勾股定理及其逆定理 同步提升练习-2026-2027学年湘教版八年级数学下册

1在AABC中,/C=90。若48=诿则AB2+AC<MC2的值为（）

A.2B.4C.2V2D.4V2

2如图所示，在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为（）

-3-2-102

4-冰5-l-y5

Cl-V§D,-l+v?

3如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A.BC.D

4如图，△ABC的顶点A,B,C均在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点称为格点）上,

则AC边上的高为

,由8V5尸方c4v5

A-nB-CTD-

5如图，在^ABC中,AB=10,AC=13,AD_LBC,垂足为D,M为AD上任意一点，则MC2-MB2=_.

6在ABC+.ZACB=90°,AB=10cm,AB边上的高为4cm则RtAABC的周长为cm.

7如图，在RtAABC+，ZC=90°,ZCDB=30°,且BOvl求AB的长度

8学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图（1）,

点B是正方形ACDE的边CD上一点，连接AB,得到直角三角形ACB,三边分别为21,丘.将4ACB裁剪拼接至△A

EF的位置，如图⑵所示，该同学利用图（1）、图⑵的面积不变证明了勾股定理请你写出用该方法证明勾股定理的

过程.

CaBD

图（1）图（2）

刷易错

易错点没有明确已知边是哪条边而忽视分类讨论致错

9AABC的三边长分别是a,b,c,且满足CUT：］+（〃-6）2=0,则当c=时，△ABC是直角三角形.

刷提升

1如图.在长方形ABCD中.AB;女m,AD=9cm,将此长方形折叠，使点D与点B重合，点C的对应点为C\

折痕为EF,!0!1AABE的面积为（）

2如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知加+§2=9,,且AC+BC=

10,则AB的长为（）

A.4B.6C.7D.8

3我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”.弦图由四个全等的直角三

角形按如图所示方式围成正方形ABCD,然后分别过较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.

已知AM为RSABM较长的直角边，若AM=2偌EF,则正方形ABCD的面积为（）

4如图.在△ABC中CE平分NACB.CF平分/ACD,且EF〃BC交AC于点M若CM=3厕CF+c产的值为

5如图，等腰△ABC中.AB=AC,NBAC=120。,点PJEAABC外.连接AP,BPCP.若PA=2,.尸8=2侪,NBPA=60。,

则PC的长为

（第6题图）

6如图在RSABC中,AC=3,BC=4,NACB=90。点P,Q分别是边AB和BC上的动点.始终保持AP二BQ,连接A

Q,CP则AQ+CP的最小值为.

7如图，已知△ABC中,NC=9（）0,AC=8cm,BC=6cm,P,Q是^ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A-C方

向运动，且速度为1cm/s,点Q从点C开始沿C-B-A方向运动，且速度为2cm/s,它们同时出发，设运动的

时间为ts.

⑴当t=2时，求PQ的长.

⑵求运动几秒时，△APB是等腰三角形.

（3）当点Q在边BA上运动时，求能使^CBQ成为等腰三角形的运动时间.（直接写答案）

课时2勾股定理的应用

刷基础

知识点利用勾股定理解决实际问题

1如图，在离水面点A8m的岸上点C处,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17m,此人以1m

/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（假设绳子是直的）（）

A.9mB.8mC.7mD.6m

2如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树

梢，则它至少要飞行（）

A.7米B.8米C.9米D.IO米

3如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线，按照''马走日''的

规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为.

4《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：

“平地秋干未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算

出索长有几?”小明同学根据原文题意，画出示意图如图所示.已知秋千静止时，踏板离地1尺（AC=1尺），将它推送2

步（水平距离）时，秋千的踏板就?口人一样高，此人身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直.若小明同学根据题意计算

出秋千的绳索长为14.5R（OA=OB=14.5尺），则文中“二步"是_______尺.

5如图,一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15。的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B

处，测得灯塔C在北偏西60。的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为.

（第5题图）

6如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两个相对

的端点,A点有一只蚂蚊，想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_______dm.

7如图，一架25米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为7米.

（1这个梯子的顶端距地面有多高?

(2)如果梯子的顶端沿墙垂直下滑4米至E,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?

(3)如果悌子与地面的夹角小于30。，梯子就会滑倒，那么仕第⑵问中，梯子会滑倒吗?请说明埋由.

刷易错

易一点忽略实际情况导致错解

8工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段钢条恰好与两根长分别为60cm,10()cm的钢条一起焊接成一个

直角三角形钢架,则截取下来的钢条长应为()

A.80cmB.2()V34cw

C.80cm或20V34cmD.60cm

刷提升

I如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为16m,

则所需彩带最短是()

A.8mB.5mC.20mD.lOm

2如图，门上钉子P处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌ABCD测得AB=l()cm,AD=24cm.如图⑴，当挂牌水平

悬挂(即BC与地面平行)时，测得挂绳AP=DP=20cm.将挂绳长度缩短4cm后重新挂到P处，此时不小心把挂牌弄

斜了，如图(2),发现AC与地面平行，且点P,D,C三点在同一直线上，则点B的高度下降了()

3为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器，监控器的最大旋转角度为

90。.如图(1)所示，监控布设线I距离河流南岸300m,村落位于河流南侧,邻接河流的长度为5000m,任意两个监

控器布设点之间的距离相等.小张设计了如图⑵所示的方案，AB为监控器必监测范围，BC为监控器Mz监测范

围，4%匚8%,8M2口。%，此时氏%=C%=375m,若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设个监控

器.

河流南岸

ABC

MiM

村落2'

\_____

图（1）图（2）

4小明不小心将三角尺掉到了两墙之间，如图所示,AC=BC=25,则砌墙砖块的厚度a的大小是

5如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE=40CITE在水面上紧贴内壁G

处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60cm.一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面

包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为cm.

6如图是一个滑梯示意图，若将滑道BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为3米,BC为1

米

⑴求滑道BD的长:

（2）若把滑道BD改成滑道BE使/BFA-60c.试求山DF的长.（精确到。.1米，参考数据：6句.732）

课时3勾股定理的逆定理

刷基础

知识点I勾股数的判断

1在下列四组数中，属于勾股数的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.l,V2,V5

C.357D.5,12,13

2若8,15,x是一组勾股数，则x的值为.

3如果正整数a,b,c满足等式那么正整数a,b,c称为勾股数.小明根据自己探究勾股数的过程，列

成下表:

abc

345

8610

15817

小明发现：3=22-1,4=2*2,5=22+1,请你根据小明发现的规律，若b=2n（n为整数.且应2）,则a,。用含n的代数式

分别表示为和

知识点2勾股定理的逆定理及应用

4下列条件能判定4ABC是直角三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5

B.止v5ic=凡ic=v5

C.”2=（b+c）3-c）（a,b,c为仆ABC的三条边长）

D.AB:BC:AC=2:2:3

5如图，在4x4的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）,点A,B,C在格点（小正方形的顶点称为格点）上,连

接AB,AC.BCJIJAABC的形状是

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.无法确定

知识点3勾股定理及逆定理的综合应用（

6如图.已知△ABC中,/A=90\AC二AB=4.若CD=2,BD=6厕NACD的度数为（）

7如图，已知△ABC中,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,点M,N为垂足.若

8O=：,DE=2,EC=:则AC的长为.

8如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地.已知AD=4米CD=3米,NADC=9（）o,AB=13米,BO12米.求

这块空地的面积.

9如图，在△ABC中,D是BC的中点DE_LBC交AB于点E,且.BE2-AE2=AC2.

（1）求证:/人=90。；

⑵若AC=3,BD=25求AE的长.

1五根小木棒，其长度（单位：cm］分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，下图中正确的是（）

7

2如图.在△ABC中，J5=6^„AC=I2,BC=6^AABC折叠得到折痕DE,且顶点B恰好与点A重合，点C

落在点F处，则CE的长为（）

9

4-

AC.2

53

/io

（第2题图）（第3题图）

3如图，正方形网格中，每个小格的边长为，山网格内有△PAB,点P,A.B均在格点上则NPAB+NPBA的度数

是_______•

4已知等腰直角△ABC,ZABC=90°,AB=BC=4.^p0W—D,连接CD,AD.若CD=2,AD=6.贝」NIBCD=.

5某小区有4栋住宅楼：B栋，C栋，D栋，E栋，A处为小区入口.为方便小区居民传递爱心，物业管理处准

备在小区的一条主干道BE上增设一个“爱心衣物回收箱，现需确定'•爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋

住宅楼的距离之和最短.某数学兴趣小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如