上海市2026年中考数学试题（含答案）

上海市2026年中考数学真题

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.下列选项中是无理数的是（）

A.1B.4C.V2D.V9

2.下列选项中，与2ab2c是同类项的是（）

A.a2bcB.ab2cC.abcD.2ab2c

3.下列方程无实数根的是（）

A.x2-2x=0B.X?—2=0C.x2+2x=0D.x2+2=0

4.（DA半径为3,（DB半径为7,AB=2,则两圆的位置关系是（）

A.内含B.相交C.相切D.相离

5.周一至周五某同学的运动时间为34、28、40、36、32,为了一周7天活动时间的平均数达到40分钟，下

列选项中可以的是（）

A.50,50B.45,60C.50,60D.55,60

6.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点（不与A、B重合），过点E作EM〃BD,交AD于点M,作

E、M关于BD的对称点F、G,联结EF、MG交BD于点P、H,下列说法正确的是（）

①四边形EFGM周长是定值；②四边形EPHM周长是定值；

A.①、②均正确B.①正确②错误

C.②正确①错误D.①、②均错误

二、填空题（共44分，每题4分）

7.解答：（0?）2=

8.在1,-2,・3,4,5这5个数中选一个数，选出一个正数的概率是.

9•J13x-1=5,x=•

10.在△ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=6,则tanB=.

11.等腰三角形ABC中，ZA/ZB,ZA=80°,NB=.

12.点A（m,n）与点B（3,4）在同一条反比例函数y=-±,若0VmV3,则n的取值范围

X

是.

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13.如图，正六边形ABCDEF中，AF=a,AB=5,^0AD=

14.某市2024年进出口集装箱5.15x107个，2025年进出口集装箱5.5X1O,个，则2025年较2024年集装箱

的进出口数量增加了.（用科学记数法表示）

15.某区抽查300名学生每周做家务的次数，如下表所示，据此推测全区9000名学生每周做家务大于5次

的有人.

16.如图，梯形ABCD中，AB〃CD,EF是梯形的中位线，如果BC=2AD,SAPMN=1,贝U梯形ABCD的

面积为.

17.如图，△ABC为等边三角形，AD_LBC交BC于点D。将△ABC绕点D旋转（a0（0°Va<90°）,使得

AB的对应边AB垂直于AC.设AB'交AD于点P,则需=A.

三、解答题（共82分）

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计算：（/-91、°

z

y-2x=7f

解方程组:

x-y=4

如图，小明正在确认大楼是否安全，规定［V：即为安全。

建

筑

物

（I）当d=100米时，h至少小于多少米？

（2）若测AB长为a,BC长为b,仰角为。，求J（用含有a、b、h的代数式表示）

21.景区有一个观景台，可以通过扶梯前往，8：10：00第一位游客站上扶梯，8：10：51第一位游客到达

观景台；之后的游客有序排队入场，此后每位游客到达时间的间隔为0.8秒。

（1）设登上观景台上的游客数为x（第x位游客），时间为y（从8：10：00开始解答单位为秒），请填写

表格，并列出y关于x的函数解析式（不用写出定义域）：

（2）8：10：00到8：12：00有多少名游客登上观景台?8：12：00到8：14：00有多少名游客登上观景

台？

22.如图，在四边形ACBDU」，AB_LCD且AB平分CD,ZBCD=ZDAE0在CD上取一点F,使CF=

2AF.

（1）求证：E是BD的中点.

（2）若NCAF的平分线AG交BC于点G,交CB于点H,求证：BDAH=AGAF.

23.有抛物线丫=2乂2+6*+（:,其对称轴交X轴于人0将A向右平移1个单位得点B。点C与点B的横坐标相

同，且点C的纵坐标为2a,则C点是抛物线的“派生点”，直线AC称为该抛物线的“派生直线”。

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(1)若抛物线的解析式为y=2x2-c(c为常数)，求其派生直线的表达式；

(2)已知抛物线的派生点为点C,抛物线与其派生直线.y=2x-6的公共点为P(1,m),点Q(7,n)

为其派生直线上一点，求用的值，并判断点Q是否在该抛物线上。

24.如图，在。O中，AE为直径，弦AB=CD,点D在弧AB上，AB、CD交于点P。

(I)连接0P,

①求证：乙APO=LCPO.

②连接OB交PC于H。若.PB=1,AE=4,OP=OH,求PH的长。

(2)连接AC、PE交于Q,满足PQ=EQ0点F再线段AP上，且.PF=4AF。NPFE=dQA,求席

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：选项A,擀是分数，属于有理数，

选项B,4是整数，属于有理数，

选项C,鱼是无限不循环小数，是无理数，

选项D,炳=3,3是整数，属于有理数.

故答案为：C.

【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：A、2a2儿与QMC中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意；

B、符合同类项的定义，故选项符合题意；

C、2a2儿与2。儿中字母Q的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意；

D、2a2/JC与2ab2c中字母0,的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意.

故答案为：B.

【分析】所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，据此判断即可.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：对于一元二次方程a/+以+c=0(aH0),判别式为4=b2-4ac.

选项A：方程为d—2x=0,:a==-2,c=0,

••・/=(—2)2-4xlx0=4>0,方程有两个不相等的实数根.

选项B：方程为/—2=0,a=l,b=0,c=-2,

zl=02-4x1x(-2)=8>0,方程有两个不相等的实数根.

选项C：方程为/+2x=0,•.•a=l,b=2,c=0,

.-.Zl=22-4xlx0=4>0,方程有两个不相等的实数根.

选项D：方程为d+2=0,Q=1,b=0,c=2,

.・.4=()2-4x1x2=-8<0,方程没有实数根.

故答案为：D.

【分析】对于一元二次方程。严+bx+c=0(a工0),判别式/=廿一4ac<0时，方程没有实数根，求出各

选项方程根的判别式的值判断即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：设的半径r=3,。8的半径/?=7,两圆圆心距d=48=2,

r=7-3=4,

•••d=2V4=R—r,

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••・OA与08的位置关系是内含.

故答案为：A.

【分析】根据“两圆半径分别为R,r(/?>r),圆心距为d,当dvR-r时，两圆内含''解答即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：・・・7天平均运动时间为40分钟，

：・7天总运动时间为40x7=280分钟,

•・•周一到周五的总运动时间为34+28+40+36+32=170分钟，

.••周六和周日的总运动时间为280-170=110分钊

对比各选项，只有C选项中50+60=110,符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据平均数的定义，求出7天需要的总运动时间，然后减去前5天的总运动时间，求出周六周日的

总运动时间，逐项检验解答即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：依题意，AM=AE,MD=DG,BF=BE,CF=CG,

设AM=Q,则MO=1-a,

△4ME是等腰直角三角形，则=△MDG是等腰直角三角形，MG=V5(1—Q),是等腰直角

三角形，则MH=¥(1-Q)

同理可得EF=MG=V2(l-a),FG=EM=

・•・四边形EFGM的周长=2(EM+EF)=2\[2a+2&一2&Q=2a

四边形EPHM的周长=2(EM+MH)=2>/2a+V2-x^2a=V2a4-V2

故①正确，②错误，

故答案为：B.

【分析】设4M=a,则MD=1-Q,根据勾股定理和正方形的性质求出EM、MG和MH的值，求出四边形

EFGM、EPHM的周长解答即可.

7.【答案】m8

【解析】【解答】解：(m4)2=m2x4=m8,

故答案为：m8.

【分析】根据事的乘方：底数不变，指数相乘解答即可.

8.【答案】|

【解析】【解答】解：根据题意，总共有5个数，所有等可能的结果总数几二5,其中正数为1,4,5,满足条

件的结果数m=3.

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根据概率公式p=M可得选出的数是正数的概率为。=占

故答案为：I

【分析】根据概率公式计算即可.

9.【答案】2

【解析】【解答】解：V13x-1=5

/.13x-1=25

解得：x=2,经检验x=2是原方程的解.

故答案为：2.

【分析】先两边同时平方化为一元一次方程，解方程求出x的值并检验解答即可.

10.【答案埒

【解析】【解答】解：在RM4BC中，zC=90°,AB=10,AC=6,

由勾股定理得BC=\/AB2-AC2=V102-62=8，

63

-=-

根据正切的定义，S几8=靛84

故答案为：

【分析】利用勾股定理求出8c长，再根据锐正切的定义解答即可.

11.【答案】50。或20°

【解析】【解答】已知等腰△A8C中，乙A=80。，且〃H乙8.

若44是顶角，贝此8=4C,所以乙8=2(180。—80°)=50。，符合乙4工48；

若乙A是底角，当是顶角时:ZC=Z/1=80°,所以，8=180。-80。-80。=20。，符合NAH48；

当乙。是顶角时，乙8=44=80。，与"矛盾，故舍去.

综上，的度数为20。或50。.

故答案为：20。或50。.

【分析】分为乙4是顶角，是底角两种情况，结合等腰三角形的两底角相等，三角形内角和定理解答即

可.

12.【答案】n>4

【解析】【解答】解：•••点B(3,4)在反比例函数y=K的图象上，

X

/c=3x4=12,

・•.反比例函数解析式为y=工，

X

•••k=12>0,

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反比例函数>=上在第一象限内，y随x的增大而减小，

X

••,点A(m,n)在该反比例函数图象上,且0VmV3,

当％=3时，y=4»

n>4.

故答案为：n>4.

【分析】把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，求出反比例函数解析式，根据反比例函数的增减

性得到九的取值范围即可.

13•【答案】2。+2%

【解析】【解答】解：如图，设正六边形的中点为。，连接而，丽,

在正六边形中，AB||FO.AFWBO..^.AB=FO.AF=BO,

.・.四边形48。尸是平行四边形，

根据向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线向量等于两邻边向量之和：AO=AF-¥AB=a+b^

TT—TT

.，•AD=2A0=2(a+b)=2a+2b-

故答案为：2；+2)

【分析】根据平行四边形法则可得万=存+而，再根据正六边形的性质得到而=2而解答即可.

14.【答案】3.5x106

【解析】【解答】解:根据题意列算式计算得:5.5x107-5.15x107=(5.5-5.15)x107=0.35x107=

3.5x106.

故答案为：3.5X104

【分析】用2025年进出口集装箱数量与2024年的数量求差，并将结果运用科学记数法记数即可.

15.【答案】3000

【解析】【解答】解：9000x4%鬻2

。UU

100

=9000x

300

=3000(人),

故答案为:3000.

【分析】根据条形统计图得到每周作家务大于5小时人数的占比，然后乘以全区学生数解答即可.

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16.【答案】12

【解析】【解答】解：设梯形/WCD的高为他

•••E/是梯形力BCD的中位线，

'.EF||AD||BC,EF=^{AD+BC）,EF与8c之间的距离为导

乙乙

2的

153

--

22

在△/IBP中，E为AB中点,EM||BP,

EM=同理可得FN=

乙乙

SNMN=2MN，2=1，

•*•彳•2Ao,/i=1>

••AD-h=8,

.••梯形HBCO的面积为+BC)h=1x3ADxh=|x8=12.

故答案为：12.

【分析】设梯形的高为九，根据梯形的中位线可知EM=28P,FN另PC,即可表示出MN的长度，然后根

据^PMN的买那几求出求出404=8,然后根据梯形的面积公式计算即可.

17.【答案】x/3-l

【解析】【解答】解：如图，

...AD1BC,乙B=Z.BAC=60°,z_DAC=^Z-BAC=30%

•••AB'IAC,

，在Rt△APE（设4,B’交4c于点E）中，

Z.APE=90°-4OAC=60°

由旋转的性质可知△A'8'C'三AABC,

/.乙B'==60°,DB'=DB,

第9页

在△8'PO中，LB,PD=60°,Z-PB'D=60°,

.•.△B'PO是等边三角形,

PD=DB',

PD=DB,

在Rt/iABO中，Z,ADB=90°,乙B=60°,

AD=BD-tan60°=6BD

AP=AD-PD=V3BD-BD=g—1)8。,

AP=V3—1-

PD=―BD—

故答案为：V3—1.

【分析】根据等边三角形的性质可得力。IBC,^DAC=30°,根据直角三角形的两锐角互余求出4*PO=

60°,根据旋转的性质可得乙夕=60。，DB，=DB,即可得到△B'PD为等边三角形，即可得到P。=DB,再

在RtZSABO中根据正切的定义求出4。与80的数量关系，根据线段的和差求出AP长，求出比值即可.

4(总+1)4(^+1)

18.【答案】原式=x++——35/3+

J\/3+1)(73—1)-2-

=-38+2百+2=2-V5

【解析】【分析】先运算零次寒、绝对值和分母有理化，然后合并同类二次根式解答即可.

19.【答案】解；由②；x=y+4③，将③代入①中：

即y2-2(y+4)=7

y2-2y-8-7=0

...y2_2y_15=0

(y-5)(y+3)=0

=-3,

••»=5，y2

将当=5代入③:—9

将丫2=一3代入③:皿=1

,产或卜2=1

»=52=-3

【解析】【分析】由②变形的x=y+4③，然后代入①得到关于y的二次方程，利用因式分解法求出y的值,

第10页

然后再代入③求出X的值解方程组即可.

20.【答案】（1）解：由题可知，当d=100米时，余解律九<12.5,

1UUo

至少需要小于12.5米：

（2）解：如图所示，过点8作建筑物的垂线，垂足为点D,则=。0=八一a,

建

筑

物

观测场

/ERt△BCDsinO=需=cosO=器=*，

，九=Q+bsinO,d=bcosO,

.h._a+bsind

**d~bcosO

【解析】【分析】（1）将d=100代人1V/中，求出h的取值范围即可；

（2）过点B作建筑物的垂线，垂足为点。，即可得到80=d,CD=h-a,在RtABCD中,解直角三角形求

出h=a+bsi九仇d=bcosG»然后年计算比值即可.

21.【答案】（1）解：表格如下：

X16

y5155

y=0.8x4-50.2

51=k+b®k=0.8

y=kx+b(HO).将(1,51)、(6,55)代入=>■

55=6k+b@,b=50.2.

Ay=0.8x+50.2

（2）解：①从8点10分0秒整到8点12分0秒整，总计时y=120秒.

^0.8x4-50.2<120

解得xW87.25X为正整数，因此最大x=87.

答：一共有87位游客到达观景台.

②从8点10分0秒整到8点14分0秒整，总计时y=240秒.

令0.8%+50.2<240

解得xW237.25%为正整数，

因此到8点14分0秒整最多有237位游客到达.

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该时间段游客数为237-87=150.

答：一共有150位游客到达观景台.

【解析】【分析】(1)先根据题意填写表格，利用待定系数法求出一次函数解析式即可;

(2)先计算出每个时间段的时间y的值，然后列不等式求出x的最大整数解解答即可.

22.【答案】(1)证明：•••四边形力8C0为菱形，

•••Z-DAC=Z.DCA=Z.CAB=乙BCA,AB=DC,

•••乙FBC=Z.CAB,

:.乙FBC=Z.BCA»

FB=FC,

•；AF=2BF,

AF=2CF,

•：AB||DC,

乙CEF=Z.ABF,

,:Z-EFC=Z.AFB,

AFB〜&CFE,

AFABanABQ

：'CF=CEf即摩=2，

vAB=DC,

:卷=2,即DC=2CE

故CE=DE.

(2)证明：•.•据(1)可知乙FBC

Z-BFA=乙FBC+匕BCA=2dBC,

乙FBC=Z.CAB,

乙BFA=2乙CAB,

Z-DAC=乙OCA=Z.CAB=48CA,乙BAH=乙04c十Z.CAB,

4BAH=2乙CAB,

乙BFA=乙BAH,

•••BH平分匕ABE,

:.乙ABH=乙GBF,

•••△BFGBAH,

BF_BG

・••丽=丽'

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•••BA=CD,

BF_BG

‘CD='BH，

：.CD•BG=BH•BF.

【解析】【分析】(1)利用菱形根据菱形的性质得到乙=再根据等角对等边得到FB=/C,即可

得到"=2CF,然后根据平行线得到NC"=乙4",即可得到乙EFC=根据两角相等证明△AFB〜

&CFE,根据对应边成比求出48=2CE,证明结论即可；

(2)先根据三角形的外角和角的和差得到=利用角平分线可得乙4BH=/GBF,进而得到4

BFGFBAH,根据对应边成比例证明即可.

23.【答案】(1)解：已知函数y=2/+3,可得Q=2,b=0,二次函数对称轴为％=一/=o,对称轴与

》轴交点/坐标为(0,0),

将4向右平移1个单位得到8,

8的横坐标为0+1=1,

根据定义，C横坐标为1.纵坐标为2a=4,即C(l,4).

设派生直线力C解析式为y=kx,

代入C(l,4)得k=4.

因此该函数的派生直线解析式为y=4x.

(2)解：由题意，4是派生直线y=2%-6与x轴的交点，4纵坐标为0,

将y=0代入y=2x-6得0=2x-6,

解得久=3,因此4(3,0),

根据定义，B横坐标为3+1=4,因此。横坐标为4,

将x=4代入y=2x—6得y=2.

因此C(4,2),

将P(l,m)代入y=2x-6得

m=-4,即P(l,-4),

将Q(7,n)代入y=2%-6得n=8,即Q(7,8),

；・PC=7(4-l)2+(2-(-4))2=3熠CQ=7(7-4)2+(8-2)2=3炳,

PC3/5d

由定义，抛物线对称轴为％=3,

C纵坐标为2a=2,得

<7=1,

设抛物线解析式为y=(%-3)2+k，

第13页

,・，P(1,-4)在抛物线上，代入得一4=(1-3)2+k,

解得人——8,

;抛物线解析式为y=(%-3)2-8=x2-6%+1,

・•・将％=7代入抛物线解析式得y=72—6x7+1=8,与Q的纵坐标相等，

因此点Q在抛物线上.

【解析】【分析】(1)先根据新定义得到抛物线的派生点C的坐标，然后利用待定系数法求出派生直线解析

式即可；

(2)先根据新定义得到直线与x轴交点A的坐标，然后派生点的额定义求出点C的坐标，然后求出点P,Q

的坐标，即可根据两点间距离公式求出PC、CQK,计算比值即可；然后求出抛物线的解析式，把点Q的横

坐标代入，求出纵坐标判断即可.

24.【答案】(1)①证明：如图，作0G14B于G,0Z1C0于Z,连接0C,

图1

・"G二鼻8，CZ=^CD,

'：AB=CD,

：.AG=CZ,

'：0A=OC,^AGO=乙CZO=90°,

；,RtAOAG三RtAOCZ(HL),

：.0G=OZ,

*：LPGO=LPZO=90°,OP=OP,

；・RtAOPG三RtAOPZ(HL),

J.LAPO=乙CPO；

PO=HO,

：.4)PH="HP,

由(1)可知，WPC=Z-APO,

：.z.APO=乙OHP,

■:乙BPO=180°-/.APO,乙BHP=180°-乙OHP,

：.Z-BPO=乙BHP,

在A和AMP中，/RPO=zRHP,/PRH=zORP,

:.ABPH~ABOP,

第14页

.BP_BH_PH

，9OB=~BP=OPf

'：AQ=4,

：.0B=2,

*：BP