浙江省宁波市某中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试题及答案

浙江省宁波市第十五中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试题

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目

要求的.

1.下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（）

2.卜列选项中，可以用来证明命题“若a2"则a>l”是假命题的反例是（)

A.a=—2.B.a=-1C.a=lD.a=2

3.已知QVb,下列不等式中，成立的是（）

a、b

A.a十2>b+2B.2>2C.-2a>-2bD.u-2b—2

4.等腰三角形的一个角为70。，则它的底角为（)

A.70°B.55°C.55。或70。D.35。或70。

5.若关于x的不等式x44+m的解集如图所示，则m的值为（）

」」」।,1A

-2-101234

A.1B.-1C.2D.-2

6.如图，在AABC中，为钝角.用直尺和圆规在边48上确定一点。.使乙40c=248,则符合要求的

作图痕迹是（）

I

7.我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形4BC0的边在x轴

上，的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点0,处，则

点C的对应点C'的坐标为（）

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A.(V3,l)B.(2,1)C.(1,V3)D.(2,V3)

8.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且

使得△ABC为等腰三角形，点C的个数是（)

B.7个C.8个D.9个

9.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4,射线CD_LBC,垂足为点C,点P是射线CD上一动点,

点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5,则AB的长为（）

A.7B.8C.9D.10

10.如图，BD是△力8c的角平分线，BA=BC=10,AC=12,DE||BC,P,Q分别是80和8c上的任意一

点，连接P4,PC,PQ,AQ,给出下列结论：

@PC^PQ>AQ；

@AE+DE=BC；

③PC+PQ的最小值是普；

④若P4平分ZBAC,贝必”0的面积为9.

其中正确的是（）

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A

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.

11.若直角三角形的一个锐角为15。,则另一个锐角等于.

12.用不等式表示“5a与劭的差大于2”.

13.如图，在A/IBC中，CO148于点是44cB的平分线，交48于点E,乙4二30。,々8=52。，则乙OCE的

度数为_________

14.如图，BD是△力8c的中线，CE是△BCD的中线，。厂是△CDE的中线，若△48C的面积为4,则的

面积为_________

15.如图，在长方形48CD中，AB=10,=12,点E为边AD上的一个动点，把△A8E沿8E折叠，若点

A的对应点才刚好落在边力。的垂直平分线MN上，则力E的长为

16.如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与

中间的小正方形"GH拼成的一个大正方形/WCD,连接力C,交BE于点P,若正方形力BCD的面积为28,

AE+BE=7,贝UACFP与△4EP的面积差是

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AB

DC

三、解答题：本题共7小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△48C的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐

标系.

(1)作出△4BC关于不轴对称的AdB1G，并写出点々的坐标.

(2)直接写出48与4iBi之间的位置关系.

(3(%4-2)>2%+50

18.解不等式组1+3%合，结合题意完成本题的解答.

2%2<1

(I)解不等式①，得;

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在如下的数轴上表示出来；

-5-4-3-2-1012345

(4)原不等式组的解集为.

19.如图，△48。与40。8中，力C与80交于点E,=zD,AB=DC.

(1)求证：2ABE三ZkOCE；

(2)当乙4E8=80。，求4E8C的度数.

20.如图，在A4/?「中，AR>AC.

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(1)用直尺和圆规作BC的中垂线，交48于点D；(要求保留作图痕迹)

(2)连接CD,若AB=8,AC=4,求△AC。的周长.

21.某电器超市销件AB两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价分别为150元，下

表是近两天的销售情况：

销售数量

销售时段销售收入

A种型号B种型号

第一天3台5台1620元

第二天4台10台2760元

(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)

(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能

采购多少台？

(3)在(2)的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润不少于1060元的目标?若能，请给出相应的采

购方案；若不能，请说明理由.

22.对m、n定义一种新运算”"，规定：mVn=am-bn+5(其中a、b均为非零常数)，等式右边的运算

是通常的四则运算，例如：576=5a-6b+5.

(1)已知2P3=1,37(-1)=10.

①求a、b的值.

②若关于x的不等式组「鬻有且只有两个整数解，求字母I的取值范围.

(2)若运算"“满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n,结论“mPn="。血”都成立，试探究

a、b应满足的关系.

23.如图，等边△力8C中，点。在8c上，点E在AC上，连接力0,8E交于点尸，CD=AE.

(I)求WD的度数;

(2)如图2,连接CF,若CFLBE,求证：BF=2AF；

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（3）如图3,在（2）的条件下，将40沿CT翻折交AC于点G,过点C作C尸的垂线交直线尸G于点H，若

BF=4：

①求证：BF=HF；

②求FG-GH的值.（请直接写出结果）

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答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、此选项中的图形不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、此选项中的图形不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、此选项中的图形不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故答案为：A.

【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，

这条直线叫做对称轴，据此逐一判断得出答案.

2.【答案】A

【解析】【解答】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题：

用来证明命题“若2尸>1,则a>l”是假命题的反例可以是：a=-2.因为a=-2时，a2>l,但aVl.

故答案为：A

【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：A、・.・QVb,.・.a+2Vb+2,故本选项不符合题意；

B、a<b,3V义，故本选项不符合题意；

C、Tavb,二一2(1>-2/7,故本选项符合题意；

D、aVb,a—2V6—2,故本选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除

以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此

逐一判断得出答案.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：①等腰三角形的顶角为70。，

它的一个底角度数为劣X(180°-70°)=55°;

②等腰三角形的底角为70。，

综上可得：底角为55。或70。，

故答案为：C.

【分析】根据等腰三角形的性质可分两种情况：①等腰三角形的顶角为70。，②等腰三角形的底角为70。，

并结合三角形的内角和定理即可求解.

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5.【答案】B

【解析】【解答】解：由数轴如U<3,

则4+讥=3,

解得：m=—1,

故答案为：B.

【分析】根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”可得该不等式解集

为运3,结合题意可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值.

b.【答案】B

【解析】【解答】解：•••乙4DC=2/B且乙4DC=+乙BCD,

:.Z.B=Z.BCD>

:.DB=DC,

•・•点。是线段BC中垂线与48的交点，

故选：B.

【分析】由"lDC=2/8且乙4。。=48+48。。知/8=48。。，根据等角对等边可知08=0C,由线段的中

垂线的性质，中垂线上的一点到线段两端的距离相等，则分别以B、C为顶点，大于BC一半画弧，连接两

个交点即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：,•,4D'=2,4。=>口=1,

:.0D'=NAD'?一。不=百，

••0=2,CD//AB^

•••C<2,百），

故答案为：D.

【分析】由已知条件得到/D'=4。=2,A0=^AB=bC'DCD=2,CD〃AB,根据勾股定理算出OD，

的长，然后根据点的坐标与图形的性质可求出（/（2,百）.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：如图，分情况讨论.

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C2C5

①A8为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有Cl、C2、C3、C4,共4个；

②48为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有C5、C6、O、C8,共4个，

综上，符合条件的点C共有8个.

故答案为：C.

【分析】利用方格纸的特点及等腰三角形的两腰相等，分以AB为底边与AB为腰两种情况找出符合条件的

所有点即可.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：作E点关于CD的对称点E,过E作EF_LAB交于点E交CD于点P,连接PE,

.\PE=PE',

•••EP+FP=PE'+PF=E'F,即E'F是EP+FP的最小值，

•・,△ABC是正三角形，

.\ZB=60°,

VE'FIAB,

；・ZE'FB=90°

・•・ZFE'B=30°,

.\BE'=2BF=10,

VCE=CE',CE=CE'

A10=2CE+BE=2CE+4,

・・・CE=3,

.\BCBE+CE=7.

故答案为：A.

【分析】作E点关于CD的对称点E,过E作EFJ_AB交于点F,交CD于点P,连接PE,由轴对称的性

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质及垂线段最短得出此时EP+FP的值最小为EF；由等边三角形内一个内角都为60。及直角三角形两锐角互

余得NFEB=30。，由含30。角直角二角形的性质得BE=2BP=10,进而根据轴对称性质得CE=CE,然后结合

CE+CE+BE=BE建立方程可求出CE的长，最后再根据BOBE+CE算出答案.

10.【答案】B

【解析】【解答】解：®*：BA=BC=10,80是的角平分线，

1

:・BDLACfAD=CD=jAC=6,

.,・80垂直平分4。，

：,AP=PC,

・・・PC+PQ=AP+PQ,

在AAPQ中，AP+PQ>AQ,

•••PC+PQ>AQ,

；・原结论正确；

②「DE||BC,

：.Z-EDB=^DBC,^ADE=^ACBf

•・・8。是448。的角平分线，

"EBD=乙DBC,

：.LEDB=乙EBD,

：.EB=ED,

'：AB=BC,

：.^BAC=(ACB,

'：/-ADE=乙4C8,

：./-ADE=乙BAD,

：.EA=ED,

-*-AE=DE=BE=鼻8=』BC,

：.AE±DE=BC,

六原结论正确；

③由①可得，PC+PQ=AP+PQ,

・••当4P+PQ最小时,PC+PQ最小,

过点A作4M1BC于点M,如图所示：

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A

当点P在力M与BO交点上时，AP+PQ=AM,且最小值为AM,A

:80平分乙ABC,

：.BDLAC,

­­BD=>JAB2-AD2=8,

TS△械=鼻。又BD=^BCxAM,

ACxBD_12x8_48

・"M=

BC=To-=T'

即PC+PQ的最小值是第

・・・原结论错误;

④过点P作PNJ.48于点N,如图所示:

•・"平分NZMC,PDLAC,

：.PN=PD,

・S^APD_4D_6_3

••京布一诵-诃-宁

*^^APD+SA4P8=S^ABD=*X6X8=24,

•33

•「SA"。=5^3xSMBD=gx24=9，

，原结论正确；

综上可得，正确的有①②④.

故答案为：B.

【分析】

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①根据等腰三角形的性质”等腰三角形的三线合一''可得80垂直平分HC,由线段的垂直平分线的性质“线段的

垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等''可得AP=PC,再根据二角形二边关系“二角形的任意两边之和

大于第三边”即可求解；

②根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明=^ADE=^BAD,得出

EB=ED,EA=ED,即可得出结论；

③过点A作AMI8C于点M,当点P在4M与8。交点上时，AP+PQ=AM,此时4尸+PQ最小，且最小值

为力M,根据等积法求出AM即可：

④过点P作PN14B于点N,得出PN=PD,求出器靠=器=备=2即可求出结果.

11.【答案】750

【解析】【解答】解：析另一个锐角为15%

另一个锐角为180。-90。-15。=75。，

故答案为：75°.

【分析】根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可。

12.【答案】5a-6b>2

【解析】【解答】解：由题意得：5a-6b>2,

故答案为：5a-6b>2.

【分析】由题意列不等式即可求解.

13.【答案】11。

【解析】【解答】解：••・△?1=30。，乙8=52。，

Z-ACB=180°一44一4B=180°-30°-52°=98°.

•••CE是〃C8的平分线，

•••2LACE=^Z-ACB=1x98°=49°.

CD1AB,

：.ZADC=90°,

AAACD=90°一44=90°-30°=60°.

乙DCE=Z.ACD-^LACE=60°-49°=11°.

故答案为：11。.

【分析】首先利用内角和定理分别求出NACB的度数，由角平分线定义得乙=由直角三角形

乙

两锐角互余求出ZACD的度数，最后根据/DCE=4ACD-4CE求解即可.

14.【答案】义

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【解析】【解答】解：•••/)/是△COE的中线,

S&CDE=2sA0EF»

•••CE是二BCO的中线,

S&BCD=2SACDE-4s△£)£•『

•••BD是A/IBC的中线,

'S^ABC=2SbBCD=8sADEF，

•・•△/8C的面积为4

OEF的面积是4,

故答案为：1.

【分析】

三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

15.【答案】学

【解析】【解答】解：:MN垂直平分力D,

AM=^AD=6,ZAMN=90°,

•・•四边形力BCD是矩形,

4A=LABC=90°,

四边形AMNB是矩形,

ABN=AM=6,MN=AB=10,ZBNM=90°,

1,

由折叠的性质得到：BA=AB=l(\tAE=AE,

NA'=y/BA,2-NB2=8,

MA'=M/V-/V4/=10-8=2,

令AE=X,

EAl=x,EM=AM-EM=6-x.

•••EAf2=EM2+MA'?,

x2=(6-%)2+22,

10

AX=T

•••AE=乎

故答案为：竽.

【分析】由线段垂直平分线的性质得到AM=6,ZAMN=90°,由矩形的性质得NA=NABN=90。，由三个内

角都是直角的四边形是矩形得出四边形AMNB是矩形，再根据矩形性质得BN=AM=6,MN=AB=1(),

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ZBNM=90°,由折叠的性质得BA，=BA=10及AE=AE,在RsA，BN中，利用勾股定理求出A，N,由线段的

和差求出A，M,令AE=x,则EM=6・x,在A，EM中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而得出答

案.

16.【答案】Z

【解析】【解答】解：•正方形ABCD的面积为28,

.••482=28,

设4E=x,

•••AE+BE=7,

BE=7—xf

222

在RtzMEB中,由勾股定理得：AE+BE=ABt

•••/+(7—父)2=28,

•••2x2-14%=-21,

・・•四边形EFGH是正方形，

AH||CF,

Z.EAP=乙GCM,

•・•“赵葵弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形4BCD,

*'•△AEB=△CGD,

•••AE=CG,

AEP*CGM(ASA),

SAAEP=SxCGM，EP=MG,

iii

SMFP-S*EP=SMFP-S«GM==?(MG+PF)-FG=2EF•FG=2s正方形一。片

vS正方形EHGF=S正方形4B8-4S“EB=28-4x#(7-x)=2x2-14x+28=-21+28=7,

则S“FP—S/M"的值是：；

故4CFP-^AAEP的面积差为1

故答案为:J

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【分析】根据勾股定理及正方形ABC的面积为28建立方程得出2x2-14x=-21；由正方形对边平行得

AII〃CF,由二直线平行，内错角相等得NEAP=NGCM,由全等二角形的对应边相等得AE=CG,从而由

“ASA”可证△AEPgZXCGM,则S“EP=SACGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，由S正方形

EFGH=S正方形ABCD-4S&AEB,结合整体代入可得结论.

17.【答案】(1)解：如图，△4当6即为所求;

由图可知：^i(-1,-1);

(2)解：4214祖

【解析】【解答】解:(2)延长交于点D,

由图和网格特点可知：=45。，

：.LADAX=90°,

.*.AB-A1Bi.

【分析】(1)根据方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于x轴的对称点Ai、BHCI,再

顺次连接Ai、Bi、。即可得出所求的三角形，进而根据点BI在坐标系中的位置读出其坐标即可；

(2)延长交于点D,由图和网格特点可知：=N&/W=45。，进而得到41。先=90。，即可

得出结论.

(1)W：如图，即为所求；

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由图和网格特点可知：力。=45°,

・••乙4041=90°,

**•AB_.

18.【答案】(1)x>-l

⑵kV3

(3)解：在数轴上表示不等式的解集如下：

।।।1]।।।].।1A

-5-4-3-2-1012345

(4)-1<%<3

【解析】【解答】(1)解：3(%+2)22%+5,

.*.3x4-6>2%+5,

**•3x-2.xN5-6,

••x>一1,

故答案为：X>-1;

(2)解：2%-岑^<1,

.\4x-(l+3x)<2

4r-1—<2,

4%-3%<24-1,

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.*.x<3；

故答案为：x<3；

（4）解：原不等式组的解集为一1WXV3.

故答案为：・10xV3.

【分析】（1）根据解不等式的步骤“去括号、移项、合并同类项''求解即可；

（2）根据解不等式的步骤”去分母、移项、合并同类项”求解即可；

（3）根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等''将该不等式组的解集在

数轴上表示出来即可：

（4）根据公共部分确定不等式组的解集.

（1）解:3（%+2）>2%+5,

/.3x+6>2%4-5,

.*.3x-2x>5—6,

.*.x>-1,

（2）解：2%-与邑<1,

4x—1-3xV2,

4x-3x<2+1,

.,.x<3；

（3）解：在数轴上表示不等式的解集如下：

----1-----1-----1-----1-----11----1-----1——-----1------

-5-4-3-2-1012345

（4）解：原不等式组的解集为一1£无<3.

Z.A=Z.D

19.【答案】（1）证明：在△48E和八OCE中，=

.AB=AC

J.LABE三△OCEG44S）；

（2）解：V△ABE三△QCE,

:・BE=EC,

：.Z-EBC=乙ECB,

■:乙EBC+乙ECB=乙AEB=80°,

:.乙EBC=40°.

【解析】【分析】（1）由对顶角相等得NAEB=NDEC,从而利用“AAS”证明△ABE义AiDCE；

（2）根据全等二角形对应边相等可得/?/?=G?,由等边对等角得到=//?「/?,再根据二角形的任意一

个外角等于与之不相邻的两个内角的和“BC+乙ECB=Z.AEB=80°,即可求出々EBC.

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(1)证明：在△A8E和△OCE中,

Z/4=乙D

Z.AEB=乙DEC,

AB=AC

：.^ABE=^DCE(AAS)；

(2)解:V△ABE=^DCE,

:・BE=EC,

：.Z.EBC=乙ECB,

VZ.EBC+乙ECB=Z-AEB=80°,

:.乙EBC=40°.

解：如图所示，直线MN即为所求.

M

(2)解：由(1)可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，

•••CD=80,

ACD的周长=AC+CO+40=AC+AD+BD=AC+AB.

vAB=8,AC=4,

•••△4；。的周长为8+4=12.

答：AACD的周长为12.

【解析】【分析】(1)根据线段垂直平分线的尺规作图步骤”分别以B、C为圆心，大于义BC的长为半径画

弧，过两弧的交点作直线MN,直线MN即为所求”可求解；

(2)由线段垂直平分线的性质”线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得C。=BD,然后有三

角形的周长等于三边之和可求解.

21.【答案】解：(1)设A、B两种型号的电风扇的销售价分别为a、b元，由题意得

[3Q+56=1620解俎(a=240

UQ+10b=2760'腑付：U=180

答：A型号电风扇的销售单价为240元，B型号电风扇的销售单价为180元.

(2)设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号的电风扇(30-x)台

则200x+l50(30-x)<5400,

解得：x<IX.

答：最多采购A种型号的电风扇18台.

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(3)根据题意得：(240-200)X+(I80T50)(30-X)N1060,

解得x>16,

•・•在(2)的条件下烂18,

.\16<x<18

・・・x为正整数，

・・・x可以取到的正整数为16,17,18,

・••符合题意的采购方案有三种，即：

①采购A型号16台，采购B型号14台；

②采购A型号17台，采购B型号13台；

③采购A型号18台，采购B型号12台；

答：采购方案为：A型号16台，B型号14台或A型号17台，B型号13台或A型号18台，B型号12台.

【解析】【分析】(I)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为a元、b元，根据表格中的数据，列方程组

求解即可;

(2)设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇(30-x)台，在表示出采购两种风扇的总资金

(240-200)x+(180-150)(30-x),在根据采购总金额不多余5400元，列不等式，即可求出结果;

(3)先求出利润大于等于1060元时，至少采购A种型号电风扇的数量，在结合(2)中x的取值范围，即

可确定采购方案，然后算出每种采购方案需采购两种型号风扇的数量即可.

22.【答案】⑴解:①由题意得鼠削片，

解得

%-2(2%-3)+5<9

3%+124-5<t

化简得

t-17

则整数解为1,2,故24与^<3,

解得23<t<26

(2)解：由小。几=TiOm得am-bn+5=an-bm+5,化简得(a+b)(m-n)=0,

in>n为任意数,

••m一九不一定等于0,

a4-h=0,

故a、b应满足的关系为(a+8)=0

【解析】【分析】(1)①根据已知新运算得出方程组，解方程组求出a、h的值：②根据新运算得出关于x

的不等式组，求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于t的不等式组，求解即可.

第19页

(2)根据新运算得出等式，整理即可得出答案.

⑴解:①由题意得｛第比勒

解得｛；：；;

x-2(2x-3)+5<9

3x4-12+5<t

x>3

化简得

t-17

x<

则整数解为1,2,故2工千＜3,

解得23<t<26；

(2)解：由m。九=九。"i得am-bn+5=an-bm+5,

化简得(a+b)(m-n)=0,

,・，m、n为任意数，

••m一九不一定等于0,

；・a+b=0,

故a、b应满足的关系为(a+b)=0.

23.【答案】(1)解：•••△ABC是等边三角形,

48=C4,Z.BAE=Z.ACD=60°,

在△4。。与^BAE中,

(CD=AE

\z-ACD=乙BAE,

(CA=AB

•SACD=△BAE(SAS),

Z.DAC=Z.EBA,

乙BFD=LBAF+匕ABF,

...乙BFD=LBAF+Z.CAD=ABAC=60°；

(2)证明：在BF上截取BQ=4F,连接AQ,

VAABE^ACAD,

.\ZABE=ZCAD,

第20页

在△QBA与中,

BQ=AF

LQBA=Z-FAC,

BA=AC

QBA=△FACIAS),

•••乙BAQ=Z.ACF

:.Z.QBA+乙BAQ=Z.DAC+Z.BAQ=Z.DAC+Z.ACF,

•••Z.AQF=Z.QBA+匕BAQ,乙DFC=Z.DAC+Z-ACF,

•••Z.AQF=Z.DFC=Z.BAQ+Z.DACf

•••CF1BE,乙BFD=60°

乙4QF=乙DFC=Z.BAQ+Z-DAC=30°,

^AQF=乙DFC=^QAF=30°,

:•AF=FQ,

AF=FQ=BQ,

•••BF=FQ+BQ=2FQ,

.・・BF=2AF；

(3)解：①证明：如图，延长到点N,使得FN=4凡连接HN,连接CN,交FH于点M，

•••乙BFD=UFN=60°,

••・△4FN是等边三角形，

:.AF=AN=FN,乙FAN=乙FNA=乙AFN=60°,

•••乙BAF=60°-Z.FAE=MAN,

在48从尸与△CAN中，

(AB=AC

\^.BAF=/.CAN

(AF=AN

.*.△BAF三△CAN(SAS),

：.BF=CN,乙ABF=£ACN

vZ.DAC=4EBA,

•••^DAC=乙ACN,

CN\\AD,

第21页

乙AFN=乙FNM=60°,

VCF1BE,

:.(FCN=30°,

vzDFC=90o-60o=30°,40沿C尸翻折交力。于点G,CF1CH,

...(DFC=乙MFC=Z-MCF=30°,乙MFN=乙MCH=乙MHC=60°

...MF=MC,乙CMH=乙FMN=60°

••.△MCF是等腰三角形，＞CMH,AMFN是等边三角形,

AAF=AN=CM=HM=MF=MN=FN,

HF=HM+MF=2AF=BF,

②3

【解析】【解答］解：(3)②；BF=4=2AF,

,AF=AN=CM=HM=MF=MN=FN=2,

在CGM中，

(Z.FGA=乙MGC

NE4G=/-MCG'

(AF=CM

AGF三△CGM(44S),

1

FG=MG=^FM=1,

乙

G”="M+MG=2+1=3.

GF•=1x3=3

【分析】(1)由等边三角形性质得AB=CA,ZBAE=ZACD=60°,从而由“SAS”证△ABEgZ\CAD,再根据

全等三角形的对应角相等得到乙=进而根据三角形外角性质、等量代换及角的构成求解即可；

(2)在BF上截取BQ=AF,连接AQ,由全等三角形的对应角相等得/ABE=NCAD,由“SAS”证△Q8A三

△凡4C,由全等三角形对应知相等得=/4CF,由三角形外角性质、等式性质、垂直定义及知的和差推

出乙4QF=々DFC=々QA/=30。，由等角对等边得AF=FQ,即可求解；

(3)①延长BE到点N,使得尸N=力凡连接AN,连接CN,交FH于点M,由有两个内角为60。的三角形是

等边三角形得△AFN是等边三角形，得AF=AN=FN,^FAN=Z-FNA=^AFN=60°,从而由“SAS”证明

〉BAF"CAN,得到8F=CN,UBF="CN,则乙ZMC=〃CN,根据翻折的性质得到/DFC=

乙MFC=^MCF=3。°,乙MFN=^MCH=LMHC=600,证明AMC尸是等腰三角形，△CMH,△MFN是等

边三角形，进而得至必尸=AN=CM=HM=ME=MN=FN,即可证明8尸=HF；

②利用“AAS”证明△4GF三ACGM,得至UFG=MG=2产M=1,则GH=3,即可求出的值.

(1)解：•••△48C是等边三角形，

AB=CA,/.BAE=^ACD=60°,

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在△ACO与△BAE中，