江苏省宿迁市沭阳县南湖高级中学2025-2026学年高二上册第一次调研测试数学试卷-含答案

数学一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（）A. B. C. D.2.已知直线的倾斜角的余弦值为，则实数m的值为（）A. B. C. D.3.设，则直线l：与圆的位置关系为（）A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.相交4.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.5.下列四个命题：①经过定点的直线都可以用方程表示；②经过定点的直线都可以用方程表示；③不经过原点的直线都可以用方程表示；④经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，其中真命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.36.在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（）A.-10 B.2或-10 C.-2或10 D.-27.若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（）A. B.0 C.1 D.28.已知实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线的方程为，直线的方程为，（）A.则直线的斜率为 B.若，则C.若，则或 D.直线过定点10.已知圆与圆，则（）A.过点作圆的切线只有条，则B.若圆与圆有且只有条公切线，则C.当时，两圆的一条公切线方程为D.当时，两圆的公共弦长为11.以下四个命题表述正确的是（）A.圆上有且仅有个点到直线的距离都等于B.曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为C.已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设直线l的方程为，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a=________13.已知动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，圆，圆分别是圆，上的动点.则的最小值为__________.14.在平面直角坐标系中，已知点定义为“曼哈顿距离”.若，则点P的轨迹所围成图形的面积为____；圆上一点与直线上一点的“曼哈顿距离”的最小值是________________四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知圆经过点，且与圆相切于点.（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程.16.已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为.（1）求点的轨迹方程；（2）过定点的直线与点的轨迹交于不同的两点，且满足，求直线的方程．17.在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为.（1）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程；（2）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程.18.在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2.（1）求圆的标准方程；（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围.19.已知圆点.（1）过作圆的切线，求切线的方程；（2）过圆O上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值.（3）已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

数学一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用两点求斜率的公式列方程，化简求得的值.解答过程：依题意，.故选：B2.已知直线的倾斜角的余弦值为，则实数m的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据直线倾斜角求出直线斜率，利用斜率求.解答过程：由题意可知直线的斜率一定存在，设直线倾斜角为α，则斜率为，由，得，因此．故选：A．3.设，则直线l：与圆的位置关系为（）A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.相交答案：C解析：思路：先求得直线恒过点，检验可得该点在圆上，即可得出答案.解答过程：直线可化为，由可得，，所以直线恒过点.又，即点在圆上，所以，过点的直线与圆相交或相切.故选：C.4.直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据直线方程求出直线的斜率，再由的范围即可求解.解答过程：直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈，所以≤≤，因此k＝2cosα∈．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈．又θ∈[0，π)，且正切函数在上单调递增，在上为单调递增函数，结合正切函数的图像可知所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.故选：B方法提示：本题考查了直线的斜率与倾斜角，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.5.下列四个命题：①经过定点的直线都可以用方程表示；②经过定点的直线都可以用方程表示；③不经过原点的直线都可以用方程表示；④经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，其中真命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：B解析：思路：由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案.解答过程：①，过点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故①错误；②，经过定点且垂直于轴的直线不能用不能用方程表示，故②错误；③，垂直于两坐标轴的直线不能用方程表示，故③错误；④，当两个不同的点、的连线不垂直于坐标轴时，直线方程为，化为后包含两点连线垂直于坐标轴，∴经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，故④正确.∴正确命题的个数是1个.故选：B.方法提示：本题考查命题的真假判断与应用，考查直线方程的四种形式，直线方程有多种形式，根据不同条件可选取不同形式的方程，但这四种形式的方程有局限性，不能表示出所有直线．如用到斜率而斜率不存在的直线，截距式中截距为0的直线．6.在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（）A.-10 B.2或-10 C.-2或10 D.-2答案：B解析：思路：根据题意设出圆的方程，然后将经过的两个点坐标代入圆的方程中组成方程组，求解即可.解答过程：设圆心，因为圆与轴相切，则.所以圆的方程为.因为该圆经过点，所以.化简得，两式相减得.然后将代入①式中得，解得或.故选：B.7.若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（）A. B.0 C.1 D.2答案：C解析：思路：根据圆心到直线的距离为定值，列方程来求得正确答案.解答过程：圆的圆心为，半径为，要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值，即为定值，所以.故选：C8.已知实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案.解答过程：由题意知实数满足，则，故点在直线上，点在直线上，而表示点和点之间的距离的平方，故的最小值为两平行线和间距离的平方，最小值为，故选：B二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线的方程为，直线的方程为，（）A.则直线的斜率为 B.若，则C.若，则或 D.直线过定点答案：CD解析：思路：根据时，直线的斜率不存在，即可判断A；根据两直线平行的充要条件计算即可判断B；根据两直线垂直的充要条件计算即可判断C；令的系数等于零求出定点即可判断D.解答过程：对于A，当时，直线的斜率不存在，故A错误；对于B，若，则，解得或，经检验，两个都符合题意，所以或，故B错误；对于C，若，则，解得或，故C正确；对于D，直线的方程化为，令，解得，所以直线过定点，故D正确.故选：CD.10.已知圆与圆，则（）A.过点作圆的切线只有条，则B.若圆与圆有且只有条公切线，则C.当时，两圆的一条公切线方程为D.当时，两圆的公共弦长为答案：AC解析：思路：对于A，分析可知圆心的圆心在圆上，将圆心的坐标代入圆的方程，求出的值，可判断A选项；对于B，分析可知，两圆相交，根据圆与圆的位置关系求出的取值范围，可判断B选项；对于C，判断直线与两圆的位置关系，可判断C选项；对于D，求出两圆的公共弦长，可判断D选项.解答过程：圆的标准方程为，圆心，半径为，圆的圆心为，半径为，对于A选项，若点作圆的切线只有条，则圆心的圆心在圆上，则有，因为，解得，A对；对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交，且，由题意可得，即，因为，解得，B错；对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，故当时，两圆的一条公切线方程为，C对；对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交，将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，两圆的公共弦长为，D错.故选：AC.11.以下四个命题表述正确的是（）A.圆上有且仅有个点到直线的距离都等于B.曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为C.已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为D.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过点答案：ACD解析：思路：选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D利用切线的性质得切点弦方程，再根据切点弦方程求定点.解答过程：选项A：圆的圆心为，半径.圆心到直线的距离，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于故选项A正确；选项B：方程可化为，故曲线表示圆心为，半径的圆.方程可化为因为圆与曲线有四条公切线，所以曲线也为圆，且圆心为，半径()同时两圆的位置关系为外离，有，即，解得.故选项B错误；选项C：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.由切线的性质知，为直角三角形，，当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为.故选项C正确；选项D：设点，因为点在直线上，所以，，由圆的切线性质知，直线的方程为，，整理得，解方程得，.所以直线过定点.故选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设直线l的方程为，若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则a=________答案：1或解析：思路：分别求出直线在两坐标轴上的截距，由题意可列出方程，求解，即得答案.解答过程：由题意知直线l的方程为，当时，直线为，不符题意，故，令，则；令，则；由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或，时，直线为，直线l在两坐标轴上的截距均为0，符合题意；时，直线为，直线l在轴上的截距分别为，符合题意；故答案为：1或.13.已知动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，圆，圆分别是圆，上的动点.则的最小值为__________.答案：解析：思路：由题意有点在直线上，利用圆心到点距离判断圆上点到点距离最值，结合点关于直线对称转化求目标式最小值.解答过程：由题意，动点在直线上，动点在直线上，线段的中点为，可得点在直线上，且易知与已知两圆相离，又圆半径分别为，对于任意点，要使最小，只需，点关于直线对称点，且，则，所以的最小值为.故答案为：14.在平面直角坐标系中，已知点定义为“曼哈顿距离”.若，则点P的轨迹所围成图形的面积为____；圆上一点与直线上一点的“曼哈顿距离”的最小值是________________答案：①.；②..解析：思路：第一空：根据新定义写出轨迹方程，结合对称性和直线方程即可得解；第二空：设圆上动点为，直线上动点为，表示出“曼哈顿距离”，以为自变量去掉绝对值，利用单调性求出最小值，在结合三角函数性质求解.解答过程：第一空：设，则①，将代入①得，将代入①得，所以曲线关于轴和轴对称，故曲线所围成图形的面积，等于与轴和轴所围成图形面积的4倍,易知分别与轴和轴交于点，所以与轴和轴所围成图形面积为，所以曲线所围成图形的面积为.第二空：设圆上动点为，直线上动点为，则，当固定不动时，记，则时，取得最小值.，其中，当在圆上运动时，的最大值为1，所以.故答案为：；.四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知圆经过点，且与圆相切于点.（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程.答案：（1）（2）或解析：思路：（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的方程.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由弦长来求得直线的方程.（1）圆的圆心为，半径，直线的方程是，所以圆的圆心可设为，则，则，半径，所以圆的方程为.（2）由，令，解得，，所以直线符合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由于，所以到直线的距离为，所以，解得，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.16.已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为.（1）求点的轨迹方程；（2）过定点的直线与点的轨迹交于不同的两点，且满足，求直线的方程．答案：（1）（2）或.解析：思路：（1）设出动点坐标，利用中点坐标公式表示动点，代入圆方程，整理可得答案；（2）将直线分斜率存在与不存在两种情况，联立直线与圆方程，写出韦达定理，代入条件中的等式，解得答案.（1）设，动点，由中点的坐标公式解得，，由得，∴点M的轨迹方程是.（2）当直线的斜率不存在时，直线，与圆交于，，此时解得，不合题意．当直线的斜率存在时，设直线，则由，消去，得，由已知可得，，，，整理可得，，解得或，经检验.综上：直线为或.17.在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为.（1）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程；（2）若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据的中点和点在直线，结合与垂直，点在直线上列方程组求出点，坐标，然后可得；（2）根据直线上的点到直线的距离相等，结合（1）中方程求解即可.（1）设，则,即①，②，又直线与直线垂直，所以，即③，联立②③解得，又④，联立①④解得，所以直线的方程为，即.（2）因为的平分线所在的直线方程为，所以⑤，联立①⑤求解可得，则直线方程为，即，设直线的方程为，则在直线上取点，由角平分线定理可知，到直线的距离相等，则，即，又，所以，整理得，解得或，所以直线的斜率或，当时，直线的方程为，即，与直线重合，舍去；当时，直线的方程为，即，满足题意.所以直线的方程为.18.在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2.（1）求圆的标准方程；（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）或或或；（3）解析：思路：（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于的方程，解方程求得，从而得到标准方程；（2）分为直线过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设，根据且可整理出点轨迹方程为：；根据在圆上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结果.解答过程：（1）圆方程可整理为：圆的圆心坐标为，半径圆心到直线的距离：截得的弦长为：，解得：圆的标准方程为：（2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即直线与圆相切圆心到直线距离，解得：切线方程为：②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即圆心到直线距离，解得：或切线方程为或综上所述，切线方程为或或（3）假设，即又直线与圆相切，切点为即：，整理得：又在圆上两圆有公共点，解得：即的取值范围为：方法提示：本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的应用问题；关键是明确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定.19.已知圆点.（1）过作圆的切线，求切线的方程；（2）过圆O上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证