2025-2026年福建省湘教版高一数学第11课函数性质与应用练习题

2025-2026年福建省湘教版高一数学第11课函数性质与应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是（）A.8B.5C.1D.-1解析：首先求导数f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-11，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=5，故最大值为5。2.若函数f(x)=ax²+bx+c的图象开口向上且关于y轴对称，则f(x)在区间[0,1]上的最小值是（）A.cB.bC.aD.无法确定解析：开口向上且关于y轴对称说明a>0且b=0，此时f(x)=ax²+c。在[0,1]上最小值为f(0)=c。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：分段函数f(x)={3-x,x<-2,1,-2≤x≤1,3+x,x>1}，最小值为1（当x=1时取得）。4.函数f(x)=√(x²-2x+3)在区间[-1,3]上的值域是（）A.[0,2]B.[1,2]C.[√2,2]D.[0,√2]解析：f(x)=√((x-1)²+2)，在x=1时取得最小值√2，在x=-1或x=3时取得最大值2，故值域为[√2,2]。5.函数f(x)=sin(x+π/4)的周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π解析：正弦函数sin(x)的周期为2π，平移不改变周期，故周期仍为2π。6.函数f(x)=log₃(x²-2x)的定义域是（）A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.[0,2]C.(-∞,1)∪(1,+∞)D.R解析：x²-2x>0解得x∈(-∞,0)∪(2,+∞)。7.函数f(x)=2^x在R上的单调性是（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定解析：指数函数底数大于1时单调递增，故f(x)=2^x在R上单调递增。8.函数f(x)=tan(x-π/3)的对称轴方程是（）A.x=π/3+kπB.x=-π/3+kπC.x=π/6+kπD.x=-π/6+kπ解析：正切函数tan(x)的对称轴方程为x=kπ+π/2，故f(x)的对称轴为x=π/3+kπ。9.函数f(x)=cos(2x+π/4)的图象向左平移π/8个单位后，得到的函数是（）A.cos(2x)B.sin(2x)C.-cos(2x)D.-sin(2x)解析：平移π/8个单位得到f(x)=cos(2(x+π/8))=cos(2x+π/4)=sin(2x)。10.若函数f(x)=x²+mx+1在x=1时取得极值，则m的值是（）A.2B.-2C.0D.-4解析：f'(x)=2x+m，令x=1得2+m=0，解得m=-2。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是______。参考答案：1解析：分段函数f(x)={1-x,0≤x<1,x-1,1≤x≤2}，最大值为1（当x=2时取得）。2.函数f(x)=3^x+1的反函数是______。参考答案：log₃(x-1)解析：令y=3^x+1，则x=log₃(y-1)，反函数为f⁻¹(x)=log₃(x-1)。3.函数f(x)=sin(2x-π/3)的周期是______。参考答案：π解析：正弦函数sin(x)的周期为2π，系数2缩短周期为π。4.函数f(x)=√(x²-4x+4)的定义域是______。参考答案：(-∞,2]∪[2,+∞)解析：x²-4x+4≥0解得x∈(-∞,2]∪[2,+∞)。5.函数f(x)=log₂(x+1)的值域是______。参考答案：R解析：对数函数底数大于1时值域为R。6.函数f(x)=cos(x+π/6)的对称中心是______。参考答案：(π/3+kπ,0)解析：余弦函数的对称中心为(π/2+kπ,0)，平移π/6后为(π/3+kπ,0)。7.函数f(x)=tan(3x+π/4)的周期是______。参考答案：π/3解析：正切函数tan(x)的周期为π，系数3缩短周期为π/3。8.函数f(x)=2sin(x+π/4)的最小值是______。参考答案：-2解析：正弦函数的值域为[-1,1]，故f(x)的最小值为-2。9.函数f(x)=x³-3x的极值点是______。参考答案：-1,1解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，均为极值点。10.函数f(x)=e^x在R上的值域是______。参考答案：(0,+∞)解析：指数函数e^x恒大于0，值域为(0,+∞)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x²在R上单调递增。参考答案：×解析：f(x)=x²在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞)上单调递增。2.函数f(x)=sin(x+π/2)的图象与y轴平行。参考答案：×解析：f(x)=sin(x+π/2)=cos(x)，图象是余弦曲线，不与y轴平行。3.函数f(x)=log₅(x-1)在(1,+∞)上单调递增。参考答案：√解析：对数函数底数大于1时单调递增。4.函数f(x)=|x|在R上处处可导。参考答案：×解析：x=0处不可导。5.函数f(x)=tan(x)的周期是π。参考答案：√解析：正切函数的周期为π。6.函数f(x)=cos(2x)的图象关于原点对称。参考答案：×解析：余弦函数是偶函数，图象关于y轴对称。7.函数f(x)=x³在R上单调递增。参考答案：√解析：f'(x)=3x²≥0，处处单调递增。8.函数f(x)=e^(-x)在R上单调递减。参考答案：√解析：f'(x)=-e^(-x)<0，处处单调递减。9.函数f(x)=sin(π-x)的图象与y轴平行。参考答案：×解析：f(x)=sin(π-x)=sin(x)，图象是正弦曲线，不与y轴平行。10.函数f(x)=log₃(2x-1)的定义域是(0,+∞)。参考答案：×解析：2x-1>0解得x∈(1/2,+∞)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。计算f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，最大值为2，最小值为-4。2.判断函数f(x)=x²-4x+3在R上的单调性。解：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2。在(-∞,2)上f'(x)<0，单调递减；在(2,+∞)上f'(x)>0，单调递增。3.求函数f(x)=sin(2x-π/4)的周期和对称轴方程。解：周期T=2π/2=π，对称轴方程为2x-π/4=kπ+π/2，即x=kπ+3π/8。4.求函数f(x)=log₂(x²-3x+2)的定义域。解：x²-3x+2>0解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。5.求函数f(x)=e^x在x=1处的切线方程。解：f'(x)=e^x，f(1)=e，切线方程为y-e=e(x-1)，即y=ex。6.求函数f(x)=tan(3x+π/6)的周期和对称轴方程。解：周期T=π/3，对称轴方程为3x+π/6=kπ+π/2，即x=kπ/3+π/18。7.求函数f(x)=cos(x+π/3)的最小值和取得最小值时的x值。解：最小值为-1，取得最小值时x+π/3=2kπ+π，即x=2kπ+2π/3。8.求函数f(x)=x³-3x+1的极值点。解：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(1)=-6<0，x=1为极大值点；f''(-1)=-6<0，x=-1为极大值点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²-4x+10（万元），其中x为产量（件）。（1）求边际成本函数；（2）求产量为多少时平均成本最小。解：（1）边际成本函数为C'(x)=2x-4；（2）平均成本函数为C(x)/x=x-4+10/x，令f(x)=x-4+10/x，f'(x)=1-10/x²，令f'(x)=0得x=√10，f''(√10)>0，x=√10时平均成本最小。2.某城市人口增长模型为P(t)=P₀e^(kt)，其中P₀=100万，k=0.02。（1）求人口增长速度函数；（2）求5年后人口数量。解：（1）人口增长速度函数为P'(t)=0.02P₀e^(0.02t)；（2）P(5)=100e^(0.02×5)=110.51万。3.某商品的需求函数为p=50-2q，成本函数为C(q)=q²+10q+20。（1）求收入函数；（2）求边际利润函数。解：（1）收入函数为R(q)=pq=50q-2q²；（2）利润函数为L(q)=R(q)-C(q)=-2q²+40q-20，边际利润函数为L'(q)=-4q+40。4.某投资项目的收益函数为R(t)=20t-0.1t²（万元），求收益最大时的投资年限。解：R'(t)=20-0.2t，令R'(t)=0得t=100，R''(100)<0，t=100时收益最大。5.某公司生产某种产品的成本函数为C(x)=x³-6x²+15x+5，求边际成本最低时的产量。解：边际成本函数为C'(x)=3x²-12x+15，令f(x)=3x²-12x+15，f'(x)=6x-12，令f'(x)=0得x=2，f''(2)>0，x=2时边际成本最低。6.某产品的需求函数为p=100-0.5q，求当需求量为20时的消费者剩余。解：消费者剩余为∫₀²(100-0.5q)dq-(20×50)=200-1000=-800（万元）。7.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²-4x+10，求当产量为5时的总成本和边际成本。解：总成本为C(5)=5²-4×5+10=5，边际成本为C'(x)=2x-4，C'(5)=6。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.A8.A9.B10.B解析：1.求导数f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-11，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=5，故最大值为5。2.开口向上且关于y轴对称说明a>0且b=0，此时f(x)=ax²+c。在[0,1]上最小值为f(0)=c。3.分段函数f(x)={3-x,x<-2,1,-2≤x≤1,3+x,x>1}，最小值为1（当x=1时取得）。4.f(x)=√((x-1)²+2)，在x=1时取得最小值√2，在x=-1或x=3时取得最大值2，故值域为[√2,2]。5.正弦函数sin(x)的周期为2π，平移不改变周期，故周期仍为2π。6.x²-2x>0解得x∈(-∞,0)∪(2,+∞)。7.指数函数底数大于1时单调递增，故f(x)=2^x在R上单调递增。8.正切函数tan(x)的对称轴方程为x=kπ+π/2，平移π/6后为x=π/3+kπ。9.平移π/8个单位得到f(x)=cos(2(x+π/8))=cos(2x+π/4)=sin(2x)。10.f'(x)=2x+m，令x=1得2+m=0，解得m=-2。二、填空题1.112.log₃(x-1)13.π14.(-∞,2]∪[2,+∞)15.R2.(π/3+kπ,0)17.π/318.-219.-1,120.(0,+∞)三、判断题1.×22.×23.√24.×25.√26.×27.√28.√29.×30.×四、简答题1.最大值为2，最小值为-4。2.在(-∞,2)上单调递减，在(2,+∞