人教版垂径定理讲解学习

人教版垂径定理教学目标:教学重点:1.垂直于弦的直径的性质、推论及应用。教学难点:1.对垂直于弦的直径的性质、推论的说明过程的理解。2.利用垂径定理及推论解决实际问题。1.理解圆是轴对称图形.2.掌握垂径定理和推论的推理过程,并能解决一些简单的计算、3.使学生了解垂径定理及推论在实际中的应用,培养学生把2.应用垂径定理及推论解决实际问题。证明和作图问题。实际问题转化成数学问题的能力。问题

：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?

赵州桥主桥拱的半径是多少?问题情境

实践探究用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么?由此你能得到什么结论?活动一可以发现:

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．·OCD∴AE=BE,如图

，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E.?思考·OBC相等的线段:AE=BE相等的弧:活动二

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?DAE若一条直线满足:（1)过圆心CD是直径（2)垂直于弦CD⊥AB于E（3)平分弦AE=BE则可推出:（4)平分弦所对的优弧（5)平分弦所对的劣弧∵CD是⊙O的直径,CD⊥AB于E,符号语言:,.垂径定理:如图，若CD是直径，且CD平分弦AB是否能得到CD⊥AB，且平分弧ACB和弧AB?为什么?思考：如果AB也是直径，上述结论是否成立?不一定.平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．?思考活动三符号语言:∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径)，∴CD⊥AB,,.·OBCDAE垂径定理推论:（不是直径)，CD⊥AB且AE=BE,（1)过圆心（CD是直径)；（2)垂直于弦（CD⊥AB于E)；（3)平分弦（AE=BE)；（4)平分弦所对的劣弧（)；（5)平分弦所对的优弧（).5个条件中,任满足2个,剩下3个结论都成立。

·OCDAE由(2)、(3),得(1)、(4)、(5)。

常用此方法来确定圆心的位置BBAOC?思考例1:如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解:过点O作OE⊥AB于E，连接OA.答:⊙O的半径为5cm.1.如图,在⊙O中,直径为10cm,弦AB的长为8cm,求圆心O到AB的距离.·OABE2.如图,在⊙O中,直径为10cm,圆心O到AB的距离为3cm,求弦AB的长.3.设⊙O的半径是r，圆心到弦的距离为d，弦长为a，这三者间有怎样的关系式?

r2=d2+()2a2rd构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理,解决问题。

举一反三问题

：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?解决求赵州桥拱半径的问题?ABOAB=37.4mDCCD=7.2mAB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=r－7.2∵半径OC⊥弦AB∴∴r在Rt△OAD中,由勾股定理,得解得：r≈27．9（m)即:r2=18.72+（r－7.2)2因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2dha/2r2=d2+()22ah+d=r解:如图，用弧AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为r.

过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交于点C,1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，下列结论不一定成立的是（)Ａ．CM=DMＢ．

Ｃ．AD=2BDＤ．∠BCD=∠BDCC巩固练习2.如图，在⊙O中，P是弦ＡＢ的中点，ＣＤ是过点Ｐ的直径，则下列结论不正确的是（)Ａ.CD⊥AB

Ｂ.C.Ｄ.ＰＯ＝ＰＤＤ·OCDAＰB３.如图，周长为10的⊙O中，弦AB的弦心距OC等于3，那么弦AB的长为（)。A.2B.4C.6D.8D巩固练习４.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，

若AB=20，CD=16，则线段OE等于（)。A.4B.6C.8D.10B5.如图，⊙O的直径ＡＢ垂直弦ＣＤ于Ｐ，且Ｐ是半径ＯＢ的中点，ＣＤ＝６，则直径AB的长为（)。A.B.C.D.D巩固练习6.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧)，其跨度ＡＢ的长为２４米，拱桥的半径为１３米，则拱高ＣＤ的长为（)米。A.５B.８C.７D.·OＡＢＤＰＣBCADBO7．如图，在⊙O中，AB.AC为互相垂直且相等的

两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明:∴四边形ADOE为矩形,且AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.又由垂径定理:∵AB⊥AC于A,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E∴巩固练习小结1.垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.·OCDAE平分弦（不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．2.垂径定理推论:r2=d2+()22ah+d=r3.半径、弦、弦心距、弓形高之间的关系。rdha/2O1.必做题：课本P87——P8