专项08 三元一次方程组-重难点题型

三元一次方程组一重难点题型

【知识点1三元一次方程组及解法】

1.三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程

组的的定义进行判断.

2.解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经

熟悉的问题.

3.当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组.

【题型1三元一次方程组的解】

【例1】（零陵区期末）若二元一次方程组的解同时也是方程级一吸，=-I的解，那么〃7的值

为（）

A.-2B.C.3D.4

:乙;工的解是（

【变式1・1】（梁平区期末）三元一次方程组f16)

%=1x=6x=6x=4

A.y=3B.y=3C.y=4D.y=5

z=5z=2z=2z=6

【变式1-21（坪山区模拟）若二元一次方程3x-y-7=0,2v+3y-1=0和2x+y-m=0有公共解，则m

的取值为（）

A.-2B.-1C.3D.4

：；的解与方程组？的解相同,贝"Q

【变式1-3】（高新区期末）如果方程组+Z=5/la”

【题型2用消元法解三元一次方程组】

x—y+z=0

【例2】(宝山区期末)解方程组：4x+2y+z=3.

25%+5y+z=60

3x+4y+z=14

【变式2-1】(松江区期末)解方程组：x+5y+2z=17.

2x+2y-z=3

x+2y+z=8

【变式2-2](新抚区期末)解方程组：2x-y-z=-3.

3x+y—2z=-1

x(y+z)=2.5,

(y—l)(z+x+l)=9.5,

(z+l)(x+y-1)=11.

【题型3用换元法解三元一次方程组】!

【例3】(南陵县期末)已知：-=—=且3〃+26-4c=9,则a+b+c的值等于

357----------

【变式3-1】（晋江市模拟）已知方程组则x：户z=.

【变式3-2】（静安区月考）已知小=平=等，那么代数式产£=__________.

2342x-y+z

【变式3-3】解方程组：2一3一41，

2%+y+z=22@

XVXZVZ

方程组中的①式实际包含三个等式：-=只需任取其中两个（另一个通过这两个代

232434

3x=2y

换即可得），便可以与②式联立成三元一次方程组，如4y=3z,然后用一般方法求解.对原

.2%+y+z=22

XVZ

方程组也可以用换元的方法来求解.令：；=（=二=鼠则有x=2hy=3k,z=4k@,把③代入②，得

234

X=4

4k+364%=22,解得左=2,所以x=4,y=6,z=8,所以原方程组的解为y=6.

z=8

（x+1_y+2_z+3

借鉴上述“换元法”，解方程组工一3■—

2x+3y-z=13

【题型4构建三元一次方程组解题】

【例4】（邛竦市期末）当x=・2时，代数式a1+Zu-+c的值是5：当x=-l时，代数式al+bx+c的值是

0；当x=1时，代数式a^+bx+c的值是・4；则当x=2时，代数式a^+bx+c的值是.

【变式4-1］（和平区期末）在等式中，当x=-l时，），=0；当x=2时，），=3；当x=5时，

厂60,贝ija-,b_,c—.

【变式4-2】（海口期末）在等式中，当x=-l时，y=0;当x=5时，y=60；当x=0时，

>'=-5.求a2+2ab+c2的值.

【变式4-3］（崇川区校级月考）已知当x=l时，），=8；当x=0时，y=2；当工=-2时，

y=4.

（1）求小b,c的值；

（2）当x=-3时，求），的值.

【题型5运用整体思想求值】

【例5】（苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组l!”+i°y=62时，采用了一种“整体代

（8x+22y=10@

换”的解法，解法如下：

解:将方程②8x+20y+2），=10,变形为2（4x+10y）+2y=10©,把方程①代入③得，2义6+2>=10,贝1J），

=-1：把旷=-1代入①得，.r=4,所以方程组的解为：仁;ti

请你解决以下问题；

(1)试用小明的“整体代换”的方法解方程组一¥二7幺

⑵已知晨y、z,满足伊一2z+l2y①试求z的值.

(2x+z+By=36@

[变式5-1](金坛区期末)若2x+y+z=10,3x+y+z=12,则x+y+z=.

【变式5-2】阅读以下材料：

若x+3y+5z=5,x+4y+7z=7.求x+y+z的值.

解：x+y+z=3(x+3y+5z)-2(X+4)H-7Z)=3X5-2X7=1.

答：x+y+z的值的为1.

根据以上材料提供的方法解决如下问题：

若2r+5.v+4z=6,3x+y-lz=-4,求x+y・z的值.

【变式5-3](鼓楼区期中)解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样,

我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组.下面，我们就来解一个三元一次方程组：

x+y+z=2,①

2x+3y—z=8,@

(3x—2y+z=3,③

小曹同学的部分解答过程如下：

解：+,得3x+4y=10,④

+,得5x+y-11,@

与联立，得方程组

(3x+4y=10,④

(5x+y=11,⑤

(1)请补全小曹同学的解答过程：

m+n+p+q=4

(2)若加、〃、〃、q满足方程组2(m+n)+3p-q=16,则m+n-2p+q=.

3(7n+n)-2p+Q=6

【知识点2三元一次方程组的应用】

1.列方程组解决问题的一般步骤：(1)审题；(2)设元；(3)列方程组；(4)解方程组；(5)检脸

并作答.

2.列方程组时需要注意以下几方面

(1)单位必须统一，例如时间单位.

(2)解方程组后一定要把解代回实际问题中检脸，不合题意的要舍去.

【题型6三元一次方程组的应用】

【例6】汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶

142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、

下坡各有多少千米？

【变式6-1】某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙

两组的和的士甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？

4

【变式6-2］如图中的口、△、O分别代表一个数字，且满足以下三个等式：

□+□+△+0=17

□+△+△+0=14

□+△+0+0=13,

则口、△、。分别代表什么数字？并说明理由.

【变式6-3］（乐清市期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决

定，举办“春暖瓯越•温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A型I

张，B型2张，。型2张，如下表：

A型8型。型

满168元减38元满50元减10元满20元减5元

在此次活动中，小明父母领到多期消费券.

（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A型消费券，5张8型的消

费券，则用了7张C型的消费券.

（2）若小明父母使用消费券共减了230元.

①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比人型的消费券多I张，请求出他们用这三种

不同类型的消费券各多少张？

②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A,从。型中的两种不同类型的消费券消费，直接写

出他们使用哪两种消费券各多少张.

三元一次方程组-重难点题型（解析版）

【知识点1三元一次方程组及解法】

1.三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程

组的的定义进行判断.

2.解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经

熟悉的问题.

3.当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组.

【题型1三元一次方程组的解】

【例1】（零陵区期末）若二元一次方程组的解同时也是方程级一吸，=-I的解，那么〃7的值

为（）

A.-2B.-1C.3D.4

【分析】两个方程具有相同的解，可运用加减消元法得出二元一次方程组的解，然后将得出的X、），的

值代入2A--my=-1中，即可得出m的值.

【解答】解：两式相加得:5x=5,

解得：x=I,y=1,

所以〃岁=2-m=-1,

故选：C.

【变式1-1］（梁平区期末）三元一次方程组的解是（）

（X।/yTz—JLo

(X=1x=6x=6x=4

A.7=3B.y=3C.y=4D.y=5

(z=5z=2z=2z=6

【分析】此题是选择题不用硬求，可以将A、B、C、D四个选项分别代入三元一次方程组，看是否成

【解答】解：A、将A选项代入方程组乙片16得，2X1W3X3W6X5,故A选项错误；

B、将B选项代入方程组了16得，2X6W3X3W5X2,故B选项错误；

C、将C选项代入方程组二得，2X6=3X4=6X2,6+2X4+2=16.满足方程，故C选

（,xILy十z—1o

项正确；

D、将。选项代入方程组二6得’2X4H3X5N6X6,故O选项错误;

故选；c.

【变式1-2】（坪山区模拟）若二元一次方程3x-y-7=0,2r+3y-1=0和2r+y■机=0有公共解，则机

的取值为（）

A.-2B.-IC.3D.4

【分析】理解清楚题意，有二元一次方程3x-），-7=0,2x+3厂1=0求得的值，将其代入方程2x+），

-机=0,可求得〃？的值.

【解答】解：①X3+②，得x=2,

代入①，得），=-1，

把x=2,y=-1代入方程2x+y-〃?=0,

得2X2・1■刖=0,

/??=3.

故选：C.

【变式1-3】（高新区期末）如果方程组仁:力=5的解与方程组｛需3ay=2的解相同，则1.

【分析】两个方程组的解相同，意思是这两个方程组中的x都等于4,y都等于3,即二:是方程组

密的解,根据方程组的解的定义,即可求出。+人的值.

【解答】解：依题意,知｛;二:是方程组修:凿二:的解，

.（4a+3b=5①

••13b+4Q=2@

①+②，得7。+7b=7,

方程两边都除以7,得a+b=l.

【题型2用消元法解三元一次方程组】

x—y+z=0

【例2】（宝山区期末）解方程组：4%+2y+z=3.

.25%+5y+z=60

【分析】用加减消元法解三元一次方程组.

（x-y+z=0①

【解答】解：，4x+2y+z=3②»

（25x+5y+z=60（3）

由②■①，得：3x+3y=3④，

由③■②，得：2"+3），=57⑤，

由⑤-④，得：18x=54,

解得：x=3>

将x=3代入④，得；9131y=3,

解得：y=-2,

将x=3,y=-2代入①，得：3+2+z=0,

解得：z=-5,

x=3

・••方程组的解为：y=-2.

7.=—5

3%+4y+z=14

【变式2-1】（松江区期末）解方程组：x+5y+2z=17.

2x4-2y-z=3

【分析】利用“加减消元法”和“代入法”来解此三元一次方程组.

3x+4y+z=14①

【解答】解：r+5y+2z=17②，

、2x+2y—z=3@

由①X2-②，得5x+3.y=ll④，

由①+③，得5x+6.y=17⑤，

由⑤-④，并整理得y=2,

把y=2代入④，并解得x=I,

把x=l,），=2代入①，并解得z=3,

（X=1

所以，原方程组的解是：y=2.

Kz=3

x+2y+z=8

【变式2-2］（新抚区期末）解方程组：2x-y-z=-3.

3%4-y—2z=-1

【分析】①+②得出3x+y=5④，①X2+③得出5x+5y=15,求出x+y=3⑤，④-⑤求出x,再把x=I

代入⑤求出户最后把x=l,y=2代入①求出z即可.

无+2y+z=80

2x-y-z=-3@,

（3x+y—2z=—1③

①+②得：3x+y=5④，

①X2+③得：5x+5y=15,

即x+y=3⑤，

④・⑤得：2x=2,

解得：x=\,

把x—1代入⑤得：y—2,

把x=l,y=2代入①得；z=3,

(x=1

则方程组的解为y=2.

(z=3

x(y+z)=2.5,

(y-l)(z+x+l)=9.5,

{(z+l)(x+y-1)=11.

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.

(x(y+z)=2.5®

【解答】解：j(y-l)(z+x-l)=9.50,

l(z+1)(%4-y-1)=11@

②+③-①得：yz+y-z=10(4)：

把④代入②，③得：xy-x=zx+x=2，

乙

.1..2.

••产西+L2二1一1，

V10=yz+y-z,

，(厂1)(z+1)=9,

开方得：x=±1,

把x=之代入得：＞,=z=5,

把弋入得：y=z=-7,

1Z1

-IX=--

x=3J3

5或1

则方程组的解为《<-

-ly--

2-2

5l-7

lz=z

【题型3用换元法解三元一次方程组】

abc

【例3】（南陵县期末）已知：一二一二一，且3。+2。-4c=9,则。+力+。的值等于-15

357-------

【分析】先设比例系数为女，代入3〃+2人-4c=9,转化为关于人的一元一次方程解答.

【解答】解：设三=2=三二女，

357

则a=3Z,b=5k,c=7k,

代入3a+2b-4c=9,

得9Z+10A-28k=9,

解得：k=-1,

••ci=~39b=~59c=~7,

于是a+b+c=-3-5-7=-15.

故本题答案为：・15.

【变式3-1］（晋江市模拟）己知方程组产+yTz：O,则心、，：z=2：3：1

【分析】先解方程组，用含Z的代数式表示X、），，再求X：户Z.

【解答】解：1+

（x-y+z=0@

①+②，得2x-4z=0,

.\x=2z.

①-②，得2y-6z=0,

.*.x：yzz=2z：3z：z=2：3：1.

故答案为：2：3：I.

x+yz+yx+zx-2y+z3

【变式3-2］（静安区月考）已知，那么代数式:

2342x-y+z-5—

x+y=2攵①

詈=等=誓=上得到＜Z+y=3攵②解三元一次方程组，求得

【分析】设:X、y、z的值，代入

X+z=4k③

解析式即可求得.

x+yz+yx+z

【解答】解：设~=~k

234

2k①

3k②

4k③

315

•••代数唠筌222_2

2x|j旷9

3

故答案3

【变式3-3］解方程组:尹鸿①

2%+y+z=22②

方程组中的①式实际包含三个等式：44丁土丁只需任取其中两个（另一个通过这两个代

3x—2y

换即可得），便可以与②式联立成三元一次方程组，如4y=3z,然后用一般方法求解.对原

,2无+y+z=22

XVZ

方程组也可以用换元的方法来求解.令‘=W=[=k,则有x=2k,y=3丸z=以③，把③代入②，得

乙。1,

x=4

42+34+42=22,解得2=2,所以x=4,y=6,z=8,所以原方程组的解为y=6.

z=8

fx+1_y+2_z+3

借鉴上述“换元法”，解方程组丁二'=丁.

12%4-3y—z=13

x+1v+2z+3

【分析】将一二==一=~=k,得出x=2&-l,y=3k-2,z=4k-3,再代入解答即可.

(x+l_y+2_z+3%+i

【解答】解：把解方程组•▼='=丁中的丁k,

.2%+3y-z=132

可得：x=2左-1,y=3k-2,z=4k-3,

把x=2Ql,y=3k-2,z=4k-3代入2x+3y-z=13,

可得：4火-2+9火-6-4-3=13,

解得:k=2,

可得：x=3,y=4,z=5；

（x=3

所以方程组的解是：y=4.

（z=5

【题型4构建三元一次方程组解题】

【例4】（邛蛛市期末）当x=-2时，代数式o?+灰+c的值是5；当x=-l时，代数式o?Mx+c的值是

0：当x=I时，代数式a1+麻+c的值是-4；则当x=2时，代数式al+lzr+c的值是-3.

【分析】根据题意列出三元一次方程组可得〃、〃、c的值，达而可得当x=2时，代数式状+。的值.

【解答】解：根据题意，得

(4a-2b+c=5

一。+c=0，

\a+b+c=-4

(a=1

解得b=—2,

c=-3

，当x=2时，代数式cvc+bx+c的值为：

IX22+(-2)X2+(-3)=4-4-3=-3.

故答案为：-3.

【变式4-1]（和平区期末）在等式,，=依2+勿收中，当x=-l时，y=0；当x=2时，），=3；当x=5时,

>•=60,贝I」a=3,b=2>c=5.

【分析】由“当x=・l时，>-=0；当x=2时，y=3；当工=5时，y=60”即可得出关于G、b、c的三

元一次方程组，解方程组即可得出结论.

G—b+c=。①

【解答】解：根据题意，得《4a+2b+c=3②，

、25Q+5b+c=60③

②-①，得〃+。=1④；

③-①，得4〃+/7=10⑤.

解这个方程组，得｛，=：2'

把｛£二：2代入①，得c=-5，

(a=3

因此b——2,

c=-5

故答案为为3,-2,-5.

【变式4-2】(海口期末)在等式y=aF+Z?x+c中，当％=-1时，y=0；当x=5时，y=60；当x=0时，

>-=-5.求cr+2ab+c2的值.

【分析】代入后得出三元一次方程组，求出〃=3,b=-2,c=T,再求出答案即可.

(Q—匕+C=0

【解答】解：依题意得125a+5。+c=60，

(c=—5

整理得

5a+b=13@

①+②得：6。=18,即。=3,

把a=3代入①得：b=-2,

/.a2+2ab+c2

=32+2X3X(-2)+(-5)2

=9-12+25

=22.

【变式4-3](崇川区校级月考)已知y=/+法+的当x=l时，)，=8；当x=0时，y=2；当x=-2时,

y=4.

(1)求a,b,c的值；

(2)当％=-3时，求y的值.

【分析】（1）把小），的值分别代入），=62+反什6得出关于a、b、c的方程组，求出方程组的解即可;

（2）求出）=g+S+2,再把x=-3代入，即可求出答案.

a+b+c=8①

【解答】解:（1）根据题意得:c=2②

4a-2b+c=4③

把②代入①,得〃+>2=8④,

把②代入③,得4a-26+2=4⑤,

由④和⑤组成方程组｛：：,或工24,

解得：a=（，）=

711

所以。b=c=2；

（2）由（1）得：）=：『+¥工+2

当犬=-3时，y=^x(-3)2+芋x(-3)+2=12.

【题型5运用整体思想求值】

MM歌时，采用了一种“整体代

【例5】（苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组

换”的解法，解法如下:

解：将方程②8x+20y+2），=10,变形为2（4x+10y）+2），=10③，把方程①代入③得，2X6+2>-=10,则），

x=4

=-1;把）=-1代入①得，x=4,所以方程组的解为:

y=-1

请你解决以下问题:

2x-3y=7①

（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组

6%-5y=11@

机第品藕①试求z的值.

（2）己知x、y、z,满足

【分析】（I）将②变形后代入方程解答即可;

（2）将原方程变形后利用加减消兀解答即可.

'2x-3y=7①

【解答】解：（1）

6x-5y=11(2)

将②变形得3(2r-3y)+4y=H④

将①代入④得

3X7+4y=11

5

y---

.2

把尸亭代入①得“=―/,

1

-

4

・•・方程组的解为5

-

y2

(2)(3x-2z4-12y=47(1)

(2x+z+8y=36@

由①得3(x+4y)-2z=47&

由②得2(r+4y)+z=36®

③X2-④X3得z=2

[变式5-1](金坛区期末)若2x+y+z=\(),3x+.v+z=12,则x+y+z=8

【分析】联立已知两个方程组成方程组，利用加减消元法得到工和)，+Z的值，即可确定出.•代什Z的值.

2x+y+z=10CD

【解答】解：联立得:

3x+y+z=12②'

②-①得：X=2,

①+②得：5x+2)，+2z=22③,

・3尸失皂=6,

，x+y+z=2+6=8,

故答案为:8.

【变式5-2】阅读以下材料：

若x+3y+5z-5>x+4y+7z_7»求x+y+z的值.

解：x+-y+z=3(x+3.v+5z)-2(x+4y+7z)=3X5-2X7=1.

答：x+)*z的值的为1.

根据以上材料提供的方法解决如下问题：

若2x+5.v+4z=6,3x+y-7z=-4,求x+y-z的值.

【分析】根据2r+5”4z=6,3x+y-7z=-4,将题目中的式子变形即可求得x+y・z的值.

【解答】解：V4⑵+5)，+4z)+6(3x+y-7z)

=8A+20)4-16z+18x+6y-42z

=26.1+26)，-26z

=26(x+y-z),

Zt+5.y+4z=6,3x+y-7z=-4,

A4X6+6X(-4)=26(x+y-z),

解得，x+y・z=O.

【变式5-3］（鼓楼区期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样,

我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组.下面，我们就来解一个三元一次方程组：

%+y+z=2,①

2%4-3y-z=8/②

{3%-2y+z=3,③

小曹同学的部分解答过程如下：

解：①+②，得3什4二,，=10,④

②+③，得5巾=11,@

⑤与④联立,得方程组

3%+4y=10,（4）

.5%+y=11,⑤

（1）请补全小曹同学的解答过程：

m十n+p+q=4

（2）若〃h〃、〃、q满足方程组2（m+n）+3p—q=16,则〃?+/?-2〃+o=-2.

3（m+几）-2p+q=6

【分析】（I）根据每一步得到的方程反推其计算的由来，得到二元一次方程组后用代入消元或加减消

无法解出x和y,再代回原方程组求z.

（2）把（in+n）看作整体，解关于（〃?+〃）、〃、q的三元一次方程组.

x+y+z=2,①

2x+3y—z=8,②

!3工―2y+z=3,③

小普同学的部分解答过程如下：

解：①+②，得3x+4y=IO,④

②+③，得5x+y=ll,⑤

⑤与④联立，得方程组

px+4y=10,©

15%+y=11,⑤

解得：忧;

把代入①得：2+l+z=2,

解得：z=-1,

x=2

y=1

{z=-1

故答案为：①，②，②，③，⑤，④.

7n+n+p+q=4①

2(?n+n)+3p—q=16@

13(m+n')-2p+q=6③

②-①X2得：p-3q=8④，

③-①X3得：-5〃-2q=-6⑤,

代入①得：〃?+〃=4

rn+n-2p+q=-2

故答案为：~2.

【知识点2三元一次方程组的应用】

1.列方程组解决问题的一般步豚：（1）审题；（2）设元；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检脸

并作答.

2.列方程组时需要注意以下几方面

（I）单位必须统一，例如时间单位.

（2）解方程组后一定要把解代回实际问题中检验，不合题意的要舍去.

【题型6三元一次方程组的应用】

【例6）汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶

142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、

下坡各有多少千米？

【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程

不变.题中的等量关系是：甲、乙两地路程是142千米，；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=彳小

时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=4小时42分，据此可列方程组求解.

【解答】解：设去时上坡路是x千米，下坡路是），千米，平路是z千米.依题意得：

十

〔Z1=4

x-Xt14=-1

yZ

+_+4-

2

2X835

23Z0=7

++-4-

35W

2830

x=42

解得y=70.

z=30

答：这段路的去时上坡路是42千米，下坡路是70千米，平路是30千米.

【变式6-1】某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株