2026年天津市北师大版高二数学第11单元数列习题

2026年天津市北师大版高二数学第11单元数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系展开c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，c_5=c_4+2×4=21，c_6=c_5+2×5=31。选项均不正确，重新计算发现递推公式应为c_{n+1}=c_n+2n，c_6=c_1+(2×1+2×2+2×3+2×4+2×5)=1+2×15=31。选项均不正确，需修正题目。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立方程6q^3=54，解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。选项均不正确，重新计算发现题目数据错误，需修正。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.12C.14D.16解析：由递推关系展开f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=3+log_2(3)+2，f_5=f_4+log_2(5)=3+log_2(3)+2+log_2(5)，无法精确计算。选项均不正确，需修正题目。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7，故a_9=2a_7-a_5，但无法确定a_7值。选项均不正确，需修正题目。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_4的值等于（）A.26B.27C.28D.29解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_4=2×3^3=54。选项均不正确，需修正题目。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n，则i_6的值等于（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系展开i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+2=4，i_4=i_3+3=7，i_5=i_4+4=11，i_6=i_5+5=16。选项均不正确，需修正题目。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_6=64，则该数列的前6项和S_6等于（）A.127B.127/63C.127/64D.127/63解析：由等比数列通项公式j_n=1q^{n-1}，代入j_6=1q^5=64，解得q=4，故S_6=1×(4^6-1)/(4-1)=127/63。选项D正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立方程解得d=5/3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则b_3的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故b_3=11。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_4的值等于______。解：由递推关系展开c_2=c_1+3×1=5，c_3=c_2+3×2=11，c_4=c_3+3×3=20。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，联立方程解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则e_2的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=3，当n≥2时e_n=2n+1，验证n=1时成立，故e_2=5。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，则f_5的值等于______。解：由递推关系展开f_2=f_1+2×1=5，f_3=f_2+2×2=9，f_4=f_3+2×3=15，f_5=f_4+2×4=23。7.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_8=20，则a_6+a_10的值等于______。解：由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=10，又a_6+a_10=2a_8，但无法确定a_8值。需修正题目。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_5的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=2，当n≥2时h_n=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_5=48。9.若数列{i_n}满足i_1=5，i_{n+1}=i_n+n，则i_7的值等于______。解：由递推关系展开i_2=i_1+1=6，i_3=i_2+2=8，i_4=i_3+3=11，i_5=i_4+4=15，i_6=i_5+5=20，i_7=i_6+6=26。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_5=32，则该数列的前5项和S_5等于______。解：由等比数列通项公式j_n=2q^{n-1}，代入j_5=2q^4=32，解得q=2，故S_5=2×(2^5-1)/(2-1)=62。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=-1，当n≥2时a_n=4n-5，验证n=1时成立，故该数列是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_3=12，b_5=48，则该数列的公比q等于2。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_3=b_1q^2=12，b_5=b_1q^4=48，联立方程解得q=2。正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+n，则该数列的前n项和为n(n+1)/2。（）解：由递推关系展开c_2=c_1+1=2，c_3=c_2+2=4，...，发现c_n=n，故S_n=1+2+...+n=n(n+1)/2。正确。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，d=3，则该数列的第10项a_10等于38。（）解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_10=5+9×3=32。错误。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则该数列是等比数列。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，验证n=1时成立，故该数列是等差数列。错误。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+2n，则该数列的前n项和为n^2+n+1。（）解：由递推关系展开f_2=f_1+2=4，f_3=f_2+4=8，...，发现f_n=n(n+1)，故S_n=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n^2+n+1。正确。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=8，g_4=32，则该数列的公比q等于±2。（）解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_2=g_1q=8，g_4=g_1q^3=32，联立方程解得q=±2。正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=1，当n≥2时h_n=2^{n-1}，验证n=1时成立，故该数列是等比数列。正确。9.若数列{i_n}满足i_1=3，i_{n+1}=i_n+n，则该数列的前n项和为n^2+2n+3。（）解：由递推关系展开i_2=i_1+1=4，i_3=i_2+2=6，...，发现i_n=n^2+2n+3，故S_n=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6+2n(n+1)/2+3n=n^2+2n+3。正确。10.在等差数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=7，则该数列的公差d等于3。（）解：由等差数列通项公式j_n=j_1+(n-1)d，代入j_3=1+2d=7，解得d=3。正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立方程解得a_1=2，d=5/3，故a_n=2+(n-1)×5/3=5/3n-1/3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，求该数列的通项公式b_n。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故b_n=4n-1。3.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，求该数列的前n项和S_n。解：由递推关系展开c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，...，发现c_n=n^2，故S_n=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。4.已知等比数列{d_n}中，d_2=4，d_4=16，求该数列的通项公式d_n。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，联立方程解得d_1=2，q=2，故d_n=2×2^{n-1}=2^n。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，求该数列的通项公式e_n。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=3，当n≥2时e_n=2n+1，验证n=1时成立，故e_n=2n+1。6.已知数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，求该数列的前n项和S_n。解：由递推关系展开f_2=f_1+2=5，f_3=f_2+4=9，...，发现f_n=n^2+2n+3，故S_n=1^2+2^2+...+n^2+2(1+2+...+n)+3n=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)+3n=n^2+2n+3。7.已知等差数列{g_n}中，a_4+a_8=20，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=10，又a_1+a_{10}=2a_5，但无法确定a_5值。需修正题目。8.已知等比数列{j_n}中，j_1=2，j_5=32，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列通项公式j_n=2q^{n-1}，代入j_5=2q^4=32，解得q=2，故S_6=2×(2^6-1)/(2-1)=127。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产3台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=10，d=3，n=10，得a_{10}=10+9×3=37台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_1=100，q=1.1，n=5，得j_5=100×1.1^4≈146.41万。3.某投资账户每年收益率为8%，已知初始投资为10000元，求5年后的账户总额。解：由等比数列前n项和公式S_n=j_1×(1-q^n)/(1-q)，代入j_1=10000，q=1.08，n=5，得S_5=10000×(1.08^5-1)/(1.08-1)≈14903.29元。4.某企业员工工资每年上涨5%，已知2020年工资为5000元，求2024年工资水平。解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_1=5000，q=1.05，n=4，得j_4=5000×1.05^3≈5735.75元。5.某种细菌每小时分裂1倍，已知初始数量为100个，求12小时后的细菌数量。解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_1=100，q=2，n=13，得j_{12}=100×2^{12}=4096000个。6.某学校图书馆藏书量每年增加200本，已知2020年藏书量为5000本，求2025年藏书量。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2×(a_1+a_n)，代入a_1=5000，d=200，n=6，得S_6=6/2×(5000+(5000+5×200))=6300本。7.某产品成本每年下降2%，已知2020年成本为100元，求2024年成本水平。解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_1=100，q=0.98，n=4，得j_4=100×0.98^3≈92.12元。8.某城市绿化面积每年增加5%，已知2020年绿化面积为100公顷，求2025年绿化面积。解：由等比数列前n项和公式S_n=j_1×(1-q^n)/(1-q)，代入j_1=100，q=1.05，n=5，得S_5=100×(1.05^5-1)/(1.05-1)≈128.41公顷。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.C4.A5.B6.C7.D8.B9.A10.D二、填空题1.5/32.113.204.25.56.237.无法确定8.489.2610.62三、判断题1.√2.√3.√4.×5.×6.√7.√8.√9.√10.√四、简答题1.a_n=5/3n-1/32.b_n=4n-13.S_n=n(n+1)(2n+1)/64.d_n=2^n5.e_n=2n+16.S_n=n^2+2n+37.无法确定8.S_6=127五、应用题1.a_{10}=37台2.j_5≈146.41万3.S_5≈14903.29元4.j_4≈5735.75元5.j_{12}=4096000个6.S_6=6300本7.j_4≈92.12元8.S_5≈128.41公顷【解析】一、单项选择题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立方程解得a_1=2，d=5/3，故a_n=2+(n-1)×5/3=5/3n-1/3。选项A正确。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故b_n=4n-1。选项B正确。3.由递推关系展开c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+4=8，...，发现c_n=n^2，故S_n=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。选项C正确。4.由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，联立方程解得q=2，故d_n=2×2^{n-1}=2^n。选项A正确。5.由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=3，当n≥2时e_n=2n+1，验证n=1时成立，故e_n=2n+1。选项B正确。6.由递推关系展开f_2=f_1+2=5，f_3=f_2+4=9，...，发现f_n=n^2+2n+3，故S_n=1^2+2^2+...+n^2+2(1+2+...+n)+3n=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)+3n=n^2+2n+3。选项C正确。7.由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=10，又a_1+a_{10}=2a_5，但无法确定a_5值。选项D正确。8.由等比数列通项公式j_n=2q^{n-1}，代入j_5=2q^4=32，解得q=2，故S_6=2×(2^6-1)/(2-1)=127。选项D正确。9.由递推关系展开i_2=i_1+1=6，i_3=i_2+2=8，...，发现i_n=n^2+2n+3，故S_n=1^2+2^2+...+n^2+2(1+2+...+n)+3n=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)+3n=n^2+2n+3。选项A正确。10.由等差数列通项公式j_n=j_1+(n-1)d，代入j_3=1+2d=7，解得d=3。选项D正确。二、填空题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立方程解得a_1=2，d=5/3，故a_n=2+(n-1)×5/3=5/3n-1/3。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故b_n=4n-1。3.由递推关系展开c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+4=8，...，发现c_n=n^2，故S_n=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。4.由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，联立方程解得q=2，故d_n=2×2^{n-1}=2^n。5.由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=3，当n≥2时e_n=2n+1，验证n=1时成立，故e_n=2n+1。6.由递推关系展开f_2=f_1+2=5，f_3=f_2+4=9，...，发现f_n=n^2+2n+3，故S_n=1^2+2^2+...+n^2+2(1+2+...+n)+3n=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)+3n=n^2+2n+3。7.由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=10，又a_1+a_{10}=2a_5，但无法确定a_5值。8.由等比数列通项公式j_n=2q^{n-1}，代入j_5=2q^4=32，解得q=2，故S_6=2×(2^6-1)/(2-1)=127。9.由递推关系展开i_2=i_1+1=6，i_3=i_2+2=8，...，发现i_n=n^2+2n+3，故S_n=1^2+2^2+...+n^2+2(1+2+...+n)+3n=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)+3n=n^2+2n+3。10.由等比数列通项公式j_n=2q^{n-1}，代入j_5=2q^4=32，解得q=2，故S_6=2×(2^6-1)/(2-1)=127。三、判断题1.正确。由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立方程解得a_1=2，d=5/3，故a_n=2+(n-1)×5/3=5/3n-1/3。2.正确。由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=12，j_5=j_1q^4=48，联立方程解得j_1=3，q=2，故j_n=3×2^{n-1}。3.正确。由递推关系展开c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+4=8，...，发现c_n=n^2，故S_n=1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。4.错误。由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=3，n=10，得a_{10}=5+9×3=32。5.错误。由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=3，当n≥2时e_n=2n+1，验证n=1时成立，故e_n=2n+1。6.正确。由递推关系展开f_2=f_1+2=5，f_3=f_2+4=9，...，发现f_n=n^2+2n+3，故S_n=1^2+2^2+...+n^2+2(1+2+...+n)+3n=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)+3n=n^2+2n+3。7.错误。由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=10，又a_1+a_{10}=2a_5，但无法确定a_5值。8.正确。由等比数列通项公式j_n=2q^{n-1}，代入j_5=2q^4=32，解得q=2，故S_6=2×(2^6-1)/(2-1)=127。9.正确。由递推关系展开i_2=i_1+1=6，i_3=i_2+2=8，...，发现i_n=n^2+2n+3，故S_n=1^2+2^2+...+n^2+2(1+2+...+n)+3n=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)+3n=n^2+2n+3。10.正确。由等差数列通项公式j_n=j_1+(n-1)d，代入j_1=1，d=3，n=3，得j_3=1+2×3=7。四、简答题1.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立方程解得a_1=2，d=5/3，故a_n=2+(n-1)×5/3=5/3n-1/3。2.由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=3，当n≥2时b_n=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=4n-1，验证n=1时成立，故b_n=4n-1。3.由递推关系展开c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+4=