考研数学（数学三）模拟试卷373

考研数学(数学三)模拟试卷373

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设曲线y=(l+x)e则下列说法正确的是().

A、没有渐近线

B、有一条渐近线

C、有二条渐进线

D、有三条渐近线

标准答案：C

知识点解析：利用渐近线的下述定义求之：若「li巴mf(x)=c，则y=c为曲线y=f(x)

的水平渐近线；若回f(x)=8,则x=xo为曲线y=f(x)的铅直渐近线；若[依)一

ax]=b,则y=ax+b为斜渐近线.因为=*8,于是，x=0是曲线的一条铅直渐

近线.于是，y=x是曲线的一条斜渐近线.又因为=±8,故曲线再无其他渐近

线.由此可知(C)正确，其他结论均不正确.

hm-------

2、设f(x)的导数在点x=a处连续，又iT-a=一2,则().

冈

A、点x=a是f(x)的极小值点U

B、点x=a是f(x)的极大值点

C、点(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点

D、点x=a不是f(x)的极值点，点(a,f(a))也不是曲线f(x)的拐点

标准答案：B

知识点解析：利用一阶导数判别法或二阶导数判别法判别之，关键在于由题设条件

找出其隐含的条件f(a)=O,『包)=一2.解一因f(x)的导数在点x=a处连续：

hm—

x-X-a=~2,故r(a)=O,且F(a)=-2.由二阶导数判别法知，点x=a是

f(x)的极大值点.仅(B)入选.解二由」=一2可知，在x=a的近邻域内当x>a

时，f(x)<0,当xVa时，f(x)>0,由一阶导数判别法即知.仅(B)入选.注意一

般若F(x)连续，则=人?口)=0,F(a)=A.

fjcyI?十丁W0

3、二元函数f(x,y)=1°，/+y=°在点(0,0)处().

A、连续，偏导数存在

B、连续，偏导数不存在

C、不连续，偏导数存在

D、不连续，偏导数不存在

标准答案：C

「jcy_k

物12+y2-正转

知识点解析：先求极限，再求偏导数即可判别.因严匕一0

与k值有关，故该极限不存在，从而f(x,y)在点(0,0)处不连续，排除(A)、(B),

K=.△①皿3=。，

8]|(Qe0)；一。”

红二3=0.

但偏导可能存在.事实上，ay(0.0)y-0y因而两个偏

导数存在，仅(C)入选.

4、设f(x)连续，则J。'Jof(x)dx)dt=().

A、Jof(t)(t-x)dt

r

B、J0f(x)(x—t)dx

*x

C、Jof(t)(x—t)dt

D、J0f(t)(t—x)dx

标准答案：C

知识点解析：利用分部积分法求

£(£/u)dx)dr=j，d([：/(z)di)

)>)由-。八)出=口一即因而仅

之.

(C)入选.

aiia12。13一。13a12十a13

a

A=a21。22。23,B=23〃22+。23。219

。32^33-。33432+033。31.

■oor-10O-

0100109

Pi=P2=

5、设.100.,011.则必有().

A、B=PiP2A

B=P2PJA

C、B=AP1P2

D、B=AP2PIA

标准答案：D

知识点解析•：利用初等变换与初等矩阵关系求之.AP2表示将A的第3列乘以1

厂aI】Cl\2+013a】3

。22+口23.23•

AP2=a2i

必1々32+。33a.33.

加到第2列得到(AP2)P1表示将AP2的第1

«i3a12+a】3Q〕i

«23Q22+。23

列与第3列对调得到(AP2)P1=以33。32+々33=8仅9)入选.

6、设ai，。2，Q3,04为四维非零列向量，A=[a),ai，as，04],A*为A的伴随矩

阵，又知方程组AX=0的基础解系为[1,0,2,0广，则方程组A*X=0的基础解

系为().

A、a1，ct2，as

ai+a2，012+013,013+ai

C、a2，a3，04

D、ai+ct2，012+(13,013+04,ou+a]

标准答案：C

知识点解析：由AX=O的基础解系所含解向量个数为1知，n—r(A)=4—r(A)=

1,故r(A)=3.因而可确定r(A*)=1,于是A*X=O的一个基础解系含3个解向

量.解一由AX=0的基础解系仅含有一个解向量知，r(A)=3,从而r(A*)=l,丁

是方程组A*X=O的基础解系中仅含3个解向量.又A*A=A*[ai，a2,a3,cu]

=IAIE=0,所以向量ai，a2，a3,04是方程组A*X=O的解.因为[1,0,2,

是AX=O的解，故有ai+2a3=0,即cq,013线性相关，从而向量组川，。2，

a.3和向量组⑴，012，a3，04均线性相关，故排除(A)、(B)、(D).仅(C)入选.解二

由解一知，R，a2，a3,04均为A*X=O的解向量，且其基础解系只含3个解向

量.由cq+2a3=0得3=0(X2—2a3+03即ai可由012，孙cq线性表示，乂

r(a),a2，013,(u)=3,所以a2，013,04线性无关，即a2，013,04为A*X=0的一

个基础解系.仅(C)入选.

7、设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(0,1),则().

A、P(X+Y>O)=I/4

B、P(X—Y>0)=1/4

C、P(max(X,Y)>0)=l/4

D、P(min(X,Y巨0)=1/4

标准答案：D

知识点解析：首先求出X+Y与X—Y的分布，如果X+Y〜N(|i,『)，则P(X+

Y0i)=l/2这个结论经常用到.求与max(X,Y)或min(X,Y)有关的概率常用下

述事件分解法求之：{max(X,Y)>c}={X>c}+{Y>c},{min(X,Y)<c}

={X<c}Cl{{Y<c}.解一记事件A={X>0}，B={Y>0},则A与B相互

=，1=

独立，且P(A)=P(B)=:"业=IC宏e"1T*

[xl

故P(max(X,Y)>0)=P({X>0}U{Y>0})因X,Y独立，且X〜N(0,I),

Y〜N(0,1),故X+Y〜N(0,2),X-y-N(0,2),于是P(x+Y0O)=.因此

P(x+Y>0)=l—P(x+Y<0)=l—因而(A)、(B)、(C)均不对,仅(D)入选.解二

P(min(X,Y)>0)=P({X>0}A{Y>0})=P(AB)=P(A)P(B)=(1/2)(l/2)=1/

4.仅(D)入选.

8、将一枚硬币随意投掷n次，设Xn表示“正面”出现的次数，①(x)为标准正态分布

的分布函数,则().

A、=G(x)

B、=<t>(x)

limP

C、=G(x)

2元一2%

=e(x)

标准答案：c

知识点解析：利用二项分布的中心极限定理(棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理)判别

之・由题设有Xn〜B(n,1/2).由二项分布的中心极限定理得到

X.-2E(X,)

limP—'T—―&z=limP0(X)♦

n­/«/>(]—p)

即limP2与N如幻.仅(C)入选.

no•jnI

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

「公

9、°Ji+G=.

-±72.

标准答案：3

知识点解析：被积函数为无理式,先作变量代换化为有理式后再计算.用换元积

分法，作变量代换t=Jl+G，于是x=«2—I)?,dx=4(t2—当x从0变

到1时，I从1变到区,从而

10、函数y=〃2z一公；在区间。2］上的平均值为.

n

标准答案：不

知识点解析：要充分利用定积分L'29"一工3dx及国dx的几何意义计算有关的

定积分.前者表示圆(x-aV+y2=a2在x轴上方部分的1/2,其值为整个圆面积

的1/4,而后者为整个圆面积的1/2,即所求的平均值为由定积分的几何意义即

得其中S是圆(X—*l)2+y2=l在x轴上方部分的面积，半径a=l.

l+z.

II、设f(x)=arcianl一/,则汽。为①尸

102!

标准答案:

知识点解析：函数f(x)在一点的高阶导数常用f(x)的泰勒展开式求

=(arctan=产了

\1-JC/1fX

00

=(2z)

n=0

=•2・/田，|nIV1,冈

之.…则于是f(x)=I

xlVI①又f(x)=②比较式①与式②中X1°2中的系数，它们应该相等，于是有

故

12、己知yi=C]+c2at是差分方程y1+2—3yi+]+2yi=0的通解，则

标准答案：2

知识点解析：用特解代入法确定之.将yi=ci+c2al代入方程，有d+©2个+2—

llI

3(ci+c2a')+2(ci4-C2a)=0,Wa2-*3a+2=0,解得a=l,2.其中a=lE寸，

y(=ci+c2实际上它只是一个任意常数，不构成该差分方程的通解，舍去，故@=

2.

13、已知⑺，(12，。3是四元非齐次线性方程组AX=bW3个解，其中2S一《2=

TTT

[0,2,2,2],川+(12+。3=[4,—1,2,3],2a2+a3=[5,一1,0,1],秩

(A)=2,那么方程组人*=1^的通解是.

TTT

标准答案：[0，2,2,2]+k|[—I,0,2,2]+k2[—5,7,6,5]

知识点解析：利用方程组解的结构及其性质求之.因为n-r(A)=4-2=2,所以

方程组AX=b的通解形式为a+kini+k2r)2，其中a为人*=1)的特解，[，单为

AX=0的基础解系.因此，卜面应求出AX=b的一个解及AX=0的两个线性无

关的解.根据解的性质知，2ai—a2=al+(ai—a2)=[0,2,2,2『是人*=5的

解.而((11+012+013)—(2a2~l~(X3)=ai一a2=[一1,0,2,2。是AX=0的

解.3(2四一(12)一(2a2+a3)=5(ai—a2)+(a]—a3)=[一5,7,6,是AX=0的

解.显然[一1,0,2,与[一5,7,6,5「线性无关(对应分量不成比例).因

T

此，方程组A乂=6的通解为[0,2,2,2『+匕[-1,0,2,2]+k2[-5,7,

6,5]\其中k],k2为任意常数.

14、设随机变量X在区间[-1,3]上服从均匀分布，贝IJIXI的概率密度是

1/2,0<x<b

<1/4,1<x<3,

标准答案：I°，其他.

知识点解析：先求IXI的分布函数FIXI(X)=P(IXIwx),再求flXI(X).解当

X0O时，Fixi(x)=P(IXI0x)=PC°尸0,当OVxVl时，Fixi(x)=P(IXI

<x)=P(-x<X<x)=当1SXV3时，Fixi(x)=P(IXI<x)=P(-1<X<1)

+P(l<X<x)=当x>3时，F।xI(x)=1.综上得到故

三、解答题(本题共9题,每题分，共9分。)

〜…F(工)=fCt)dt+Trrd九

15、设f(x)在［a,b］上连续，且f(x)>0,又JaJ6f(t)

证明：⑴F(x)22；(2)F［x)=0在［a,b］内有且仅有一个实根.

1=.(幻+1,

标准答案：⑴F(x)=f(x)+/G)八幻’，由于［f(x)—1产20,有f1x)

+l>2f(x),于是P(x巨2?⑵因P(x巨2,故F(x)在⑶b］上单调增加,所以F(x)=O

在［a,b］上至多有一个实根，又F(a)=」dx〈O,F(b)=dx>0由介值定理知，

F(x)在［a,b］上至少有一个实根.综上所述，F(x)在［a,b］上有且仅有一个实根.

知识点解析：(1)利用不等式a2+b?Z2ab证之；(2)利用F(a)VO,F(b)>0及介值定

理证之.

16、计算二重积分”(x2+y)d0,其中D是由X?+y2=2y的上半圆，直线乂=一

1,x=l及X轴围成的区域.

标准答案：解一设Di={(x,y)I—1<X<1,0<Y<l},D2={(X,y)Ixz+ygy,

ID\

y>l),则口=口”口2,如右图所示.于是二――7回为计算4+

y)do,可引入极坐标x=rcosO,y一l=rsin0,于是D2={(r,0)I0<0<n,

0<I<1)，则有综上所应解二直接把区域D写成不等式形式：D={(x,y)I-

1<X<1,0<y<l+),从而

知识点解析：将积分区域D分为两部分，分别使用直角坐标和极坐标计算，或者

直接在D上使用直角坐标计算.

17、设变换I化为=0,求a.

必匹火西=卫卫

dudxJT/HNdua@'

B—z3:—dzd—u-4,*（-）-z--dv=—a.—1—dz-4.-__1—dz

标准答案：dydudytlv3y2Gu6/区将上述所求结果代入

所给的方程，得到当a=-2时，上方程化为

知识点解析：视u,v为中间变量，将所给方程化为以u,v为自变量的微分方程，

再由所给条件求出a.

18、已知商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数：D=D(p)=P2,S=S(p)

=bp,其中a>0,b>0为常数；价格P是时间t的函数，且满足方程0=

k[D(p)—S(p)|(k为正常数).①假设当t=0时，价格为1.试求：(1)需求量等于

供给时量时的均衡价格Pe；(2)价格函数p⑴；(3)极限p(t).

标准答案：(1)令D(p)=S(p),解得均衡价格pe=lb>.(2)由于口即这瓦化

3"13kbdt3kbdt

为一阶线性微分方程：即+3kbp3=3kbpe，WIJp=e(W3kbpedt+C)=e

-3kbdt(e3kbdtPe+C)由t=0时，p=l,得到c=l一Pe，则有p3(t)=[pe+(l-

Pe)e-3kbdt],即p(t)=[pe+(Lpe)"kbdt.⑶

知识点解析：为求价格函数p⑴需解微分方程①.比方程为一阶方程，可按通解公

式求其解，然后再求出其极限.

19、己知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为y=CieX+C2e-x-210

cos2x,则此微分方程为.

标准答案：由通解可知，特征根初=1,入2=—1.于是特征方程为3—1)(九+1)=

X2-1=0,故对应的齐次方程为y”—y=0.该非齐次方程设为y"—y=f(x),其

」+上

中f(x)为其非齐次项.由其通解知/=210cos2x为其一特解，将其代入y〃

_y,得到f(x)=(y*)-y*,即=7-7COs2x=sintx-故所求

方程为y"~y=sin2x.

知识点解析：由通解形式写出特征方程，得对应齐次微分方程.由特解求出非齐次

项f(x).

20、设A为三阶实对称矩阵，入1=8,入2=入3=2是其特征值.已知对应入1=8的特

征向量为ai=[l,k,1]T,对应入2=入3=2的一个特征向量为ct2=[—1，1，

0]r.试求参数k及九2=13=2的一个特征向量和矩阵A.

标准答案：因a]，a2是实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故有aja2=

-1

1

0,即[1,k,11*-°」=—l+k+0=0,故有k=L即a[=|l,1,1]T.设入2=

入3=2的属于A的另一特征向量为C3=[xi,X2，X3]T,则。1%3=。.为保证。3

线性无关，可进一步要求。21&3=0,这样有回曰得到基础解系为1-1/2.-I

/2,1]T.为方便计，/。3=[1,1,一2『.再由A[ai，。2，«3]—[AapA02，

Aa3]=[Xiai，入2a2，九303]得A=|7jai,九2a2，入3a3北川，a2，a,3]1

知识点解析•：利用实对弥矩阵特征向量的性质求之.

T

21、已知三元二次型f（xi，X2，X3）=XAX,矩阵A的对角元素之和为3,且AB

■1or

011.

+B=0,其中L-1一1一2」（1）用正交变换将二次型化为标准形，并写

出所用的坐标变换；（2）求出此二次型；（3）若。=[4,-1,0]T,求A、.

标准答案：（1）令|3=[（11，a2，as],四为B的列向量，显然a”012线性无关，（（3=

ai+a2,因而r（B）=2,由AB=—B得到A[oq,（13]=一[ai，ai，（13],即Acq

=­ai，Aa2=—a?，Aa3=—（13因a”012线性无关，故属于特征值一1的有两个

线性无关的特征向量，所以初=上=一1为二重特征值.又因A的主对角线上的

元素之和为Q+入2+入3=3,故另一特征值为入3=5.设属于入3=5的特征向量为a

aa,=0,（干一工3=。・

《即

=[xi，X2，X31T,则aaj=o,aa2T=0解〔0‘2一°'皿4°,因

区故a=[l,I,对四，a2进行施密特正交化得到再将由，的，以单位化，

得到令Q=[ni，"2,M3b则Q为正交矩阵，且经王交变换X=QY后，二次型的

-,TT

标准形为⑵由QAQ=QAQ=得到故f=AAX=+4x1x2+4x2X3+4x1x3.（3）

设B=kiai+k2a2+k3a3解得ki=3,k2=—2,k3=1.因此。=3ai—2a2+a,而

Aaj——aitAa2——。2，Aa=5a故Anp=An（3ai—2口2+。）=3人为1—2庆,2+，4%

=3（—1）%]—2（—1）