内蒙古呼和浩特市2027届高三上学期第一次质量监测数学试卷（含解析）

内蒙古呼和浩特市2027届高三第一次质量监测数学试卷一、单选题1．复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．曲线在点处的切线斜率是（

）A． B． C．3 D．4．已知向量，的夹角为，，，则的值为（

）A．1 B．3 C． D．5．内蒙古足球超级联赛由内蒙古12个盟市各组建一支球队参加，第一阶段常规赛中，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场常规赛（

）A．11场 B．22场 C．66场 D．132场6．已知正三棱台的高为，上、下底面边长分别为1和7，则该棱台的侧面积为（

）A． B． C． D．7．已知（），则（

）A． B． C．3 D．8．函数满足：，若，，则（

）A．405 B．407 C．409 D．411二、多选题9．已知直线，直线，则（

）A．恒过定点B．时，C．时，与的距离D．与相交于点，过且与两直线所成角相等的直线有两条10．在正方体中，则下列判断正确的是（

）A．直线与夹角为 B．直线与平面夹角为C．平面平面 D．直线平面11．设等比数列，记其公比，前项和为，若，，成等差数列，则（

）A． B．的前项和为C．是等差数列，且公差为 D．三、填空题12．已知的展开式中的系数是84，则______．13．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，边上的高为，则______．14．、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______．四、解答题15．如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点．(1)证明：平面；(2)设，，．求到平面的距离．16．先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将出现的点数分别记为、．(1)设向量，，求的概率；(2)现对上述试验重复进行3次（每次试验为先后抛掷骰子两次），每次试验的结果相互独立．将每次试验中事件“”发生记作一次“成功”．记X为3次试验中“成功”的次数．（i）求X的分布列；（ii）求X的数学期望和方差．17．已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为．(1)求的方程；(2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围．18．已知函数．(1)求函数的对称轴方程；(2)若，求的零点个数；(3)当、，且时，有，求．19．已知函数．(1)当时，求的单调递减区间；(2)对，恒成立，求实数的取值范围；(3)若曲线上存在两个不同的点、，使得、关于直线对称，求证：．

1．C【详解】复数的共轭复数是.2．D【详解】，即，即，因此，又集合，故.3．A【详解】对函数求导得，当时，，因此，所求切线的斜率为.4．C【详解】由题意得向量，的夹角为，，，则.5．D【详解】12支队伍，每两队赛两场，可看作12支队伍选出2个考虑顺序，共有种选法，所以共有132场比赛.6．A【详解】由题可得，正三棱台的侧面是三个全等的梯形，上下底面分别是边长为1和7的等边三角形.设棱台高为，梯形高为，上底面边长为，下底面边长为，上底面内接圆圆心到边的距离为，下底面内接圆圆心到边的距离为.则，同理，.所以，即.7．A【详解】由得，又因为，故，故，因此．8．B【详解】，，，则是等差数列，后项减前项为定值d，即．，，，，解得．则，所以．9．AD【详解】对于A，将代入的方程，解得，所以恒过定点，故A正确；对于B，由得，解得，故B错误；对于C，由得，解得，此时所以与的距离，故C错误；对于D，如图所示，设分别是直线上的一点，则满足条件的直线为或其补角的角平分线，共2条，故D正确．10．BCD【详解】对于A，正方体的对角面是矩形，则，是直线与所成角或其补角，而为等边三角形，即，A错误；对于B，由平面，平面，得，而，，平面，因此平面，令，连接，则是直线与平面夹角，显然，B正确；对于C，由平面，平面，得，而，，平面，则平面，又平面，因此平面平面，C正确；对于D，由选项B知，平面，平面，则，同理，而平面，所以直线平面，D正确.故选：BCD11．ABD【详解】对于A，若，则等比数列前n项和，此时，则，因为，所以，与，，成等差数列矛盾，所以．因为，，成等差数列，所以，代入等比数列前n项和公式，两边约去，可得，整理等式得，因为，两边同除得，令，则方程变为，解得或，结合，即，可得，故选项A正确；对于B，由题意知，数列是首项为，公比为的等比数列，其前项和为，故选项B正确；对于C，，因为，所以，可得公差为，故选项C错误；对于D，因为，所以，，则，故选项D正确．12．1【详解】因为中的系数为，解得.13．【详解】如图，作出符合题意的图形，过点作边上的高，垂足为，由题可知，在中，，因此为等腰直角三角形，可得，，在中，，由勾股定理得，即，根据余弦定理，对于有.14．【详解】因为，所以，所以椭圆顶点：，；焦点：，所以，，当、为短轴顶点时，，不合题意，当、为焦点和左右顶点中的两点时，两点间距离可能为，若其中任意一个为，解得均不是整数，不合题意，当、一个为焦点一个为短轴顶点时，，是整数，所以，不合题意，当、一个为长轴顶点一个为短轴顶点时，，解得，满足题意，所以，所以.15．(1)证明：连接，因为四边形为矩形，所以点为的中点，又点为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；(2)【详解】（1）略（2）法一：由题意，可以点为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，则，，设平面的法向量为，则，可取，由（1）知平面，到平面的距离为到平面的距离，又，则在法向量上的投影长度为，故到平面的距离为.法二：由（1）知平面，到平面的距离为到平面的距离，在中，，，由平面，平面，故，由底面为矩形，则，又，、平面，故平面，又平面，故，则，∴，则，故，由，，设到平面的距离为，∴，解得，故PB到平面AEC的距离为．16．(1)(2)（i）X0123P（ii），【详解】（1）设事件A表示“”，由，知a＝b，此时事件A有6种情况而所有事件的总数为36，所以（2）X的可能取值为0，1，2，3由题知；则，，故X的分布列为X0123P，.17．(1)(2)【详解】（1）由题意可得，且，则，，所以的方程为：；（2）不妨设点在第一象限，则，若，由，则，又，则，故，又在第一象限，则；若，则由，由、，即，整理得，又，则，故，则，又在第一象限，则；综上，结合双曲线的对称性可得.18．(1)(2)在上有两个零点(3)1【详解】（1）∵，由解得，∴的对称轴方程为，（2）令，则，因为在上有两个零点，所以在上有两个零点，（3）∵∴，∵时，，∴，∴，∴19．(1)(2)(3)【详解】（1）时，，的定义域是，则，令得，∴的单调减区间是（2）∵时，恒成立，∴恒成立

∴恒成立，令

，则，∴，令

则，得，得，∴在单调递增，在单调递减，∴∴可知

恒成立，∴在单调递减.∴，∴实数a的取值范围是；（3）的定义域是，存在，使得，令，若，设，则，故在上为增函数，而时，，时