2027年高考数学一轮复习讲义-直线与圆的位置关系（含解析）

直线与圆的位置关系

【课标要求】1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的数学

问题与实际问题.

・落实主干知识-

1.直线与圆的位置关系（圆心到直线的距离为"，圆的半径为尸）

相离相切相交

6G③

图形

方程

J<0J=OJ>0

观点

量化

几何

d>fd=rd<r

观点

2.直线被圆截得的弦长

（1）几何法：弦心距"、半径〃和弦长|48|的一半构成直角三角形，弦长|力4|=2"］定.

（2）代数法：设直线尸G+,〃与圆/+俨+0什⑶+々。相交于点班N,代入，消去修得关于x的一

2

元二次方程，则IMN\=y!1+k^^xM+xNy-4XMXN.

3.直线与圆相切

圆C的圆心为C,半径为广，切线为/,切点为P,则|CP|十，CPLL

3自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“4”或“义”）

⑴过点P有两条与圆。相切的直线.（X）

⑵过任意一点作直线与圆相交，且弦长等于半径，这样的直线有两条.（X）

⑶若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.（4）

（4）在圆中最长的弦是直径.（4）

2.直线3x+4y=5与圆/+产=16的位置关系是（）

A.相交且直线经过圆心

B.相切

C.相离

D.相交且直线不经过圆心

答案D

解析圆心到直线的距离公高=1<4,

V32+42

且直线3x+4尸5不过点(0,0),

所以直线与圆相交，且不经过圆心.

3.直线2什+1=0与圆/+炉=2交于4,B两点,则弦相的长度为()

ATBTCTDT

答案B

解析设圆炉+产2的圆心为qo,0),半径尸企，

因为。(0,0)到直线2x-y+\=0的距离

1_V5

aV4+I51

所以|/8|=2，7匚冠=2斤箸.

4.若点力(0,1)在圆C：(六1)2+产=产('>0)上，则过点力的圆的切线方程为.

答案尸x+1

解析因为点力⑹1)在圆C：(*1)2+户/(/•>())上，

所以过A的圆的切线和力。垂直，

因为,4。1),。(】，0),所以也替］

所以切线方程的斜率为1,

所以切线方程为尸lX(x-0)+l,

即尸+1.

回微点提醒

牢记三个相关结论

⑴过圆》2+产=产上一点pg。,/)的圆的切线方程为xox+yoy=r.

(2)过圆(工-〃)2+。")2=产上一点P(xo,次)的圆的切线方程为(xo-a)(1-4)+0功)0功尸产.

(3)过圆好+/=户外一点M(xo，次)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xox+网尸户.

----------------------------探究核心题型-------------------------

题型一直线与圆位置关系的判断

例1已知直线/：产6+1与圆C：。+1)2+产=户(/>0),则“VZWR,直线/与圆C有公共点”是

“尸>我”的()

A.充分不必要条件

B.必要不允分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析方法一易知圆C：。+1)2+产=/(/>0)的圆心为C(-l,0),半径为乙

当VkER,直线/与圆。有公共点时，

导W，・颉立，

即(rM)尸+2什3-120恒成立，

则Al>0fiJ=4-4(r2-1)2<0,

解得凡1力，即，鱼或尸〈-企(舍去)，

所以、k£R,直线/与圆C有公共点”是“V的必要不充分条件.

方法二直线/恒过定点尸(0,1),要使对任意直线/与圆。有公共点，只需点尸(0,1)在圆内或圆上即可,

即(o+iy+pw户,即mZ

所以“VZ£R,直线/与圆。有公共点”是“，>企”的必要不充分条件.

思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法:利用d与厂的关系判断

(2)代数法：联立方程之后利用」判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

跟踪训练1(多选)已知圆C：6-2)2+产=16,直线/：必+/3吁1=0,则下列结论中正确的是()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.直线/与圆C相切

C.直线/与圆。相交

D.直线/与圆。相离

答案AC

解析圆C：(*2)2+产16的圆心。(2,0),半径尸4,直线/：皿x-3)+川=0恒过定点(3,1),显然

7(3-2)2+l2=V2<4=r,因此点(3,1)在圆C内，直线/与圆。相交，B,D错误，A,C正确.

题型二直线与圆的弦长问题

例2(1)(2025•赣州模拟)若圆。的圆心为C(3,1),y轴被圆。截得的弦长为8,则圆。的一般方

程为()

22

A.x+iy-6x+2^-15=0

BJV7l/-6xI2y-7=0

C^24-/-6x-2y-15=0

D.x2+y2-6x-2y-7=0

答案C

解析如图，设歹轴被圆C截得的弦为48,过点。作C0_L48于。

依题意，［80|4J8|=4,因为C(3,1),故|CQ|=3,

从而圆的半径为18cH/32+42=5,故所求圆的方程为(x-3)2+(H)2=25,

即％2+产6x-2y-15=0.

(2)一条直线经过点"(-3,-|),被圆N+#=25截得的弦长等于8,则这条直线的方程为()

A.x=-3或3x+6jH-5=0

BJT=-3或尸

C.3x+6y+5=0

D.x=-3或3x+4尸■15=0

答案D

解析由圆的方程，得圆心坐标为(0,0),半径，=5,

・・•直线被圆截得的弦长为8，.二弦心距”=府中=3,

若此弦所在的直线的斜率不存在，即直线方程为x=-3,满足题意；

若此弦所在的直线的斜率存在，设斜率为A

，所求直线的方程为尹|=的+3),即依少~|+3:0,

・•・圆心到所设直线的距离内膜=3,解得公总

此时直线方程为尹|=*x+3),即3x+4尸■15=0,

综上，所求直线的方程为x=-3或3x+4尹15=0.

思维升华弦长的两种求法

(1)代数法：将直绩口圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.

⑵几何法：若弦心距为力圆的半径长为乙则弦长/=26匚次

跟踪训练2(2025•江西省重点中学盟校联考)已知直线/过点P(l,・1),且与圆Cx-+/-6x+6y=0

交于4B两点,则线段力B的长度的取值范围是()

A.[VTO,3V2]B.[2VTO,6V2]

C.[4&,2V10]D.[ViO,6V2]

答案B

解析圆C：/+产6x+6产0可得圆心。(3,-3),半径尸3a,

因为l?十(-])2_6-6<0,所以XE点P在圆C内，

设圆心。到直线/的距离为力贝U弦长|力8|=2"二不，

当仁0时，弦长最大，这时过点P的最长弦长为圆的直径2尸6,反；

当d最大时，这时dmax=|PC|=，22+(-2)2=2a,

所以弦长的最小值|48|min=2j/一踩ax=2，18-8=2VTU,

所以弦长I叫的取值范围为[2m，6曲.

题型三直线与圆的切线问题

例3(多选)过点4(4,-3)作圆(43)2+3-1)2=1的切线，所得切线方程为()

A.x=4B.15x+8y-36=0

C产-3D.8x-15y-3=0

答案AB

解析由圆心为(3,1),半径为1,当过点44,-3)的切线斜率存在时，设切线方程为产始<)-3,

则圆心到切线的距离公牛等=1,

Vi+fc2

可得上耳，

所以产吊(毛4)-3,

即15x+8^-36=0；

当切线斜率不存在时，切线方程为-4,显然与圆相切，

综上，切线方程为15x+8j，-36=0或产4.

思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法

⑴几何法：设切线方程为y外=心中0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离4然后令人厂，

进而求出k.

(2)代数法：设切线方程为w寸神-xo),与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判

别式d=0进而求得人.

注意验证斜率不存在的情况.

跟踪训练3在平面直角坐标系中，已知圆C：(*1)2+y=4,若直线/：工+•片〃7=0上有且只有一个点

P满足：过点夕作圆。的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,且使得四边形PMCN为正方形，

则正实数〃z的值为()

A.IB.2V2C.3D.7

答案C

解析由(x-l)2+f=4可知圆心C(1,0),半径为2,

因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆C的半径2,所以因=2企，

所以直线/：x+y+%。上有且只有一个点P,使得|PC|=2&,BPPCI/,

所以圆心C到直线/的距离为2V2.

所以端一，

V1+1

解得用=3或%-5,

又加＞0,所以机=3.

题型四直线与圆位置关系中的最值问题

例4已知产是直线3/4八8=0上的动点，PA,心是圆C：办.2升1=0的两条切线，力，B

是切点，则四边形尸力面积的最小值为.

答案2V2

解析圆C：X2+^2-ZV-2JH-1=0,

即圆C：(X-1)2+61)2=1,

所以圆心C(l,1),半径I,

如图，连接尸G

因为SW21KPACB=2S^PAC

=2X界口尸卜|何

=\AP\=y/\PC\2-l,

所以求S四边形/“a的最小值就是求PQ的最小值，而|PC］的最小值就是圆心C到直线3x+4y+8=0的距离d,

3+4+8|

即心3,

百2+42

所以四边形PACB面积的最小值为斤I=2&.

思维升华涉及与国的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于国

心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.

跟踪训练4(2024•邵阳模拟)已知直线/：注片2=0与圆O：x2+y=l,过直线/上的任意一点尸作圆

O的切线以，PB,切点分别为4,B,则NNPB的最大值为()

A.营B，vC.7D，7

4326

答案c

解析由题意可知，圆。：/+y=i的圆心为0(0,0),半径为1,

则圆心O到直线I的距离为与|L&>1,

V2

可知直线/与圆O相离，

因为乙4尸8W(0,7T),

所以3，

且sin//po」°川一1

口"“力""\0P\\0P\l

当0尸|最小时，sinN/lP。最大，可得乙”O最大，即4M最大,

又因为|OP|的最小值即为圆心。到直线/的距离为企，

此时sin/ZPO，，NAPg,

24

所以4P8的最大值为宏

课时精练

(分值：80分)

知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共20分)

1.(2025•焦作模拟)若圆C(x-2)2+(y+3=a(a＞0)与x轴相切，则。等于()

A.lB.V2C.2D.4

答案D

2

解析圆c：(x-2)2+(y+3=心＞0)的圆心坐标为(2,-京半径为疯

因为圆C与x轴相切，所以之。目。＞0,解得所4.

4

2.(2024•吴忠模拟)直线/：xcos处ysin仇2=0与圆O：%2+＞^=1的位置关系为()

A.相离B.相切

C.相交D.无法确定

答案A

解析由题意知，圆心0(0,0),半径一1,所以圆心。到直线/的距离公/尸匚-2＞尸1,故圆。与直

Vcos2f?+sin20

线/相离.

3.(2024・重庆模拟)已知从点P(l,-I)发出的光线经y轴反射，反射光线与圆C：/+产6-6广呼=0相切，其

反射光线的斜率为()

A.1B.2

C.^或2或T

答案C

解析点P(l,-1)关于y轴的对称点P'(L-1),由反射光线的性质知，反射光线即为过点P'(-1,-1)的圆

C：Q-3)2+63)24的切线，由题意知，切线的斜率必存在，设切线的斜率为3则切线/：厂1或H1),由

向吉丁|_他得2卜5〃+2=0,解得闫或2.

jF+i752

4.(2025・南京模拟)设直线x+砂+2=0与圆C：/+什.2)2=16相交于力，B两点,且△48。的面积为8,贝lja等

于()

A.-V2B.-lC.lD.V2

答案C

解析由三角形的面积公式可得S^ABC=^X42sinZ/lCB=S,

得sin/4CB=l,由Ov/力CBv凡得/4。苫，

所以△力8C为等腰直角三角形，

所以圆心C(0,2)到直线x+砂+2=0的距离为Hsinj=2V2,

由点到直线的距离公式得衅等=2鱼，解得斫L

Vl+a2

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.已知直线/：y=kx-k,”£R,圆C：f^=4,则下列结论正确的有()

A.直线/过定点(1,0)

B.直线/与圆C恒相交

C.直线/被圆。截得的弦长最短为28

D.若直线/被圆。截得的弦长为旧，则公±1

答案ABD

解析对于A,直线/：y=kx-k,即尸A(x・l),则直线/过定点(1,0),故A正确;

对于B,因为12+02=1<4,所以定点(1,0)在圆C：声炉=4内部，所以直线/与圆。恒相交，故B正确；

对于C,当直线/与x轴垂直时，直线/被圆C截得的弦长最短，此时/：x=\,直线/被圆C截得的弦长为

2日』=28，但此时直线/的斜率不存在，不符合题意，故C错误；

对于D,直线/：kx-y-k=O,圆心C(0,0)到直线/的距离六卷=」22一(甯;得4土1,故D正确.

6.(2025・重庆模拟)己知动点P在直线/：x+y-6=0上，动点。在圆C：(x-l)2+(y-l)2=4上，过点尸作圆C的

两条切线，切点分别为4,B，则入列说法正确的有()

A.直线/与圆。相交

B.|PQ|的最小值为2a-2

C.四边形PACB面积的最小值为4

D.存在P点，使得/力丹?号

答案BC

解析圆c：(X-1)2+61)2=4的圆心C(l,1),半径尸2,连接PC,

对于A,点。到直线/：">-6=0的距离d=^==2y/2>2=r,直线/与圆C相离，A错误；

对于B,点。在圆C上，则|PQ|m『d-/=2&-2,B正确；

对于C,由切线长定理知，四边形4C6的面积

S=2S^PAC=2^PAI-\AC\=2\PA|=2V\PC\2-\AC\2^2y/d2-r2=4,

当且仅当PCL时取等号，因此四边形21c8面积的最小值为4,C正确；

对于D,由切线长定理知，/APB=2/APC,而sinN/PC喘忌〈套，

又/"。是锐角，正弦函数尸sin工在（0,以上单调递增，则4PC的最大值为会

当且仅当PC时取等号，因此乙的最大值为3D错误.

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.圆/+产6产0在点尸（而，1）处的切线方程为.

答案V5.r-2y-3=0

解析因为（通产+12.6X1=0,

所以P（石，1）在圆/+尸6尸0上，

设《+产6尸0的圆心为A（0,3）,

士灯I_3-1_2V5

故々"FT?--T，

切线斜率为4,

所求的切线方程为川=y（x-V5）,

即VKY-2y-3=0.

8.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如尸”刊表示过点（1，0）且斜率不为0的直线，直线的

包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是

该直线族中的某条直线.若圆G：*+），=1是直线族〃7X+/7尸1（〃?，〃WR）的包络曲线，则”7,〃满足的关系式

为.

答案至2+〃2=]

解析由定义可知，3+〃尸1与X2+产1相切，则圆G的圆心（0,0）到直线〃状+〃尸1的距离等于1,则

d-m2+n2=\.

四、解答题（共28分）

9.（13分）（2024・邢台模拟）已知直线八：3x+4y+15=0,半径为3的圆C与人相切，圆心C在x轴的非负半轴

上.

（1）求圆C的方程；（5分）

（2）设这点P（l,2）的直线右被圆C截得的弦长等于4a,求直线&的方程.（8分）

解（1）由题意，设圆心C的坐标为（。，0）（。20）,

因为直线"3/4尹15=0,半径为3的圆。与A相切，则粤弟3,

V32+42

又所以〃=0,

因此圆。的方程为f+产=9.

（2）由勾股定理可知，圆心C到直线A的距离为六回一件j=l.

当直线A的斜率不存在时，直线/2的方程为-1,此时圆心。到直线右的距离为1,符合题意；

当直线/:的斜率存在时，设直线，2的方程为y-2=k（x-\）,即日-尹2-Q0,

则］常奢1,解得勺，

此时,直线h的方程为y-2W（x-1）,即3x~4.y+5=0.

综上所述,直线h的方程为x=1或3x・4尹5=0.

10.（15分）（2024•河南省部分名校联考）已知圆C（心42+〉2=/1）锯＞0）,过点尸（1,再）作圆C的两条切线，

切点分别为4B,且N/

（1）求a的值；（5分）

（2）过点0（1,0）作两条互相垂直的直线，分别与圆C交于不同于点O的两点M,N,若|MQ||MD|=VL求直

线的方程.（10分）

解⑴由题意可知圆。的圆心为。（*0）,半径尸

因为N428三，APLAC,

所以从而|PC1=2|4C|=2八

即J（a-1）2+（0—V5）z=2|a-1|,

两边平方整理得。2-2a=0,

又心仇所以a=2.

（2）由⑴知圆C（六2）2+y=1