高考数学总复习第五节 空间向量及其运算

第五节空间向量及其运算

学习要求：

1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置,探索并得出空间两点间的距离

公式.

2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其

坐标表示.

3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量

的数量积判断向量的共线和垂直.

4.理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系

的一些简单定理.

必备知识-整合

i.空间向量的有关概念

I名称概念

关线向量（平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线互相①平行或重合的向量

共面向量平行于②同一个平面的向量

共线向量定理对空间任意两个向量a,b（b/0,a〃g存在4£R,使③4b

若两个向量a,8不共线,则向量夕与向量86共面＜=＞存在唯一的右,序实

共面向量定理

数对G；y），使♦④xa+yb,x,R

定理:如果三个向量&”。不共面,那么对空间任一向量口,存在有序实

空间向量数组｛A,y,才使得百⑤xa+如zc;

基本定理推论:设。,48，。是不共面的四点，则对空间任一点夕都存在唯一的三个

有序实数X、y,z,使赤=xOA+yOB+z况且户户'2F1

2.数量积及坐标运算

(1)两个向量的数量积:

a•b=\a\|Z?|cos<&垃；

aJ■修⑥a•为0(a,6为非零向量);

㈤二⑦上.

(2)向量的坐标运算:

不(句，&,4)，Kb\,k,A)

向量和a+b=⑧(adb\,a卢h

向量差aTF⑨(a厂仇，心一&,

数量积a•6=⑩――02/十@/

共线aH心⑪a尸人从,&二八上,a二/&(八£R,6W0)

垂直■_LZK=^石心+&-+&-=0

COS<8力=⑬。出+。2匕2+。3b3

夹角公式Ja“W+W•Jw+状+环

3.两个重要向量

（1）直线的方向向量：

直线的方向向量是指和这条直线平行（或在这条直线上）的有向线段所表示的向量,一条直

线的方向向量有无数个.

（2）平面的法向量：

直线以平面明取直线/的方向向量,则这个向量叫做平面a的法向量.显然一个平面的

法向量有无数个,且它们是共线向量.

4.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

，〃/2〃]〃〃」<=>⑭〃尸4a

直线h-的方向向量分别为，1,生

1山2/?i_L〃2=⑮•外二0

直线1的方向向量为n,平面。的1//a“工〃Q⑯〃•Z/FO

法向量为m

7±an//g=>炉Ani

a〃尸n//冰=>/产Am

平面。，B的法向量分别为〃，勿

a_L£nlnan・游0

1.判断正误（正确的打“，错误的打“X”）.

⑴空间中任意两个非零向量当6共面.（）

⑵对于向量a,b,若a・b=0,则一定有a=0或b=0.)

⑶若司­伙0,贝卜4力是钝角.()

(4)若｛&ac｝是空间的一个基底,则a,b、c中至多有一个零向量.()

⑸两个不重合直线，和心的方向向量分别为匕=(l,0,T),上=(-2,0,2),则，与心的位置关系

是平行.()

⑹已知而二(2,2,1),m=(4,5,3),则平面/3的单位法向量所士|).()

答案⑴J(2)X(3)X(4)X(5)V(6)V

2.(新教材人教A版选择性必修第一册P5T5改编)如图，在空间四边形QL%中，08"。为其对角

线,M,川分别为OA,a•的中点,点。在线段.极V上,且流=2而,若林=xOA+yOB+zOCf则

x+产Z=.

答案5

6

3.如图所示,在正方体ABCAAAG以中,。是底面正方形/威力的中心，材是〃。的中点,"是力心的

中点，则直线4V的位置关系是.

答案垂直

4.(易错题)在空间直角坐标系系已知4(1,2,3),6(-2,T,6),67(3,2,1),〃(4,3,0),则直线A8与

。的位置关系是.

答案平行

【易错点分析】忽视向量共线与共面的区别致误.

关键能力-突破

考点M空间向量的线性运算自主系篦

1.如图，在三棱锥介/函中，MN分别是仍比的中点，设立灰当布二6,OC=c,用a",c表示而,

贝!而等于()

A.1(-a+b+c)B.+匕-6)

C.-(a-b-f-c)D.-(-a-b-f-c)

22

答案Bl^=lTA-{-AM=(OA-ON)+^AB=OA-^OC+^(OB-OA)==^OA-{-^OB-^OC=

2.如图,在长方体ABC〉ABC业中，。为"'的中点.

D、

⑴化简:初出而后而二-------

⑵用荏，而，京表示西,则西二，

答案⑴£7⑵g而+：4+丽

解析（1）硒而-［而=砧-］（而+而）二审-1前=硒一m=硒+而=

A^A.

（2）因为沆=：尼=^（施+而），所以西=OC+CC\=1（^+AD）+矶=|^4-1A5+

福.

3.如图所示,在平行六面体ABCD-A^CA中，设初二&荏也AD=c,XA；尸分别是皿,BC,CD的

中点，试用a”。表示以下各向量：

⑴而；⑵而+西.

解析（1）'.・〃是6〃的中点,

：.AP=矶+&D；+D^P

—ayADH—DiCi

211

[・・・，-1

=^c^—AB=a+c^-b.

22

⑵：犷是/H的中点，

：.MP=M4+AP=-A7A+AP

21

=TMQ+C+割

=-a+-b+c

22t

又宿=配+鬲=|SC+痢=^AD+丽=*a,

・••丽+祠=%+4+c)+(Q+/)=

1\22/\2/222

名师点评

进行向量的线性运算，有以下几个关键点

(1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系；

(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义；

(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立.

垂点m共线向量、共面向量定理的应用而标

典例1已知4B,。三点不共线,对平面相。外的任一点0,若点"满足两=^(OA+OB+

沅）.

（1）判断西5,而，流三个向量是否共面;

（2）判断点"是否在平面ABC内.

解析（1）由已知得画+南+沆=3丽，

所以汤一丽二（丽一丽）+（而一反），

即拓？=BM+CM=-MB-就

所以雨，丽，前三个向量共面.

（2）由⑴知豆5,而，流共面,又它们有公共点礼所以必A,B,。四点共面,从而知点也在平

面ABC内.

名师点评

1.证明点共线的方法

证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明力,氏。三点共线，即证明彳瓦前共

线，亦即证明而=a元（［wo）.

2.证明点共面的方法

证明点共面的问题可转化为证明向量共面的问题，如果证明84民。四点共面，只要能证明

丽=%而+yA?或对空间任一点0,有瓦5=OP+xPB+y正或而=uOA+vOB4-

w正（iz+rH尸1）即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.

由对训练

1.已知13=(2,T,3),ZF(-1,4,-2),c=(7,5,1)，若向量a,"c共面，则实数久等于()

A.-B.-C.-D.竺

7777

答案D因为向量a",c共面,所以由共面向量基本定理得存在唯一有序实数对(x,y)使得

x/yb=G

2x-y=7,

所以-％+4y=5,解方程组得A=第

3x~2y=A,

2.如图，已知"、力『分别为四面体/区⑦的面以力与面/I⑦的重心，G为4"上一点,且

GM：GA=l：3.

求证:8G、N三点共线.

证明设方=&，彳工=6,彳方=c，则面=瓦5+布=瓦5+之万7=a4殳小ic)=-a\-b\-c,~BN=

44444

N=BA^-(AC■}-AD)=-a+-b^-c=^BG,

BA+X3,333

・••丽||丽，即从G、十三点共线.

考点目空间向量数量积的应用标获1

典例2如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是

AB,AD,CD的中点.

计算：⑴丽•丽;

⑵前.丽.

解析设鼐=a,AC=b,AD=c.

由题意得/a/=/6/=/c/=l,<a,b>=<byc>=<c,a¥60。.

⑴方=3丽=3须-初HBA=~a,

所以丽•R?=•(-a)=^-a--a•c2.

\22/224

⑵前•前二(前+而+反)・(AD-AB)

=(~^AB+而+AG-AD^•(AD-AB)

二(一浑+济+^15)•(AD-AB)

=(-ja+1^+1c)・(lw)

=ix(-1X1X-4-1X1X-+1+1-1X1X--1X1X-

22222

♦变式1在本例条件下，求证:比_L46.

证明由典例2知宙=二(元+而一而)[(9sa),

22

所以EG-AB=•b^a•c~a)

=ix(lxlxi+lxlxl-l)=O.

故前1AB,即EGLAB.

♦变式2在本例条件下，求用的长.

解析由典例2知前=-**》，

222

所以|前|2=-c?+-Z>+-c--a•lA-b,c--c,a=-t解得|前|=—,即的长为乌

444222222

♦变式3在本例条件下,求异面直线月G与四所成角的余弦值.

解析易知33=CE=C4+荏)

所以cosC4G,CE>=焉灌y=-1，

因为异面直线所成角的范围是(0,5.

所以异面直线4G与〃所成角的余弦值为|.

名师点评

空间向量数量积的3个应用

求夹角设向量的夹角为。，则cos夕二7-,进而可求两异面直线所成的角

求长度

利用公式&可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题

(距离)

解决垂

利用a_L2a・ZFOEWO,6W0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题

直问题

用时训练

1.如图，已知平行六面体ABCD~ABC。中,底面ABC。是边长为1的正方形,加尸2,NA/B=N

4修1200.

⑴求线段力。的长；

⑵求异面直线力G与4〃所成角的余弦值；

(3)求证:加」被

解析⑴设屈二国而二力,AA^=c,

贝！Ia|=|Z?|=l,Icl=2,a-ZFO,C,a=c•b=2X1Xcos1200=-l.

'•温=AC+CC^=AB+AD+标="〃c,

/.IACi|=|»c|二J(Q+b+c)2

=Jl«|2+\b\2\c2+2(a,b+b-c+c,a)

=V12+l2+22+2x(0-1-1)=V2.

，线段46的长为四.

⑵设异面直线/G与4〃所成的角为夕，

*・,前A1D=b-c,

；.4C；•了二(小~b+c)•(b-c)

-Q•b-a•c+U3R+l+iy=-2,

2

IAXD|=J(b-c)=J|b|2-2b•c+|c『

=Vl2-2x(-1)4-22=V7.

・〃」福•否为1-2>/14

-COS°|^|^D|---

故异面直线与4。所成角的余弦值为呼.

(3)证明：AAi=c,而=b~a,

,\AA[-BD-c•(b-a)=c•b-c•a=(-l)-(-l)=0,

・•・M*1诟，即44」以z

2.如图，在平行六面体力比D46G〃中，以顶点力为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为

60°.

⑴求阳的长;

⑵求百与冠夹角的余弦值.

解析⑴设而二a,AD=bt丽'二c,

由题意知I臼二|引二Ic|=1,<a,b>=〈b,c>=<c,a>=60；

a•b=b•c=c,

：.\A^\-(a-f-b-f-c)2=a2-f-l}+(}^2(a•b+b*c+c・a)=1+1+1+2Xg+g=6,，|近|瓜即阳

的长为VS.

⑵西二"c-a,格Kb,・•・|西I=V2,\AC\=V3,

又•前二(b+c-4•(a+l9=K-M+a・c+b•c-l,

.♦.cos〈西，刀”要.至二匹.

1'iBD/lHCl6

郎西与冠夹角的余弦值为

6

考点画利用空间向量证明平行、垂直产利F

角度一利用空间向量证明平行问题

典例3如图，在四面体/以力中，49_1_平面BCD,BCLCD,*2,除2鱼,必是4?的中点，P是

4y的中点，点0在线段力。上,且AQ-ZQC.

证明：偌〃平面BCD.

证明如图,取放的中点0,以。为原点，0D、8所在直线分别为y轴,z轴,过。点垂直于平

面yOz的直线为x轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意知,力(0,V2,2),8(0,-企,0),〃(0,V2,0).

设点。的坐标为(的%0),点。的坐标为(x,y,z),

则而二(x,Zi,z-2),'QC=(荀-乂y0-y,-z),

因为而=3QC,所以(x,广V5,z-2)=3(蜀-乂典-匕-z),

所以《九，V+4y0,z),

因为财为力〃的中点,

所以以0,企,1).

又，为4V的中点，

故《0,0,

所以所=(三，号+/0).

又平面况9的一个法向量为两二(0,0,1),而•丽二0,所以而_L而，

又饰平面BCD,

所以尸0〃平面BCD.

角度二利用空间向量证明垂直问题

典例4如图,在三棱锥六4%中，AQAC,〃为比的中点，/UL平面力能垂足。落在线段AD

上.已知BO8,尸34,133,OD=2.

(1)证明:加

(2)若点"是线段/0上一点,且4加3.证明：平面4依L平面BMC.

证明(1)以0为坐标原点，Oil利所在直线分别为y轴，/轴,过点。且垂直于平面〃小的

直线为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

则。(0,0,0),J(0,-3,0),8(4,2,0),C(-4,2,0)/(0,0,4).

于是而二(0,3,4),BC=(-8,0,0),

所以而•瓦=(0,3,4)・(一8,0,0)=0,

所以而1前,即/_L6c

⑵由⑴知力氏I而I=5,乂4。3,且点M在线段"上,

所以宿=|而=(0,

又函=(-4,-5,0),

所以前=瓦?+俞=(-4,-y,

贝lj而•肃=(0,3,4)・(-4,-^,—)=0,

所以而1的，即APA.HU

又根据⑴的结论知AP1BC,且BCQB恭B,

所以力尸_1_平面BMC,所以4月_平面BMC.

又4股:平面故平面/阈门_平面BMC.

名师点评

利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；

(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平

面的要素；

(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系；

(4)根据运算结果解释相关问题.

a提醒运用向量知识判定空间位竟关系时，仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与

平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外.

务时训练

1.(2019河北衡水模拟)如图,在四棱锥P~ABCD中,底面/皮方是边长为a的正方形，侧面必。，底

面ABCD,且为二小失〃,设£F分别为pc、物的中点.

求证：(1)周'〃平面PAD;

⑵平面用员L平面PDC.

证明⑴如图,取的中点0,连接OP,OF.

因为PA=PI),所以POLAD.

又侧面为〃J_底面ABCD,平面PADQ平面ABCD=AD,平面PAD,

所以〃O_L平面ABCD.

又分别为加的中点，

所以OF//AB.

又四边形力四是正方形，

所以OFLAD.

因为PA=PD=^-ADt

所以PALPD,0片0A和.

以。为坐标原点，04,OF,〃，所在直线分别为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系O~xyz,则

碓,0,0),40、,0),

七,0,0),《0,0,9，

碓,Q,0)4"0).

因为后为民的中点，

所以4-鸿,胃

易知平面必〃的一个法向量为而=(0,0),

因为舐=&0,-*泰•丽=(0,p0).g,o,-^)=o.

且哥仁平面PAD,所以牙〃平面PAD.

c

(2)因为西=(1,0,-^),而=(0「a,0),所以丽.丽=g0,一乡・(。，F0)=0,

所以同1CD,

所以PALCD.

又PAA.PD,PDCCD-I),PD,C止平面PD&

所以为_L平面PDC.乂为u平面PAB,所以平面为反L平面PDC.

2.如图所示，在四棱锥P-ABCD^,底面40是正方形,侧棱切_1底面ABCD,PD=DC,E是A7的中

点,过点后作EF1PB于点、尸.求证：

⑴为〃平面EDB\

⑵力J_平面EFD.

证明以〃为坐标原点，直线DA,DC,彼分别为彳轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系

D-xyz.

设膝a.

⑴连接AC交BD于•点、G,连接位

依题意得力(40,0),尸(0,0,a),。(0,a,0),《0,g.

因为底面力密7是正方形，

所以G为/U的中点，

故点G的坐标为e《，0),

所以百二(&0,-a),EG=g,0,-^),

贝!而=2EG,

故必〃医

乂及七平面EDB,川仁平面EDB,

所以为〃平面EDB.

(2)依题意得5(a,a,0),依0,0,0),

所以丽二(a,a,~a)fDE=(0,；,^),

故而-DE=0+—-—=0,

22

所以而1DEt所以PB1DE.

又EF1PB,EFC牍日所以反_L平面EFD.

夯基提能作业

A组基础达标

1.在空间四边形40中，而•而+公•砺+而•瓦=()

A.-lB.0

C.1D.不确定

答案B

2.(2019甘肃天水期末)己知力(x,5-x,2『1),8(1,浒2,2",当|而|取最小值时,x的值为

()

A.19B.-C.-D.-

7714

答案c

3.已知空间内有任意一点。和不共线的三点A,B,C,若而=xOA+yOB+zOC{xty,z£R),则

“产2,尸-3,斤2”是“P,4,氏。四点共面”的()

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

4.已知［（1,0,0）,4（0,T,1）,。为坐标原点，而+4而与砺的夹角为120°,则A的值为

（）

A.土胆B.四

66

C.~~D.±\/6

答案C

5.（多选题）已知/姐48c〃为正方体,则下列说法正确的是（）

A.（再7+匹石瓦产3（硒y

B.布・（不瓦-布）二0

C.向量砧与向量硕的夹角是60°

D.正方体ABCD~A、BCD,的体积为|南•矶•南|

答案AB由向量的加法得到初+晒+不瓦=3忑,・・・462=3力山工，・••卡2=3硒j

故A说法正确；

•・•硒*一羽=何，胡_L4c・••碇•彳瓦W）,故B说法正确；•:〉ACD\是等边三角形，，Z

ADe60：乂A出〃以&・••异面直线与48所成的角为60°,但是向量而与向量常的夹角

是120。，故C说法错误；・・・45_L/4,.♦•万•福W）,故|而•丽・荷|=0,因此I）说法错误.故选

AB.

6.已知0(0,0,0)"(-2,2,-2),Ml,4,-6),以x,-8,8),若OCLAB,则x=;若4氏。四

点共面，则产.

答案1618

7.三棱柱ABC-ARC中，扎N分别是4氏BC上的点，且4佐2力也C加2%M设荏=a,AC=byAA^=c.

(1)用8"c表示向量而为;

⑵若N物建90。，NA14=/。4=60",AB-AOAA^l,则翻的长为.

答案⑴沁畛⑵苧

8.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,^5=(2,-1,-4),AD=(4f2,0),AP=(-1,2,-1).

有如下结论:①"J_阳②心1力〃;③而是平面力比〃的法向量;④而IIBD.其中正确的

是.(只填序号)

答案①②③

解析因为前­而二0,AD•前二0,所以ABLAP,ADLAP,所以结论①②正确；又同与而不平行，

所以Q是平面4g9的法向量,所以结论③正确；因为丽=AD-而=(2,3,4),而=(-1,2,-1),

所以而与而不平行,所以结论④错误.

9.如图,在四棱柱ABCD~A\BC\D,中,底面/以力是平行四边形,£F,G分别是DC的中点.

⑴试用向量标,AD＞而表示布;

⑵用向量方法证明平面砒;〃平面ABC

解析（1）设通二a,AD=b,AAl=c,

贝!南=引+&D；+~D^G=c-^DC=［护9号而+而+AA1.

⑵证明:元=肉+近=a%

前=西+率=网w前，

•:EG与芯无公共点，・・・比〃阳

•.•皿平面ABC平面ABC

••・£G〃平面ABC

又：画=荏+西=a+c,丽=西+庭=

、：FG与仍无公共点，，用〃外，

•・・/，3平面ABC期u平面ABC

二月；〃平面ABC

乂*/&；nE"G,/「仁平面EFG,跖c平面EFG,

J平面四％〃平面ABC

B组能力拔高

10.在正三棱柱ABC-4BC中，测棱长为2,底面边长为1,犷为优的中点,市=ANC,且ABUN,

贝！4的值为.

答案15

解析如图所示,取BC的中点P,连接MP,以"为坐标原点,就，为5,标的方向分别为x轴,y

轴，z轴正方向建立空间直角坐标系M-xyz.

因为底面边长为1,侧棱长为2,

所以40,当,0),。©,0,2),

%,0,0),G&0,2),M0,0,0),设A&0"),

贝1福=(、，一与，2),CJV=(3,0,广2),祝二(0,0,一力,

因为例=ANC,所以A&0,哥,

所以标=(10,^-).

Z1"FA

又因为所以福.砒:0,

所以-:+=0,解得=15.

41+A

11.（2019甘肃兰州模拟）已知/为矩形40所在平面外一点，且VA=VI^VaVD.VP=^C,VM=

o

lVBVN=|而,则VA与平面/W的位置关系是.

•3tA

答案平行

解析如图，设方二8VB=b,VC=ct则而二界仁〃

由题意知两=VM-VP=-VB--VC=-b--c,PN=VN-VP=-VD--VC=-a--lA-ct

333333333

因此7Z=:而+,而，

・•・瓦?,而，丽共面.又•・•朗仁平面2螂

・•・"〃平面PMN.

222

12.如图，三棱锥P-ABC^>'PA-AB='PA-AC=AB-AC=Of~PA=AC=4AB.

⑴求证:力为L平面PAC;

⑵若朗为线段所上的点，设粤二九当久为何值时,直线尸£1平面初历?

解析（1）证明：因为西•而=而•》=（）,

所以PALAB,ABVAC,

因为PAQAOA,所以平面PAC.

⑵当."为AC的中点，即八十寸，直线尸d平面极区

如图，以A为坐标原点,射线AC,AB,//分别为x轴,y轴，z轴的正半轴,建立空间直角坐标系A-

xyz.

由五衣=前2=4荏2可得PA=AO2AB.设/42,则

PCO,0,2),4(0,0,0),r(2,0,0),^(0,1,0),Ml,0,1).PC=(2,0,-2),前二(1,0,1),1,-1).

PC•奇二2X1+0X0+(-2)X1=0,所以11AM,即PCYAM.

PC-MB=2X(-D+0X1+(-2)X(-1)=0,

所以万_L丽,即PCLBM.

又因为和68上也

所以A7_L平面MAB.

故当入与时，/Th平面也仍

C组思维拓展

13.如图，四棱柱力比D45G〃的所有棱长都等于2,2月比和均为60°,平面/UGC_