---+/Z

｛4｝满足纥二口后心.如—3"则｛纥｝也是等比数列

3.等差数列的通项，前〃项和公式的再认识：

①q=q+（〃-l）d=是关于〃的一次函数，②S"="，；""）=〃♦"，

③S"=An24-Bn

等比数列呢？

练习：

2

等比数列｛%｝中，前n项和S“=2x3，i+,,则

4.你知道“错位相减”求和吗？（如：求（（2〃-1）.3"」-3｝的前11项和）

你知道“裂项相消”求和吗？（如：求｛，1｝的前n项和）

5.由递推关系求通项的常见方法：

练习：

①｛册｝中，％=2,4+|=为“-1,则。“=2""+1

②｛册｝中，4=2,。向=8,+2向，贝!|%=必（注：关系式中的2换成3呢）

③｛〃“｝满足q=1且4"+1+2%,则4〃=22-1

④｛册｝满足《=2且%=3%+%+.+%），则4=2.亨1%=4.0"

6.善于捕捉利用分项求和与放缩法使所得数列为等差等比数列再求和的机

会

练习：

①正项数列｛分｝中，a,=l,6/n+l<2an+1,求证：—!—+—!—+•••+—!—>1-^-

1+q\+a21+an2

分析："e<+1n+1<2（凡+!）=>一

q川+12爆+1

②已知｛0“｝中卬=1,4”=——!——（〃22,〃wM）,求证：q+出+%+…+6<3

5-D!

分析：ctn=——!——=---------------------------<----------=-!----!—（〃>3）

（/?-1）!1・2・3…（〃-2）（〃-1）（〃-2）（〃-1）n-2n-\

…+…+e+i+，_L」+_J_一_L3-_l_<3

I~"223n-2n-\=n-\

四、不等式

1、同向不等式能相减，相除吗？（不能）

2、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）

3、分式不等式串>“"0）的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分

母分解因式，x的系数变为正值，奇穿偶回）

4、解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性，对

数的真数大于零.）

5、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？（一般是根据定义分类讨论）

6、利用重要不等式。+八2痴以及变式必《竽］等求函数的最值时，你

是否注意到a,beK（或a,b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和

a+b其中之一应是定值？（一正二定三相等）

7、更之印2疝N22,（a,bwR+）（当且仅当a=b=c时，取等号）；a、

V22a+b

b、CGR,a2+b2+c2^ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；

8、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底

或讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是…….

9、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类

讨论是关键

10、对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）

五、向量

1.两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意)=4

是向量平行的充分不必要条件.(定义及坐标表示)

2.向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：

⑷闻&+y；+y；

3.利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论

斜率不存在的情况，要注意：

(1)(fb<0<=xa、b>e(―,^],«•/?=0<=xa,b>=—,a•b>0

22

<=><a、b>G[0,—)

2

(2)3・B<0是向量Z和向量B夹角为钝角的必要而非充分条件.

4.向量的运算要和实数运算有区别：(1)如两边不能约去一个向量，即

推不出0=c,(2)向量的乘法不满足结合律，即工(d)c,(3)

两向量不能相除.

5.你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量

都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清

楚吗？

6.几个重要结论：(1)已知04,04不共线，OP=〃M+〃OB,则A,P,B三

点共线的充要条件是％+〃=(2)向量中点公式：若C是AB的中点，则

OC=-(OA+OB);(3)向量重心公式：在444c中，0A+03+0C=0o。是444c的

2

重心.

例：设F为抛物线产=4、的焦点，A,B,C为该抛物线上三点，若

EA+FB+FC=0,则l/<4l+IFB|+inj|=6

7.向量等式OC=2OA+"OB的常见变形方法：(1)两边同时平方；(2)两

边同时乘以一个向量；(3)合并成两个新向量间的线性关系.

8.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件,

要注意运用，对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数,

两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量.

例1.A8C内接于以0为圆心，1为半径的圆，且30A+408+50C=0,求数

量积OA-OB.OB-OC.OC-OA.

4-•3

OA-OB=O.OI3-OC=-,OC-OA=-

55

例2,平面四边形ABCD中，AB=13MD=5,AC=5,cosZDAC=I，

5

cosZBAC=y|,设AC=HAB+)乂。,求x,)‘的值x=一

14-

15

y=一

•14

例3.如图，设点。在ABC内部，且有3+208+3。。=。，则S八加花八席二1：3

六、导数

1.导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形

2.几个重要函数的导数：

①C=0,(C为常数)②(严)=。/3为常数)

(3)(a')=a'ln〃(a>0且。｛1)④(log”x)=------(a>0且4±1)

x\na

⑤("="⑥(Inx)=—

x

⑦(sinx)=cosx(§)(cosx)=-sinx

导数的四运算法则

①(/(x)土g(“)=/(x)土g(x)

②[q(x)]=b(x)(C为常数)

③(/(X)・g(工))=f(x)•g(A+/(汇)・g(x)

④第:卫当，"X"

3.利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当/(幻2。或/。”0,

带上等号.

例.已知忖=2即0,且关于x的函数/(幻=¥+纲.V+G区在R上有极值，则

32

。与。的夹角的范围为

(3」

4.八%)=0是函数f(x)在X。处取得极值的必要非充分条件，£6)在沏处取

得极值的充分必要条件是什么？

5.求函数极值的方法：

(1)先找定义域，求导数「⑺；

(2)求方程/(1)=0的根毛,看，…/“找出定义域的分界点；

(3)列表，根据单调性求出极值.

已知/⑺在/处的极值为A,相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值

为零，②函数在此点的值为定值.

6.利用导数求最值的步骤：

(1)求函数在给定区间上的极值；

(2)比较区间端点所对的函数值与极值的大小，确定最大值与最小值.

7.含有参数的函数求最值的方法：

看导数为0的点与定义域之间的关系.

8.利用导数证明不等式的步骤：

(1)作差F(x)=f(x)-g(x)；

(2)判断函数尸1)在定义域上的单调性并求它的最小值；

(3)判断最小值A20；

(4)结论:F(x)>A>0,贝！J/(x)>g(x).

9.利用导数判断方程的解的情况.

已知函数/*)在x=l处的导数为1,则当…时川⑴趋近于L

2x2

解析：由定义得当XT0时,

1八1+9一/⑴

2x2Ar

易错原因：不会利用导数的定义来解题.

例2.函数f(x)=丁+加+bx+c,其中当38<()时，/(X)在R上

的增减性是___________

2

解析：f1(x)=3x+2ax+b9贝必=4(/一3彷<0在R上f(x)>0,故是增函数.

易错原因：不善于利用导函数的“△”来判别单调性.

例3.若函数/(幻=+3-1).f+x+5,则/'(―1)=

解析：设f(x)=$3+丹5,则/'*)=12_2QX+］.故/(_1)=2+2〃.由

。=2+2〃知。=-2.有/(一1)二一2.

易错原因：不会运用待定系数法解题.

例4./(X)=x3-%,贝！|当xe(0,2)时，/(x)的值域为

解析：/(A)=3.r2-1,令r(x)>o=x>与

3

•・J(X)在区间上单调增，在区间［0立］上单调减，

•・J。)的值域为二型6二

9

易错原因：求导之后判别单调区间时概念模糊.

七.概率：

1.古典概型和几何概型的区别.

例如：(1)任意取实数Xe［1,100］,恰好落在［50,100］之间的概率为

(2)任意取整数xe［1,100］,恰好落在［50,100］之间的概率为

51

Too

2.有关某个事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率，转

化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率.

(1)若A、B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)；

(2)若A、B对立,则尸仪)=1-P(A).

3.概率题的解题步骤：

(1)记事件

(2)交代总共结果数与A事件中结果数(几何概率即D,d)

(3)计算

(4)作答

例如.1、在等腰直角三角形ABC中，

(1)在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率；正

2

(2)过顶点C在ZAC8内任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求的

概率

4

2.已知在矩形ABCD中，AB=5,AC=7,在矩形内任取一点P,求乙铲8>90。的

概率.也

96

八、统计：

L抽样方法主要有简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体数

目较少时，主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时,

主要特征是均衡分成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层

按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽

到的概率相等。

2.样本估计总体中:注意频率分布直方图的纵坐标常为频率/组距,小长方

形的面积为其频率.总体特征数的估计：

工=12〃“=工冏+4%+…+玉％(七表示各组的组中值，〃，表示各组的

频率)

s=\[s^

3.线性回归方程：

步骤：(1)由散点图初步判定是否线性相关;

(2)列表求值;

(3)代入计算;

(4)交代结论

九、立体几何：

(1)有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线〃线=线〃面O

面〃面，

线1线。线，面。面，面，垂直常用向量来证.

(2)已知斜三棱柱的相邻侧面组成的三个二面角中有两个分别为30。和

70(,则第三个二面角的大小为.

解析:作斜三棱柱的直截面,则第三个二面角的大小为80。.

易错原因:不知道作直截面.

(2)立体几何中的位置关系，你都搞清楚了吗

1.若/_LmJ_L〃ua,贝！］/_La(x)

2.若〃，/〃,〃<=°,则〃7//。(x)

3.若in_L〃,m_La,〃da,贝1J〃〃a(V)

4.若a_Lfijn_L_L/?,则m±n(V)

5.若是异面直线，(x)

6.经过直线〃有且仅有一个平面垂直于直线b(x)

7.若尸是两个不同平面，则a/R(V)

8.过平面a外两点，有且仅有一个平面与a垂直(X)

9.若/上有两点到a距离相等，则〃/a(X)

10.若mH/3、tn,nua,则(x)

11.若mLa,nH0,a/iB、则〃?_L〃(V)

12.若〃z_L〃/7,〃?〃a,则〃J■万(x)

(4)这些公式，你记住了没有？

1•5在枝柱侧。"，5正校椎侧=ch(c:底面周长，ha|岛-,h:斜

S正核台侧=5(。+(。与C•:上下底面周长，h-:斜高)

2.%］柱恻=2m7=70-1s酸台侧二%（厂+厂）/（r:底面半径，/:母线

长）

7

3・V柱体=sh匕E体=嚏体=3氏+$’+0）

4・匕求S球=4加二

十、解析几何

1.设直线方程时，一般可设直线的斜率为k,你是否注意到直线垂直干x

轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点，3,-|）,且被圆/+/=25

截得的弦长为8,求此弦所在直线的方程.该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一

解,）

2,倾斜角的范围：_［0,^）—；两直线夹角的范围：—两向

--------12_

量夹角的范围：_［。,句

（1）若a£R,则直线xcosa+y-1=0的倾斜角的取值范围是

解析：y=-xcosa+1,设倾斜角为。,则tan。=-cosa,

由|cosa|w1知一1Ktan”1,故0,?u午~,4.

易错原因：①倾斜角理解有误；②误以为倾斜角为七，号二

_44

（2）直线/过点（-4,-1）,横截距是纵截距的两倍，则直线/的方程是—

解析：设直线方程为：=

a2a

二直线/过点有匚+==1,故〃=-3,则直线/的方程为x+2y+6=0.

a2a

易错分析：错了！”遗漏了直线过原点的情况，正确答案是），='•或

4

x+2），+6=0.

（3）过点P（1,1）作直线/,设/与两坐标轴围成的三角形的面积为10,

这样的直线有条.

解析：设直线方程为广1=/-1）,则在内轴上的截距分别为与

k

==〃有4解，故有4条.

易错原因：距离与截距概念模糊.

3.直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式.以

及各种形式的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线）

4.对不重合的两条直线/1：外+用），+。I=0，/2：2+与），+。2=0，有

A.=A-,13.

O'\'；1禺2QAA+8也=o・

5.直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0.

6.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可设为：+?=1,但不要忘记

当a=0时，直线尸kx在两条坐标轴上的截距都是0,也是截距相等.

7.两直线At+8），+G=0和包+为+。2=0的距离公式d=\Q-C2\

8.直线的方向向量还记得吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当

直线L的方向向量为蓝二（x。，y0）时，直线斜率k=&—；当直线斜率为k

.

时，直线的方向向量£=_（1,攵）

9.已知两直线分别过（-2,3）和（3,-2）,若这两条直线分别绕者这两

个点旋转且保持平行，则这两条直线间的距离的取值范围是

解析：这两条直线间的距离最大为1=50,则取值范围为（0,50]

错误原因：未注意“保持平行”.

10.处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直

线方程与圆的方程联立，判别式.一般来说，前者更简捷.

11.过直线y=x上的一点P向圆C：丁+），2一617=0作切线，则切线长的

最小值为____________

解析；P点在哪里切线长最小呢？

设P（x,y）,切点为A,则在油APAC中，|PC|2-|>4C|2=|PA|2

3s

/.(X-3)2+X2-2=2(X--)2+-

22

.•.当P在点（|,|）4切线长最小，为恒

F

易错原因：找不到等量关系：闸2TAeI2=附2.

12.处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.

15.在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要

更多联想到圆的几何性质.

13.在求圆的方程及圆的切线方程时，不妨回忆一下其几何作图方法.尤其

是三角形的外接圆、内切圆的作法，两圆内外公切线的作法.

14.垂径定理的几种形式：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂

直于弦；③垂直平分弦的直线过圆心.

15.圆的切线的判定：①圆心到直线的距离等于圆的半径；②经过半径外

端垂直于半径的直线；③直线与圆的方程联立△=（）.

16.在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子

分母的顺序？两个定义常常结伴而用，有时对我们解题有很大的帮助，有关过

焦点弦问题用第二定义可能更为方便.（焦半径公式：椭圆：|PFj二一.|PF2|=

—；双曲线：|PFj二一;|PF2|=一（其中F］为左焦点F2为右焦点）；抛

物线：|PF|二|xo|+?

17.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次

项的系数是否为零？判别式△"）的限制.（求交点，弦长，中点，斜率，对称，

存在性问题都在A>0下进行）.

18.椭圆中，a,b,c的关系为--；离心率e=----；准线方程为----;

焦点到相应准线距离为一双曲线中，a,b,c的关系为一；离心率e=_

准线方程为——;焦点到相应准线距离为一

19.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.

20.你知道吗？解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化，特

别是一些很不起眼的条件，有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共

线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中

点弦问题等.圆和椭圆参数方程不要忘，有时在解决问题时很方便.数形结合是

解决解几问题的重要思想方法，要记得画图分析哟！

21.你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的•求轨迹方程可别忘了寻

求范围呀！

<1)々是椭圆||+卷=1的一个焦点，M在椭圆上，若眼用=2,N是线段9

的中点，则|0N|的真度是(0是原点)

解析：考虑椭圆的定义，利用三角形的中位线，|0N|=4

易错原因：找不到快速解题的思路，对于三角形的中位线应用不熟练.

(2)已知过椭圆的左焦点F且倾斜角为6()。的直线交椭圆于A、B两点，若

|FA|=2|FB|,则椭圆离心率为

解析：作图，过B作AC的垂线，垂足为E,可知E为AC的中点.

COS60=M=S=^故

易错原因：应用定义解题不够熟练，构造三角形ABE有困难.

(3)若点P是以"、£为焦点的椭圆£+1=l(a>b>0)上的一点，且

a~b~

PFXPF2=0,tanZPF]F2=1,则椭圆离心率为

解析：尸不然=OnAPM为直角三角形.

又tan/P£鸟=；,贝可叫=2附],设p3=2x,则,耳=底

故e哼

易错原因：①”月八为直角三角形；②lan/PGK=T未用好.

(4)已知点入、A为椭圆上+)2=1的焦点，若P为椭圆上的点，当△「//,的

4

面积为1时，尸片.PF；的值为

解析：猜想历•货=0,然后验证此时AP£鸟的面积为L这种考虑抓住了

填空题的特殊性，若设P(2cos0,sinO),由点到直线的距离公式求“”行的高，同

样可以完成解答.

易错原因：找不到解题的捷径.

(5)已知椭圆/+〃少2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则机的

值为_________

解析：将椭圆方程转化为标准形式，注意焦点在、，轴，故〃

4

易错原因，未考虑的条件.

m

附加题(二项式定理,概率)

L分类加法原理(加法原理)

N=叫+/n,+•••+/〃”.

2.分步计数原理(乘法原理)

N=班x7%xxmn.

3.排列数公式

4；二〃(〃-1)…1)=———,(〃,mN*,且帆＜〃).注：规定()!=1・

(，?-〃】)!

4.排列恒等式

(I)A；=,心;(2)叫=常；-A：；(3)心=罂+,时、

(4)1!+2.2!+3・3!+…+〃力!=(〃+1)!-1.

5.组合数公式

C-D…("…二__(〃wN,mwN,且小〃).

A；Ix2x•••x///〃?！•(〃-〃?)！

6.组合数的两个性质

⑴c：=c;m；⑵c：+c;r'=c;；+'l；注：规定C"1.

7.组合恒等式

(1)C：=上牖;(2)£。；=2";(3)C：+C；+1+C；+2+...+C；=C；；：；;

fnr-0

⑷C"C：+C：+=C+C；+C：+=2”|

8.排列数与组合数的关系：父=加.。；.

9.二项式定理(a+b)n=C；a"+(?；，-6+C：a"W•••+(：；/”,+•••+(?»”；

二项展开式的通项公式人=。"”。=0，12..,〃),

例题：函数/(幻=二+4)9(。为实数并且是常数)

X

(1)已知/(外的展开式中『的系数为｝求常数

4

(2)是否存在〃的值，使工在定义域中取任意值时，/⑴之27恒成立？如存

在，求出。的值，如不存在，说明理由.

9rr9_r-9

解析(1)Tr+i=C；(-)-(7^)=G；«x^由，_9=3解得r=8

x2

或“9-8=-:.a=\

44

(2)V/(x)=(-+Vx)9mo,+8)要使(q+6)9之27

XX

只需凹+423三

X

1°当00时，设g(x)—+6

X

g'(x)=-ax2+~x2=0.丫=(2a户

22

X