北师大版高一数学（必修第一册）集合的基本关系（讲义）（原卷版+解析）

知识点01子集

l.Venn图

为了直观地表示集合间的关系，常用平面上_________表示臭合，这种图称为Venn图.这种表示集合的

方法叫作Venn图法

2.子集的概念

(1)定义：一般地，对于两个集合A与B,如果集合A的都属于集合8,即若。£4,则，那么

称集合A是集合B的子集.

⑵记法与读法：当集合A是集合B的子集时，我们说这两个集合有包含关系，记作：Aq伏或83读

作：A包含于3,或8包含A.

⑶用Venn图表示如下：

(4)当A不是B的子集时，我们记作或8。A),读作：“A不包含于B"(或“B不包含A”).

3.子集的性质

(!)任何集合是它_____子集，即AqA.

(2)传递性:对于集合A、B、C,如果Aq氏且那么.

(3)我们规定:0是的子集，即对于任意的集合A,都有

【即学即练】

1.（多选）下列表述正确的是

A.{2025}U{2023,2024）B.2015c{2025,2026}

C.{2025,2026}卫{2025}D.{2025,2026}c{2026,2025）

2.下列给出的几个关系中:①{0}u{。,如②他历卜{。,如③{瓦。};④0工{0}，正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

知识点02集合相等

1.集合相等的定义

对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集，且____________,那么称集合A与集合B相等.

记作A=B.

2.用Venn图表示两集合相等

A⑻

【即学即练】

1.下列集合与集合A={2026,1}相等的是()

A.(1,2026)B.{(x,y)|x=2026,)，=1}

C.{xpr-2O27A+2O27=O}D.{(2026,1))

知识点03真子集

1.真子集的定义

对于两个集合A与B,如果AqB,且______，那么称集合A是集合B的真子集，记作AtJB(或BVA).

用Venn图表示如下：

由真子集的定义可知，包含两种可能，即或A=

【易混提醒】子集与真子集的区别在于“4口3”允许A=笈或A至B，而A底B是不允许“4=8”的，所

以如果成立，则一定有Aug成立；但如果有AuN成立，4写8不一定成立.

2.真子集的性质

(1)0是任何的真子集，即：当AW0时，0UA;

⑵传递性:对于集合A、B、C,如果4。8,且BUC,那么.

【即学即练】

1.已知集合8={l,2},A={x|xq8},则集合A与B之间的关系正确的是()

A.B.BQAC.D.BeA

2.已知集合P={1,2,3,4},Q={小=x+l,xeP},那么集合M={3,4,5}与Q的关系是()

A.A/OQB.M。。C.QQMD.Q=M

知识点04有限集的子集个数(拓展)

请牢记下面四个结论，解题时可以依据这四个结论检验答案是否正确，其中nWN”.

(1)由n个元素构成的集合有一个子集；

(2)由n个元素构成的集合有个真子集；

(3)由n个元素构成的集合有个非空子集；

(4)由n个元素构成的集合有个非空真子集.

【即学即练】

1.已知集合A="|-1VXV3,.隹N},则A的子集共有()

A.3个B.4个C.8个D.16个

2.已知集合4=WdV3,.iWN},则A的真子集共有()

A.1个B.2个C.3个D.7个

题型01判断集合与集合的关系

L枚举法

【典例1】设集合U={不大于5的自然数},A={0』},B={x\xeA,且xvl},

C={x\x-\^A,且XEU},D={X\X^A},请说明集合A,B,C,D之间的关系.

对于元素为离散型(即元素可逐一列举出来)的集合，它们之间关系的判断常常利用枚举法，即将两集合

分别用列举法表示，通过观察集合元素之间的关系作出判断.

【变式1】给出卜列关系：①儿上"②(2024,1)・，2025x12024-0).③0a0)；

④{(i,-2)}£{(x,y)ly=x2-x+2},其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【变式2】已知集合人{1,2,3,4},Q={)，|)，=x+l,xeP},那么集合知={3,4,5}与Q的关系是()

A.MVQB.MQC.QMD.Q=M

【变式3]已知集合^={1,2})={34=用，则集合A与8之间的关系正确的是()

A.AR.BAC.A^RD.BGA

2.元素特征法

【典例2】判断下列各组中两个集合的关系

(\)A={x\x=2k-\,keZ},B={x|x=2/7?+Z}

(2)A={x|x=3k,&eTV),B={x|x=6z,zGN]

⑶A={x[x='+；,AeZ}，N={x|eZ},

当用描述法表示集合时，集合之间的关系有时不易看出，这时候常从元素的结构特征入手，结合通分、

变形等技巧，使元素结构--致，再分析元素之间的差异，判断集合之间的关系.

【变式I】已知集合A^x=^keZ>,B=<x|x=1eZ>,则（）

A.B.B^AC.A=BD.A与8的关系不确定

【变式2】已知集合用={丫|丫=缘1,xEZ],N={y\y=lx-l,xEZ},则集合M,N的关系是（）

A.M=NB.MuNC.MnND.MCNf

3.数形结合法

【典例3】设集合A={_r|T<x<5},集合3={x|3x+9>0},则集合A与集合8的关系是（）

A.B£AB.AA.B=AA.BA

判断两个连续型无限集间的包含关系时，常常在数轴上表示出这两个集合，若一个集合A所包含的区

域（点）全部在另一个集合B所包含的区域中，则若集合B中还包含其它其它区域（点），则

另外还要特别注意用数轴表示集合时，集合端点值而取舍.

【变式】已知集合A=Wo-4},8={R・3%・lW0},则下列关系正确的是（）

A.A=6B.A^BC.匿AD.AUB

题型02确定集合的子集、真子集

【典例】满足0室MG{1,2,3}的集合M共有（）

A.6个B.7个C.8个D.15个

（I）在写集合的子集或真子集时，一般是按照集合中的元素的个数的多少，遵循由少到多的原则，做到

不重不漏.需要特别注意的是，空集是任何集合的子集，是任何车空集合的真子集,因此，在写集合的子集或

真子集的时候，不要遗漏空集.

（2）确定集合的子集、真子集的个数时，可以利用“若集合A中元素的个数为n,则集合A中有2”个子

集，2〃-1个真子集，2〃-2个非空真子集”直接求解.

【变式1】已知{I,3}4法{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数是（）

A.5B.6C.7D.8

【变式2】集合A={4V-2|G,XCZ},则A的子集有（）个

A.8B.7C.6D.3

【变式3】已知集合A={0,2},B=C^{ab\aEA,bEB},则集合C的子集有（）

A.64个B.63个C.16个D.15个

题型03集合相等的证明

【典例】已知集合A={x|+£Z},B={x\x=2k,kGZ},试证明A=8.

(1)证明两个无限集AB相等时，要分两步进行，一是证明二是证明

(2)要证明集合A是集合B的子集，必须证明集合A中的任一元素在集合B中，通常先设。是集合A

中的元素，并将〃用集合A中元素所满足的式表示出来，再通过等价转化，说明它也符合集合B中元素所

满足的式子即可.

【变式】已知X={川x=2〃+l,〃£Z},y={y|y=4Z±l/€Z},求证：X=Y.

题型04空集在集合关系中的特殊性

【典例】给出下列说法:①空集没有子集;②任何一个集合必有两个或两个以上的子集;③空集是任何集合的

真子集;④若在A,则A#。淇中正确的有()

A.0个B.1个C2个D.3个

在与集合关系有关的题中特别要注意空集的特殊性：

(1)空集是任何集合的子集，其中任何集合包含。，故0G0.

(2)空集是任何非空集合的真子集，即。殳A(A,。),因为A超所以必存在a€A,而aW。,所以。殳A.

(3)空集的存在,使关于子集定义中的某些说法错误，如“若AGB,则A为B中的部分元素所组成的集合”,

因为从“部分元素”的角度无法理解“。6”46、*。”等结论,所以“若AGB,则A为B中的部分元素所组成

的集合”是错误的.

(4)应注意理解下列式子:若ACB,则A=0,或AW。且A麋B,或A=B.

【变式】下列六个关系式：①{"'般他"};②{1©={”);；③网=0；④°«°}；⑤0©{°}；⑥

0。{°}：其中正确的个数为()

A.6个B.5个C.4个D.少于4个

题型05利用集合相等求参

【典例】已知集合人={2,工,)，},8={2羽2,)，},且4=3，求为)，的值.

若已知有限数集人=8,求集合中的参数，常规思路是利用“若两个集合相等，则两个集合中的对应元素

完全相同”这一结论分类讨论求解.

此外，也可利用集合相等的两个拓展性质巧解：若有限数集A二B,则(1)两个集合的所有元素之和相等；

(2)两个集合的所有元素之积相等.

【变式1】设小/用R，集合P={0,1,〃},Q={-I，0,-b],若P=Q,则a+b=()

A.-2B.-1C.0D.2

【变式2】已知实数集合A={1M6},8=何〃而}，若A=8,贝卜产25+*5=（）

A.-1B.0C.1D.2

题型06利用集合间包含关系求参—与方程有关

22

【典例】设集合A={xeR|/+4.r=0},B={xeR|x+2(67+lix+«-l=0,fl€R).

(1)若集合8有且仅有两个子集，求实数。的取值范围；

(2)若Bq4,求实数〃的取值范围.

(I)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点.

(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义.建立方程求解，此时应注意分类讨论思想

的运用.

【变式I】若卜{(x,y)|y=3x+c}J"c=.

【变式2】若集合A={T,_2},B={X|WX+1=0}'且8工A，求实数m的值.

【变式3】已知集合人={1,34"3},5={3,/叫，若B=A,则实数〃尸.

题型07利用集合间关系求参——与不等式有关

【典例】已知集合从={刈-3<“<4),"={“|4"<*<4+3〉,

⑴若8nA,求实数。的取值范用；

(2)若80A,求实数。的取值范围.

(1)已知两个无限集的包含关系求参数问题，常常借助数轴，先把静集合(不含参数)在数轴上表示出

来，然后利用条件，确定动集合(含参数)的端点与静集合的端点的位置关系，并建立不等式进行求解，还

要特别注意端点值能否取到.

(2)由于空集是是任何集合的子集，因此利用B解决问题时，一定要分A=0与4工。两种情况

进行讨论.

(3)求得A=8时参数的取值范围后，再剔除A=B时参数的值，即得AU3时参数的取值范围.

【变式1】已知集合"={#1<-1或x>2},N={x|x<-&或x>6},若NqM,则实数a的取值范围

为()

A.(1,2)B.[1,-Ko)C.(4,-KO)D.[4,+OO)

【变式2】若集合A=*|x之3或X<-1},B={%|ar+l<0},若BqA,则实数〃的取值范围是()

A.[—―,1)B.

c.S，T)U[0，y)D.《,0)50,1)

【变式3](1)已知集合4=次|-2"45},B={x\m+\<X<2rfJ-\}.若BA,求实数机的取值范围.

(2)若(1)中条件"4={幻-2。45}”改为“4=3-2<穴<5广，其他条件不变，求实数，〃H勺取值范

围.

题型08与集合关系有关的探究问题

【典例】已知三个集合A={x|V-3X+2=O},3={XER|X2一6+a-1=0）»

C={xwR|f一反+2=0卜同时满足BDA,C=A的实数是否存在？若存在，求出〃力的取值范

围；若不存在，请说明理由.

对集合包含关系的考查常常会出现在探究性问题中，解决这类问题，首先要分清集合的代表元素，进而

将集合语言转化为我们习惯的语言形式来求解.

【变式】已知集合4={划|元一回=4}，集合8={1,2力}.

（1）是否存在实数a,使得对于任意实数/,都有Aq8?若存在，求出对应的。值；若不存在.说明理由;

（2）若AqB成立，求出对应的实数凡人

题型09与集合关系有关的新定义题

【典例】定义集合4*8={小=加,bEB},设4={2,3）,B={\,2},则集合4*5的半空真子集的

个数为()

A.12B.14C.15D.16

以集合为背景的新信息题.常见的有新概念型，定义新运算型等.解决此类问题的关键是先正确理解新的

概念或运算,再结合题中集合的新定义来解决.

【变式1］集合〃={3,4,5},。={6,7},定义P*Q={(a,h)\ae/\比Q},则的真子集个数为

()

A.31B.63C.32D.64

【变式2】定义集合中的一种运算“*"，A*B={3|a)=xy(x+y),若集合A={0,1},B={2,3},

则的非空子集个数是()

A.7B.8C.15D.16

【变式3】含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集

合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，{469}的元素和是

4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.

(1)写出集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和.

⑵已知集合M={123,4,5,6},根据提示解决问题.

①求集合M所有非空子集的元素和的总和；

提示：先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的

元素和的总是：

②求集合M所有非空子集的交替和的总数.

一、单选题

1.下列结论正确的是（）

A.任何集合都有子集B.任何集合都有真子集

C.{0}=0D.{0}=0

A.2B.4C.8D.16

4.满足仲2+2X-3=0}=A卜3,-1。1,3}的集合A的个数为（）

A.3B.7C.8D.15

5.下列每组集合是相等集合的是（）

A.=N||x|<2|,B=Z||x|<2}B.A={（x,>）|y=x},B={x|y=x}

C.A={x|y=x},B=）,=~'D.A={x|x>0},B={y|y>0）

6.已知集合A={xwN|2WxW4},B={XGZ|-1<X<2）,则集合C={z|z=/+2y,xww囚的非

空真子集个数为（）

A.32B.62C.64D.30

7.集合M={x|x=5Z_2/eZ},P={x|x=5〃+3,〃eZ},S={x|x=10〃?+3,mwZ}的关系是（）

A.SqPqMB.S=PqM

C.SqP=MD.P=MjS

8.若i且占“则称集合A为“和谐集”.已知集合哈卜,总。』,科’则集合”的子集中“和谐

集”的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

二、多选题

9.下列选项正确的是（）

A.B.{1,-3}={-3,1}

C.{0,1,2}C{1,0,2}D.0e{O}

1（）.已知集合A={x|f+G；+力=0},且。臬A={-1,2},则a+力的值可以是（）

A.4B.3C.-3D.0

11m知集合A=卜版W6},3={2,3},下列结论正确的是()

A.若。=0,则A=RB.若a=0,则4=0

C.若则a42D.若BqA,则〃可以取3

三、填空题

12.已知集合A={—l,0,l,2},5={x|aKx<3}.若AgB,则。的最大值为.

13.已知集合A={-1,1,3},集合B=W，〃h3},若A=B,则实数加的值是.

14.已知集合A=N♦且A中至少含有2个元素，若对于A中的任意两个不同元素K儿都有卜-)，|工々，则

称A具有性质P(A),若Aq{12…,2025},且同时具有性质P(4)和尸⑺,则A中至多有____个元素.

四、解答题

15.己知集合人={1,4-2,2〃+5a},且一3cA.

(1)求。的值；

(2)写出集合A的所有真子集.

16.已知集合A={xeR|伏-1)丁-2X-3=。}.

(1)若集合人中至多有一个元素，求实数2的取值范围;

(2)若集合4最少有一个真子集，求实数k的取值范围.

17.已知全集0=1<,集合”=［二卜2-4.*+〃=0},/V={xeR|(x-3)(x2+3x-4)=0}.

⑴若a=5,存在集合P,使得例UP。N,求出这样的集合P.

(2)是否存在集合M,N,满足MqN?若存在，求实数。的取值范围；若不存在，请说明理由.

18.《九章算术》第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡①，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处

②：衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器

称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.

问燕、雀每只各重多少斤？①集称之衡：集中在一起用衡器称：②交而处：交换位置放：③衡适平：重

量恰好相等.

（1）设每只雀重〃斤，每只燕重，〃斤，请列方程组求解这个问题；

（2）在⑴的条件下，设集合人=卜-〃?£白。，B={x\2p-\<x<p+\],若BA,求〃的取值范围.

19.定义：若任意/儿〃©A（小〃可以相等），都有1+""?工0（保证集合B中的元素分母不为0）,则集合

B=<x^v=--------，〃?，〃£4》称为集合A的生成集（由X二------可得到生成集中的元素x与A中元素m.n

的关系）.

⑴求集合A={3,4}的生成集8；

⑵若集合4={«2},A的生成集为8的子集恰有4个，求实数。的值;

(3)若集合—1WAV1,A的生成集为B,求证:A=

知识点01子集

l.Venn图

为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合,这种图称为Venn图.这种表示集

合的方法叫作Venn图法

2.子集的概念

(1)定义：一般地，对于两个集合A与B.如果集合A的任何•个元素都属于集合B，即若QEA,则心竺，

那么称集合A是集合B的子集.

(2)记法与读法：当集合A是集合B的子集时，我们说这两个集合有包含关系，记作：Aq戈或读

作：A包含于3,或3包含4.

(3)用Venn图表示如下:

(4)当A不是B的子集时，我们记作或8。A),读作：“A不包含于B"(或“B不包含A”).

3.子集的性质

(1)任何集合是它生身_的子集.即AuA.

(2)传递性:对于集合A、B、C,如果且那么AqC.

(3)我们规定:。是任何集食的子集，即对于任意的集合A,都有0qA.

【即学即练】

1.(多选)下列表述正确的是

A.{2025)0(2023,2024)B.2015a{2025,2026}

C.{2025,2026}2{2025}D.{2025,2026)口{2026,2025)

【答案】ACD

【分析】从子集的概念入手作出判断.

【解析】2025史{2023,2024}

故(2025}U{2023,2024),A正确；

2025与集合{2025,2026}的关系是元素与集合的关系，且2025是该集合中的元素，故

2025[2025,2026},即{2025,2026}2{2025},元素与集合之间不能用符号q表示，故B不正确,C止确;

{2025,2026}与{2026,2025}是同一个集合，故D正确.故选ACD.

2.下列给出的几个关系中:@){0}U{〃力};②他圳={。,如③回勿£也〃};④0U{0}，正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】结合子集的含义及子集的有关性质逐一进行判断.

【解析】{0}并不表示空集.故{0}0{。,与，①错：{9,。)}与{a,b}的元素不同，故②错；因为

所以{a,切口{力,。},③正确;0是任何集合的子集，故④正确.

知识点02集合相等

1.集合相等的定义

对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与

集合B相等.记作A=R.

2.用Venn图表示两集合相等

1.下列集合与集合A={2026,1}相等的是()

A.(1,2026)B.((x,y)|x=2026,y=\]

C.{x\)r-2027%+2027=0}D.{(2026,1))

【答案】C

【分析】利用集合相等的定义直接判断.

【解析】对于A,(1,2022)#{2022,1},故A错误；

对于从{(x,)，)卜=2022,)=1},{2022,1},故3错误；

对于C{H3一2023.什2022=0}={2022.1},故C正确：

对于。，{(2022,1)—{2022,1),故。错误.

故选：C.

知识点03真子集

1.真子集的定义

对于两个集合A与B,如果AqB,且隹勺，那么称集合A是集合B的真子集，记作A0B(或BVA).

用Venn图表示如下：

由真子集的定义可知，4口5包含两种可能,即人。8或人=3.

【易混提醒】子集与真子集的区别在于“4胃3”充用413或而A厚8是不允许“A=8”的，所

以如果A后8成立，则一定有Au8成立；但如果有Au8成立，A厚8不一定成立.

2.真子集的性质

(1)0是任何非空集合的真子集,即：当A/0时，0UA;

(2)传递性:对于集合A、B、C,如果8,且8。。，那么AUC.

【即学即练】

1.已知集合8={1,2},人="|工三8),则集合A与B之间的关系正确的是()

A.B.BQAC.A<^BD.R(=A

【答案】D

【分析】先确定集合A定{1合2},U,2},{0},再进行选项判断.

【解析】集合A中所有的元素都是集合4的子集，

即集合A是由集合B的子集组成的集合，

所以4={{1},{2},{1,2},{0},

故B是集合A中的一个元素，D正确.

故选：D

2.已知集合P={123,4},Q=b，|y=x+l,xeP},那么集合初={3,4,5}与Q的关系是()

A.B.C.QQMD.Q=M

【答案】B

【分析】先得出集合Q，再根据集合的基本关系得出.

【解析】由题意可得。={2,3,4,5},故集合M是集合Q的真子集.

故选:B

知识点04有限集的子集个数(拓展)

请牢记下面四个结论，解题时可以依据这四个结论检验答案是否正确，其中n€N”.

(1)由n个元素构成的集合有Q个子集；

(2)由n个元素构成的集合有QO个真子集；

(3)由n个元素构成的集合有②d1个非空子集；

(4)由n个元素构成的集合有Q22)个非空真子集.

【即学即练】

1.已知集合A={K-1VXV3,xWN},则A的子集共有()

A.3个B.4个C.8个D.16个

【答案】C

【分析】化简集合A,再求子集个数即可.

【解析】,.,A={x|・1<XV3,x6N}={0,1,2},

•••A的子集共有23=8,

也选：C.

2.已知集合.诧N},则A的真子集共有()

A.ITB.2个C.3个D.7个

【答案】C

【分析】可得出集合A={0,1},然后可得出集合A的真子集个数.

【解析】••・4={x|x2<3,xGN}=[0,I},

・•.A有22-1个真子集，即3个真子集.

故选：C.

题型01判断集合与集合的关系

1・枚举法

【典例1】设集合U={不大于5的自然数},A={O,1),B={x\xeAfMx<l},

C={x|x-1^AJLrwU},Z)={x|x三A},请说明集合A,B,C,D之间的关系.

案

B£z4,BgC,BwD,AeD,

析

由已知可知各集合中的元素均可一一列举出来，故用枚举法求解.

析

-={0,123,4,5},A={0,l},B={0),C={0,3,4,5},又集合A的子集有

0,{0},{1},{0,1}共四个，因此。={0,{0},{1},{0,1}},所以BQA,B£C,集合A与集合。无从

属关系及包含关系，BwD,AeD,集合C与集合力无从属关系及包含关系.

方法技巧

对于元素为离散型(即元素可逐一列举出来)的集合，它们之间关系的判断常常利用枚举法，即将两集合

分别用列举法表示，通过观察集合元素之间的关系作出判断.

【变式1】给出下列关系：①窕的②{2024.1}={Y_2025X+2024=0}；③。q{。}；

2

g){(l,-2)}c{(x,y)|y=x-x+2}f其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】由元素与集合关系，集合与集合关系逐个判断即可.

【解析】显然兀&R,Oc{0},①③正确；

{x\x2-2025x+2024=0}={x|(x-l)(x-2024)=0}={1,2024},②正确

在产=/_工_2中，当x=]时，y=-2

即有(1,-2)€{*,力及=/一%-2}

因此{(1,一2)}土{(x,y)|y=/-%一2},④正确

「•正确命题的个数是4

故选：D

【变式2】已知集合。={1,2,3,4},Q={Hy=x+LxeP},那么集合知={3,4,5}与。的关系是()

A."HQB.M。C.QMD.Q=M

【答案】B

【分析】先得出集合Q，再根据集合的基本关系得出.

【解析】由题意可得Q={234,5},故集合M是集合。的真子集.

故选：B

【变式3】已知集合8={l,2},A={x|xqB},则集合A与8之间的关系正确的是()

A.BeAB.2?AC.A^BD.BeA

【答案】D

【分析】先确定集合A={{1},{2},“,2},{0},再进行选项判断.

【解析】集合A中所有的元素都是集合5的子集，

即集合A是由集合8的子集组成的集合，

所以A={⑴,{2},优2},{0,

故8是集合A中的一个元素，D正确.

故选：D

2.元素特征法

【典例2】判断下列各组中两个集合的关系

(l)A={x|x=2&-1,AEZ},B={x\x=2m+\,meZ]

(2)A=(x|x=3k,ArwN},B=(AJx=6z,zeN]

(3)A={x|x=T+；,ZeZ}，N={x|%=1+女eZ},

【答案】(1)A=B：(2)3。A；(3)AWB.

【分析】先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系.

【解析】(1)A,B都表示奇数集，故=即A=B.

(2)A中的元素都是3的倍数，B中的元素都是6的倍数，对于任意的zeN,6z=3x(2z),因为zwN.所以2

zwM从而可得6z£A,从而有B£A.设6z=3,则z=4任N,故3任用但3£4所以B。A.

2

(3)方法一：取k=3,0,1,2,3,4,5,…，可得

-13579911口一13.537

444444424424

易知A中任一元素均为B中的元素，但B中的有些元素不在集合A中，故AWB..

k12k+1k\k'D

方法二:集合M的兀素为：X=—I—=------(&EZ)，集合N的兀素为：4—I—=-----(髭Z)，而

244424

2X1为奇数火+2为整数,，AWB.

方法技巧

当用描述法表示集合时，集合之间的关系有时不易看出，这时候常从元素的结构特征入手，结合通分、

变形等技巧，使元素结构i致，再分析元素之间的差异，判断集合之间的关系.

【变式1]己知集合A=«=•,B=-x|x=1eZ•,）

A.B.B^AC.A=BD.A与B的关系不确定

【答案】A

【解析】对于集合A:x=4=生,kwZ,当分母为4时，分子为2攵，能取遍全体偶数，而对于集合

24

B:x=t,kwZ,当分母为4时，分子为女，能取遍全体整数，显然，“全体偶数”是“全体整数”的子集，即

4

A是8的子集（也是真子集），故选A.

【变式2]己知集合乂={训丫=咨口，x€Z},/V={y|y=|x-l,x€Z},则集合M,N的关系是（）

A.M=NB.MuNC.MnND.MnN=6

【答案】A

【分析】通过分析两个集合中元素的关系，结合集合子集的定义分析求解即可.

【解析】因为集合知={）心=罕■,.tWZ},

比A7fl2f.2,x-32（x-2）+1-]

集合N={y[y=-I,xEZ}={）[）=3=——『一，xWZ},

即M=N.

故选：A.

3.数形结合法

【典例3】设集合A={x[—l<x<5},集合8={x|3x+9>0},则集合A与集合8的关系是（）

A.BB.AA.B=AA.BA

【答案】B

【分析】将集合A与B分别在数轴上表示出来，便容易观察出它们的关系.

【解析】由3工十9>0得1>-3,所以。一{汇%>-3},分别在数轴上表示两个集合，如下图所示.

~~rnB

-------i-A-------——---------►

-3-15X

从数轴上可以看出，集合A中的所有元素都在集合B中，因此又集合B还有其它不属于集合

A的元素，因此A£8,故选B.

方法技巧

判断两个连续型无限集间的包含关系时，常常在数轴上表示出这两个集合，若一个集合A所包含的区

域（点）全部在另一个集合B所包含的区域中，则Aq8,若集合B中还包含其它其它区域（点），则4GH.

另外还要特别注意用数轴表示集合时，集合端点值的取舍.

【变式】已知集合/1={4^-4},8={月-3金-七0},则下列关系正确的是（）

A.A=BB.AQBC.BQAD.AVB

【答案】C

【解析】A={4r>-4},5={A|-3<X<1},

分别在数轴上表示两个集合，如下图所示.

-4—31IdX(J

从数轴上可以看出，集合A中的所有元素都在集合B中，因此AqB,又集合B还有其它不属于集合

A的元素，因此A故选B.

题型02确定集合的子集、真子集

【典例】满足。麋M£[1,2,3}的集合M共有（）

A.6个B.7个C.8个D.15个

【答案】B

【分析】利用真子集、子集的定义，结合列举法能求出结果.

【解析】满足0&WG{1，2,3}的集合M有：

⑴，{2},{3},{1,2},{1,3},[2,3},{1,2,3},

共7个.故选：B.

方法技巧

（I）在写集合的子集或真子集时，一般是按照集合中的元素的个数的多少，遵循由少到多的原则，做到

不重不漏.需要特别注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,因此，在写集合的子集或

真子集的时候，不要遗漏空集.

（2）确定集合的子集、真子集的个数时，可以利用“若集合A中元素的个数为n,则集合A中有2”个子

集，2〃-1个真子集，2"-2个非空真子集”直接求解.

【变式1]已知{1,3}CAS{1,2,3,4,5},则满足条件的集合4的个数是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】A是至少含有1和3这2个元素是本题的关键.

【解析】A={I,3}或从={1,3,2}或4={1,3,4}或人={1,3,5）或4={1,3,2,4}或4={1,3,2,

5}或4={1,3,4,5}.

故选：C.

【变式2】集合人一{dk-2|«l,xGZ},则A的子集有（）个

A.8B.7C.6D.3

【答案】A

【分析】由题可解集合A,再利用子集个数求解公式2”可求.

【解析】因为A={川x-2|41,xeZ}={x|lWxW3,xeZ}={l,2,3},

所以则A的子集有23=8个，

故选：A.

【变式3】已知集合人={0,2},8={-1,1,2},C={"k£A,〃e8},则集合C的子集有（）

A.64个B.63个C.16个D.15个

【答案】C

【分析】根据题意，求得集合。={0,-2,2,4},结合集合子集个数的计算方法，即可求解.

【解析】由集合A={0,2},8={-1,1,2},且。={a"4匹.，

因为awA,bwB,可得集合。={0,-2,2,4},所以集合C的子集有2,=16个.

故选：C.

题型03集合相等的证明

【典例】已知集合A={x|jv=14m+36〃,m,“£Z},B={x\x=2kfkeZ]f试证明A=B.

【分析】要证明A=B,根据定义，只要证明和同时成立.

【证明】（1）设awA,则存在满足。=14班+36〃],又

14叫+364=2（7町+184），+18〃]丘Z,，。£3,,A=8：

⑵设b£B,则存在勺wZ,满足b=2k\,又2k\=14（-5^）+36（2仁），•.♦一5勺,2k、wZ,〃wA,8qA.

综上所述，A=B.

方法技巧

（1）证明两个无限集A3相等时，要分两步进行，一是证明二是证明3cA.

（2）要证明集合A是集合B的子集，必须证明集合A中的任一元素在集合B中，通常先设〃是集合A

中的元素，并将〃用集合A中元素所满足的式表示出来，再通过等价转化，说明它也符合集合B中元素所

满足的式子即可.

【变式】已知X={x|x=2〃+l,〃wZ},Y={y|y=4攵土1,AEZ},求证：X=Y.

【证明】（1）显然8=0,欲使A=B,必须且只需A=0即可.

由于2机一1之根+3可得〃?N4,此时A={x\2m-\<x<x+3}=0.

综上可知，当机24时，A=B.

（2）设xwX,即x=（2〃+l）,〃eZ.

当〃=2%时，有jr=4A+l,xwy；

当〃二2〃-1时，有x=4攵-l,xeZ

从而Xq丫：

另一方面，设），£丫，即y二（4攵士1）,%£Z,因为4女士1是奇数，所以y^X,即y=X.

综上可知，X=Y.

题型04空集在集合关系中的特殊性

【典例】给出下列说法:①空集没有子集;②任何一个集合必有两个或两个以上的子集;③空集是任何集合的

真子集;④若在A,则A,。,其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【行析】紧扣集合中的相关概念，逐项判断真假.

【解析】空集是空集的子集，即。G。,所以①不正确;空集只有一个子集，故②不正确;。不是。的真子集,故③不

正确;空集是任何非空集合的真子集，故④正确.

方法技巧

在与集合关系有关的题中特别要注意空集的特殊性：

（1）空集是任何集合的子集，其中任何集合包含。，故。。。.

（2）空集是任何非空集合的真子集，即建A（A,。）,因为Ar。,所以必存在aEA,而a£。,所以年A.

（3）空集的存在,使关于子集定义中的某些说法错误，如“若AGB,则A为B中的部分元素所组成的集合”,

因为从“部分元素”的角度无法理解"。旦等结论，所以“若AGB,则A为B中的部分元素所组成

的集合”是错误的.

（4）应注意埋解卜列式子:若AGB,则A=0,或A超且A^B,或A=B.

【变式】下列六个关系式：①佃耳=他G；②｛L2｝=｛（L2）｝；③｛。｝=0；④吐网；⑤°«°｝；⑥

0。｛°｝；其中正确的个